Aulas de Calculo I

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Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Regra Da Cadeia
Jairo Menezes e Souza
UFG/CAC
06/06/2013
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Regra Da Cadeia
Suponhamos que queremos derivar a func¸a˜o F (x) = sin x2.
E´ u´til pensar em F como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es,
f (x) = sin x e g(x) = x2. Assim F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Deste modo queremos saber qual a derivada de uma composic¸a˜o
de func¸o˜es.
Pensando na derivada como taxas de variac¸a˜o, cosidere du/dx a
variac¸a˜o de u em relac¸a˜o a x , e considere dy/du a variac¸a˜o de y
com relac¸a˜o a u.
Parece plaus´ıvel que se u varia duas vezes mais ra´pido que x e y
varia treˆs vezes mais ra´pido que u enta˜o y ira´ variar seis vezes mais
ra´pido do que x .
Assim conjecturamos a regra.
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Regra Da Cadeia
Suponhamos que queremos derivar a func¸a˜o F (x) = sin x2.
E´ u´til pensar em F como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es,
f (x) = sin x e g(x) = x2. Assim F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Deste modo queremos saber qual a derivada de uma composic¸a˜o
de func¸o˜es.
Pensando na derivada como taxas de variac¸a˜o, cosidere du/dx a
variac¸a˜o de u em relac¸a˜o a x , e considere dy/du a variac¸a˜o de y
com relac¸a˜o a u.
Parece plaus´ıvel que se u varia duas vezes mais ra´pido que x e y
varia treˆs vezes mais ra´pido que u enta˜o y ira´ variar seis vezes mais
ra´pido do que x .
Assim conjecturamos a regra.
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
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Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Regra Da Cadeia
Suponhamos que queremos derivar a func¸a˜o F (x) = sin x2.
E´ u´til pensar em F como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es,
f (x) = sin x e g(x) = x2. Assim F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Deste modo queremos saber qual a derivada de uma composic¸a˜o
de func¸o˜es.
Pensando na derivada como taxas de variac¸a˜o, cosidere du/dx a
variac¸a˜o de u em relac¸a˜o a x , e considere dy/du a variac¸a˜o de y
com relac¸a˜o a u.
Parece plaus´ıvel que se u varia duas vezes mais ra´pido que x e y
varia treˆs vezes mais ra´pido que u enta˜o y ira´ variar seis vezes mais
ra´pido do que x .
Assim conjecturamos a regra.
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Regra Da Cadeia
Suponhamos que queremos derivar a func¸a˜o F (x) = sin x2.
E´ u´til pensar em F como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es,
f (x) = sin x e g(x) = x2. Assim F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Deste modo queremos saber qual a derivada de uma composic¸a˜o
de func¸o˜es.
Pensando na derivada como taxas de variac¸a˜o, cosidere du/dx a
variac¸a˜o de u em relac¸a˜o a x , e considere dy/du a variac¸a˜o de y
com relac¸a˜o a u.
Parece plaus´ıvel que se u varia duas vezes mais ra´pido que x e y
varia treˆs vezes mais ra´pido que u enta˜o y ira´ variar seis vezes mais
ra´pido do que x .
Assim conjecturamos a regra.
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Regra Da Cadeia
Suponhamos que queremos derivar a func¸a˜o F (x) = sin x2.
E´ u´til pensar em F como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es,
f (x) = sin x e g(x) = x2. Assim F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Deste modo queremos saber qual a derivada de uma composic¸a˜o
de func¸o˜es.
Pensando na derivada como taxas de variac¸a˜o, cosidere du/dx a
variac¸a˜o de u em relac¸a˜o a x , e considere dy/du a variac¸a˜o de y
com relac¸a˜o a u.
Parece plaus´ıvel que se u varia duas vezes mais ra´pido que x e y
varia treˆs vezes mais ra´pido que u enta˜o y ira´ variar seis vezes mais
ra´pido do que x .
Assim conjecturamos a regra.
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Regra Da Cadeia
Suponhamos que queremos derivar a func¸a˜o F (x) = sin x2.
E´ u´til pensar em F como a composic¸a˜o de duas func¸o˜es,
f (x) = sin x e g(x) = x2. Assim F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Deste modo queremos saber qual a derivada de uma composic¸a˜o
de func¸o˜es.
Pensando na derivada como taxas de variac¸a˜o, cosidere du/dx a
variac¸a˜o de u em relac¸a˜o a x , e considere dy/du a variac¸a˜o de y
com relac¸a˜o a u.
Parece plaus´ıvel que se u varia duas vezes mais ra´pido que x e y
varia treˆs vezes mais ra´pido que u enta˜o y ira´ variar seis vezes mais
ra´pido do que x .
Assim conjecturamos a regra.
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
A Regra Da Cadeia
Se g for deriva´vel em x e f for deriva´vel em g(x) enta˜o (f ◦ g)(x)
e´ deriva´vel em x e
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x)
Na notac¸a˜o de Leibniz temos se y = f (u) e u = g(x) enta˜o
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Preparac¸a˜o Para A Demonstrac¸a˜o Da Regra Da Cadeia
Se y = h(x) enta˜o definimos o incremento de y quando x varia de
a a a + ∆x por
∆y = f (a + ∆x)− f (a)
Na definic¸a˜o de derivada temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Definimos �(∆x) = ∆y∆x − h′(a). Assim
lim
∆x→0
� = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− h′(a)
)
= h′(a)− h′(a) = 0
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Preparac¸a˜o Para A Demonstrac¸a˜o Da Regra Da Cadeia
Se y = h(x) enta˜o definimos o incremento de y quando x varia de
a a a + ∆x por
∆y = f (a + ∆x)− f (a)
Na definic¸a˜o de derivada temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Definimos �(∆x) = ∆y∆x − h′(a). Assim
lim
∆x→0
� = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− h′(a)
)
= h′(a)− h′(a) = 0
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Preparac¸a˜o Para A Demonstrac¸a˜o Da Regra Da Cadeia
Se y = h(x) enta˜o definimos o incremento de y quando x varia de
a a a + ∆x por
∆y = f (a + ∆x)− f (a)
Na definic¸a˜o de derivada temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Definimos �(∆x) = ∆y∆x − h′(a). Assim
lim
∆x→0
� = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− h′(a)
)
= h′(a)− h′(a) = 0
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Preparac¸a˜o Para A Demonstrac¸a˜o Da Regra Da Cadeia
Se y = h(x) enta˜o definimos o incremento de y quando x varia de
a a a + ∆x por
∆y = f (a + ∆x)− f (a)
Na definic¸a˜o de derivada temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Definimos �(∆x) = ∆y∆x − h′(a). Assim
lim
∆x→0
� = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− h′(a)
)
= h′(a)− h′(a) = 0
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Preparac¸a˜o Para A Demonstrac¸a˜oDa Regra Da Cadeia
Se y = h(x) enta˜o definimos o incremento de y quando x varia de
a a a + ∆x por
∆y = f (a + ∆x)− f (a)
Na definic¸a˜o de derivada temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Definimos �(∆x) = ∆y∆x − h′(a). Assim
lim
∆x→0
� = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− h′(a)
)
= h′(a)− h′(a) = 0
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Preparac¸a˜o Para A Demonstrac¸a˜o Da Regra Da Cadeia
Se y = h(x) enta˜o definimos o incremento de y quando x varia de
a a a + ∆x por
∆y = f (a + ∆x)− f (a)
Na definic¸a˜o de derivada temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Definimos �(∆x) = ∆y∆x − h′(a). Assim
lim
∆x→0
� = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− h′(a)
)
= h′(a)− h′(a) = 0
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Agora temos que � = ∆y∆x − h′(a)
⇒ ∆y = h′(a)∆x + �∆x
Definindo � = 0 quando ∆x = 0, enta˜o � se torna uma func¸a˜o
cont´ınua de ∆x .
Desse modo para uma func¸a˜o diferencia´vel h temos que
∆y = h′(a)∆x + �∆x onde �→ 0 quando ∆x → 0 (1)
Sendo � uma func¸a˜o cont´ınua de ∆x .
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Agora temos que � = ∆y∆x − h′(a)⇒ ∆y = h′(a)∆x + �∆x
Definindo � = 0 quando ∆x = 0, enta˜o � se torna uma func¸a˜o
cont´ınua de ∆x .
Desse modo para uma func¸a˜o diferencia´vel h temos que
∆y = h′(a)∆x + �∆x onde �→ 0 quando ∆x → 0 (1)
Sendo � uma func¸a˜o cont´ınua de ∆x .
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Agora temos que � = ∆y∆x − h′(a)⇒ ∆y = h′(a)∆x + �∆x
Definindo � = 0 quando ∆x = 0, enta˜o � se torna uma func¸a˜o
cont´ınua de ∆x .
Desse modo para uma func¸a˜o diferencia´vel h temos que
∆y = h′(a)∆x + �∆x onde �→ 0 quando ∆x → 0 (1)
Sendo � uma func¸a˜o cont´ınua de ∆x .
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Agora temos que � = ∆y∆x − h′(a)⇒ ∆y = h′(a)∆x + �∆x
Definindo � = 0 quando ∆x = 0, enta˜o � se torna uma func¸a˜o
cont´ınua de ∆x .
Desse modo para uma func¸a˜o diferencia´vel h temos que
∆y = h′(a)∆x + �∆x onde �→ 0 quando ∆x → 0 (1)
Sendo � uma func¸a˜o cont´ınua de ∆x .
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Agora temos que � = ∆y∆x − h′(a)⇒ ∆y = h′(a)∆x + �∆x
Definindo � = 0 quando ∆x = 0, enta˜o � se torna uma func¸a˜o
cont´ınua de ∆x .
Desse modo para uma func¸a˜o diferencia´vel h temos que
∆y = h′(a)∆x + �∆x onde �→ 0 quando ∆x → 0 (1)
Sendo � uma func¸a˜o cont´ınua de ∆x .
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Agora temos que � = ∆y∆x − h′(a)⇒ ∆y = h′(a)∆x + �∆x
Definindo � = 0 quando ∆x = 0, enta˜o � se torna uma func¸a˜o
cont´ınua de ∆x .
Desse modo para uma func¸a˜o diferencia´vel h temos que
∆y = h′(a)∆x + �∆x onde �→ 0 quando ∆x → 0 (1)
Sendo � uma func¸a˜o cont´ınua de ∆x .
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Demonstrac¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o Da Regra Da Cadeia Tome u = g(x) diferencia´vel
em a e y = f (u) diferencia´vel em b = g(a). Escrevendo ∆y , ∆u e
∆x os incrementos de y , u e x . Assim pela equac¸a˜o 5
∆u = g ′(a)∆x + �1∆x = [g ′(a) + �1]∆x (2)
Onde �1 → 0 quando ∆x → 0.
∆y = f ′(b)∆u + �2∆u = [f ′(b) + �2]∆u (3)
Onde �2 → 0 quando ∆u → 0.
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Demonstrac¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o Da Regra Da Cadeia Tome u = g(x) diferencia´vel
em a e y = f (u) diferencia´vel em b = g(a). Escrevendo ∆y , ∆u e
∆x os incrementos de y , u e x . Assim pela equac¸a˜o 5
∆u = g ′(a)∆x + �1∆x = [g ′(a) + �1]∆x (2)
Onde �1 → 0 quando ∆x → 0.
∆y = f ′(b)∆u + �2∆u = [f ′(b) + �2]∆u (3)
Onde �2 → 0 quando ∆u → 0.
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Demonstrac¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o Da Regra Da Cadeia Tome u = g(x) diferencia´vel
em a e y = f (u) diferencia´vel em b = g(a). Escrevendo ∆y , ∆u e
∆x os incrementos de y , u e x . Assim pela equac¸a˜o 5
∆u = g ′(a)∆x + �1∆x = [g ′(a) + �1]∆x (2)
Onde �1 → 0 quando ∆x → 0.
∆y = f ′(b)∆u + �2∆u = [f ′(b) + �2]∆u (3)
Onde �2 → 0 quando ∆u → 0.
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Demonstrac¸a˜o.
Substituindo 6 em 6 temos que
∆y = [f ′(b) + �2][g ′(a) + �1]∆x
Logo
∆y
∆x
= [f ′(b) + �2][g ′(a) + �1]
Agora, quando ∆x → 0 temos por 6 que ∆u → 0, deste modo
�1 → 0 e �2 → 0.
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Demonstrac¸a˜o.
Portanto
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
[f ′(b) + �2][g ′(a) + �1]
= f ′(b) · g ′(a) = f ′(g(x)) · g ′(a)
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = sin x2.
Se y = f (u) = sin u e u = x2. Enta˜o
F ′(x) =
dy
du
du
dx
.Como dydu = cos u e
du
dx = 2x
Enta˜o
F ′(x) = (cos u)(2x) = 2x cos x2
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = sin x2.
Se y = f (u) = sin u e u = x2.
Enta˜o
F ′(x) =
dy
du
du
dx
.Como dydu = cos u e
du
dx = 2x
Enta˜o
F ′(x) = (cos u)(2x) = 2x cos x2
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = sin x2.
Se y = f (u) = sin u e u = x2. Enta˜o
F ′(x) =
dy
du
du
dx
.
Como dydu = cos u e
du
dx = 2x
Enta˜o
F ′(x) = (cos u)(2x) = 2x cos x2
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = sin x2.
Se y = f (u) = sin u e u = x2. Enta˜o
F ′(x) =
dy
du
du
dx
.Como dydu = cos u
e dudx = 2x
Enta˜o
F ′(x) = (cos u)(2x) = 2x cos x2
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A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = sin x2.
Se y = f (u) = sin u e u = x2. Enta˜o
F ′(x) =
dy
du
du
dx
.Como dydu = cos u e
du
dx = 2x
Enta˜o
F ′(x) = (cos u)(2x) = 2x cos x2
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da PoteˆnciaExemplo
Ache a derivada de F (x) = sin x2.
Se y = f (u) = sin u e u = x2. Enta˜o
F ′(x) =
dy
du
du
dx
.Como dydu = cos u e
du
dx = 2x
Enta˜o
F ′(x) = (cos u)(2x) = 2x cos x2
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Me´todo Para A Regra Da Cadeia
dy
dx = ( f︸︷︷︸
func¸a˜o
de fora
(g(x))︸ ︷︷ ︸
calculada
na func¸a˜o
de dentro
)′ =
f ′︸︷︷︸
derivada
da func¸a˜o
de fora
· (g(x))︸ ︷︷ ︸
Calculada
na func¸a˜o
de dentro
· g ′(x)︸ ︷︷ ︸
derivada
da func¸a˜o
de dentro
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
Derive y = sin2 x .
dy
dx = ( sin x︸︷︷︸
func¸a˜o
de dentro
)2 = 2︸︷︷︸
derivada
da func¸a˜o
de fora
· (sin x)︸ ︷︷ ︸
Calculada
na func¸a˜o
de dentro
· cos x︸︷︷︸
derivada
da func¸a˜o
de dentro
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
De outro modo, para y = sin2 x = (sin x)2.
Ponha u = sin x , e y = u2
Assim
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
Como dydu = 2u e
du
dx = cos x
Enta˜o
dy
dx
= 2u · cos x = 2 sin x cos x
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
De outro modo, para y = sin2 x = (sin x)2.
Ponha u = sin x , e y = u2
Assim
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
Como dydu = 2u e
du
dx = cos x
Enta˜o
dy
dx
= 2u · cos x = 2 sin x cos x
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Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
De outro modo, para y = sin2 x = (sin x)2.
Ponha u = sin x , e y = u2
Assim
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
Como dydu = 2u e
du
dx = cos x
Enta˜o
dy
dx
= 2u · cos x = 2 sin x cos x
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
De outro modo, para y = sin2 x = (sin x)2.
Ponha u = sin x , e y = u2
Assim
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
Como dydu = 2u
e dudx = cos x
Enta˜o
dy
dx
= 2u · cos x = 2 sin x cos x
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Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
De outro modo, para y = sin2 x = (sin x)2.
Ponha u = sin x , e y = u2
Assim
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
Como dydu = 2u e
du
dx = cos x
Enta˜o
dy
dx
= 2u · cos x = 2 sin x cos x
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Exemplo
De outro modo, para y = sin2 x = (sin x)2.
Ponha u = sin x , e y = u2
Assim
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
Como dydu = 2u e
du
dx = cos x
Enta˜o
dy
dx
= 2u · cos x = 2 sin x cos x
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
x
y
y = sin x2
x
y
y = 2x cos x2
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Poteˆncia
Seja g(x) uma func¸a˜o, se F (x) = [g(x)]n enta˜o
F ′(x) = n[g(x)]n−1g ′(x)
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Da Ra´ız n-e´sima
Se f (x) = n
√
x enta˜o,
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a = limx→a
n
√
x − n√a
x − a
Lembrando que
yn − bn = (y − b)(yn−1 + yn−2b + . . .+ ybn−2 + bn−1)
temos que
x − a =
( n
√
x − n√a)(( n√x)n−1 + ( n√x)n−2 n√a+ . . .+ n√x( n√a)n−2 + ( n√a)n−1)
Da´ı,
f ′(a) = lim
x→a
1
( n
√
x)n−1 + ( n
√
x)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
x( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Da Ra´ız n-e´sima
Se f (x) = n
√
x enta˜o,
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a = limx→a
n
√
x − n√a
x − a
Lembrando que
yn − bn = (y − b)(yn−1 + yn−2b + . . .+ ybn−2 + bn−1)
temos que
x − a =
( n
√
x − n√a)(( n√x)n−1 + ( n√x)n−2 n√a+ . . .+ n√x( n√a)n−2 + ( n√a)n−1)
Da´ı,
f ′(a) = lim
x→a
1
( n
√
x)n−1 + ( n
√
x)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
x( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Da Ra´ız n-e´sima
Se f (x) = n
√
x enta˜o,
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a = limx→a
n
√
x − n√a
x − a
Lembrando que
yn − bn = (y − b)(yn−1 + yn−2b + . . .+ ybn−2 + bn−1)
temos que
x − a =
( n
√
x − n√a)(( n√x)n−1 + ( n√x)n−2 n√a+ . . .+ n√x( n√a)n−2 + ( n√a)n−1)
Da´ı,
f ′(a) = lim
x→a
1
( n
√
x)n−1 + ( n
√
x)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
x( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Da Ra´ız n-e´sima
Se f (x) = n
√
x enta˜o,
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a = limx→a
n
√
x − n√a
x − a
Lembrando que
yn − bn = (y − b)(yn−1 + yn−2b + . . .+ ybn−2 + bn−1)
temos que
x − a =
( n
√
x − n√a)(( n√x)n−1 + ( n√x)n−2 n√a+ . . .+ n√x( n√a)n−2 + ( n√a)n−1)
Da´ı,
f ′(a) = lim
x→a
1
( n
√
x)n−1 + ( n
√
x)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
x( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
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Derivada Da Ra´ız n-e´sima
Se f (x) = n
√
x enta˜o,
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a = limx→a
n
√
x − n√a
x − a
Lembrando que
yn − bn = (y − b)(yn−1 + yn−2b + . . .+ ybn−2 + bn−1)
temos que
x − a =
( n
√
x − n√a)(( n√x)n−1 + ( n√x)n−2 n√a+ . . .+ n√x( n√a)n−2 + ( n√a)n−1)
Da´ı,
f ′(a) = lim
x→a
1
( n
√
x)n−1 + ( n
√
x)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
x( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
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=
1
( n
√
a)n−1 + ( n
√
a)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
a( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
=
1
n( n
√
a)n−1
=
1
n
( n
√
a)−(n−1) =
1
n
x
−n+1
n =
1
n
x
1
n
−1
Asim,
d
dx
( n
√
x) =
d
dx
(x
1
n ) =
1
n
x
1
n
−1
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=
1
( n
√
a)n−1 + ( n
√
a)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
a( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
=
1
n( n
√
a)n−1
=
1
n
( n
√
a)−(n−1)
=
1
n
x
−n+1
n =
1
n
x
1
n
−1
Asim,
d
dx
( n
√
x) =
d
dx
(x
1
n ) =
1
n
x
1
n
−1
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=
1
( n
√
a)n−1 + ( n
√
a)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
a( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
=
1
n( n
√
a)n−1
=
1
n
( n
√
a)−(n−1) =
1
n
x
−n+1
n =
1
n
x
1
n
−1
Asim,
d
dx
( n
√
x) =
d
dx
(x
1
n ) =
1
n
x
1
n
−1
Jairo Menezes e Souza Regra Da CadeiaRegra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
=
1
( n
√
a)n−1 + ( n
√
a)n−2 n
√
a + . . .+ n
√
a( n
√
a)n−2 + ( n
√
a)n−1
=
1
n( n
√
a)n−1
=
1
n
( n
√
a)−(n−1) =
1
n
x
−n+1
n =
1
n
x
1
n
−1
Asim,
d
dx
( n
√
x) =
d
dx
(x
1
n ) =
1
n
x
1
n
−1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Calcule ddx
(
1
n√x
)
.
Temos pela regra do quociente que
d
dx
(
1
n
√
x
)
=
d
dx (1)
n
√
x − 1 ddx ( n
√
x)
( n
√
x)2
= −1
n
x
1−n
n
x
2
n
= −1
n
x
−1−n
n
= −1
n
x−
1
n
−1
Deste modo para todo inteiro r ∈ Z temos que ddx (x
1
r ) = 1r x
1
r
−1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Calcule ddx
(
1
n√x
)
.
Temos pela regra do quociente que
d
dx
(
1
n
√
x
)
=
d
dx (1)
n
√
x − 1 ddx ( n
√
x)
( n
√
x)2
= −1
n
x
1−n
n
x
2
n
= −1
n
x
−1−n
n
= −1
n
x−
1
n
−1
Deste modo para todo inteiro r ∈ Z temos que ddx (x
1
r ) = 1r x
1
r
−1
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Calcule ddx
(
1
n√x
)
.
Temos pela regra do quociente que
d
dx
(
1
n
√
x
)
=
d
dx (1)
n
√
x − 1 ddx ( n
√
x)
( n
√
x)2
= −1
n
x
1−n
n
x
2
n
= −1
n
x
−1−n
n
= −1
n
x−
1
n
−1
Deste modo para todo inteiro r ∈ Z temos que ddx (x
1
r ) = 1r x
1
r
−1
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Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Calcule ddx
(
1
n√x
)
.
Temos pela regra do quociente que
d
dx
(
1
n
√
x
)
=
d
dx (1)
n
√
x − 1 ddx ( n
√
x)
( n
√
x)2
= −1
n
x
1−n
n
x
2
n
= −1
n
x
−1−n
n
= −1
n
x−
1
n
−1
Deste modo para todo inteiro r ∈ Z temos que ddx (x
1
r ) = 1r x
1
r
−1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Calcule ddx
(
1
n√x
)
.
Temos pela regra do quociente que
d
dx
(
1
n
√
x
)
=
d
dx (1)
n
√
x − 1 ddx ( n
√
x)
( n
√
x)2
= −1
n
x
1−n
n
x
2
n
= −1
n
x
−1−n
n
= −1
n
x−
1
n
−1
Deste modo para todo inteiro r ∈ Z temos que ddx (x
1
r ) = 1r x
1
r
−1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = n
√
xm = ( n
√
x)m = x
m
n .
Para m, n ∈ Z
e m 6= 0.
Considere F (x) = (f ◦ g)(x), onde f (u) = um e g(x) = n√x = x 1n
Enta˜o pela regra da cadeia combinada com a derivada da poteˆncia
temos que
F ′(x) = m( n
√
x)m−1 ·
(
1
n
x
1−n
n
)
=
m
n
x
m−1
n
+ 1−m
n =
m
n
x
m−n
n
=
m
n
x
m
n
−1
Assim para todo r ∈ Q temos que ddx x r = rx r−1.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = n
√
xm = ( n
√
x)m = x
m
n . Para m, n ∈ Z
e m 6= 0.
Considere F (x) = (f ◦ g)(x), onde f (u) = um e g(x) = n√x = x 1n
Enta˜o pela regra da cadeia combinada com a derivada da poteˆncia
temos que
F ′(x) = m( n
√
x)m−1 ·
(
1
n
x
1−n
n
)
=
m
n
x
m−1
n
+ 1−m
n =
m
n
x
m−n
n
=
m
n
x
m
n
−1
Assim para todo r ∈ Q temos que ddx x r = rx r−1.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = n
√
xm = ( n
√
x)m = x
m
n . Para m, n ∈ Z
e m 6= 0.
Considere F (x) = (f ◦ g)(x), onde f (u) = um e g(x) = n√x = x 1n
Enta˜o pela regra da cadeia combinada com a derivada da poteˆncia
temos que
F ′(x) = m( n
√
x)m−1 ·
(
1
n
x
1−n
n
)
=
m
n
x
m−1
n
+ 1−m
n =
m
n
x
m−n
n
=
m
n
x
m
n
−1
Assim para todo r ∈ Q temos que ddx x r = rx r−1.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = n
√
xm = ( n
√
x)m = x
m
n . Para m, n ∈ Z
e m 6= 0.
Considere F (x) = (f ◦ g)(x), onde f (u) = um e g(x) = n√x = x 1n
Enta˜o pela regra da cadeia combinada com a derivada da poteˆncia
temos que
F ′(x) = m( n
√
x)m−1 ·
(
1
n
x
1−n
n
)
=
m
n
x
m−1
n
+ 1−m
n =
m
n
x
m−n
n
=
m
n
x
m
n
−1
Assim para todo r ∈ Q temos que ddx x r = rx r−1.
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = n
√
xm = ( n
√
x)m = x
m
n . Para m, n ∈ Z
e m 6= 0.
Considere F (x) = (f ◦ g)(x), onde f (u) = um e g(x) = n√x = x 1n
Enta˜o pela regra da cadeia combinada com a derivada da poteˆncia
temos que
F ′(x) = m( n
√
x)m−1 ·
(
1
n
x
1−n
n
)
=
m
n
x
m−1
n
+ 1−m
n =
m
n
x
m−n
n
=
m
n
x
m
n
−1
Assim para todo r ∈ Q temos que ddx x r = rx r−1.
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Exemplo
Ache a derivada de F (x) = n
√
xm = ( n
√
x)m = x
m
n . Para m, n ∈ Z
e m 6= 0.
Considere F (x) = (f ◦ g)(x), onde f (u) = um e g(x) = n√x = x 1n
Enta˜o pela regra da cadeia combinada com a derivada da poteˆncia
temos que
F ′(x) = m( n
√
x)m−1 ·
(
1
n
x
1−n
n
)
=
m
n
x
m−1
n
+ 1−m
n =
m
n
x
m−n
n
=
m
n
x
m
n
−1
Assim para todo r ∈ Q temos que ddx x r = rx r−1.
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Exemplo
Ache a derivada de F (x) = n
√
xm = ( n
√
x)m = x
m
n . Para m, n ∈ Z
e m 6= 0.
Considere F (x) = (f ◦ g)(x), onde f (u) = um e g(x) = n√x = x 1n
Enta˜o pela regra da cadeia combinada com a derivada da poteˆncia
temos que
F ′(x) = m( n
√
x)m−1 ·
(
1
n
x
1−n
n
)
=
m
n
x
m−1
n
+ 1−m
n =
m
n
x
m−n
n
=
m
n
x
m
n
−1
Assim para todo r ∈ Q temos que ddx x r = rx r−1.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de F (x) = n
√
xm = ( n
√
x)m = x
m
n . Para m, n ∈ Z
e m 6= 0.
Considere F (x) = (f ◦ g)(x), onde f (u) = um e g(x) = n√x = x 1n
Enta˜o pela regra da cadeia combinada com a derivada da poteˆncia
temos que
F ′(x) = m( n
√
x)m−1 ·
(
1
n
x
1−n
n
)
=
m
n
x
m−1
n
+ 1−m
n =
m
n
x
m−n
n
=
m
n
x
m
n
−1
Assim para todo r ∈ Q temos que ddx x r = rx r−1.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de f (x) =
√
x2 + 1.
Temos que
f ′(x) =
1
2
(x2 + 1)
1
2
−1︸ ︷︷ ︸
derivada da func¸a˜o
de fora aplicada
na func¸a˜o de dentro
· (2x)︸︷︷︸
derivda da func¸a˜o
de dentro
=
x
(x2 + 1)
1
2
=
x√
x2 + 1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de f (x) =
√
x2 + 1.Temos que
f ′(x) =
1
2
(x2 + 1)
1
2
−1︸ ︷︷ ︸
derivada da func¸a˜o
de fora aplicada
na func¸a˜o de dentro· (2x)︸︷︷︸
derivda da func¸a˜o
de dentro
=
x
(x2 + 1)
1
2
=
x√
x2 + 1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Ache a derivada de f (x) =
√
x2 + 1.Temos que
f ′(x) =
1
2
(x2 + 1)
1
2
−1︸ ︷︷ ︸
derivada da func¸a˜o
de fora aplicada
na func¸a˜o de dentro
· (2x)︸︷︷︸
derivda da func¸a˜o
de dentro
=
x
(x2 + 1)
1
2
=
x√
x2 + 1
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
De outro modo, fac¸a u = x2 + 1 e y =
√
u.
Temos que
dy
du
=
1
2
u
1
2
−1 =
1
2
u−
1
2 =
1
2
1√
u
e
du
dx
= 2x
Assim
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
2
1√
u
(2x)
=
x√
x2 + 1
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
De outro modo, fac¸a u = x2 + 1 e y =
√
u.
Temos que
dy
du
=
1
2
u
1
2
−1 =
1
2
u−
1
2 =
1
2
1√
u
e
du
dx
= 2x
Assim
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
2
1√
u
(2x)
=
x√
x2 + 1
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
De outro modo, fac¸a u = x2 + 1 e y =
√
u.
Temos que
dy
du
=
1
2
u
1
2
−1 =
1
2
u−
1
2 =
1
2
1√
u
e
du
dx
= 2x
Assim
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
2
1√
u
(2x)
=
x√
x2 + 1
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
De outro modo, fac¸a u = x2 + 1 e y =
√
u.
Temos que
dy
du
=
1
2
u
1
2
−1 =
1
2
u−
1
2 =
1
2
1√
u
e
du
dx
= 2x
Assim
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
2
1√
u
(2x)
=
x√
x2 + 1
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
De outro modo, fac¸a u = x2 + 1 e y =
√
u.
Temos que
dy
du
=
1
2
u
1
2
−1 =
1
2
u−
1
2 =
1
2
1√
u
e
du
dx
= 2x
Assim
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
2
1√
u
(2x)
=
x√
x2 + 1
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
x
y
y =
√
x2 + 1
x
y
y = x√
x2+1
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Para acharmos a deriva da ddx (a
x) lembre que ax = e ln a
x
= ex ln a.
Assim
d
dx
(ax) =
d
dx
(ex ln a)
= ex ln a︸ ︷︷ ︸
derivada da func¸a˜o
de fora aplicada
na func¸a˜o de dentro
· ln a︸︷︷︸
derivda da func¸a˜o
de dentro
= ax · ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Para acharmos a deriva da ddx (a
x) lembre que ax = e ln a
x
= ex ln a.
Assim
d
dx
(ax) =
d
dx
(ex ln a)
= ex ln a︸ ︷︷ ︸
derivada da func¸a˜o
de fora aplicada
na func¸a˜o de dentro
· ln a︸︷︷︸
derivda da func¸a˜o
de dentro
= ax · ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Para acharmos a deriva da ddx (a
x) lembre que ax = e ln a
x
= ex ln a.
Assim
d
dx
(ax) =
d
dx
(ex ln a)
= ex ln a︸ ︷︷ ︸
derivada da func¸a˜o
de fora aplicada
na func¸a˜o de dentro
· ln a︸︷︷︸
derivda da func¸a˜o
de dentro
= ax · ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Para acharmos a deriva da ddx (a
x) lembre que ax = e ln a
x
= ex ln a.
Assim
d
dx
(ax) =
d
dx
(ex ln a)
= ex ln a︸ ︷︷ ︸
derivada da func¸a˜o
de fora aplicada
na func¸a˜o de dentro
· ln a︸︷︷︸
derivda da func¸a˜o
de dentro
= ax · ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
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Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
De outro modo chamando u = x ln a e y = eu.
dy
du
= eu
du
dx
= ln a
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= eu · ln a = ex ln a · ln a = ax ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
De outro modo chamando u = x ln a e y = eu.
dy
du
= eu
du
dx
= ln a
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= eu · ln a = ex ln a · ln a = ax ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
De outro modo chamando u = x ln a e y = eu.
dy
du
= eu
du
dx
= ln a
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= eu · ln a = ex ln a · ln a = ax ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
De outro modo chamando u = x ln a e y = eu.
dy
du
= eu
du
dx
= ln a
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= eu · ln a = ex ln a · ln a = ax ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
De outro modo chamando u = x ln a e y = eu.
dy
du
= eu
du
dx
= ln a
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= eu · ln a = ex ln a · ln a = ax ln a
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Se f (x) = tan (cos (sin x)) enta˜o
f ′(x) =
d
dx
(tan)(cos (sin x)) · d
dx
(cos (sin x))
= sec2(cos (sin x)) · d
dx
(cos)(sin x) · d
dx
(sin x)
= sec2(cos (sin x)) · (− sin(sin x)) · cos x
= − sec2(cos (sin x))(sin(sin x)) cos x
Note que aplicamos a regra da cadeia duas vezes.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Se f (x) = tan (cos (sin x)) enta˜o
f ′(x) =
d
dx
(tan)(cos (sin x)) · d
dx
(cos (sin x))
= sec2(cos (sin x)) · d
dx
(cos)(sin x) · d
dx
(sin x)
= sec2(cos (sin x)) · (− sin(sin x)) · cos x
= − sec2(cos (sin x))(sin(sin x)) cos x
Note que aplicamos a regra da cadeia duas vezes.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Se f (x) = tan (cos (sin x)) enta˜o
f ′(x) =
d
dx
(tan)(cos (sin x)) · d
dx
(cos (sin x))
= sec2(cos (sin x)) · d
dx
(cos)(sin x) · d
dx
(sin x)
= sec2(cos (sin x)) · (− sin(sin x)) · cos x
= − sec2(cos (sin x))(sin(sin x)) cos x
Note que aplicamos a regra da cadeia duas vezes.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Se f (x) = tan (cos (sin x)) enta˜o
f ′(x) =
d
dx
(tan)(cos (sin x)) · d
dx
(cos (sin x))
= sec2(cos (sin x)) · d
dx
(cos)(sin x) · d
dx
(sin x)
= sec2(cos (sin x)) · (− sin(sin x)) · cos x
= − sec2(cos (sin x))(sin(sin x)) cos x
Note que aplicamos a regra da cadeia duas vezes.
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Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Se f (x) = tan (cos (sin x)) enta˜o
f ′(x) =
d
dx
(tan)(cos (sin x)) · d
dx
(cos (sin x))
= sec2(cos (sin x)) · d
dx(cos)(sin x) · d
dx
(sin x)
= sec2(cos (sin x)) · (− sin(sin x)) · cos x
= − sec2(cos (sin x))(sin(sin x)) cos x
Note que aplicamos a regra da cadeia duas vezes.
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Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Se f (x) = tan (cos (sin x)) enta˜o
f ′(x) =
d
dx
(tan)(cos (sin x)) · d
dx
(cos (sin x))
= sec2(cos (sin x)) · d
dx
(cos)(sin x) · d
dx
(sin x)
= sec2(cos (sin x)) · (− sin(sin x)) · cos x
= − sec2(cos (sin x))(sin(sin x)) cos x
Note que aplicamos a regra da cadeia duas vezes.
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Regra Da Cadeia
Derivada Da Ra´ız
Derivada Das Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
Se f (x) = tan (cos (sin x)) enta˜o
f ′(x) =
d
dx
(tan)(cos (sin x)) · d
dx
(cos (sin x))
= sec2(cos (sin x)) · d
dx
(cos)(sin x) · d
dx
(sin x)
= sec2(cos (sin x)) · (− sin(sin x)) · cos x
= − sec2(cos (sin x))(sin(sin x)) cos x
Note que aplicamos a regra da cadeia duas vezes.
Jairo Menezes e Souza Regra Da Cadeia
	Regra Da Cadeia
	A Regra Da Cadeia Combinada Com A Regra Da Potência
	Derivada Da Raíz
	Derivada Das Funções Exponenciais