Econometria Aula - 17

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Econometria
Aula 17
Marta AreosaMarta Areosa
marta@econ.puc-rio.br
Tópicos Adicionais
 
• Padronização (ou normalização) e os coeficientes de regressões 
 
• Formas funcionais não-lineares 
o Mais Logs 
2
o Mais Logs 
o Quadráticos e cúbicos 
 
• Modelos com interações 
 
• Escolha de modelos usando R2 ajustado 
Mudando unidades em y e x
 
• Já vimos anteriormente que podemos mudar as unidades em Y e 
X em uma regressão sem afetar qualitativamente os resultados 
(por exemplo, quando queremos variar o número de casas 
decimais). 
3
decimais). 
• Suponha que temos uma regressão dada por: 
Peso_nascer = β0 + β1 cigs + β2 Renda + u 
 
• Agora, suponha que vamos medir peso em kg e não em gramas. 
O novo peso será Peso_nascerKg=Peso_nascer/1000. 
 
• O que irá acontecer com os coeficientes estimados? 
Mudando unidades em y e x
 
• Podemos escrever a nova regressão como: 
Peso_nascer/1000 = β0/1000 + β1/1000 cigs 
+ β2/1000 Renda + u 
 
4
 
• Cada coeficiente estimado, terá o valor antigo dividido por 
1000. 
• Erro padrão de cada coeficiente será dividido por 1000. O que 
acontecerá com a estatística t? 
• O que acontecerá com o R2? 
Mudando unidades em y e x
 
• Podemos escrever a nova regressão como: 
Peso_nascer/1000 = β0/1000 + β1/1000 cigs 
+ β2/1000 Renda + u 
 
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• Cada coeficiente estimado, terá o valor antigo dividido por 
1000. 
• Erro padrão de cada coeficiente será dividido por 1000. O que 
acontecerá com a estatística t? 
• O que acontecerá com o R2? 
• E se Y estiver medido em log(Y), o que acontecerá com os 
coeficientes? 
Coeficientes com variáveis
padronizadas
 
• Às vezes, temos uma regressão onde a principal variável de 
interesse está medida em unidades que a torna de difícil 
interpretação. 
 
6
 
• Por exemplo, suponha que queremos ver a associação entre 
desempenho escolar e salário futuro: 
 
Log(salário) = β0 + β1 Nota + β2 Renda_fam + u 
 
 
Coeficientes com variáveis
padronizadas
 
• Muitas vezes, a nota estará em uma unidade que não 
representa nada especificamente (aumento de 10 pontos na 
Prova Brasil). 
 
7
 
• Nesses casos, faz mais sentido perguntar o que acontece com Y 
quando X aumenta em um desvio padrão. 
 
• Em outros casos, queremos padronizar todas as variáveis de 
uma regressão para comparar diferentes variações de desvio 
padrão. 
Coeficientes com variáveis
padronizadas
 
• Se tivermos um modelo original dado por: 
 
 
 
iikiii uxkβxβxββy +++++= ...21 210
8
 
• Podemos tirar a média de cada variável e subtrair essa média de 
cada observação: 
ikikii uxxkβxxβyy +−++−=− )(...)(1 11
Coeficientes com variáveis
padronizadas
 
• Seja σy o desvio padrão amostral de y e σ1 o desvio padrão 
amostral de x1, σ2 o desvio padrão amostral de x2, ... 
 
• Podemos padronizar as variáveis da regressão de forma que: 
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• Podemos padronizar as variáveis da regressão de forma que: 
 
 
 
 
)/(]/)()[/(
...]/)[(1)/(/)( 1111
yikkikyk
iyyi
uxxkβ
xxβyy
σσσσ
σσσσ
+−+
+−=−
Coeficientes com variáveis
padronizadas
 
• Podemos re-escrever o modelo como: 
 
 
 
ikiiiiy
zkbzbzbz ξ++++= ...21 21
10
 
• Onde agora o novo coeficiente bj = (σj/ σy) βj para j=1, ..., k 
 
• Este coeficiente é chamado de coeficiente padronizado ou 
coeficiente beta. 
 
 
 
 
Coeficientes com variáveis
padronizadas
 
• Como interpretamos este novo coeficiente? 
 
• Um aumento de x1 de um desvio padrão está associado com um 
aumento de y em b1 desvios padrões. 
11
aumento de y em b1 desvios padrões. 
 
• Este modelo faz com que a escala dos regressores seja 
irrelevante. Agora podemos comparar os coeficientes de cada 
regressor e determinar qual é o “mais importante” para explicar 
y. 
 
 
 
Exemplo: preço de imóveis
• Suponha que temos um modelo para explicar o preço de 
imóveis (modelo hedônico): 
 
Preço = β0 + β1 NOx + β2 Crime + β3 Quartos + β4 Dist + u 
 
12
 
• Podemos padronizar as variáveis e estimar o modelo 
padronizado. Resultados: 
 
zpreço = -.340 znox - .143 zcrime + .514 zquartos + -.235 zdist 
 
 
 
 
Regressões Não-Lineares
• Até agora assumimos que os modelos são lineares nas variáveis 
X 
• Mas a aproximação linear não é sempre a melhor 
• Podemos estender o instrumental de regressão múltipla para 
13
• Podemos estender o instrumental de regressão múltipla para 
modelos não-lineares em um ou mais regressores. 
 
O que vamos fazer? 
1. Modelos de regressões não-lineares 
2. Modelos com uma variável 
3. Modelos com duas variáveis e interações 
 
Relação entre Nota e Prof/aluno--
linear
14
Relação Nota-Renda– não-linear... 
15
Relação Nota-Renda– não-linear... 
 
16
Regressão não-linear
Se a relação entre Y e X for não-linear: 
 
• O efeito em Y de uma variação em X depende do valor de X – 
ou seja, o efeito marginal de X não é constante. 
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• A regressão linear está mal especificada 
• O estimador do efeito de X em Y está viesado – pode estar 
errado se avaliado na média 
 
 
Regressão não-linear
Se a relação entre Y e X for não-linear: 
 
• O efeito em Y de uma variação em X depende do valor de X – 
ou seja, o efeito marginal de X não é constante. 
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• A regressão linear está mal especificada 
• O estimador do efeito de X em Y está viesado – pode estar 
errado se avaliado na média 
 
• Única solução—estimar uma regressão que permita uma não-
linearidade em X. 
 
Forma geral da regressão não-linear
Yi = f(X1i, X2i,…, Xki) + ui, i = 1,…, n 
 
Pressupostos 
1. E(ui| X1i,X2i,…,Xki) = 0 (mesmo); implica que f é a esperança 
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condicional de Y dado X’s. 
 
2. (X1i,…,Xki,Yi) são i.i.d. (mesmo). 
 
3. Grandes outliers são raros (mesma idéia) 
 
4. Não há multicolinearidade perfeita (mesma idéia). 
 
Funções não-lineares com uma variável
Há duas estratégias complementares para fazer isto: 
 
1. Transformações logarítmicas (já fizemos) 
 
20
 
Funções não-lineares com uma variável
Há duas estratégias complementares para fazer isto: 
 
1. Transformações logarítmicas (já fizemos) 
 
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2. Polinômios em X 
 
A função de regressão populacional é aproximada por um 
polinômio quadrático, cúbico ou de ordem superior. 
 
1. Polinômios em X
Aproximamos a função de regressão populacional através de um 
polinômio: 
 
Yi = β0 + β1Xi + β2 2iX +…+ βr riX + ui 
22
i i
 
• Igual aos nossos modelo de regressão múltipla – exceto que 
os regressores são potências de X! 
 
• Estimação, testes de hipóteses, etc…-- tudo igual 
• Os coeficientes são de difícil interpretação. 
 
Modelo quadrátrico em X
Suponha que temos um modelo dado por: 
 
Yi = β0 + β1Xi + β2 2iX + ui 
 
23
 
• Neste caso, β1 não mede a variação em Y em relação a X. 
 
 
 
Modelo quadrátrico em X
Suponha que temos um modelo dado por: 
 
Yi = β0 + β1Xi + β2 2iX + ui 
 
24
 
• Neste caso, β1 não mede a variação em Y em relação a X. 
 
 
 
• Ou seja, o efeito depende do valor de X. 
XX
Y
2
ˆ21
ˆ ββ +≈∆
∆
Exemplo: salário-escolaridade
 
Especificação quadrática: 
 
Salário_horai = β0 + β1Educi + β2(Educi)2 + ui 
 
25
 
 
Exemplo: salário-escolaridade
26
Exemplo: salário-escolaridade
27
Exemplo: salário-escolaridade
28
Exemplo: salário-experiência
 
Especificação quadrática: 
 
Salárioi = β0 + β1experi + β2(experi)2 + ui 
 
29
 
Salárioi = 3.73 + 0.298 experi - 0.0061(experi)2
+ ui 
 (.35) (.041) (.009) 
 
 
 
Exemplo: salário-experiência
 
Especificação quadrática: 
 
Salárioi = β0 + β1experi + β2(experi)2 + ui 
 
30
 
Salárioi = 3.73 + 0.298 experi - 0.0061(experi)2 + ui 
 (.35) (.041) (.009) 
 
• Experiência aumenta salário, mas efeito diminui conforme 
experiência aumenta. 
 
 
Interpretando resultados estimados
Calculando os “efeitos” para diferentes valores de X 
 
Nota = 607.3 + 3.85 Rendai – 0.0423(Rendai)2 
 (2.9) (0.27) (0.0048) 
 
31
 
Podemos estimar variação em Nota para uma variação em Renda 
de $5,000 per capita para $6,000 per capita: 
 
∆Nota = 607.3 + 3.85×6 – 0.0423×62 
 – (607.3 + 3.85×5 – 0.0423×52) 
 = 3.4 
 
Relação Nota-Renda– não-linear... 
 
32
Nota= 607.3 + 3.85Rendai – 0.0423(Rendai)2 
 
“Efeitos” preditos para diferentes valores de X: 
 
Variação em Renda ($1000 per capita) ∆Nota 
De 5 Para 6 3.4 
 
 
33
 
 
 
Nota= 607.3 + 3.85Rendai – 0.0423(Rendai)2 
 
“Efeitos” preditos para diferentes valores de X: 
 
Variação em Renda ($1000 per capita) ∆Nota 
De 5 Para 6 3.4 
De 25 para 26 1.7 
34
 
 
 
Nota= 607.3 + 3.85Rendai – 0.0423(Rendai)2 
 
“Efeitos” preditos para diferentes valores de X: 
 
Variação em Renda ($1000 per capita) ∆Nota 
De 5 Para 6 3.4 
De 25 para 26 1.7 
35
De 45 para 46 0.0 
 
Nota= 607.3 + 3.85Rendai – 0.0423(Rendai)2 
 
“Efeitos” preditos para diferentes valores de X: 
 
Variação em Renda ($1000 per capita) ∆Nota 
De 5 Para 6 3.4 
De 25 para 26 1.7 
36
De 45 para 46 0.0 
 
O “efeito” de uma variação em renda é maior para valores baixos 
de renda comparado com valores mais latos 
 
Nota= 607.3 + 3.85Rendai – 0.0423(Rendai)2 
 
“Efeitos” preditos para diferentes valores de X: 
 
Variação em Renda ($1000 per capita) ∆Nota 
De 5 Para 6 3.4 
De 25 para 26 1.7 
37
De 25 para 26 1.7 
De 45 para 46 0.0 
 
O “efeito” de uma variação em renda é maior para valores baixos 
de renda comparado com valores mais latos 
Cuidado! Qual é o efeito de variar de 65 para 66? 
Não podemos extrapolar para fora do suporte das 
observações que temos! 
 
Modelo cúbico em X
Suponha que temos um modelo dado por: 
 
Custoi = β0 + β1Qi + β2Qi2 +β2Qi3 +ui 
 
38
• Forma funcional típica para estimar uma função de custo 
total. 
 
 
 
 
Modelo cúbico em X
Suponha que temos um modelo dado por: 
 
Custoi = β0 + β1Qi + β2Qi2 +β2Qi3 +ui 
 
39
• Forma funcional típica para estimar uma função de custo 
total. 
• Neste caso, qual o efeito da variação na quantidade produzida 
sobre o custo? 
 
 
 
 
Modelo cúbico em X
Suponha que temos um modelo dado por: 
 
Custoi = β0 + β1Qi + β2Qi2 +β2Qi3 +ui 
 
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• Forma funcional típica para estimar uma função de custo 
total. 
• Neste caso, qual o efeito da variação na quantidade produzida 
sobre o custo? 
 
 
 
 
2
33
ˆ22
ˆ
1
ˆ QQQ
Custo βββ ++≈∆
∆
Resumo: regressão com polinomios
Yi = β0 + β1Xi + β2 2iX +…+ βr riX + ui 
• Estimação: MQO após redefinir regressores 
 
41
Resumo: regressão com polinomios
Yi = β0 + β1Xi + β2 2iX +…+ βr riX + ui 
• Estimação: MQO após redefinir regressores 
• Tomar cuidado com a interpretação de coeficientes 
• Para interpretar a função de regressão estimada: 
 
42
 
Resumo: regressão com polinomios
Yi = β0 + β1Xi + β2 2iX +…+ βr riX + ui 
• Estimação: MQO após redefinir regressores 
• Tomar cuidado com a interpretação de coeficientes 
• Para interpretar a função de regressão estimada: 
• Fazer gráfico do valor predito como função de x 
43
• Fazer gráfico do valor predito como função de x 
• Calcular ∆Y/∆X em diferentes valores de x 
 
Resumo: regressão com polinomios
Yi = β0 + β1Xi + β2 2iX +…+ βr riX + ui 
• Estimação: MQO após redefinir regressores 
• Tomar cuidado com a interpretação de coeficientes 
• Para interpretar a função de regressão estimada: 
• Fazer gráfico do valor predito como função de x 
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• Fazer gráfico do valor predito como função de x 
• Calcular ∆Y/∆X em diferentes valores de x 
• Hipótese sobre grau r pode ser testada por testes t- e F nas 
variáveis apropriadas. 
 
Resumo: regressão com polinomios
Yi = β0 + β1Xi + β2 2iX +…+ βr riX + ui 
• Estimação: MQO após redefinir regressores 
• Tomar cuidado com a interpretação de coeficientes 
• Para interpretar a função de regressão estimada: 
• Fazer gráfico do valor predito como função de x 
45
• Fazer gráfico do valor predito como função de x 
• Calcular ∆Y/∆X em diferentes valores de x 
• Hipótese sobre grau r pode ser testada por testes t- e F nas 
variáveis apropriadas. 
• Escolha do grau r 
• Olhar dados; testes t- e F, verificar sensitividade dos 
resultados estimados; intuição e teoria econômica.