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Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
 
CAPÍTULO 6 
EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO LINEAR DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 
 
6.1 (a) Verdadeiro. Repare que a fórmula MQO padrão para estimar o intercepto é: 
 
1ˆβ = (média do regressando – 2βˆ média do regressor). 
 
Mas quando X e Y estão em formato de desvio, seus valores são sempre zero. Daí o 
intercepto estimado também ser zero nesse caso. 
 
 
6.2 (a) & (b) Está incluído na primeira equação um termo de intercepto que, por não 
ser estatisticamente significativo no nível de, digamos, 5%, pode ser retirado do 
modelo. 
 
(c) Para os dois modelos, o aumento de um ponto percentual na taxa de retorno 
mensal do mercado leva a um aumento médio de cerca de 0,76 ponto percentual na 
taxa de retorno mensal das ações ordinárias da Texaco ao longo do período estudado. 
 
(d) Conforme tratamos no Capítulo 6 do livro-texto, esse modelo representa a linha 
característica da teoria do portfólio. O modelo relaciona, no caso em tela, o retorno 
mensal de ações da Texaco ao retorno mensal do mercado, como representado por um 
amplo índice de mercado. 
 
(e) Não, os r2 não são comparáveis. O do modelo sem intercepto é o r2 bruto. 
 
(f) Como a amostra é relativamente grande, podemos usar o teste de normalidade de 
Jarque-Bera. A estatística JB é quase a mesma para os dois modelos, isto é, 1,12, e o 
valor p de se obter tal valor JB é de aproximadamente 0,57. Portanto, não se pode 
rejeitar a hipótese de que os termos de erro seguem uma distribuição normal. 
 
(g) De acordo com o comentário de Theil visto no capítulo, se o termo do intercepto 
estiver ausente do modelo, então passar a regressão pela origem pode resultar em 
estimativa muito melhor do coeficiente angular, como ocorre nesse caso. 
 
 
6.3 (a) É um modelo de regressão linear, pois é linear nos parâmetros. 
 
(b) Defina Y* = (1/Y) e X* = (1/X) e faça uma regressão MQO de Y* contra X*. 
 
(c) Quando X tende ao infinito, Y tende a (1/ β1). 
 
(d) Pode ser que este modelo seja adequado para explicar o baixo consumo de um 
produto, como um bem inferior, quando a renda aumenta. 
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6.4 
 
 
 
SLOPE = 1 - INCLINAÇÃO = 1; SLOPE > 1 INCLINAÇÃO > 1; SLOPE < 1 INCLINAÇÃO 
< 1 
 
 
6.5 Para o modelo I, sabemos que 2 2
ˆ i i
i
x y
x
β = ∑∑ , em que X e Y estão em formato de 
desvio. 
De forma semelhante, obtemos para o modelo II: 
 
* *
2 2*2 2 2 2 2
( / )( / ) ( ) / ˆˆ
( / ) /
i x i y i i x yi i x i i x
i i x i x y i
x S y S x y S Sx y S x y S
x x S x S S x yS
α β= = = = =∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ , o que demonstra 
que os coeficientes angulares não são independentes da mudança de escala. 
 
 
6.6 (a) Pode–se escrever o primeiro modelo como: *1 1 2 2ln( ) ln( )i iwY w X uα α i= + + , ou 
seja, 
 
*
1 1 2 2 2ln ln ln lniw Y w Xα α α+ = + + +i iu
*
i iu
)w
, aplicando propriedades dos logaritmos. Como 
os w são fatores de escala constantes, podemos simplificar esse modelo assim: 
 
*
1 2 2 1 2 2ln ( ln ln ) lni i iY w w X u A Xα α α α= + − + + = + + , em que 
1 2 2 1( ln lnA wα α= + − . 
 
 
 
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Comparando este com o segundo modelo, constataremos que são iguais, a não ser 
pelo intercepto. Dessa forma, os coeficientes angulares estimados também serão 
iguais, apenas com interceptos estimados diferentes. 
 
(b) O r2 é o mesmo para ambos os modelos. 
 
 
6.7 A Equação (6.6.8) é um modelo de taxa de crescimento, ao passo que a (6.6.10) é 
um modelo de tendência linear. A primeira fornece a mudança relativa no regressando, 
e a segunda, a mudança absoluta. Para fins de comparação, a mudança relativa deve 
ser mais significativa. 
 
 
6.8 A hipótese nula é de que o coeficiente angular verdadeiro é 0,005. A hipótese 
alternativa pode ser uni ou bilateral. Supondo que usemos esta última, o coeficiente 
angular estimado é 0,00743. Aplicando o teste t, obtemos: 
0,00743 0,005 14,294
0,00017
t −= = , um valor muito significativo. Podemos, portanto, rejeitar 
a hipótese nula. 
 
 
6.9 Pode-se obter assim: 18,5508/3,2514 = 5,7055%, aproximadamente. 
 
 
6.10 Conforme tratado na Seção 6.7 do texto, o modelo de Engel representado na 
Figura 6.6(c) deve ser adequado à maioria dos bens. Assim, a escolha deve recair 
sobre o segundo modelo dado no exercício. 
 
 
6.11 O modelo, como está, não é linear nos parâmetros. Mas podemos aplicar um 
“macete” para transformá–lo em linear: tire o logaritmo natural da razão entre Y e (Y–
1). Ou seja, faça a seguinte regressão: 
 
1 2ln 1
i
i
i
Y X
Y
β β= +− . 
 
Esse modelo é conhecido como logit, e será discutido no capítulo sobre variáveis 
dependentes qualitativas. 
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6.12 (a) 
 
 
(b) 
 
 
 
 
Problemas 
 
 
6.13 
100 12,0675 16,2662
100 i iY X
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
 
 ep = (0,1596) (1,3232) r2 = 0,9497 
 
 
 
 
 
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À medida que X cresce indefinidamente, 
100
100 Y
⎛ ⎞⎜ −⎝ ⎠⎟ se aproxima do valor limite de 
2,0675, o que significa que Y tende ao valor limite aproximado de 51,6. 
 
 
6.14 Os resultados da regressão são: 
 
log V
L
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ –0,4526 + 1,3338logW 
 ep = (1,3515) (0,4470) r2 = 0,4070. 
 
Para melhor testar a hipótese nula, aplique o teste t como segue: 
1,3338 1 0,7468
0, 4470
t −= = . 
 
Para gl 13, o valor t crítico a 5% (bicaudal) é 2,16. Não se pode, portanto, rejeitar a 
hipótese nula de que a elasticidade de substituição verdadeira entre capital e trabalho 
seja 1. 
 
 
6.15 (a) Se estivermos convictos, a priori, de que havia uma relação um para um 
rigorosa entre os dois deflatores, o modelo adequado seria aquele sem o intercepto. 
 
(b) Modelo I: = 516,0898 + 0,5340 Xi iˆY
 ep = (40,5631) (0,0217) r2 = 0,9789. 
 
Modelo II: = 0,7950 iˆY
 ep = (0,0255 r2 = 0,7161* 
 
* Nota: Este r2 não é diretamente comparável ao anterior. 
 
Como o intercepto é estatisticamente significativo no primeiro modelo, ajustar o 
segundo resultará em viés de especificação. 
 
(c) Pode–se usar o modelo duplo-log. 
 
 
6.16 Seguem os resultados da regressão: 
 
*
iˆY = 0,9892 
*
iX 
ep = (0,0388) r2 = 0,9789 
 
A cada incremento de 1 no deflator do PIB para as importações, há, em média, um 
incremento de 0,9892 no deflator do PIB para bens produzidos internamente. Repare 
que esse resultado é comparável àquele do exercício anterior quando se nota a relação 
entre os coeficientes angulares das regressões padronizadas e não-padronizadas. 
Conforme a 
 
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Equação (6.3.8) do livro–texto, *2 2
x
y
S
S
β β ⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠
⎟⎟ , em que * indica o coeficiente angular da 
regressão padronizada. No problema anterior, encontramos 2βˆ = 0,5340. Sy e Sx são 
dados como 346 e 641 respectivamente. Assim, *2 2
6410,5340 0,9892
346
x
y
S
S
β β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. 
 
 
6.17 Para obter a taxa de crescimento das despesas com bens duráveis, podemos 
ajustar o modelo log-lin, cujos resultados são os seguintes: 
 
ln DESPDURt = 6,2217 + 0,0154 t 
 ep = (0,0076) (0,000554) r2 = 0,9737. 
 
Essa regressão mostra que, ao longo do período estudado, a taxa trimestral de 
crescimento das despesas com bens duráveis foi de aproximadamente 1,5%. Ambos os 
coeficientes estimados são individualmente significativos
em termos estatísticos, uma 
vez que os valores p são extremamente baixos. Não seria muito lógico fazer neste caso 
uma regressão duplo-log, tal como: 
ln DESPDURt = β1 + β2 ln tempo + ut.. 
 
Uma vez que o coeficiente angular deste modelo é o coeficiente de elasticidade, qual é 
o significado da afirmação de que um aumento de 1% no tempo leva a um aumento de 
β2% nas despesas com bens duráveis? 
 
 
6.18 Os resultados correspondentes para o setor de bens não-duráveis são: 
 
ln DESPNAODURt = 7,1929 + 0,0062 t 
 ep = (0,0021) (0,00015) r2 = 0,9877. 
 
Pode–se ver por esses resultados que, ao longo do período estudado, a taxa trimestral 
de crescimento das despesas com bens não-duráveis foi de aproximadamente 0,62%. 
 
Comparando os resultados das regressões dos Problemas 6.17 e 6.18, parece que as 
despesas com bens duráveis aumentaram a uma taxa bem maior do que aquelas com 
bens não-duráveis ao longo do período 1993:01 a 1998:03, fato que, tendo em vista 
um dos mais longos períodos de expansão econômica na história dos Estados Unidos, 
não é nenhuma surpresa. 
 
 
6.19 O diagrama de dispersão das impressões retidas em relação às despesas com 
publicidade é o seguinte: 
 
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VERTICAL = IMPRESSÕES 
HORIZONTAL = DESPPUB 
 
Embora a relação entre as duas variáveis pareça ser positiva, não está claro qual curva 
se ajustará aos dados. Fornecemos a seguir uma tabela com resultados de regressões 
baseadas em alguns modelos. 
 
 
 
Modelo Intercepto Coef. angular r2 
Linear 22,1627 0,3631 0,4239 
 (3,1261) (2,7394) 
Recíproco 58,3997 -314,6600 0,3967 
 (78,0006) (-3,5348) 
Duplo-log 1,2999 0,6135 0,5829 
 (3,686) (5,1530) 
Log 
recíproco 
3,9955 -10,7495 0,5486 
 (21,7816) (-4,8053) 
 
Nota: Os números entre parênteses são os valores t estimados. Em todas as 
regressões, o regressando é impressões e o regressor é despesas com publicidade. 
 
Deixamos ao leitor a comparação entre os vários modelos. Repare que os valores r2 
dos dois primeiros são comparáveis, pois o regressando é o mesmo para ambos. Da 
mesma forma, são comparáveis os r2 dos dois últimos modelos. Por quê?