Lista 2 - Adelmo

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1 
 
 
 
 
1ª Lista de Exercícios – 2013.2 
 
1. Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar se as seguintes integrais estão 
corretas. 
 
(a) 
     C))xln(sec( Cxcoslndx xtg 
 (b) 
  c)x7(sendx )x7cos(
 
(c) 
c
k
e
dxe
kx
kx 
 (d) 
ce
3
1
dxex
33 xx2 
 
(e)
 
c)1xln(dx
1x
x2 2
2
 (f) 
 

C)x3(arctgdx
x31
3
2
 
(g) 
  cedx
x
e x
x (h) 
 
C|)t3cos(1|ln
3
1
dx
)t3cos(1
)t3(sen
 
 
2. Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar que as integrais abaixo estão 
corretas. 
a) 
Cx
3
2
 dx x 2
3

 b) 
Cx- xln(x) dx)xln( 
 
c) 
C)
2
x
(arctg
2
1
dx 
x4
1
2



 d) 
Ce xe dxxe xxx 
 
e) 
Cx)tgx (secnl dxxsec 
 f) 
C)x1(nl
2
1
)x(arctg x. dx)x(arctg 2  
 
 
3. Determine: 
 
 a) Uma função f(x) tal que f´(x) + 6 sen(3x) = 0 e f (0)=5 
 b) A primitiva F(x) da função f (x) = 
3
22
x
 1)-(2x
 que passa pelo ponto P=(1, 3/2) 
 c) A imagem f 
 
4

, sabendo-se que 
  Cxxxdxx
2x
2
1
cos.sen)f(
 
 
4. Calcule as seguintes integrais imediatas e menos imediatas: 
 
a) 


 dx
x
1x2x
2
3 b) 
   dx] 3
x2
xsec6xx[ 2
 c) 
  2
2
2
[sen 3 3 ]
1
xx e dx
x
 

 
d)
dx 
x
1x2


 
e) 
 dxe x3

 
f) 
  x7cos
dx
2
 
g) 
 dxxtg2
 
h) 
dx 
2x
x
 
 i) 
dx 
1x
x3
 
 
 
UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo II 
Ano: 2013 
 
2 
5. a) Verifique diretamente (derivando) que: 
i) 
C)5xln(dx 
5x
1


 ii) 
C)3x2ln(
2
1
dx 
3x2
1


 iii)
C)4xln(dx 
4x
1


 
 
b) Baseado no item anterior, dê o valor das integrais: 
iii) 
dx 
3x2
1
 
 iv) 
dx 
1x3
1
 
 v) 
dx 
bax
1
 
 
 
6. Uma partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para encontrar a 
função-posição da partícula. 
 a) 
3 2v(t) t 2t 1 e s(0) 1   
 
 b) 
a(t) 4cos(2t); v(0) 1; s(0) 3    
 
 
 
Integração por substituição de variáveis: 
 
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis: 
 
1) 
52 xdx
 2)
  ( 0)sen ax dx a
 
3) 
 2 3 1
dx
sen x
 
4) 
 cos 5x dx
 
5) 
3 7
dx
x
 6)  2tg x dx
 7) 
2 cossen x x dx
 8) 
2 1x x dx
 
9) 
22 3
x dx
x 

 10) 
2cos 1
dx
x tgx

 11)  ln 1
1
x
dx
x


 12) cos
2 1
x dx
sen x

 
13) 2
21
arctg x dx
x
 14) 
ln
dx
x x
 15)  2 4 33 2x x x dx  
 16) 
21 2
dx
x
 
17) 
216 9
dx
x

 18)  
 
2
2 10
2 9
x
dx
x

 

 19) 
cos (ln )
dx
x
x
 20) 
  1xx
dx
 
21) 
 
dx 
x
xln3

 22) 
  xx ee
dx
 
 
 
 
Integrais trigonométricas: 
 
Resolva as integrais abaixo. 
 
1) 
 xdxsen
2
 2) 
 xdxsen
3
 3) 
 xdxxsencos
25
 4) 
2 315sen xcos xdx
 
 
5) 
sen(3x)cos(5x)dx
 6) 
3 4sen (2x)cos (2x)dx
 7) 
515sen xdx
 8) 
 5cos 3 3x dx
 
 
Obs: Para resolver: 5) use a fórmula 
))ba(sen)ba(sen)(2/1(bcossena 
 
 
 
 
 
 
3 
Integrais por Partes: 
 
Resolva as integrais abaixo. 
1) 
 xdxln
 2)
 dxxe
x
 3)
 dx
x
xln
 4)  xdxsecx 2
 
5)
  dxe)x2x(
x2
 6)
 xdxcosx
2
 
Obs:
2
x2cos1
xcos2


 
7)
 senxdxe
x
 
8)
  dx)e1(x3(
3x5
 
 
Obs: escreva x5 = x3.x2 
9) 
 xdxlnx
2
 10) arctgxdx
 11) 
12) 
dx
)x1(
x
22
2


; 
xdx
u x;dv
2 2
(1 x )
 

 
 
 
 
 
13) 
 xdx3arctg
 14) 
  senxdx)1x(
2
 15) 
 dxxcosx3
38
 16) 
  xdxln)1x4x16(
3
 
 
 
Miscelânea: 
 
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos: 
 
1) 
 





 dx
x
1
x3cos
e
1
x2
 2) 
 

xln.x
dx
2
 
3) 
 xcos2xdx
 
4) 
 xdxxcos
2
 5) 

 dxxe 3x
 6) 
 dxex.
x322
 
7) 

 dxxe 3x
 8) 
  dxxx 32
2
 9) 
 xdxcos
3
 
10) 

 dx3xe 2x
 11) 
 
 
dx 
x3cos
x3sen
3 4

 12) 



2x1
dx)1x(
 
13) 

 x2
x2
e2
dxe 
14) 
  dx)3xln(
 15) 
 xdxlnx
 
 
Respostas: 
1) Estão errados (b), (f) e (g) 
2) Derive o 2º membro para achar o integrando. 
3) (a) 2cos(3x)+3 
(b) 
2
2
2
1
ln42
x
xx 
 (c)
8
)22(  
4) a) 2 1
2ln
2
x
x C
x
  
 b)
5
2
2
2
6 ( )
5 3
x
x tg x C  
 c)
 
 2
cos 3 3
2
3 2
x
x
e arctg x C

  
 
d)
2
ln
2
x
x C 
 e) 
-3xe
3
  C
 f) 
 7
7
tg x
C
 
g) 
Ctgxx 
; (lembre que tg2x=sec2-1) h) 
C2xln2x 
 (use que x=(x+2)-2 ) 
i) 
Cxx  )1ln(3
 (use que x=(x-1)+1) 
5) a) Derive o 2º membro para achar o integrando b) Siga sua intuição 
6) a) 
4 31 2t t t 1
4 3
  
 b) 
cos(2t) t 2  
 
 
 
 
 xdxsec
3
 
4 
Integração por substituição de variáveis: 
 
1) 
 
52
5ln 2
x
C
 2) 
 cos ax
C
a
 
 3) 
 cot 3 1
3
g x
C

 
 4) 
 5
5
sen x
C
 5) 
1
ln | 3 7 |
3
x C 
 
 6) 
 
1
ln cos 2
2
x C 
 7) 
3
3
sen x
C
; 8) 
 
3
21 1
3
x C 
; 9) 
21 2 3
2
x C 
 10) 
2 1tgx C 
 
11) 
 2ln 1
2
x
C


 12) 
2 1senx C 
 13) 
3
3
arctg x
C
 14) 
ln ln x C
 15) 
 
2 4 33
2ln 3
x x
C
 

 
16) 
 1 2
2
arctg x C
 17) 
1 3
3 4
x
arcsen C
 ; 18) 
  2 2ln 2 9 2
3
x
x arctg C
 
    
 
 19) 
 lnsen x C
; 
20) 
2ln ( 1)x C 
; 21) 
4(ln )
4
x
C
; 22) 
xarctg e C
 
 
Integrais trigonométricas: 
 
1) 
C
4
sen2x
2
x

 2) 
Ccosx
3
xcos3

 3) 
C
7
xsen
5
xsen
2
3
xsen 753

 
4) 
3 55sen x 3sen x C 
 5) 
1 1
cos8x cos2x C
16 4

 
 6) 
5 71 1cos 2x cos 2x C
10 14

 
 
7) 
3 515cosx 10cos x 3cos x C   
 8) 
3 51 2 1sen(3 3x) sen (3 3x) sen (3 3x) C
3 9 15

     
 
 
Integrais por Partes: 
 
1) 
 ln 1x x C 
 2) 
 1xe x C 
 3) 
 2ln 4x x C 
 4) 
ln cosxtg x x C 
 5) 
2 xx e C
 
6) 
    2
1 1
2 cos 2
4 2
x sen x x x C
 
   
 
 7) 
 
1
cos
2
xe senx x C 
 8) 
 
3
6
3 1
2
xx e x C  
 9)
3 1
ln
3 3
x
x C
 
  
 
 
10) 
21 ln 1
2
x arctg x x C  
 11) 
 
1
sec ln| sec |
2
xtgx x tg x C  
 12)
 2
1 1
2 21
x
arctg x C
x
  

 
13) 
   2
1
3 ln 9 1
6
x arctg x x C  
 14) 
     2 1 cos 2x x x sen x C   
 15)
6 3 3 3 32 cos 2x sen x x x sen x C  
 16) 
     4 2 4 2ln . 4 2x x x x x x x C      
 
Miscelânea: 
1) 
Cx2
3
x3sen
2
e x2

 
 2) 
C
xln
1


 
 
3) 
C
4
x2cos
2
x2xsen

 
4) 
C
8
x2cos
4
x2xsen
4
x2

 5) 
C
9
e
3
xe x3x3

 
6) 
C
3
e2
3x

 
7) 


xcos
3
xcos2
5
xcos 35
C 8) 
C)3x(
3
2 32 
 9) 
C
3
xsen
senx
3

 
10) 
C
4
e3
2
xe3 x2x2

 
11) 
3
1
cos(3 )
C
x

 
12) 
Carctgx
2
)x1ln( 2

 
13) 
C
2
)e2ln( x2

 
14) 
Cx)3xln()3x( 
 
15) 
Cx
9
4
xlnx
3
2 2
3
2
3
