Apostila-continuação

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CONCEITOS INICIAIS EM ESTATI´STICA
1 O que e´ Estat´ıstica?
A estat´ıstica e´ o ramo da matema´tica interessado nos me´todos cient´ıficos para coleta,organizac¸a˜o,
resumo, apresentac¸a˜o e ana´lise de dados, bem como na obtenc¸a˜o de concluso˜es va´lidas e na
tomada de deciso˜es razoa´veis baseadas em tais ana´lises.
Estat´ıstica e´ um conjunto de me´todos e te´cnicas que auxiliam a tomada de decisa˜o sobre a
presenc¸a de incerteza.
1.1 Subdiviso˜es da Estat´ıstica
A estat´ıstica pode ser dividida em treˆs grandes a´reas:
• Estat´ıstica Descritiva ou Ana´lise Explorato´ria dos Dados
• Probabilidade
• Estat´ıstica Indutiva ou Infereˆncia Estat´ıstica
Estat´ıstica Descritiva: E´, em geral, utilizada na etapa inicial da ana´lise, quando tomamos
contato com os dados pela primeira vez. Pode ser definida como um conjunto de te´cnicas des-
tinadas a descrever e resumir os dados, a fim de que possamos tirar informac¸o˜es e concluso˜es a
respeito de caracter´ısticas de interesse.
A Estat´ıstica Descritiva pode ser resumida da seguinte forma:
Tabelas
Coleta de ⇒ Cr´ıtica ⇒ Apresentac¸a˜o ⇒ Ana´lise
dados de dados dos Dados
Gra´ficos
Probabilidade: E´ a base matema´tica sob a qual a Estat´ıstica e´ constru´ıda. Fornece
me´todos para quantificar a incerteza existente em determinada situac¸a˜o, usando ora um nu´mero
ora uma func¸a˜o matema´tica.
A Infereˆncia Estat´ıstica: Consiste em obter e generalizar concluso˜es; ou seja, inferir
propriedades para o todo com base na parte, no particular. E´ tratada atrave´s de te´cnicas e
me´todos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades. A infereˆncia estat´ıstica envolve
questo˜es de dois tipos: a estimac¸a˜o de paraˆmetros populacionais e os testes de hipo´teses.
Em estat´ıstica utilizaremos extensivamente os termos populac¸a˜o e amostra. Assim, definire-
mos esses termos no contexto da estat´ıstica:
• Populac¸a˜o: conjunto da totalidade dos elementos (valores, pessoas, medidas) a serem
estudados. Congrega todas as observac¸o˜es que sejam relevantes para o estudo de uma ou
mais caracter´ısticas dos indiv´ıduos. Podem ser tanto seres animados ou inanimados.
• Amostra: um subconjunto de elementos extra´ıdos de uma populac¸a˜o.
• Censo: e´ uma colec¸a˜o de dados relativos a todos os elementos de uma populac¸a˜o.
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2 ESTATI´STICA DESCRITIVA
2.1 Fases do Trabalho Estat´ıstico
A estat´ıstica esta´ envolvida em todas as etapas de um projeto de pesquisa. A seguir as fases de
um trabalho cientif´ıco sa˜o citadas do ponto de vista do trabalho estat´ıstico. As fases do trabalho
estat´ıstico sa˜o do aˆmbito da Estat´ıstica Descritiva, e sa˜o as principais fases as seguintes:
1. Definic¸a˜o do Problema: Consiste na:
• formulac¸a˜o correta do problema;
• examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo (revisa˜o da literatura);
• saber exatamente o que se pretende pesquisar definindo o problema corretamente
(varia´veis, populac¸a˜o, hipo´teses, etc.)
2. Planejamento: - Determinar o procedimento necessa´rio para resolver o problema:
• Como levantar informac¸o˜es;
• Tipos de levantamentos: por censo (completo) ou por amostragem (parcial).
• Cronograma, custos, etc.
3. Coleta de dados (quesitos espec´ıficos para obter informac¸o˜es desejadas): refere-
se a` obtenc¸a˜o, reunia˜o e registro sistema´tico de dados, com um objetivo determinado.
4. Cr´ıtica dos questiona´rios: leitura dos questiona´rios, observac¸a˜o de respostas incom-
pletas, erradas. Supressa˜o de valores estranhos ao levantamento.
5. Apurac¸a˜o dos dados: consiste em resumir os dados, atrave´s de sua contagem e agrupa-
mento. E´ um trabalho de condensac¸a˜o e de tabulac¸a˜o dos dados, que chegam ao analista
de forma desorganizada, tornando imposs´ıvel a tarefa de apreender todo o seu significado
pela simples leitura. Nos dias atuais esta apurac¸a˜o tornou-se sinoˆnimo de organizac¸a˜o de
base de dados, que e´ realizada em computadores.
6. Apresentac¸a˜o dos Dados: ha´ duas formas de apresentac¸a˜o:
a) Apresentac¸a˜o Tabular: apresentac¸a˜o nume´rica dos dados. As tabelas teˆm a vantagem
de conseguir expor, sinteticamente, e em um so´ local, os resultados sobre determinado
assunto, de modo a se obter uma visa˜o global mais ra´pida daquilo que se pretende
analisar.
b) Apresentac¸a˜o Gra´fica: constitui uma apresentac¸a˜o geome´trica. E´ de extrema im-
portaˆncia, no sentido de permitir uma visa˜o ra´pida, fa´cil e clara do fenoˆmeno e sua
variac¸a˜o.
7. Ana´lise e Interpretac¸a˜o dos Dados: O interesse maior consiste em tirar concluso˜es
que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A analise dos dados estat´ısticos
esta´ ligada essencialmente ao ca´lculo de medidas, cuja finalidade principal e´ descrever o
fenoˆmeno. Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser expresso por nu´meros-
resumos, as estat´ısticas, que evidenciam caracter´ısticas particulares desse conjunto. O
significado exato de cada um desses valores sera´ explicado posteriormente.
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2.2 Classificac¸a˜o de Varia´veis
Definiremos varia´vel como qualquer atributo/caracter´ıstica que exerc¸a influeˆncia no fenoˆmeno
estudado. Por exemplo, desejamos registrar a idade das pessoas ao morrer, a estatura ou peso
dos indiv´ıduos, o rendimento das famı´lias em uma grande cidade, o nu´mero de empregados
dispensados, por meˆs, em uma grande empresa,a distribuic¸a˜o dos alunos por sexo, etc.
Antes da escolha da ana´lise descritiva apropriada e´ necessa´ria a classificac¸a˜o da varia´vel
de interesse, pois a adequac¸a˜o da te´cnica esta´ diretamente relacionada ao tipo de varia´vel em
questa˜o.
De acordo com a estrutura nume´rica as varia´veis podem ser classificadas em:
• Qualitativas (ou atributos ou catego´ricos): Sa˜o caracter´ısticas que na˜o podem ser medidas,
ou seja, sa˜o na˜o-nume´ricas.Elas podem ser:
– Nominal : varia´veis em que na˜o e´ poss´ıvel estabelecer uma ordem natural entre seus
valores. Ex.: cor da flor, que pode ser rosa, branca ou vermelha; Sexo (feminino ou
masculino).
– Ordinal ou por postos: varia´veis que teˆm uma ordenac¸a˜o natural, indicando inten-
sidades crescentes de realizac¸a˜o. Ex.: Tamanho (pequeno, me´dio ou grande), Classe
Social (baixa, me´dia ou alta).
• Quantitativas: Sa˜o caracter´ısticas que podem ser contadas ou medidas, sendo classificadas
em discretas e cont´ınuas.
– Discretas: sa˜o aquelas varia´veis que podem assumir somente valores inteiros num
conjunto de valores. E´ gerada pelo processo de contagem. Ex.: nu´mero de folhas
por planta; nu´mero de carrapatos por animal; etc.
– Cont´ınuas: sa˜o aquelas varia´veis que podem assumir um valor dentro de um intervalo
de valores. E´ gerada pelo processo de medic¸a˜o ou mensurac¸a˜o. Ex.: volume de a´gua
em um reservato´rio; peso de raiz; diaˆmetro do caule, etc.
2.3 PARAˆMETRO X ESTIMADOR X ESTIMATIVA
a) Paraˆmetro: e´ uma medida nume´rica que descreve alguma caracter´ıstica da populac¸a˜o. E´
o resumo da varia´vel observada na populac¸a˜o. Por exemplo, me´dia, variaˆncia e desvio
padra˜o.
Cada paraˆmetro e´ representado por um s´ımbolo ou letra. No exemplo tem-se que para a
me´dia, a variaˆncia e o desvio padra˜o as letras gregas µ, σ2 e σ.
Na˜o e´ poss´ıvel fazer infereˆncias baseada em paraˆmetro, uma vez que toda a populac¸a˜o foi
investigada.
b) Estimador (tambe´m chamado de Estat´ıstica): e´ uma medida nume´rica que descreve al-
guma caracter´ıstica de umaamostra, ou seja, o estimador e´ obtido a partir do resumo da
varia´vel observada na amostra. Neste caso, e´ poss´ıvel utilizarmos as teorias infereˆncias
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para que, com base na amostra, possamos obter concluso˜es sobre a populac¸a˜o.
Cada estimador tambe´m e´ representado por um s´ımbolo ou letra. Para a me´dia, a
variaˆncia e o desvio padra˜o as letras gregas µ̂ ou X , σ̂2 ou S2 e σ̂ ou S.
2.4 Apresentac¸a˜o de Dados
2.4.1 Se´ries Estat´ısticas
As se´ries estat´ısticas
resumem um conjunto ordenado de observac¸o˜es atrave´s de treˆs fatores
fundamentais:
• tempo: refere-se a data ou a e´poca em que o fenoˆmeno foi investigado;
• espac¸o: refere-se ao local ou regia˜o onde o fato ocorreu;
• espe´cie: refere-se ao fato ou fenoˆmeno que esta´ sendo investigado e cujos valores nume´ricos
esta˜o sendo apresentados.
As se´ries estat´ısticas sa˜o classificadas de acordo com o fator que estiver variando, podendo
ser simples ou mistas.
1. Se´ries simples
• Se´rie Cronolo´gica (temporal, histo´rica ou evolutiva): onde varia o tempo per-
manecendo fixos o espac¸o e a espe´cie do fenoˆmeno estudado.
Tabela 01: Casos de sarampo notificado no Brasil de 1987 a 1992
• Se´rie Geogra´fica (Espacial, ou Territorial, ou de Localizac¸a˜o): onde varia o espac¸o
permanecendo fixos o tempo e a espe´cie do fenoˆmeno estudado.
Tabela 02: Necessidades me´dias de energia em alguns pa´ıses, em 1973.
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• Se´rie especificativa (qualitativa ou catego´rica: onde varia a espe´cie permanecendo
fixos o tempo e o espac¸o do fenoˆmeno estudado.
Tabela 03: Abate de animais, por espe´cie, no Brasil, em 1993.
2. Se´ries mistas: sa˜o aquelas em que mais de um fator varia ou um fator varia mais de uma
vez.
• Se´rie histo´rica geogra´fica (ou geogra´fica histo´rica)
Tabela 04: Taxa de atividade feminina urbana, em percentual,
em treˆs regio˜es do Brasil, 1981,90
• Se´rie especificativa geogra´fica (ou geogra´fica especificativa)
Tabela 05: Consumo per capita anual de alguns tipos de alimentos,
em algumas regio˜es metropolitanas do Brasil, no ano de 1988
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• Se´rie especificativa histo´rica (ou histo´rica especificativa)
Tabela 06: Taxa de mortalidade (em percentual) de menores de um ano no Brasil,
segundo as treˆs principais causas, no per´ıodo de 1984 a 1987
• Se´rie especificativa histo´rica geogra´fica
Tabela 07: Nu´mero de v´ıtimas em acidentes, segundo as grandes regio˜es do Brasil, nos anos
de 1991 e 1992
2.4.2 Tabelas
Tem como finalidade apresentar os dados de modo ordenado, simples e de fa´cil inter-
pretac¸a˜o, fornecendo o ma´ximo de informac¸a˜o num mı´nimo de espac¸o.
A construc¸a˜o de uma tabela, entretanto, deve obedecer a uma se´rie de normas te´cnicas.
Estas normas podem ser encontradas na publicac¸a˜o do IBGE intitulada “Normas de
Apresentac¸a˜o Tabular”.
2.4.3 Elementos da Tabela
• T´ıtulo: e´ a indicac¸a˜o que precede a tabela contendo a designac¸a˜o do fato observado,
o local e a e´poca em que foi estudado.
• Corpo: e´ o conjunto de lihas e colunas onde esta˜o inseridos os dados.
• Cabec¸alho: e´ a parte superior da tabela que indica o conteu´do das colunas.
• Coluna indicadora: e´ a parte da tabela que indica o conteu´do das linhas.
Os elementos complementares sa˜o:
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• Fonte: entidade que fornece os dados ou elabora a tabela.
• Notas: informac¸o˜es de natureza geral, destinadas a esclarecer o conteu´do das tabelas.
• chamadas: informac¸o˜es espec´ıficas destinadas a esclarecer ou conceituar dados numa
parte da tabela.
Os elementos complementares devem situar-se no rodape´ da tabela, na mesma ordem em
que foram descritos.
2.5 Distribuic¸a˜o de Frequeˆncia e Representac¸a˜o Gra´fica
Uma das formas de organizar e resumir a informac¸a˜o contida em dados observados e´ por
meio de tabela de frequ¨eˆncias e gra´ficos.
A definic¸a˜o de alguns conceitos sera´ importante para o uso da linguagem apropriada ao
elaborarmos e analisarmos as distribuic¸o˜es de frequeˆncias. No total, sa˜o 9 conceitos a
serem apresentados. A seguir definiremos 5 primeiros, va´lidos para quaiquer distribuic¸a˜o
de frequ¨eˆncias, e mais adiante apresentaremos os 4 u´ltimos, espec´ıficos para dados agru-
pados em classes.:
(a) Dados Brutos - E´ o conjunto dos dados nume´ricos obtidos apo´s a coleta dos dados.
Ex: Idade dos alunos do curso de medicina veterina´ria da UFBA, no ano de 1993.
24− 23− 22− 28− 35− 21− 23− 33− 34− 24− 21− 25− 36− 26− 22−
30− 32− 25− 26− 33− 34− 21− 31− 25− 31− 26− 25− 35− 33− 31
Como pode ser observado, os valores esta˜o dispostos de forma desordenada. Em
raza˜o disso, pouca informac¸a˜o se consegue obter inspecionando-se os dados anotados.
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Mesmo uma informac¸a˜o ta˜o simples como a de saber os valores mı´nimos e ma´ximo
requer um certo exame dos dados coletados.
(b) Rol - E´ o arranjo dos dados brutos em uma determinada ordem crescente ou decres-
cente. Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
21− 21− 21− 22− 22− 23− 23− 24− 25− 25− 25− 25− 26− 26− 26−
28− 30− 31− 31− 31− 32− 33− 33− 33− 34− 34− 34− 35− 35− 36
Apresenta vantagens concretas em relac¸a˜o aos dados brutos. Ela torna poss´ıvel
visualizar, de forma bem ampla, as variac¸o˜es dos dados, uma vez que os valores
extremos sa˜o percebidos de imediato. Mas, a ana´lise com este tipo de disposic¸a˜o
comec¸a a se complicar quando o nu´mero de observac¸o˜es tende a crescer.
(c) Amplitude total ou ”range” (A) - E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor ob-
servado da varia´vel em estudo. Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
A = 36− 21 = 15.
(d) Frequeˆncia absoluta simples (Fi) - E´ o nu´mero de vezes que o elemento aparece na
amostra ou o nu´mero de elementos pertencentes a uma classe.
Para condensarmos melhor os dados, e´ aconselha´vel a elaborac¸a˜o de distribuic¸o˜es de
frequeˆncia. Uma tabela com distribuic¸a˜o de frequeˆncia e´ uma tabela onde se procura
fazer um arranjo dos valores e suas respectivas frequeˆncias, onde a frequeˆncia de determi-
nado valor sera´ dado pelo nu´mero de observac¸o˜es ou repetic¸o˜es de um valor ou de uma
modalidade. As tabelas de frequeˆncias podem representar tanto valores individuais como
valores agrupados em classes.
Essas tabelas podem ser classificadas em:
• Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias de Dados Tabulados Na˜o-Agrupados em Classes - e´
uma tabela onde os valores da varia´vel aparecem individualmente. Esse tipo de dis-
tribuic¸a˜o e´ utilizado geralmente para representar uma varia´vel discreta, com pouca
variedade de valores.
Exemplo : Utilizando os mesmos dados anteriores, a tabela a seguir representa a
distribuic¸a˜o de frequeˆncias de dados na˜o agrupados.
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Table 1: dos alunos do curso de medicina veterina´ria da UFBA, no ano de 1993.
Idade (xi) Fi
21 3
22 2
23 2
24 1
25 4
26 3
28 1
30 1
31 3
32 1
33 3
34 3
35 2
36 1
Total 30
Este tipo de tabela na˜o e´ aconselha´vel quando estamos trabalhando com varia´veis
que apresentam uma grande quantidade de valores distintos, uma vez que a tabela
podera´ ficar muito extensa, dificultando, ale´m de sua elaborac¸a˜o, as ana´lises e con-
cluso˜es dos dados pesquisados. Note que a soma das frequeˆncias absolutas simples
e´ sempre igual ao nu´mero total de valores observados.
• Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias de Dados Agrupados em Classes.
Muitas vezes com o objetivo de resumir os dados originais em uma distribuic¸a˜o de
frequeˆncias, utilizaremos os dados agrupados em classes e na˜o mais individualmente.
Classe pode ser definida como sendo os subintervalos da Amplitude Total de uma
varia´vel (grupo de valores).
Quando a varia´vel objeto de estudo for cont´ınua geralmente sera´ conveniente agrupar
os valores observados em classes. Se, por outro lado, a varia´vel for discreta e o
nu´mero de valores representativos dessa varia´vel for muito grande, recomenda-se o
agrupamento dos dados em classes. Nesse u´ltimo caso, o procedimento visa a evitar
certos inconvenientes, como:
(a) grande extensa˜o da tabela, dificultando, tanto quanto os dados brutos, a leitura
e a interpretac¸a˜o dos resultados apurados.
(b) o aparecimento de diversos valores da varia´vel com frequeˆncia nula.
(c) impossibilidade ou dificuldade de visualizac¸a˜o do comportamento do fenoˆmeno
como um todo, bem como de sua variac¸a˜o.
Este tipo de tabela informa, de imediato, a tendeˆncia de a se´rie se concentrar em
torno de um valor central, ale´m de proporcionar uma visa˜o panoraˆmica do compor-
tamento da varia´vel, o que seria imposs´ıvel de se fazer a partir da lista dos dados
brutos.
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Exemplo: Utilizando os mesmos dados anteriores, temos:
Table 2: Idade dos alunos do curso de medicina veterina´ria da UFBA, no ano de 1993.
Idade Nu´mero de alunos (Fi)
21| − 24 7
24| − 27 8
27| − 30 1
30| − 33 5
33| − 36 9
Total 30
O s´ımbolo |– indica a inclusa˜o do limite inferior do intervalo naquela classe.
Outras possibidades sa˜o: –|, |–|, –
Para construc¸a˜o de tabelas de frequeˆncia para dados agrupados em classe os 4 conceitos
listados a seguir, complementam os 5 primeiros ja´ apresentados:
(a) Definic¸a˜o do nu´mero de classes - E´ representado por k. E´ importante que a
distribuic¸a˜o conte com um nu´mero adequado de classes. Se esse nu´mero for escasso,
os dados originais ficara˜o ta˜o comprimidos que pouca informac¸a˜o podera´ ser extra´ıda
desta tabela. Se, por outro lado, forem utilizadas muitas classes, havera´ algumas
com frequeˆncia nula ou muito pequena, apresentando uma distribuic¸a˜o irregular e
prejudicial a` interpretac¸a˜o do fenoˆmeno. Para determinar o nu´mero de classes ha´
diversos me´todos. No´s aprenderemos duas soluc¸o˜es:
a) k = 5, para n = 25 e k =
√
n , para n > 25.
b) Formula de Sturges: K = 1 + 3, 3log10n, onde n e o tamanho da amostra
Exemplo: Se n = 49 teriamos:
– pelo primeiro metodo: k = 7
– pelo segundo metodo: k = 1 + 3, 3log1049⇒ k = 6, 58⇒ k = 7
(b) Limites de Classe - Os limites de classe sa˜o seus valores extremos. No exemplo
anterior de distribuic¸a˜o de frequeˆncia, o valor 21 e´ denominado limite inferior da
primeira classe, enquanto o valor 24 e´ denominado limite superior da primeira classe.
(c) Amplitude do Intervalo de Classe (h) - A amplitude de um intervalo de classe
corresponde ao comprimento desta classe. Numericamente, sua amplitude pode ser
definida como a diferenc¸a existente entre os limites superior (ou inferior) de duas
classes consecutivas.
Exemplo: Utilizando os mesmos dados anteriores: h = 24− 21 = 3
(d) Pontos Me´dios ou Centrais da Classe (xj) - E´ a me´dia aritme´tica simples entre
o limite superior e o inferior de uma mesma classe.
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
x1 =
24 + 21
2
= 22, 5
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Para obter os pontos me´dios das demais classes, basta acrescentar ao ponto me´dio
da classe precedente a amplitude do intervalo de classe.
2.5.1 Tipos de Frequeˆncias
1) Frequeˆncia Simples:
a) Frequeˆncia Simples Absoluta (Fi) - e´ o nu´mero de repetic¸o˜es de um valor
individual ou de uma classe de valores da varia´vel. Trata-se do caso visto ate´
o presente momento.
b) Frequeˆncia Simples Relativa (fi) - representa a proporc¸a˜o de observac¸o˜es de um
valor individual ou de uma classe, em relac¸a˜o ao nu´mero total de observac¸o˜es.
Trata-se, portanto, de um nu´mero relativo.
fi =
Fi
n
Desejando expressar o resultado em termos percentuais, multiplica-se o quo-
ciente obtido por 100:
fi =
Fi
n
× 100
2) Frequeˆncia Acumulada
a) Frequeˆncias Acumulada Absoluta: e´ a soma da frequeˆncia simples absoluta
de uma classe ou de um dado valor com as frequeˆncias simples absolutas das
classes ou dos valores anteriores. E´ utilizada toda vez que se procura saber
quantas observac¸o˜es existem ate´ uma determinada classe ou valor individual.
b) Frequeˆncia acumulada Relativa - e´ a soma da frequeˆncia simples relativa dessa
classe ou desse valor com as frequeˆncias simples relativas das classes ou dos
valores anteriores.
Exemplo com as frequeˆncias apresentadas.
Table 3: Idade dos alunos do curso de medicina veterina´ria da UFBA, no ano de 1993.
Idade Nu´mero de alunos (Fi) fr% Fac
21| − 24 7 23% 7
24| − 27 8 27% 15
27| − 30 1 3% 16
30| − 33 5 17% 21
33| − 36 9 30% 30
Total 30 100
2.6 Apresentac¸a˜o Gra´fica
Os gra´ficos podem ser cartogramas ou diagramas. Identifiquemos cada um deles:
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(a) Cartogramas - sa˜o mapas geogra´ficos ou topogra´ficos em que as frequeˆncias das
categorias de uma varia´vel sa˜o projetadas nas a´reas espec´ıficas do mapa, utilizando-
se cores ou trac¸ados cujos significados constam em legendas anexadas a`s figuras.
(b) Diagramas - sa˜o gra´ficos em que a magnitude das frequeˆncias e´ representada por
certa mensurac¸a˜o de uma determinada figura geome´trica. Sa˜o os gra´ficos mais
usados na representac¸a˜o de se´ries estat´ısticas e se apresentam atrave´s de uma grande
variedade de tipos.
Tipos de Diagramas:
a) Gra´ficos em Linhas ou Gra´ficos Lineares - Sa˜o frequentemente usados para a repre-
sentac¸a˜o de se´ries temporais.
b) Gra´ficos em Barras - Teˆm por finalidade comparar grandezas, por meio de retaˆngulos
de igual largura e alturas proporcionais a`s respectivas grandezas. Cada barra rep-
resenta a intensidade de uma modalidade ou atributo.
c) Gra´ficos em Colunas - Prestam-se a` mesma finalidade dos gra´ficos em barras hor-
izontais, sendo, entretanto, prefer´ıveis a esses u´ltimos quando as legendas a se in-
screverem sob os retaˆngulos forem breves.
d) Gra´ficos de Colunas Remontadas ou de Barras Agrupadas - Sa˜o utilizados para
estabelecer comparac¸o˜es entre duas ou mais categorias.
e) Gra´ficos em Setores - Sa˜o utilizados para representar valores absolutos ou porcent-
agens complementares. Utilizados quando se pretende comparar cada valor da se´rie
com o total.
A seguir podemos encontrar alguns tipos de diagramas.
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2.6.1 GRA´FICOS REPRESENTATIVOS DAS DISTRIBUIC¸O˜ES DE FREQUEˆNCIA
A representac¸a˜o gra´fica das distribuic¸o˜es de frequeˆncia e´ feita atrave´s do histograma e do
pol´ıgono de frequeˆncia.
(a) Histograma - E´ um gra´fico formado por um conjunto de retaˆngulos justapostos,
de forma que a a´rea de cada retaˆngulo seja proporcional a` frequeˆncia da classe que
ele representa.
(b) Pol´ıgonos de Frequeˆncia - Unindo por linhas retas os pontos me´dios das bases
superiores dos retaˆngulos do histograma, obte´m-se outra representac¸a˜o dos dados,
denominada pol´ıgono de frequeˆncia.
3 MEDIDAS DE TENDEˆNCIA CENTRAL
Vimos ate´ agora a sintetizac¸a˜o dos dados sob a forma de tabelas, gra´ficos e distribuic¸o˜es
de frequeˆncias. Agora, vamos aprender o ca´lculo de medidas que possibilitem representar
um conjunto de dados relativos a` observac¸a˜o de determinado fenoˆmeno de forma resumida.
As medidas de tendeˆncia central sa˜o tambe´m chamadas de medidas de posic¸a˜o, e estab-
elecem o valor em torno do qual os dados se distribuem. Vale a pena chamar a atenc¸a˜o
que, para o ca´lculo dessas medidas, e´ necessa´rio que a varia´vel seja quantitativa.
As principais medidas de tendeˆncia central sa˜o:
3.1 Me´dias
Sa˜o as medidas de tendeˆncia central mais comumente utilizadas para descrever resumida-
mente uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia.
3.1.1 Me´dia Aritme´tica
1) Media Aritmetica Simples: E dada pelo quociente entre a soma dos valores observa-
dos e a frequencia total ( o numero total de observac¸o˜es). Genericamente, podemos
escrever:
µ =
∑N
i=1 xi
N
e X =
∑n
i=1 xi
n
onde xi = valor generico da observac¸a˜o.
n = tamanho da amostra e N = tamanho da populac¸a˜o.
Este tipo de media aritme´tica sera´ calculada quando os valores na˜o estiverem tab-
ulados, ou seja, quando aparecerem representados individualmente como e´ o caso
dos dados brutos, por exemplo.
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Exemplo: Temos uma amostra de 10 crianc¸as de 5 anos de idade, com dados
referentes a seus pesos (em kg):
23, 0− 20, 0− 22, 0− 19, 0− 25, 0− 28, 2− 24, 0− 21, 0− 27, 0− 21, 0
n = 10
X =
23, 0 + 20, 0 + 22, 0 + 19, 0 + 25, 0 + 28, 2 + 24, 0 + 21, 0 + 27, 0 + 21, 0
10
= 23, 0 (1)
Isso significa que o peso medio e´ de 23, 0kg. E´ claro que foram obtidos pesos de
crianc¸as desta idade que se encontram abaixo ou acima do valor me´dio. No entanto,
a media
representa um valor tipico
2) Me´dia Aritme´tica Ponderada: E´ a me´dia aritme´tica calculada quando os dados
estiverem agrupados em distribuic¸o˜es de frequeˆncia. Os valores x1, x2, . . . , xn sera˜o
ponderados pelas respectivas frequeˆncias absolutas F1, F2, . . . , Fn. Enta˜o teremos:
µ =
∑N
i=1 xiFi
N
e X =
∑n
i=1 xiFi
n
Exemplos:
a) Para tabelas de distribuic¸a˜o de dados na˜o agrupados
Table 4: Nu´mero de ca´ries em crianc¸as de 7 anos de idade. Candeias.1990.
Nu´mero de dentes careados (xi) Nu´mero de Crianc¸as (Fi) xiFi
0 3 0
1 2 2
2 4 8
3 2 6
4 1 4
5 1 5
Total 13 25
O nu´mero me´dio de ca´ries por crianc¸a e´ 2,0 entre a populac¸a˜o avaliada em
Candeias, ou seja, em me´dia cada crianc¸a de 7 anos apresenta 2 ca´ries.
b) Para tabelas de distribuic¸a˜o de dados agrupados em classes
A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos
matriculados em uma determinada disciplina:
Determinar o desempenho me´dio deste grupo de alunos.
Caracter´ısticas da Me´dia Aritme´tica Simples
(a) A Me´dia Aritme´tica Simples devera´ estar entre o menor e o maior valor observado;
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ESCORES ALUNOS xi xi ∗ Fi
35|−45 5 40 200
45|−55 12 50 600
55|−65 18 60 1080
65|−75 14 70 980
75|−85 6 80 480
85|−95 3 90 270
TOTAL 58 3610
(b) A soma alge´brica dos desvios calculados entre os valores observados e a me´dia ar-
itme´tica e´ igual a zero;
(c) Somando-se ou subtraindo-se todos os valores (xi) da se´rie por uma constante k
(k 6= 0), a nova me´dia aritme´tica sera´ igual a me´dia original somada ou subtra´ıda
por esta constante k.
(d) Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores (xi) da se´rie por uma constante k
(k 6= 0), a nova me´dia aritme´tica sera´ igual a me´dia original multiplicada ou dividida
por esta constante k.
3.2 Mediana - Md
E´ definido como o valor que divide uma se´rie ordenada de tal forma que pelo menos a
metade dos itens sejam iguais ou maiores do que ela, e que a outra metada dos itens sejam
menores do que ela. Colocados em ordem crescente, a mediana e´ o elemento que ocupa a
posic¸a˜o central. Como a mediana divide os dados ordenados ao meio, ela na˜o e´ sens´ıvel a
valores discrepantes. A depender de como estejam os dados, deve-se diferenciar a forma
como encontra-se a mediana.
1) Determinac¸a˜o da Mediana de Valores na˜o-tabulados. Processa-se a partir de um rol
ou lista ordenada dos dados. Podem ocorrer duas hipo´teses com relac¸a˜o ao nu´mero
de observac¸o˜es n: que ele seja ı´mpar ou par. Veremos os dois casos:
a) Nu´mero ı´mpar de observac¸o˜es: Requer, em primeiro lugar, que se determine a
ordem em que se encontra a mediana na se´rie. Para isto encontramos:
POS(Md) =
n+ 1
2
O passo seguinte sera´ localizar a mediana na lista de valores, de acordo com o
resultado obtido no ca´lculo do elemento mediano POS(Md).
b) Nu´mero par de observac¸o˜es: Neste caso, o elemento mediano sera´ determinado
atrave´s da expressa˜o:
POS(Md) =
n
2
A mediana sera´ determinada pela me´dia aritme´tica entre os valores que ocupam
a posic¸a˜o de finida pelo elemento mediano e a posic¸a˜o sucessora.
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2) Determinac¸a˜o da Mediana de Valores Tabulados na˜o-Agrupados em Classes. Da
mesma forma como foi calculado anteriormente, definiremos o elemento mediano.
Em seguida, acrescentaremos a` tabela de frequeˆncia uma coluna de frequeˆncias
acumuladas ”abaixo de” absoluta. Com o uso destas frequeˆncias encontraremos a
posic¸a˜o definida pelo elemento mediano, na qual estara´ a mediana.
Exemplo: Em um determinado dia foi registrado o nu´mero de ve´ıculos negociados
por uma amostra de 10 vendedores de uma ageˆncia de automo´veis obtendo a seguinte
tabela:
ve´ıculos negociados nu´mero de vendedores
1 1
2 3
3 5
4 1
Total 10
Determinar o valor da mediana.
3) Determinac¸a˜o da Mediana de Valores Tabulados Agrupados em Classes.
Procedimento
• Calcula-se a posic¸a˜o da mediana: POS(Md)=n2 ;
• Pela Fac identifica-se a classe que conte´m o valor da mediana;
• Utiliza-se a fo´rmula:
Md = li +
n
2 −
∑
f
FMd
h
Onde:
• li = limite inferior da classe mediana;
• ∑ f = soma das frequeˆncias anteriores a classe da mediana;
• h = amplitude da classe da mediana;
• FMd = frequeˆncia absoluta da classe da mediana.
Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos
matriculados em uma determinada disciplina:
ESCORES ALUNOS xi xi ∗ Fi
35|−45 5 40 200
45|−55 12 50 600
55|−65 18 60 1080
65|−75 14 70 980
75|−85 6 80 480
85|−95 3 90 270
TOTAL 58 3610
Determinar o desempenho me´dio deste grupo de alunos.
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3.3 Moda
A moda e´ outra medida de tendeˆncia central, sendo, no entanto a menos importante. Sua
vantagem e´ que pode ser usada para varia´veis qualitativas. Genericamente, pode-se de
finir a moda como o valor mais frequente da distribuic¸a˜o.
1) Determinac¸a˜o da Moda de Valores Na˜o-Tabulados. Considerando um conjunto or-
denado de valores, a moda sera´ o valor predominante, o valor mais fre-quente desse
conjunto. Embora seu signi ficado seja o mais simples poss´ıvel, nem sempre a moda
existe (distribuic¸a˜o amodal) e nem sempre e´ u´nica. Se apresentar apenas uma
moda diremos que e´ unimodal; se possuir duas modas diremos que e´ bimodal; se
tiver va´rias modas (mais que duas) diremos que e´ multimodal.
2) Determinac¸a˜o da Moda para Valores Tabulados. No caso de dados tabelados na˜o
agrupados em classe, a determinac¸a˜o da moda e´ imediata, bastando para isso, con-
sultar a tabela, localizando o valor que apresenta a maior frequeˆncia. Exemplo:
Em um determinado dia foi registrado o nu´mero de ve´ıculos negociados por uma
amostra de 10 vendedores de uma ageˆncia de automo´veis obtendo a seguinte tabela:
ve´ıculos negociados nu´mero de vendedores
1 1
2 3
3 5
4 1
Total 10
Assim, se a maior frequeˆncia e´ Fi = 5, logo Mo = 3, ou seja, a quantidade de
ve´ıculos comercializados no dia com maior frequeˆncia foi de treˆs ve´ıculos.
(a) Determinac¸a˜o do valor da Moda para Valores Tabulados Agrupados em Classes.
Para dados agrupados em classes, temos diversas fo´rmulas para o calculo da moda.
A utilizada sera´:
Fo´rmula de Czuber
Procedimento
• Pela Fac identifica-se a classe modal (aquela que possui maior frequeˆncia);
• Utiliza-se a fo´rmula:
Mo = li +
∆1
∆1 + ∆2
h
Onde:
• li = limite inferior da classe mediana;
• ∆1 = Fi − Fi,ant ;
• ∆2 = Fi − Fi,post
• h = amplitude da classe modal;
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Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos
matriculados em uma determinada disciplina:
ESCORES ALUNOS
35|−45 5
45|−55 12
55|−65 18
65|−75 14
75|−85 6
85|−95 3
TOTAL 58
Determinar o valor da moda.
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