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Econometria Aula 14 Marta AreosaMarta Areosa marta@econ.puc-rio.br Distribuição Asintótica de MQO • Na primeira parte do curso derivamos as propriedades do estimador de MQO de duas formas: o Assumindo normalidade de u o Sem assumir normalidade de u, mas assumindo que n é 2 o Sem assumir normalidade de u, mas assumindo que n é grande. • Agora iremos ver com mais detalhes as propriedades do estimador de MQO quando n é grande (propriedades assintóticas) Consistência • Anteriormente mostramos que se o estimador de MQO satisfaz os pressupostos, vamos obter um estimador que é não-viesado. • Porém, em alguns casos, não conseguiremos obter estimadores 3 • Porém, em alguns casos, não conseguiremos obter estimadores não viesados. • Nesses casos iremos nos satisfazer com estimadores que sejam consistentes. Isso significa que conforme n → ∞, a distribuição do estimador colapsa para o valor do parâmetro. Distribuição amostral conforme n ↑ 4 β1 n1 Distribuição amostral conforme n ↑ n1 < n2 5 β1 n1 n2 Distribuição amostral conforme n ↑ n3 n1 < n2 < n3 6 β1 n1 n2 Consistência • O conceito de consistência envolve um experimento imaginário sobre o que aconteceria se o tamanho da nossa amostra aumentasse. 7 Consistência • O conceito de consistência envolve um experimento imaginário sobre o que aconteceria se o tamanho da nossa amostra aumentasse. 8 • Se obtivermos mais e mais dados, isso nos aproxima do valor parâmetro de interesse na população? Consistência • O conceito de consistência envolve um experimento imaginário sobre o que aconteceria se o tamanho da nossa amostra aumentasse. 9 • Se obtivermos mais e mais dados, isso nos aproxima do valor parâmetro de interesse na população? • Vamos mostrar matematicamente a prova de consistência usando o conceito de limite em probabilidade (plim). Provando Consistência ( )( ) ( )( )211111ˆ ∑ −∑ −= xixiyxixβ 10 Provando Consistência ( )( ) ( )( )211111ˆ ∑ −∑ −= xixiyxixβ 11 ( )( ) ( )( )21111111 ∑ −−∑ −−+= xixniuxixnβ Provando Consistência ( )( ) ( )( ) ( ) 2 11111 ˆ xixiyxix ∑ −∑ −=β 12 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1,111ˆplim 2 11 1 11 1 1 xVaruxCov xixniuxixn += ∑ − − ∑ − −+= ββ β Provando Consistência ( ) ( )1,111ˆ plim = += xVaruxCov β ββ 13 ( ) 0,1 que já 1 = = uxCov β Pressupostos • Para um estimador ser não viesado, nós assumimos que: E(u|x1, x2,…,xk) = 0 14 Pressupostos • Para um estimador ser não viesado, nós assumimos que: E(u|x1, x2,…,xk) = 0 15 • Para consistência, podemos usar um pressuposto mais fraco de média zero e correlação zero: E(u) = 0 e Cov(xj,u) = 0, para j = 1, 2, …, k Derivando a fórmula de inconsistência vxxy +++= 22110 :o verdadeirModelo βββ 16 uxy ++= 110 :estimado Modelo ββ Derivando a fórmula de inconsistência β 22seja,ou += vxu 17 δβββ 211 ~ plim então 22 += Derivando a fórmula de inconsistência 22seja,ou vxu += β 18 ( ) ( )12,1 onde 211 ~ plim então 22 xVarxxCov= += δ δβββ Viés assintótico • A intuição para o viés assintótico é a mesma que para o viés de variável omitida. 19 Viés assintótico • A intuição para o viés assintótico é a mesma que para o viés de variável omitida. • A principal diferença é que para a fórmula assintótica usamos 20 • A principal diferença é que para a fórmula assintótica usamos a variância e covariância populacional. Viés assintótico • A intuição para o viés assintótico é a mesma que para o viés de variável omitida. • A principal diferença é que para a fórmula assintótica usamos 21 • A principal diferença é que para a fórmula assintótica usamos a variância populacional e covariância populacional. • Inconsistência é um problema que acontece em grandes amostras. Não desaparece mesmo quando aumentamos o número de observações (adicionamos dados). Viés assintótico • Suponha que temos um modelo dado por: y=β0 + β1x1 + β2x2 + u 22 Viés assintótico • Suponha que temos um modelo dado por: y=β0 + β1x1 + β2x2 + u 23 • Suponha que x2 e u não estão correlacionados, mas que x1 e u estão correlacionados. Viés assintótico • Suponha que temos um modelo dado por: y=β0 + β1x1 + β2x2 + u 24 • Suponha que x2 e u não estão correlacionados, mas que x1 e u estão correlacionados. • Neste caso os estimadores de MQO de β1 e β2 serão inconsistentes. Inferência em grandes amostras • A consistência de um estimador é uma propriedade importante. Mas não nos permite fazer inferência estatística (testar hipóteses, construir intervalos de confiança). 25 Inferência em grandes amostras • A consistência de um estimador é uma propriedade importante. Mas não nos permite fazer inferência estatística (testar hipóteses, construir intervalos de confiança). • Para isso, precisamos descobrir qual é a distribuição amostral 26 • Para isso, precisamos descobrir qual é a distribuição amostral do estimador de MQO. Inferência em grandes amostras • A consistência de um estimador é uma propriedade importante. Mas não nos permite fazer inferência estatística (testar hipóteses, construir intervalos de confiança). • Para isso, precisamos descobrir qual é a distribuição amostral 27 • Para isso, precisamos descobrir qual é a distribuição amostral do estimador de MQO. • Anteriormente assumimos que u é distribuído como uma Normal. O pressuposto de normalidade de u, implicava que y|x também era Normal. Inferência em grandes amostras • Com base no TLC, mostramos que a distribuição amostral do estimador de MQO nos permite usar estatísticas t e F para testes de hipótese. 28 Inferência em grandes amostras • Com base no TLC, mostramos que a distribuição amostral do estimador de MQO nos permite usar estatísticas t e F para testes de hipótese. • Porém, em muitos casos estamos interessados em Analisar 29 • Porém, em muitos casos estamos interessados em Analisar variáveis que não são distribuídas como uma Normal— salários, número de prisões, número de patentes, poupança— já que a distribuição Normal é simétrica. Inferência em grandes amostras • Com base no TLC, mostramos que a distribuição amostral do estimador de MQO nos permite usar estatísticas t e F para testes de hipótese. • Porém, em muitos casos estamos interessados em Analisar 30 • Porém, em muitos casos estamos interessados em Analisar variáveis que não são distribuídas como uma Normal— salários, número de prisões, número de patentes, poupança— já que a distribuição Normal é simétrica. • Mas não precisamos do pressuposto de normalidade para mostrar que MQO é não-viesado. Normalidade assintótica • Porém, conforme o tamanho de observações aumenta, não precisamos assumir isso. O estimador de MQO irá ser distribuído assintóticamente como uma normal. 31 Normalidade assintótica • Porém, conforme o tamanho de observações aumenta, não precisamos assumir isso. O estimador de MQO irá ser distribuído assintóticamente como uma normal. • Este resultado é gerado pelo Teorema do Limite Central. 32 • Este resultado é gerado pelo Teorema do Limite Central. Normalidade assintótica • Porém, conforme o tamanho de observações aumenta, não precisamos assumir isso. O estimador de MQO irá ser distribuído assintóticamente como uma normal. • Este resultado é gerado pelo Teorema do Limite Central. 33 • Este resultado é gerado pelo Teorema do Limite Central. • O TLC nos diz que a média padronizada da média de uma população com média m e variância s2 é asintóticamente ~N(0,1), ou Normalidade assintótica • Porém, conforme o tamanho de observações aumenta, não precisamos assumir isso. O estimador de MQO irá ser distribuído asintóticamente como uma normal. • Este resultado é gerado pelo Teorema do Limite Central. 34 • Este resultado é gerado pelo Teorema do Limite Central. • O TLC nos diz que a média padronizada da média de uma população com média m e variância s2 é asintóticamente ~N(0,1), ou ( )1,0~ N n YZ a Y σ µ− = Normalidade assintótica de MQO • Sob os pressupostos que fizemos para derivar o estimador de MQO (Gauss-Markov): • ( ) ( ),22,0Normal ~ˆ (i) jaajjn − σββ 35 ( ) ( ) ( ) tes.independen variáveisoutras nas de regressão da resíduo o é ˆ e 2ˆ1plim 2 onde jx rijrnja jjj ∑ − = Normalidade assintótica de MQO • Sob os pressupostos que fizemos para derivar o estimador de MQO (Gauss-Markov): • 22 =σσ 36 )(2 de econsistentestimador um é 2ˆ (ii) uVar=σσ Normalidade assintótica de MQO • Sob os pressupostos que fizemos para derivar o estimador de MQO (Gauss-Markov): • )(2 de econsistentestimador um é 2ˆ (ii) uVarσσ = 37 ( ) ( ) ( )1,0Normal ~ˆˆ , cada Para (iii) )( de econsistentestimador um é ˆ (ii) a jepjjj uVar βββ σσ − = Normalidade assintótica de MQO • Como a distribuição de t se aproxima a uma normal para grandes amostras, também podemos dizer que: 38 Normalidade assintótica de MQO • Como a distribuição de t se aproxima a uma normal para grandes amostras, também podemos dizer que: ( ) ( )~ˆˆ − taep βββ 39 ( ) ( ) 1~ˆˆ −−− kntjepjj βββ Normalidade assintótica de MQO • Como a distribuição de t se aproxima a uma normal para grandes amostras, também podemos dizer que: ( ) ( )~ˆˆ − taep βββ 40 • Note que aqui não assumimos Normalidade, mas ainda estamos assumindo homocedasticidade ( ) ( ) 1~ˆˆ −−− kntjepjj βββ Erro padrão assintótico • Quando u não é distribuído de forma Normal, nos referimos ao erro padrão como um EP assintótico já que: 41 Erro padrão assintótico • Quando u não é distribuído de forma Normal, nos referimos ao erro padrão como um EP assintótico já que: ( ) ( )jep = σβ ,2 2 ˆ ˆ 42 ( ) ( ) ( ) njcjep jRjSTQ jep ≈ − = β β ˆ ,21 ˆ Erro padrão assintótico • Quando u não é distribuído de forma Normal, nos referimos ao erro padrão como um EP assintótico já que: ( ) ( ),21 2 ˆ ˆ jRjSTQ jep − = σβ 43 onde Rj é o R2 da regressão de Xj nas outras variáveis independentes e SQTj é a soma dos quadrados totais desta regrssão. OBS: Esta fórmula vale quando temos homocedasticidade. ( )1 jRjSTQ − Erro padrão assintótico ( ) ( ) ( ) ( )p p jRjSTQ jep − = → σβ σσ 22 ,21 2 ˆ ˆ ˆ 44 • Assim, esperamos que o EP diminuísse numa taxa que é inversamente proporcional ao tamanho da amostra (n1/2). ( ) ( ) ( ) njcjep j j p jn cR XVarSTQ ≈⇒ ∈→− → βˆ 2 1 1,01
