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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2007
Lista de Exerc´ıcios 7 - Data de Entrega 21/06/2007
1. (Identificac¸a˜o e estimac¸a˜o de modelos de equac¸o˜es simultaˆneas)
Discuta identificac¸a˜o e estimac¸a˜o do seguinte modelo de equac¸o˜es simultaˆneas.
y1t + γ12y2t + γ13y3t + β11x1t + β13x3t = ε1t
y2t + γ23y3t + β22x2t + β23x3t = ε2t
γ31y1t + y3t + β32x2t = ε3t
(Voceˆ na˜o tem nenhuma restric¸a˜o envolvendo as covariaˆncias).
Certifique-se de que voceˆ esta´ considerando tanto as condic¸o˜es de ordem
quanto de posto e de explicitar as suposic¸o˜es necessa´rias para a estimac¸a˜o dos
paraˆmetros do modelo.
2. (Identificac¸a˜o e estimac¸a˜o de modelos de equac¸o˜es simultaˆneas)
Considere o seguinte modelo de oferta e demanda:
qs = α0 + α1p+ α2ω + µs
qd = β0 + β1p+ β2y + µd
qs = qd
onde ω denota um vetor de observac¸o˜es de dimensa˜o T × 1 do clima e y e´ um
vetor de observac¸o˜es T × 1 da renda. Ambos sa˜o exo´genos, por hipo´tese.
a) Discuta a identificac¸a˜o dos paraˆmetros nas equac¸o˜es de oferta e demanda.
b) A restric¸a˜o α2 = 0 impo˜e alguma restric¸a˜o nos paraˆmetros da forma
reduzida? Cuidadosamente descreva um teste de H0 : α2 = 0 contra H1 :
α2 6= 0 utilizando os paraˆmetros da forma reduzida. Dica: Escreva H0 como
H0 : RΠ = q0.
c) Suponha que a primeira equac¸a˜o e´ estimada por um estimador de in-
formac¸a˜o limitada, isto e´, varia´veis instrumentais. Voceˆ pode determinar se a
primeira equac¸a˜o e´ uma curva de oferta ou de demanda examinando o sinal de
α1?
d) Suponha que uma ageˆncia governamental a cada ano fixe o prec¸o em
p0t e que esse prec¸o possa diferir ano a ano. Que efeito essa pol´ıtica teria na
identificac¸a˜o e estimac¸a˜o do modelo?
1
3. (Identificac¸a˜o atrave´s de restric¸o˜es na matriz de covariaˆncia)
Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es sob as hipo´teses usuais
y1 = γ12y2 + ε1 (1)
y2 = γ21y1 + β21x1 + ε2 (2)
a) As equac¸o˜es (1) e (2) sa˜o identificadas se no´s na˜o fizermos nenhuma
suposic¸a˜o a respeito da distribuic¸a˜o de probabilidade, exceto que E (ε1|x1) =
E (ε2|x1) = 0?
b) Mostre que se a covariaˆncia dos erros e´ zero, enta˜o ambas as equac¸o˜es sa˜o
identificadas.
4. (Estimac¸a˜o e teste de especificac¸a˜o para o modelo de equac¸o˜es simultaˆneas)
Voceˆ tem um sistema com treˆs equac¸o˜es, no qual cada equac¸a˜o e´ identificada.
y1 = Y1γ1 +X1β1 + ε1 (1)
y2 = Y2γ2 +X2β2 + ε2 (2)
y3 = Y3γ3 +X3β3 + ε3 (3)
onde εt ∼ N (0,Σ) . Seja X = [X1,X2,X3] .
Voceˆ esta´ confiante de que a especificac¸a˜o das duas primeiras equac¸o˜es esta´
correta, mas na˜o tem certeza se E [X 0tε3t] = 0. Para construir um teste, voceˆ
decide rodar uma regressa˜o de mı´minos quadrados em dois esta´gios em cada
equac¸a˜o e compara´-la com os resultados de mı´minos quadrados em treˆs esta´gios
para o sistema todo.
a) Explique intuitivamente por que voceˆ pode construir um teste de es-
pecificac¸a˜o a partir desse procedimento, demonstrando o efeito da especificac¸a˜o
incorreta.
b) Para construir um teste formal, voceˆ considera as estimativas de cada
equac¸a˜o
δi =
·
γˆi
βˆi
¸
e constro´i a estat´ıstica
W =
·
δˆ1
δˆ2
¸
2SLS
−
·
δˆ1
δˆ2
¸
3SLS
Construa um teste assinto´tico sob a hipo´tese nula de que a especificac¸a˜o esta´
correta, incluindo os graus de liberdade apropriados.
c) Voceˆ pode pensar num teste baseado numa estrate´gia de estimac¸a˜o mais
eficiente?
2
5. (Estimac¸a˜o por ma´xima verossimilhanc¸a de modelos de equac¸o˜es si-
multaˆneas)
Considere o modelo Keynesiano simplificado
Ct = αYt + ut
Yt = It + Ct
onde C denota o consumo, Y a renda e I o investimento (exo´geno). Todas as
varia´veis sa˜o transformadas de modo que tenham me´dia zero e ut
i.i.d.∼ N
¡
0, σ2
¢
a) Mostre que MQO na equac¸a˜o Ct = αYt + ut conduz a uma estimativa
inconsistente de α. O p lim e´ muito grande ou muito pequeno? Como o seu
resultado pode ser comparado com o caso em que ha´ erros de medida no regres-
sor?
b) Escreva a func¸a˜o de log-verossimilhanc¸a para uma amostra de tamanho
T como uma func¸a˜o de α e σ2. Calcule a matriz de informac¸a˜o (assinto´tica)
para α e σ2 (Defina M = lim 1T
PT
t=1 I
2
t )
c) Inverta a matriz de informac¸a˜o e determine o limite da distribuic¸a˜o de
αˆMLE . Verifique que o estimador de varia´veis instrumentais αˆIV , que utiliza
como instrumento It, e´ assintoticamente eficiente. Isso e´ esperado? Compare o
estimador de ma´xima verossimilhanc¸a e o estimador de varia´veis instrumentais
em amostras finitas.
d) Suponha que σ2 seja conhecido. Mostre que a reduc¸a˜o percentual na
variaˆncia da distribuic¸a˜o assinto´tica para αˆ e´ 2σ
2
M+2σ2 se ma´xima verossimilhanc¸a
for usada. (Dica: Compute o limite inferior de Crame´r-Rao). Derive o estimador
de ma´xima verossimilhanc¸a nesse caso.
6. (Me´todo dos momentos cla´ssico, me´todo generalizado dos momentos)
A distribuic¸a˜o gama tem a seguinte func¸a˜o de densidade:
f (x|α, β) =
(
βα
Γ(α)x
α−1e−βx para x > 0
0 caso contra´rio
na qual α e β sa˜o paraˆmetros positivos e Γ (α) e´ a func¸a˜o gama definida como
Γ (α) =
R∞
0
xα−1e−xdx
Suponha que X1, ...,Xn seja uma amostra de varia´veis aleato´rias i.i.d. de
uma distribuic¸a˜o gama com paraˆmetros desconhecidos α e β.
a) Prove que para uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o gama
E
¡
Xk
¢
=
α (α+ 1) ... (α+ k − 1)
βk
3
b) Os dois primeiros momentos sa˜o 1n
Pn
i=1Xi = 7, 29 e
1
n
Pn
i=1X
2
i = 85, 59.
Derive o estimador do me´todo de momentos de
·
α
β
¸
baseado nos dois primeiros
momentos e calcule as estimativas. Derive a distribuic¸a˜o assinto´tica do esti-
mador.
c) Suponha que os dois primeiros momentos amostrais sejam como em b).
Mas agora no´s tambe´m consideramos o terceiro momento. Usando as estima-
tivas de b), descreva em linhas gerais como voceˆ estimaria α e β utilizando o
me´todo generalizado dos momentos com a matriz o´tima de ponderac¸a˜o. Escreva
a fo´rmula para a distribuic¸a˜o assinto´tica do estimador e fornec¸a um estimador
consistente da variaˆncia assinto´tica.
7. Seja (X1, Y1) , ..., (Xn, Yn) uma amostra aleato´ria de uma distribuic¸a˜o
normal bivariada com coeficiente de correlac¸a˜o ρ. O coeficiente de correlac¸a˜o
amostral e´ definido como
rn =
Pn
i=1
¡
Xi − X¯
¢ ¡
Yi − X¯
¢nPn
i=1
¡
Xi − X¯
¢2 ¡
Yi − X¯
¢2o1/2
Prove que √
n (rn − ρ)
d→ N
³
0,
¡
1− ρ2
¢2´
Assuma, por simplicidade, que as me´dias sejam iguais a 0 e as variaˆncias iguais
a 1.
8. Suponha que o modelo econome´trico postule um conjunto deM condic¸o˜es
de ortogonalidade:
E [f (xt, β0)] = 0
onde β0 e´ um vetor de paraˆmetros K × 1 (K ≤M) . Adicionalmente, suponha
que no´s desejemos testar um conjunto de restric¸o˜es envolvendo β0 : r (β0) = 0.
Para tanto, estimamos num primeiro esta´gio os paraˆmetros impondo a restric¸a˜o,
a partir de
βˆR = argmin
{β:r(β)=0}
QT (β) = argmin
{β:r(β)=0}
gT (β)
0 V −10 gT (β)
onde V0 denota a matriz de variaˆncia covariaˆncia de f (xt, β0) e
gT (β) = 1T
PT
t=1 f (xt, β) .
i) Seja βˆ o estimador irrestrito do me´todo generalizado dos momentos e Vˆ
um estimador consistente de V0. Mostre que
MC = Tmin
α
³
βˆ − r (α)
´0
d0T Vˆ
−1dT
³
βˆ − r (α)
´
= T
³
βˆ − βˆR
´0
d0T Vˆ
−1dT
³
βˆ − βˆR
´
4
para dT =
∂gT (β)
∂β .
ii) Prove que
βˆR = βˆ −
³
d0T Vˆ
−1dT
´−1
Rˆ0
·
Rˆ
³
d0T Vˆ
−1dT
´−1
Rˆ0
¸−1
rˆ
para
Rˆ = R
³
βˆ
´
=
∂r
³
βˆ
´
∂β
5