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Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
 
CAPÍTULO 4 
A PREMISSA DA NORMALIDADE: MODELO NORMAL DE REGRESSÃO LINEAR 
CLÁSSICO (MNRLC) 
 
 
Exercícios do Apêndice 4A. 
 
 
4.1 Dado que o coeficiente de correlação entre Y1 e Y2, ρ, é igual a zero, a função de 
densidade de probabilidade normal bivariada (de duas variáveis) fica reduzida a: 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1( , ) exp
2 2 2
Y Yf Y Y μ μπσ σ σ σ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
=
2 2
1 1 2 2
1 21 2
1 1 1 1exp exp
2 22 2
Y Yμ μ
σ σσ π σ π
⎧ ⎫⎧ ⎫⎤⎪⎥⎬⎥⎪⎦⎭
1 2( ) ( )
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎪ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎢− −⎨ ⎬⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭⎩
f Y f Y= , em que 
1( )f Y e 2( )f Y são as funções de densidade de probabilidade normal univariadas (de 
uma variável). Então, quando ρ for zero, 1 2 1 2( , ) ( ) ( )f Y Y f Y f Y= , o que é a condição 
para independência estatística. Portanto, no caso normal bivariado, a correlação zero 
implica independência estatística. 
 
 
4.2 Para assegurar que os estimadores de máxima verossimilhança maximizem a 
função de verossimilhança, as derivadas segundas da Equação (5) do Apêndice 4A têm 
de ser menores que zero, o que garantirá que a SQR seja minimizada. 
 
2
2 2
1
ln 0LF nβ σ
∂ = − <∂ . 
22
2 2
2
ln 0i
XLF
β σ
∂ = − <∂
∑
. 
2
2 2
1 22 2 2 2 2 3 2 2 2 2
ln 1 1 1 ˆ( )
( ) 2( ) ( ) 2 ( )i i
LF n nY Xβ βσ σ σ σ σ σ
⎛ ⎞∂ = − − − = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∑ ∑ iu . 
Como 2 2 21 2 2 2 2 2 2
1 1 1ˆ ˆ ˆ( )
2( ) ( )i i i i
u Y X u uβ β σ σ σ
⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ 2ˆi , da Equação (11), 
2 2
2 3
1 1ˆ 1 0
( ) 2i î
u uσ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ < . 
 
Uma vez que todas as segundas derivadas são negativas, os estimadores maximizam a 
função de verossimilhança. 
 
 
4.3 Como X segue a distribuição exponencial, sua função de densidade de 
probabilidade (FDP) é: 
 
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1( ) ( )
iX
if x f X e θθ
−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Portanto, a função de verossimilhança será: 
11( , ) exp i
n
X
iFV X θθ θ
− ∑⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ . E log FV será: ln ln
iXFV n θ θ= − −
∑
. 
Derivando essa função em relação a θ, obtemos: 
 
2
ln 1 iXd FV n
dθ θ
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
θ . Igualando essa equação a zero: 
 
iX X
n
θ = =∑% , que é a média da amostra.