Lista 2_Parte 2

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

1 
 
Microeconomia II (EAE 0205) 
Lista de Exercícios 2: Parte 2 
18 de Agosto de 2011 
 
Depois de resolver os exercícios da Parte 1, para aprimorar a sua preparação eficientemente 
para as provinhas, os exercícios marcados com (*) devem ser resolvidos primeiramente. É 
recomendável que se resolva o restante da lista de exercícios como forma de fixar e praticar 
os conceitos relacionados ao tema, além de garantir uma excelente preparação para as 
provas. Lembre-se que a abordagem de equilíbrio geral é fundamental em economia. Como 
esta lista de exercícios está bastante longa, os monitores não terão tempo para resolvê-la 
completamente nas sessões de monitoria. Porém, os alunos devem trabalhar nesta lista 
continuamente e, sempre que houver alguma dúvida, procurar os monitores nos seus 
horários de atendimento. 
 
1. (*) Considere uma ilha com uma bananeira que produz duas bananas por dia e um 
coqueiro que produz quatro cocos por dia. Existem apenas dois indivíduos na ilha: o 
dono da árvore de bananas e o dono da árvore de cocos. Banana e coco são ambos 
perecíveis (não podem ser estocados), e empréstimos são proibidos. Esses dois 
indivíduos trocam (em mercados perfeitamente competitivos) entre si e com o mundo 
exterior. Juntos, os dois consomem seis bananas e dois cocos cada dia. Assuma que 
os dois indivíduos possuem preferências idênticas homotéticas. Quanto de cada bem 
cada um dos indivíduos consome? Quanto de cada bem é importado? Quanto de cada 
bem é exportado? 
 
2. (*) Considere uma economia de trocas puras com dois bens e dois indivíduos. Ambos 
os indivíduos têm função utilidade yxyxu += 2),( . Há uma unidade de cada bem 
na economia. 
 
2 
 
a. Encontre a curva de contrato. Mostre-a em linguagem matemática formal e 
graficamente na Caixa de Edgeworth. 
b. Prove que todas as alocações fora da curva de contrato não são ótimas de Pareto. 
c. Enuncie o Primeiro Teorema do Bem-Estar. Mostre que ele é verdadeiro neste 
exercício. 
d. Enuncie o Segundo Teorema do Bem-Estar. Mostre que ele é verdadeiro neste 
exercício. 
 
3. Existem 12 +n indivíduos. N deles possuem um pé direito de sapato e os outros N+1 
possuem o pé esquerdo. Sapatos são indivisíveis. Todo mundo tem a mesma função 
de utilidade: { }EDu ,min= , onde D é o número de pés direitos e E é o número de pés 
esquerdos. 
 
b. Encontre as alocações ótimas de Pareto. 
c. Encontre os equilíbrios walrasianos. 
d. Qual a relação entre os equilíbrios walrasianos e as alocações ótimas de Pareto? 
e. Como a resposta do item b varia com N? 
 
4. (*) Na caixa de Edgeworth, o bem Y é desejado tanto por Jorge (cuja origem está em 
baixo na esquerda) e Bruno (cuja origem está no vértice oposto). O outro bem, X, é 
sempre um bem para Jorge, mas é um mal para Bruno. 
 
a. Desenhe os respectivos mapas de preferências na Caixa de Edgeworth e indique o 
conjunto de alocações eficientes de Pareto. 
b. Imponha que o ponto de dotação encontra-se no ponto médio da caixa e assuma que 
Bruno não pode simplesmente descartar os X indesejáveis mas deve ou vender para 
Jorge a um preço positivo ou induzir Jorge a aceitá-los a um preço negativo. 
Assumindo comportamento tomador de preço de ambos os lados, o equilíbrio 
necessariamente ocorrerá com Px positivo, negativo ou ambos são possíveis? 
Explique. (Dica: pode ser útil construir as curvas de excesso de demanda e excesso de 
oferta de X para os dois agentes). 
3 
 
c. Como a sua resposta mudaria, se é que mudaria, quando se permite que Bruno 
descarte sua dotação de X? 
 
5. No diagrama da caixa de Edgeworth, coloque os Silva na origem sudoeste e X no 
eixo horizontal. Na economia como um todo, existem 200 unidades de X e 100 
unidades de Y. A função de utilidade dos Silva é dada por { }sss yxu ,min= e a 
função de utilidade dos Moura é { }mmm yxu ,max= . 
 
a. Qual o conjunto de alocações eficientes de Pareto desta economia? 
b. Suponha que o ponto de dotação inicial é ( ) ( )50,125, =yx medido a partir da origem 
dos Silva. Mostre que para pequenos preços relativos 
y
x
P
P
 os Silva desejarão 
vender X e os Moura comprar. Conforme o preço relativo aumenta, as suas vontades 
se equilibram? Explique. 
c. Conforme o preço relativo aumenta ainda mais, com o ponto de dotação inicial 
inalterado, os Silva deixam de ser vendedores para se tornarem compradores? E 
quanto aos Moura. 
d. Existe alguma alocação eficiente de Pareto atingível como um equilíbrio competitivo 
a partir de algum ponto de dotação do diagrama. Caso sua resposta seja positiva, 
mostre qual ou quais seriam estas alocações? 
 
6. (*) Considere um mundo com apenas dois países (H e L) e dois bens (A e B). O país 
H possui função utilidade dada por { }HHH BAu ,min= e o país L possui função 
utilidade dada por { }LLL BAu ,2min= . A dotação total desta economia é A=7 e B=8. 
A dotação inicial de H é (2,4) e L possui o resto de ambos os bens. Não existe 
produção e ambos os países agem competitivamente. 
 
a. Desenhe a Caixa de Edgeworth desta economia, indicando a dotação total, as 
dotações de cada país e os seus respectivos caminhos de expansão. 
b. Compute as funções de excesso de demanda de A e B para ambos os agentes. 
4 
 
c. Qual o número máximo de equilíbrio desta economia? 
d. Compute um preço de equilíbrio e o consumo associado para ambos os agentes, suas 
exportações e importações. 
e. Desenhe os resultados de d na Caixa de Edgeworth. 
f. Enuncie a Lei de Walras. 
g. Prove que se um mercado está em equilíbrio, o outro também está. 
h. Dê a condições para que esta economia encontre-se em equilíbrio walrasiano. 
 
7. Considere uma economia com dois agentes cujas respectivas funções de utilidade são 
as seguintes: { }211 ,max xxu = e { }212 ,max xxu = . Cada um dos agentes possui uma 
dotação de uma unidade de cada um dos bens. 
 
a. Para um vetor de preço arbitrário ( )21 , pp , quanto o agente 1 demanda do bem 1? 
b. O que é um vetor de preços de equilíbrio competitivo para esta economia? 
c. Qual equilíbrio de cestas de consumo está associado a este vetor de preços? 
 
Responda e justifique cada um das seguintes questões relacionadas a este mesmo 
enunciado. 
 
d. Esta economia satisfaz as condições do primeiro teorema do bem-estar? 
e. Este equilíbrio é eficiente de Pareto? 
f. Esta economia satisfaz as condições do segundo teorema do bem-estar? 
g. Defina rigorosamente um equilíbrio competitivo. Porque se normaliza um dos preços 
da economia como sendo igual a 1? Qual o impacto desta normalização sobre a 
alocação de equilíbrio competitivo? 
h. São todas as alocações eficientes de Pareto desta economia compatíveis com 
equilíbrios competitivos? 
 
8. (*) Considere uma economia com dois agentes cujas respectivas funções de utilidade 
são as seguintes: 21 2 xxu A += e 21 4 xxu B += . A dotação de A é de seis 
5 
 
unidades do bem 1 e uma unidade do bem 2; B, por sua vez, possui quatro unidades 
do bem 1 e oito unidades do bem 2. 
 
a. Determine a curva de contrato e comente sobre o seu formato. 
b. Encontre o(s) equilíbrio(s) competitivo(s) desta economia, dando o preço relativo e os 
consumos de cada um dos indivíduos. 
c. Este equilíbrio é único? Explique sua resposta. 
d. Derive a curva de possibilidade de utilidade: a relação entre os maiores níveis de 
utilidade atingíveis pelos dois consumidores. 
 
9. (*) Seja uma economia com dois indivíduos e dois bens. A função utilidade do 
indivíduo A é 4/324/1121 )()(),( AAAAA xxxxU = e sua dotação inicial é ( ) )1,3(, 21 =AA ww . 
Já a função utilidade do indivíduo B é 4/124/3121 )()(),( BBBBB xxxxU = e sua dotação 
inicial é ( ) )3,1(, 21 =BB ww . 
 
a. Encontre a equação da curva de contrato. 
b. Desenhe a caixa de Edgeworth, a curva de contrato e a dotação inicial. 
c.
Suponha 11 =p . Encontre os valores de 2p , 1Ax , 2Ax , 1Bx e 2Bx (isto é, encontre o 
equilíbrio walrasiano). A alocação de equilíbrio walrasiano é eficiente? Explique. 
 
10. Suponha que haja dois consumidores em uma economia de trocas com dois bens. A 
cesta de consumo do consumidor 1 é ),( 21 xxx = e a cesta do consumidor 2 é 
),( 21 yyy = . As dotações iniciais destes dois consumidores são ),( 21 eee = para o 
consumidor 1 e ),( 21 zzz = para o consumidor 2, onde 11 10 ez −= e 22 10 ez −= . A 
função utilidade do consumidor 1 é 3/23/1),( yxyxu = , enquanto a função utilidade do 
consumidor 2 é 3/13/2),( yxyxu = . 
 
a. Suponha que a alocação inicial é (6,2) para o consumidor 1 e (4,8) para o consumidor 
2. Normalize o preço do bem 1 como sendo 1 e denote o preço do bem 2 por 2p . 
Escreva a restrição orçamentária de cada consumidor. 
6 
 
b. Encontre as cestas de consumo ótimas de cada consumidor como uma função de p. 
Estas cestas de consumo são funções crescentes ou decrescentes de p? Explique o 
significado deste resultado em palavras. 
c. Qual é o preço de equilíbrio para a alocação inicial de (6,2) para o consumidor 1 e 
(4,8) para o consumidor 2? Quais são as cestas de consumo de equilíbrio resultates? 
d. Qual é a condição de primeira ordem para a otimalidade de Pareto? Cheque que as 
cestas de equilíbrio satisfazem esta condição. 
 
11. (*) Um fazendeiro divide seu tempo entre trabalho e lazer. Ele consome três bens: 
lazer (xl), arroz (xr) e pão (xb). Sua função utilidade é 2/12/1),,( brlbrl xxaxxxxu += . 
Ele tem h horas para dividir entre trabalho e lazer. 
 
a. Suponha que este fazendeiro produza arroz; se ele devota lr horas na produção de 
arroz, ele produz 2/1rl unidades de arroz. Normalize o preço do arroz como sendo 1 e 
denote o preço do pão por p. A única fonte de renda do fazendeiro é a venda do arroz 
que ele produz. Para responder as questões relacionadas ao item a, suponha a=1. 
 
i. Qual é a restrição orçamentária deste fazendeiro? 
ii. Como o fazendeiro escolhe gastar as redá w1 se w1 é uma constante fixada? 
(Assuma que o lazer é fixo neste item) 
iii. Qual é a utilidade marginal da renda w1? (Ela será uma função da própria renda 
w1) 
iv. Qual é a escolha ótima de lr para este fazendeiro? 
v. Qual cesta ),,( *** brl xxx está associada a esta escolha de lr? 
 
b. Suponha que um outro fazendeiro produza pão; se ele devota lb horas na produção de 
pão, ele produz 2/1bl unidades de pão. A função utilidade deste segundo fazendeiro é 
2/12/1),,( brlbrl yybyyyyv += . A única fonte de renda deste fazendeiro é a venda do 
pão que ele produz. Ele também tem h horas para dividir entre trabalho e lazer. Para 
responder as questões relacionadas ao item b, suponha b=2. 
7 
 
 
i. Qual é a restrição orçamentária deste fazendeiro? 
ii. Como o fazendeiro escolhe gastar as redá w2 se w2 é uma constante fixada? 
(Assuma que o lazer é fixo neste item) 
iii. Qual é a utilidade marginal da renda w2? (Ela será uma função da própria renda 
w2) 
iv. Qual é a escolha ótima de lb para este fazendeiro? 
v. Qual cesta ),,( *** brl yyy está associada a esta escolha de lb? 
 
c. Suponha que a economia consista de apenas estes dois consumidores. Qual é o preço 
necessário para equilibrar o mercado de pão (e similarmente para o arroz)? 
d. Quais são as cestas de consumo destes consumidores ao preço de equilíbrio? 
Descreva este resultado de equilíbrio em termos práticos - quem produz o que e o 
que eles comerciam. 
e. Como a preferência relativa por lazer do fazendeiro 2 afeta a natureza dos resultados 
de equilíbrio? Dependendo do preço de equilíbrio que você identificou em c, porque 
este preço é maior que, igual a, ou menor que 1? 
 
11. (*) N pessoas idênticas consomem C bens de mercado e serviços de moradia. As 
moradias são de dois tipos, A e B. Se uma pessoa ocupa a moradia do tipo A, sua 
utilidade é αACU = e, se ocupa a moradia do tipo B, sua utilidade é αBCU = , com 
0>> BA e 10 << α . Existem NA moradias do tipo A e NB moradia do tipo B, com 
NNN BA =+ . Cada pessoa é dotada com C unidades do bem de consumo. Seja AC 
e BC o consumo da pessoa que vive na moradia A e da moradia B, respectivamente. 
 
a. Derive as funções consumo AC e BC sob a hipótese de que todas as pessoas são 
indiferentes com relação ao local onde elas moram (porque elas são idênticas). 
b. Suponha agora que um planejador central benevolente dê moradias e consumo de 
forma condicional ao tipo de moradia através de uma loteria. A loteria é concebida de 
modo a maximizar a utilidade esperada ex ante de cada pessoa, com pesos de 
8 
 
probabilidades N
N A
=ρ e ( ) NN B=− ρ1 , respectivamente. Que valores de AC e 
BC maximizam a utilidade esperada sujeito à restrição orçamentária social: 
( ) CCC BA =−+ ρρ 1 ? Como você compara estes resultados com os do item a? Qual a 
utilidade ex post em A e B? 
c. O caso do item b poderia descrever um equilíbrio competitivo? Caso sua resposta seja 
positiva, explique como. 
 
12. Considere uma economia com dois consumidores e três bens, em que as preferências 
são representadas por: 
 
( ) ( ) ( ) ( )AAAAAAA xxxxxxu 321321 ln2
1ln
4
1ln
4
1
,, ++= 
e 
( ) ( ) ( ) ( )BBBBBBB xxxxxxu 321321 ln6
1ln
3
1ln
2
1
,, ++= 
 
As dotações iniciais são ( )2,4,3=Aω e ( )3,5,1=Bω . 
 
a. Verifique se a Lei de Walras é válida para esta economia. 
b. Encontre um equilíbrio competitivo para esta economia (preços e quantidades). 
 
13. Considere dois indivíduos – A e B – cujas preferências são representadas 
respectivamente pelas funções de utilidade: 
 
( ) ( ) ( )AAAAA xxxxu 2121 ln3
1ln
3
2
, +=
 
e 
( ) ( ) ( )BBBBB xxxxu 2121 ln3
2ln
3
1
, +=
 
 
As dotacões iniciais dos indivíduos são ( )4,1=Aω e ( )1,3=Bω . 
9 
 
 
a. Encontre uma expressão algébrica para curva de contrato desta economia (x2A em 
função de x1A). 
b. Esboce a situação em uma Caixa de Edgeworth e indique as alocações que são 
Pareto-superiores à dotação inicial. 
c. Verifique se a Lei de Walras é válida para esta economia. 
d. Encontre um equilíbrio competitivo para esta economia (preços e quantidades). 
 
Nas condições do exercício d, suponha que o governo institua um imposto de 25% 
sobre a venda líquida do bem 1. Ou seja, para cada uma unidade vendida, o vendedor 
é obrigado a entregar ao governo 0,25 unidades do bem. A receita deste imposto é 
devolvida aos consumidores em quantidades iguais. 
 
e. Encontre o equilíbrio competitivo e ilustre o problema utilizando uma Caixa de 
Edgeworth. 
f. A alocação resultante é Ótima de Pareto? 
g. Compare a utilidade dos dois indivíduos antes e depois do imposto. 
 
15. Prove o Primeiro Teorema do Bem-Estar para uma economia de trocas. 
 
16. Em uma economia de trocas com dois bens e dois consumidores, com preferências 
homotéticas, convexas e diferenciáveis, mostre que se uma alocação interior sobre a 
diagonal da Caixa de Edgeworth pertencer à curva de contrato, então todo ponto na 
diagonal também será Ótimo de Pareto. 
 
17. (*) Mostre que em uma economia de trocas com dois bens e dois consumidores, com 
preferências convexas, diferenciáveis, homotéticas e idênticas, a curva de contrato é a 
diagonal ascendente da Caixa de Edgeworth. 
 
10 
 
18. Proponha uma economia de trocas com dois bens e dois indivíduos cujas preferências 
são convexas, monotônicas e cujas dotações são positivas, mas que não possui 
equilíbrio competitivo.