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08/06/2012
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CÁLCULO I
INTRODUÇÃO À DERIVAÇÃO
Prof. Edmilson Monteiro de Souza
Introdução a Derivação
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
y1
y2
x1 x2 x
y
x
y
O coeficiente angular (inclinação) da reta s é
dado por:
x
y
xx
yytg
12
12
s
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2
Introdução a Derivação
A reta Tangente
Mantenha P fixo e faça Q se mover no
sentido anti-horário sobre a curva em
direção a P.
Perceba que a inclinação da reta s irá
variar.
A medida que Q vai se aproximando
cada vez mais de P, a inclinação da
secante tende para um valor limite.
Esse valor limite, é chamado
inclinação da reta tangente à curva no
ponto P.
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
y1
y2
x1 x2 x
y
x
y
s
Derivada: definição
• Definição: Dada uma curva y=f(x), seja P(x1,y1) um ponto sobre ela. A
inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por:
quando o limite existe.
•Fazendo , podemos escrever a equação acima como:
12
12
1
)()(limlim)(
12 xx
xfxf
x
yxm
xxPQ
xxx 12
x
xfxxfxm
x
)()(lim)( 11
01
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O coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x0
é dado pelo limite.
Derivadas
x
xfxxf
x
)()(lim 00
0
Chamamos esse limite, quando ele existe, de derivada de f em x0.
Definição de Derivada – Função Derivada
A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função
f ’ cujo valor em x é:
x
xfxxfxf
x
)()(lim)´(
0
desde que o limite exista.
Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x + Δx).
2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença:
x
xfxxf
)()(
3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o
Limite:
x
xfxxfxf
x
)()(lim)´(
0
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Exemplo – Aplicando a Definição
Encontre a derivada de exy 0x
1) xxf )( e xxxxf )(
2)
xxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxxx
x
xxx
x
xfxxf
1
)(
)(
)()(
3)
xxxx
xf
x 2
11lim)´(
0
Derivada: definição
• Exemplo:
– Encontre a inclinação da reta tangente à curva
Resolvendo:
122 xxy
122)(21)(2)()(
,12)(
,12)(
222
2
1
2
xxxxxxxxxxxxf
exxxf
entãoxxxf
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Derivada: definição
• Exemplo:
– Usando a definição de coeficiente angular de uma reta, temos:
x
xfxxfxm
x
)()(lim)(
0
x
xxxxxxxxxm
x
)12(122)(2lim)( 1
222
0
x
xxxxxm
x
2)(2lim)(
2
0
22)22(lim)(
0
x
x
xxxxm
x
Derivada no ponto: definição
• Derivada de uma função num ponto
– A derivada de uma função f(x) no ponto x1, simbolicamente designada
por f ‘(x1), é definida pelo limite:
Este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto
(x1, f(x1)). Portanto, geometricamente, a derivada de uma função
representa o coeficiente angular da reta tangente à curva neste ponto.
Devemos esta definição ao ilustre matemático Pierre de Fermat.
x
xfxxfxf
x
)()(lim)(' 11
01
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Derivada
Pierre de Fermat
Derivada no ponto: definição
• Exemplo-1)
– Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x2 no ponto
(1,1).
– Utilizando a definição, temos que:
– Basta aplicar os pontos na regra que define a função.
x
xfxxfxf
x
)()(lim)(' 11
01
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Derivada no ponto: definição
22lim
)2(lim
1)(21lim
1)1(lim
)1()1(lim)1('
0
0
2
0
22
0
0
x
x
xx
x
xx
x
x
x
fxff
x
x
x
x
x
Portanto, a derivada de y=x2 no ponto P=(1,1) é igual a 2.
Simbolicamente: para f(x)=x2, f ‘(1)=1 (ou, y’=2).
Derivada no ponto: definição
• Exemplo-2)
– Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x3+2x no
ponto (x, x3+2x).
– Utilizando a definição, temos que:
– Basta aplicar os pontos na regra que define a função.
x
xfxxfxf
x
)()(lim)(' 11
01
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Derivada no ponto: definição
23233lim
)233(lim
222)()(33lim
]2[)](2)[(lim
)()(lim)('
222
0
22
0
33223
0
33
0
0
xxxxx
x
xxxxx
x
xxxxxxxxxx
x
xxxxxx
x
xfxxfxf
x
x
x
x
x
Portanto, a derivada de y=x2 no ponto P=(x,x2) é igual a 2x.
Simbolicamente: para f(x)=x2, f ‘(x)=2x (ou, y’=2x).
Operação
dx
d
)(xfy
dx
dfy ´
Operação para obter uma derivada em
relação a x
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• y’ : y linha
• : derivada de y em relação a x
• : derivada de f em relação a x
• : operação de derivada realizada em f(x)
Modos de representar as derivadas de uma
função y = f(x).
dx
dy
dx
df
)(xf
dx
d
Como ler os símbolos de derivadas:
´y
´´y
2
2
dx
yd
´´´y
)(ny
n
n
dx
yd
“y linha”
“y duas linhas”
“d dois y d x dois”
“y três linhas”
“n” ou “a derivada enésima de y”
“d n y d x n”
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Regras de derivação
Regra 1 – Derivada de uma Função Constante
Se f tem o valor constante f(x) = c, então
.0)( c
dx
d
dx
df
Exemplo – Usando a Regra 1
Se f tem o valor constante f(x) = 8, então
.0)8(
dx
d
dx
df
De maneira similar,
0
2
dx
d e .03
dx
d
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Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas,
Inteiras Negativas e Racional.
Se n for um positivo ou negativo inteiro ou racional, então
1 nn nxx
dx
d
Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante
Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então
dx
duccu
dx
d
)(
Exemplo 4 – Usando a Regra 3
(a) xxxdx
d 62.3)3( 2
(b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função
derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1
fornece
dx
duu
dx
du
dx
du
dx
d
)(.1).1()(
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Regra 4 – Regra da Derivada da Soma
Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é
derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses
pontos,
.)(
dx
dv
dx
duvu
dx
d
Exemplo 5 – Derivada de uma Soma
124
)12()(
12
3
4
4
x
x
dx
dx
dx
d
dx
dy
xxy
Regra 5: Regra do Produto
Se u e v são deriváveis em x, então o produto u.v
também é e
dx
udv
dx
vdu
dx
vud
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Usando a Regra do Produto e encontre a derivada de
)1(1 2
x
x
x
y
Aplicando a Regra do Produto e :
x
u 1
x
xv 12
333
2
2
2
2
211112
)1)(1()12(1)1(1
xxx
xx
x
x
x
xx
x
xdx
d
Regra 6 - Regra da Derivada do Quociente
Se u e v são deriváveis em v(x) 0, então o
quociente u/v é derivável em x e
2v
dx
vdu
dx
udv
v
u
dx
d
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Exemplo: Usando a Regra do quociente encontre a derivada de
1
1
2
2
t
ty
Aplicando a Regra 6 com e :12 tu 12 tv
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
2).1(2).1(
t
t
t
tttt
t
tttt
dt
dy
A derivada da função seno é a função cosseno
xx
dx
d cos)(sen
Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno
(a) xxy sen2
)(sen2 x
dx
dx
dx
dy
xx cos2
(b)
x
xy sen
2
1sen)(sen
x
xx
dx
dx
dx
dy
2
sencos
x
xxx
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A derivada da função cosseno é a oposta da função seno
xx
dx
d sen)(cos
Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada
(a) xxy cossen
)(sencos)(cossen x
dx
dxx
dx
dx
dx
dy
)(coscos)sen(sen xxxx
xx 22 sencos
(b)
x
xy
sen1
cos
2)sen1(
)sen1(cos)(cos)sen1(
x
x
dx
dxx
dx
dx
dx
dy
2)sen1(
)cos0(cos)sen)(sen1(
x
xxxx
2)sen1(
sen1
x
x
xsen1
1
Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas
xxtg
dx
d 2sec) (
xtgxx
dx
d sec)(sec
xx
dx
d 2cosec) cotg(
xxx
dx
d cotg cosec) cosec(
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Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente
Encontre d(tg x)/d x
Solução
x
x
dx
dxx
dx
dx
x
x
dx
dxtg
dx
d
2cos
)(cossen)(sencos
cos
sen) (
x
xxxx
2cos
)sen(sencoscos
x
xx
2
22
cos
sencos
x
x
2
2 seccos
1
Regra da Cadeia
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REGRA DA CADEIA:se g(x) for derivável em x e a função f for
derivável em g(x), então a função composta f o g será
derivável em x, e
)´()).(´())`(( xgxgfxgf
dx
du
du
dy
dx
dy
Exemplos:
a) Seja a função 12 xy
2
1
)(12 uuyxu
12
1)1(
2
1)(
2
1
2
2 2
1
2
1
x
xu
du
dy
1
)2(
12
1
22
x
xx
xdx
dy
x
dx
du 2
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b) Seja a função geral do tipo
nxfy )(
nuyexfu )(
)´(1 xf
dx
dunu
du
dy n
)´(1 xfnu
dx
du
du
dy
dx
dy n
•Funções Trigonométricas
•Exponenciais
•Logarítmicas
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REGRA DA CADEIA - Funções Trigonométricas
uxf sen)(
dx
duuud
dx
xdf cos)(sen)(
uxf cos)(
dx
duuud
dx
xdf sen)(cos)(
dx
duutgu
dx
d 2sec)(
tguxf )(
u
uxf
cos
sen)( Regra do quociente
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Exemplo: seja a função
)310sen( xy
Vamos introduzir a variável intermediária
10310
dx
duxu
)310cos(cossen xu
du
dyuy
)310cos(10 x
dx
du
du
dy
dx
dy
Exemplo: seja a função
1sen 2 xy
uyxu sen12
1coscos 2 x
du
dyu
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
Regra da cadeia
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21
dx
xd
dx
duu
du
dy 2
1
2 )1(cos
dx
zd
dx
duxz )(1
2
1
2
1
2
22
1 2
1
x
xxz
dx
dz
dz
du
dx
du
1
1cos
2
2
x
xx
dx
du
du
dy
dx
dy
Função Logarítmica : se u é uma função diferenciável de x e
u(x) 0, então
dx
du
u
u
dx
d 1][ln
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Exemplo: seja a função
)12ln( 3 xxy
12
23
3
2
xx
x
dx
dy
uyxxu ln123
23
12
11 2
3
x
dx
du
xxudu
dy
Função Exponencial : se u é uma função diferenciável de x,
então
dx
duee
dx
d uu ][
Exemplo: seja a função 21xey
3
21
2 xdx
duu
x
2
1
3
2][ xe
xdx
duee
dx
d
dx
dy uu
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23
Derivada no ponto: seja a posição de um móvel dada pela
função
235,03)( tttx
com x dado em metros. Calcule a velocidade do móvel no
instante t = 10,0s.
dt
dxtv )(
)0,10(65,065,0)0,10(
0,10
0,10
t
t
t
dt
dxv
mtv 5,60)(
Determinação da reta
tangente
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Derivadas de Ordens Superiores
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Derivadas de Ordem Superior: se a função f for derivável, então
f´ é chamada de derivada primeira de f. Se a derivada f´
existir, ela será chamada de derivada segunda de f e poderá ser
denotada por f´´.
A derivada enésima da função f (n=inteiro positivo e maior do
que 1), é a derivada primeira da derivada (n-1)ésima de f.
Notação de Leibniz
dx
df
2
2
dx
fd
derivada
primeira
derivada segunda
3
3
dx
fd derivada
terceira
n
n
dx
fd derivada enésima
Exemplo: no MRUV a posição da partícula é dada por
2
2
1
00)( attvxtx
em que x0 (posição inicial), v0 (velocidade inicial) e a
(aceleração) são constantes.
atv
dt
dxtv o )(
a
dt
xd
dt
dvta 2
2
)(
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OBS: Derivável em um Intervalo; Derivadas Laterais
Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ou
infinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será
derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior
(a, b) e se os limites
h
afhaf
h
)()(lim
0
h
bfhbf
h
)()(lim
0
Derivada à direita em a
Derivada à esquerda em b
existirem nas extremidades.
Figura 2.7: Derivadas em extremidades são limites laterais.
+ -
+ -
Derivada à esquerda de b
Derivada à direita de a
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Derivadas à direita e à esquerda podem ser definidas em qualquer
ponto do domínio de uma função. A relação usual entre limites laterais
e bilaterais vale para essas derivadas. Uma função terá uma derivada
em um ponto se e somente se tiver derivadas à direita e à esquerda
nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais.
Exemplo 8 – y = | x | Não é Derivável na Origem
Mostre que a função y = | x | é derivável em e , mas
não tem derivada em x = 0.
)0,( ),0(
Solução À direita da origem, .1).1()(|)(| x
dx
dx
dx
dx
dx
d
À esquerda
.1).1()(|)(| x
dx
dx
dx
dx
dx
d
É possível que não haja derivada na origem porque lá as derivadas
Laterais são diferentes:
Derivada de | x | à direita em zero:
.11limlim
||lim|0||0|lim
00
00
hh
hh
h
h
h
h
h
h
Derivada de | x | à esquerda em zero:
.11limlim
||lim|0||0|lim
00
00
hh
hh
h
h
h
h
h
h
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Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade
Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c.
Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas
Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é
derivável, então f ´ assume qualquer valor entre
f ´ (a) e f ´(b).
Regra de L’Hopital
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Regra de L’Hopital
Regra de L’Hopital
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Regra de L’Hopital
Regra de L’Hopital
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31
Regra de L’Hopital
Regra de L’Hopital
08/06/2012
32
Regra de L’Hopital
• Regra de L’Hopital
– Indeterminação da forma
– Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em torno de
um ponto a, exceto possivelmente no ponto a. Suponha que g(x) 0 para
x a I, x a:
– Se e então: ,0)(lim
xf
ax
0)(lim
xg
ax
,
)('
)('lim L
xg
xf
ax
,
)(
)(lim L
xg
xf
ax
0
0
Regra de L’Hopital
• Regra de L’Hopital
– Utilizaremos a regra de L’Hopital quando tivermos uma função da forma
e ela apresentar indeterminação.
• Exemplo
– Calcule
– Temos uma indeterminação da forma: .
– Aplicando a regra de L’Hopital, temos:
)(
)(
xg
xf
1
1lim 8
9
1
x
x
x
0
0
8
9
8
9lim
8
9lim
1
1lim
17
8
18
9
1
x
x
x
x
x
xxx
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33
Regra de L’Hopital
• Regra de L’Hopital
– Indeterminação da
forma
– A regra de L’ Hopital também vale para este caso.
• Exemplo
– Calcule
– A indeterminação é da forma , aplicando a regra de L’Hopital para
este caso, temos:
x
x
x
lnlim
01lim
1
1
limlnlim
x
x
x
x
xxx
Regra de L’Hopital
• Regra de L’Hospital
– Indeterminação da forma
– Quando temos que calcular um limite da forma f(x)g(x) quando x tende a
“a”, ou a +, ou a - , e ocorre uma indeterminação da forma , isto
é, lim f(x) = 1 e lim g(x) = , devemos primeiro calcular o logaritmo
natural de ambos os membros da igualdade y= f(x)g(x).
– Assim:
1
1
)(
1
)(ln)(ln).(ln)(lnln )(
xg
xfxfxgyxfy xg
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34
Regra de L’Hopital
– Temos então que:
– E: e, portanto, ocorre agora uma indeterminação da
forma .
– Aplica-se então a regra de L’Hopital, obtendo lim lny=L.
– Como ln (lim y) = lim (ln y) = L, temos que lim y = eL.
01ln)](ln[lim)(lnlim xfxf
0
)(
1lim
xg
0
0
Regra de L’Hopital
• Exemplo
– Calcule
– Temos que:
• e
– Temos que:
x
x x
3
4
11lim
)
4
11()(
x
xf
)3()( xxg
1
4
11lim)(lim
x
xf
xx
e
xxg
xx
3lim)(lim
=1∞
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Regra de L’Hopital
– Logo, a indeterminação é da forma: .
– Se calcularmos o logaritmo natural da função teremos:
– Cujo limite resulta na indeterminação da forma . Aplicando a regra
de L’Hopital, temos:
1
)(
1
)(ln)(ln).(ln
xg
xfxfxgy
0
0
4
3
3
1
4
1
.
4
11
1lim
3
1
4
11
lnlimlnlim
2
2
x
x
xx
xy
xxx
4
3lnlim
y
x
4
3limlnlnlim
yy
xx
4
3
lim ey
x
ye y )ln(Lembrando que:
Teremos, aplicando a exponencial nos dois lados:
Mas queremos: ?lim
y
x
Como ln é uma função contínua:
4
3limln
ee
y
x
e
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Regra de L’Hopital
• Regra de L’Hopital
– Indeterminação da forma
– Transformamos esta indeterminação em uma do tipo ou :
• Exemplo
– Calcule
– Aplicando reiteradamente a regra de L’Hopital, temos:
0.
0
0
)1.(lim 23 x
x
ex
xx
x
x
x
x
x
x e
x
x
e
x
eex 2
2
2
2
3
2
23 lim
3
2
3
2lim1
)1(lim)1.(lim
0
2
1lim
2
2limlim 222
2
xxxxxx ee
x
e
x , portanto, 0)1.(lim 23
x
x
ex
Regra de L’Hopital
• Regra de L’Hospital
– Indeterminação da forma
– A idéia é transformar a indeterminação na forma ou .
• Exemplo
– Calcule
– Por L’Hopital,
0
0
)(lim 2 xxx
x
0
0
1
111
lim111lim)(lim 2
x
x
x
xxxx
xxx
2
1
1
111
2
1
lim
2
2
2
1
x
xx
x
08/06/2012
37
Regra de L’Hopital
CÁLCULO II
Exercícios
08/06/2012
38
08/06/2012
39
08/06/2012
40
08/06/2012
41
Guillaume de L’HospitalGuillaume de L’Hospital
08/06/2012
42
Cálculo IMais conteúdos dessa disciplina
