Econometria Aula - 16

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Econometria
Aula 16
Marta AreosaMarta Areosa
marta@econ.puc-rio.br
Heterocedasticidade e Homocedasticidade:
O que já sabemos
• Como se define homocedasticidade e heterocedasticidade? 
 
2
Heterocedasticidade e Homocedasticidade:
O que já sabemos
• Como se define homocedasticidade e heterocedasticidade? 
 
Definição: 
Se var(u|X=x) é constante – ou seja, se a variância da 
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Se var(u|X=x) é constante – ou seja, se a variância da 
distribuição condicional de u dado X não depende de X –
dizemos que u é homocedástico. Caso contrário, u é 
heterocedástico. 
 
Heterocedasticidade e Homocedasticidade
:O que já sabemos
• O que a hipótese de homocedasticiade altera na derivação dos 
estimadores de MQO? 
 
 
4
 
 
Heterocedasticidade e Homocedasticidade
:O que já sabemos
• O que a hipótese de homocedasticiade altera na derivação dos 
estimadores de MQO? 
 
Derivação dos estimadores de MQO: 
5
Derivação dos estimadores de MQO: 
NADA!!!. A derivação dos estimadores de MQO não 
incorpora qualquer hipóese sobre a variância dos erros! 
Relembrando... 
 
{ } { } ( )∑∑ == −−−−= ni kikiini i XXYu kk 1 2110ˆ,...,ˆ,ˆ1 2ˆ,...,ˆ,ˆ ˆ...ˆˆminˆmin 1010 βββββββββ
Heterocedasticidade e Homocedasticidade: 
O que já sabemos
• A hipótese de homocedasticidade é necessária para que os 
estimadores de MQO sejam não-viesados? 
 
Viés dos estimadores de MQO: 
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Viés dos estimadores de MQO: 
NÃO!!!. O viés dos estimadores de MQO estão associados ao 
primeiro pressuposto: 
 
Relembrando... 
 
[ ] 0| =XuE
é viesado?
Sabemos que: 
 = (XTX)-1XTY = (XTX)-1XT(Xββββ +u)= ββββ +(XTX)-1XTu 
 
βˆ
βˆ
Modelo: uXY += β
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Mas, por hipótese, E(u|X) = 0. Portanto: 
 
 = E[ββββ +(XTX)-1XTu] = ββββ + E[(XTX)-1XTE[u|X]] = ββββ 
 
Ou seja, não é viesado! ( ) 
[ ]βˆE
βˆ [ ] ββ =ˆE
Heterocedasticidade e Homocedasticidade:
O que já sabemos
• A hipótese de homocedasticidade altera a consistência dos 
estimadores de MQO? 
 
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Heterocedasticidade e Homocedasticidade:
O que já sabemos
• A hipótese de homocedasticidade altera a consistência dos 
estimadores de MQO? 
 
Consistência dos estimadores de MQO: 
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Consistência dos estimadores de MQO: 
NÃO!!! A consistência é consequência da Lei dos Grandes 
Números. Ela está ligada ao fato de a variância dos 
estimadores de MQO ser inversamente proporcional ao 
tamanho da amostra (n). 
 
Heterocedasticidade e Homocedasticidade:
O que já sabemos
• A hipótese de homocedasticidade altera a eficiência dos 
estimadores de MQO? 
 
 
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Heterocedasticidade e Homocedasticidade:
O que já sabemos
• A hipótese de homocedasticidade altera a eficiência dos 
estimadores de MQO? 
 
Eficiência dos estimadores de MQO: 
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Eficiência dos estimadores de MQO: 
SIM!!! Dizemos que eles deixam de se BLUE (Best Linear 
Unbiased Estimator). Isso é demonstrado no Teorema de 
Gauss-Markov. Estimadores lineares que incorporem a 
heterocedasticidade dos erros tem menor variância que os 
estimadores de MQO. 
 
Heterocedasticidade e Homocedasticidade:
O que já sabemos
• O que a hipótese de homocedasticidade altera? 
 
Alterações: 
As alterações da hipótese de homocedasticidade estão ligadas 
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As alterações da hipótese de homocedasticidade estão ligadas 
diretamente à variância dos estimadores de MQO. Isso gera 
consequências no cálculo da variância dos estimadores e, por 
conseguinte, nos testes de hipóteses. 
 
Como se calcula variância? 
 
 
Homocedasticidade
• O cálculo da variância de fica mais simples! 
 
• Relembrando: no caso de um único regressor, essa hipótese era escrita 
como 
 
[ ]βˆVar
13
 
 
 
• No caso de k regressores, temos 
 
 
 
onde u é um vetor nx1, X é uma matriz nx(k+1) e I é a matriz 
identidade de dimensão k+1 
 
[ ] 2| uii xXuVar σ==
[ ] IXuVar u2| σ=
E quanto ao teste de hipóteses?
• Já vimos que a hipótese de homocedasticidade altera a maneira como 
calculamos as variâncias dos estimadores de MQO... Isso altera o 
teste de hipóteses. Se fizermos testes de hipóteses considerando os 
erros homocedásticos e isso não for verdadeiro, chegaremos a 
estatísticas erradas! Os nossos testes estarão, então, obviamente 
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estatísticas erradas! Os nossos testes estarão, então, obviamente 
errados! 
 
• Quando queremos testar múltiplas hipóteses conjuntamente, 
homocedasticidade também permite simplificar a maneira com que 
calculamos nossa estatística F... 
Testes de Hipóteses Conjuntas
• Podemos expressar este conjunto de restrições sobre os 
coeficientes na forma de 
 
 
 
• No exemplo em questão podemos expressar β1 = 0 e β2 = 0 
rR =β
15
• No exemplo em questão podemos expressar β1 = 0 e β2 = 0 
como 
 
 
 
 
{
{
rR






=


















0
0
0100
0010
3
2
1
0
β
β
β
β
β
44 344 21
Teste F com erros homocedásticos
• Quando queremos testar várias hipóteses e os erros são 
homocedásticos, temos uma fórmula simples para calcular a 
estatística F (somente válida para erros homocedásticos): 
 
• Estimamos duas regressões, uma sob a hipótese nula (a 
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regressão “restrita”) e outra sob a hipótese alternativa (a 
regressão “irrestrita”). 
 
• Comparamos o ajuste das regressões, se o modelo “irrestrito” 
tem um ajuste suficientemente melhor, rejeitamos a hipótese 
nula. Como medimos suficientemente melhor? 
 
 
 
Teste F com erros homocedásticos
 
 
 
 
 
)1/(
/)(
−−
−
= knirSQR
qirSQRrSQRF
17
• Onde SQRr é a soma dos quadrados dos resíduos no modelo 
restrito e SQRir é a quadrados dos resíduos no modelo irrestrito. 
• q é o número de restrições 
• k é o número de regressores no modelo irrestrito. 
• Estatística mede o aumento relativo em SRQ quando passamos 
do modelo irrestrito para o modelo restrito. 
 
 
Teste F com erros homocedásticos
 
 
 
 
• Por que podemos fazer a tranformação e usar esta fórmula? 
)1/()1(
/)(
2
22
−−−
−
=
knR
qrRirRF
ir
18
Lembremos que STQ=SRQ+SQE (Soma resíduos total=soma 
resíduos quadráticos + soma quadrática explicada) 
 
• A fórmula homocedástica de F rejeita quando adicionamos 
variáveis e o R2 aumenta o “suficiente”– ou seja, quando 
adicionamos variáveis e o ajuste da regressão aumenta o 
“suficiente”. 
 
 
A estatística LM robusta
• O que faremos se queremos testar hipóteses conjuntas e o 
pacote econométrico não calcula a estatística F robusta? Para 
múltiplas restrições de exclusão, podemos obter estatística LM. 
Como fazer isso? 
 
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• Suponha que tenhamos o modelo: 
 
 
 
 
• E queremos testar: 
iiiiiii uXXXXXY ++++++= 55443322110 ββββββ
00: 540 == ββ eH
A estatística LM robusta
• Obtenha os resíduos da regressão do modelo restrito 
 
 
• Repita o procedimento trocando a variável dependente por 
cada uma dos regressores excluídos: 
 
iiiii uXXXY ˆˆˆˆˆ 3322110 ++++= ββββ
rXXXX ˆˆˆˆˆ ++++= ββββ
20
 
 
 
 
• Regrida 
 
 
onde 1i é uma variável em que todas observações são iguais a 1 
• Estatística 
iiiii
iiiii
rXXXX
rXXXX
433,522,511,50,55
433,422,411,40,44
ˆ
ˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆˆ
++++=
++++=
ββββ
ββββ
( ) ( ) iiiiii vruru ˆˆˆˆˆˆˆ1 5544 ++= γγ
qSQRn χ~1−
• Mas, como devemos estimar um modelo que incorpora 
heterocedasticidade? 
 
• Sabemos que os estimadores de MQO não serão eficientes... 
 
Estimadores que incorporam
heterocedasticidade
• É possível modificar o modelo para estimá-lo de forma 
eficiente? 
 
• Problema: estimar 
 
onde , sendo 
21
[ ] ( )XhXuV 2| σ= ( ) 0>Xh
ikikii uXXY ++++= βββ ...110
Estimadores que incorporam
heterocedasticidade
• Vamos iniciar supondo que seja uma função 
conhecida. 
 
• Nesse caso para cada conjunto de valores 
 
( )Xh
{ }kiiii xxxX ,...,,,1 21=
22
 
podemos obter 
 
 
• As constantes podem ser utilizadas para 
“corrigir” a heterocedasticidade do modelo... 
 
• Como? Redefinindo as variáveis do modelo. 
( )ii Xhh =
{ }nhhh ,...,, 21
Estimadores que incorporam
heterocedasticidade
• Como 
 
 
 
temos que 
[ ] ( ) 221|1| σσ ===








i
i
i
ii
i h
h
XuV
h
X
h
uV
23
temos que 
 
 
 
é um modelo com erros homocedásticos! 
 
Portanto... 
i
i
i
ki
k
i
i
ii
i
h
u
h
X
h
X
hh
Y
++++= βββ ...1 110
Estimadores que incorporam
heterocedasticidade
• Podemos definir 
 
 
 
e estimar 
i
ki
ki
i
i
i
i
i
i
i
i h
XX
h
XX
h
X
h
YY ≡≡≡≡ *1*1
*
0
* ;...;;
1
;
24
e estimar 
 
 
• é BLUE!!! 
 
• Estes são os estimadores de Mínimos Quadrados Ponderados. 
 
***
11
*
00
*
... ikikiii uXXXY ++++= βββ
{ }kβββ ˆ,...,ˆ,ˆ 10
Estimadores que incorporam
heterocedasticidade
• O que podemos fazer quando a função h(X) não é conhecida? 
 
• Podemos tentar estimá-la... 
 
• Suponha que seja possível aproximá-la pela função: 
 
25
 
 
 
• Note: 
 
( ) ( )kkXXXuVar δδδσ +++= ...exp| 1102
( ) ( ) 0...exp 110 >+++= kkXXXh δδδ
Estimadores que incorporam
heterocedasticidade
• Temos, então, que 
 
 
onde é independente de X e tem média 1. 
 
• Ou seja 
( )vXXu kkδδδσ +++= ...exp 11022
v
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• Ou seja 
 
 
onde é independente de X e tem média 0. 
 
• Assim, obtemos 
 onde é o valor predito de 
 
 
( ) eXXu kk ++++= δδδ ...ln 1102
e
( )ii gh ˆexpˆ =
( ) ikikiii eXXug ˆˆ...ˆˆˆln 1102 ++++== δδδ
igˆ
Estimadores que incorporam
heterocedasticidade
• O estimador de Mínimos Quadrados Ponderados obtido a partir de 
 
 , em vez de , é VIESADO!!! 
 
• Porém, ele é consistente e mais eficiente do que o estimador de MQO!!! 
{ }nhhh ˆ,...,ˆ,ˆ 21 { }nhhh ,...,, 21
27
• Porém, ele é consistente e mais eficiente do que o estimador de MQO!!! 
 
• Assim, dependendo do tamanho da amostra, pode ser melhor utilizar este 
estimador.