Econometria_Lista_IV_T 2010

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Departamento de Economia 
ECO1704 – Econometria (2010.1) 
Professores: Marta Areosa e Maurício Reis 
 
Lista de Exercícios Teóricos IV 
 
Questão 1 
 
 Suponha que os rendimentos e o consumo de álcool sejam determinados pelo 
seguinte sistema de equações: 
 ( ) 1210dimln ueducaçãoálcoolentosren +++= ααα 
 ( ) 23210 dimln upreçoeducaçãoentosrenálcool ++++= ββββ 
 
Onde: preço é o índice de preço local para bebidas alcoólicas. Supõe-se que o preço e a 
educação sejam variáveis exógenas. 
 
a) Se 32121 e ,,, βββαα são todos diferentes de zero, qual equação pode ser identificada? 
Explique. 
 
b) Explique como você estimaria essa equação. 
 
Questão 2 
 
Suponha que você tenha como objetivo estimar de que maneira variações no 
preço do cigarro influenciam a quantidade demanda desse bem. Para isso, você dispõe 
de dados sobre a quantidade consumida de cigarros (em maços por habitante) e o preço 
médio do maço (em Reais) em 500 cidades durante um determinado ano. Além disso, 
você também tem informação sobre a renda média em cada uma das 500 cidades. 
 
a) Estimando a equação abaixo pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
você conseguiria atingir seu objetivo de maneira satisfatória, ou seja, entender como o 
preço do cigarro afeta a quantidade demandada? Justifique detalhadamente a sua 
resposta. 
 
iiii uRPC +++= 210 βββ 
 
Onde: 
Ci = quantidade consumida de cigarro na cidade i. 
Pi = preço médio do cigarro na cidade i. 
Ri = renda média na cidade i. 
 
b) Considere que a tecnologia de produção de cigarros é a mesma em todas as cidades (a 
curva de oferta de cigarros é a mesma em todas as cidades). Suponha que você consiga 
informações relacionadas a um imposto municipal que incide sobre o preço do cigarro 
em cada uma das cidades. Esse imposto apresenta valores diferenciados entre as 
cidades. Na sua opinião, essa variável pode ajudar na estimação da regressão de 
interesse? Justifique a sua resposta. 
 
c) Descreva detalhadamente (incluindo as fórmulas adequadas) como você faria para 
estimar o impacto do preço do cigarro sobre a quantidade demandada usando as 
informações sobre o imposto, conforme descrito no item b). 
 
d) Suponha que o imposto sobre o preço do cigarro deixe de ser municipal e passe a ser 
estabelecido nacionalmente. Ou seja, deixe de haver variação no imposto entre as 
cidades. Como isso dificulta a sua análise? 
 
 
Questão 3 
 
Considere o seguinte modelo que satisfaz as condições de Gauss-Markov: 
 
(1) uSY ++= βα 
 
Onde S é medida com erro. A variável observada X é dada por wSX += . Supõe-se 
que w tem média zero e variância constante entre as observações, e que w é 
independente de u e S. 
 Considere que você tenha dados para Y, X e uma terceira variável Z, que é 
correlacionada com X. 
 
(a) Mostre matematicamente as conseqüências do erro de medida para o estimador de β 
em uma regressão por MQO de Y em X. 
 
 (b) Obtenha o estimador de variáveis instrumentais (VI) de β, usando Z como 
instrumento para X. 
 
(c) O estimador de VI encontrado no item (b) é consistente, quando determinadas 
condições são satisfeitas. Estabeleça essas condições e explique por que elas são 
necessárias. 
 
(d) Por que o estimador de VI não é necessariamente superior ao de MQO, mesmo 
quando as condições para o uso de um instrumento são satisfeitas? 
 
 
Questão 4 
 
Com o objetivo de avaliar os ganhos salariais advindos da educação superior nos 
EUA e, em particular, comparar os efeitos de cursos universitários “tradicionais” com 
os cursos de curta duração (“junior colleges”), T.J.Kane e C.E.Rouse (“Labor Market 
Returns to Two- and Four-Year Colleges”, AER 85:3, 1995) estimaram, a partir de 
dados da década de 1970 para os EUA, as seguintes equações para uma amostra de 
3.249 homens (desvios-padrão em parênteses): 
 
 uxunivjcolsal ˆˆ)ln( 072,0041,0
)004,0()011,0(
+′++= β (1) 
 vzunivjcolsal ˆˆ)ln( 056,0035,0
)005,0()011,0(
+′++= γ (2) 
 
onde sal é o salário anual do indivíduo (em US$), jcol e univ medem, respectivamente, 
o número de anos cursados em cursos superiores de curta duração (“junior colleges”, 
que duram 2 anos) ou de longa duração (“universitários”, que duram 4 anos), x é um 
vetor de variáveis explicativas adicionais que incluem dummies de raça 
(negro/hispânico) e região geográfica, experiência profissional (em nível e ao quadrado) 
e um intercepto; e z é um vetor de variáveis explicativas que inclui, além de todas as 
variáveis presentes em x, também as seguintes variáveis: renda dos pais, posição do 
indivíduo no ranking de sua turma na escola secundária, e nota obtida em testes 
padronizados de avaliação na escola secundária. 
 
a) As variáveis jcol e univ estão calculadas em termos de “anos de créditos”; isto é, 
trata-se da razão entre o total de créditos cursados pelo indivíduo e o número médio de 
créditos a serem cursados por ano. No artigo, os autores advertem para a possibilidade 
de erro de mensuração nessas variáveis, devido a informações equivocadas ou 
diferenças na contabilidade de créditos por parte das instituições de ensino. Que tipo de 
conseqüência isso poderia acarretar para a qualidade da estimação? 
 
b) Os autores tentaram resolver o problema citado no item anterior através do uso da 
variável instrumental “nível de educação informado pelo próprio indivíduo”. Apresente 
um raciocínio justificando a validade desse instrumento. 
 
 
Questão 5 
 
Considere um modelo de equações simultâneas com as seguintes equações 
estruturais 
 
iiiii
iiii
uzwyx
uwxy
23210
1210
++++=
+++=
δδδδ
βββ
 
 
onde y e x são endógenos, w e z são exógenos e u1 e u2 são termos de erro. 
 
 
a) Mostre que a equação na forma reduzida para y pode ser escrita como 
iiii vzwy 1210 +++= πππ 
b) Expresse os parâmetros da equação para y na forma reduzida como funções dos 
parâmetros das equações estruturais. Qual hipótese adicional sobre os 
parâmetros estruturais você precisou fazer a fim de poder responder a parte (a)? 
c) Expresse o termo de erro da forma reduzida, v1, em função dos erros das 
equações estruturais. 
d) Suponha que 2β =0. Como você estimaria consistentemente 1β ? 
 
Questão 6 
 
Considere o seguinte modelo populacional, onde, para i=1,...,N, observam-se 
(yi,xi): 
 
0),Cov(
10
≠
++=
ii
iii
xu
uxy ββ
 
Suponha que a variância de x seja igual a de u. Suponha também que exista uma 
variável instrumental z que é ligeiramente correlacionada com u: corr(u,z)=0,1. Suponha 
também que z e x tenham uma correlação um pouco mais forte: corr(u,z)=0,2. 
 
a) Qual é o viés assimptótico do estimador de variáveis instrumentais (usando z como 
instrumento) de β1? 
 
b) Qual deve ser a correlação mínima entre x e u para que o estimador de mínimos 
quadrados tenha um viés assimptótico maior do que o do estimador da parte (a)? 
 
Questão 7 
 
A economista A estima por MQO, para uma amostra de mulheres norte-americanas, 
uma regressão tendo como variável dependente o logaritmo do salário e como variável 
explicativa o nível de educação de cada mulher (em anos de estudo): 
 
428 12,0
ˆ109,0185,0)log(
2
)014,0()185,0(
==
++−=
nR
ueducsal iii
 
 
(a) A economista B afirma: “É provável que o estimador da equação acima seja 
viesado e inconsistente, pois as pessoas podem mentir ao informar seus salários 
e, portanto, a equação sofre de erro de mensuração”. Comente essa afirmativa. 
 
(b) A economista C afirma: “É provável que o estimador da equação acima seja 
viesado e inconsistente, pois a equação omite a habilidade de cada mulher”. 
Comente essa afirmativa. 
 
A economista A opta por ignorar a advertência da economista B, mas decide 
resolver o problema apontado pela economista C através da estimação do
modelo 
por variáveis instrumentais (VI). Entretanto, ela não sabe qual ou quais 
instrumentos usar. Ela considera as seguintes variáveis como possíveis 
instrumentos: (i) o nível de educação (em anos de estudo) da mãe de cada mulher 
da amostra; (ii) o nível de educação (em anos de estudo) do pai de cada mulher da 
amostra; (iii) o teste de QI de cada mulher da amostra. 
 
(c) Analise a adequação de cada uma das 3 variáveis citadas acima como 
instrumento no modelo (1). 
 
(d) Suponha que o “nível de educação da mãe” seja um instrumento válido. Na 
estimação por VI usando tal instrumento, você esperaria que o coeficiente 
associado à educação fosse maior, menor ou aproximadamente igual ao 
coeficiente estimado por MQO acima? Justifique. 
 
(e) Suponha que haja mais de um instrumento válido. Você sugeriria usar ambos os 
instrumentos, ou apenas um deles na estimação por VI? Por quê? 
 
Questão 8 
 
Considere a seguinte base de dados, onde Y é uma variável binária que é igual a 
1 se a pessoa se encontra desempregada e 0 caso contrário; e X mede anos de estudo: 
 
Y 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 
X 9 2 5 4 6 7 3 5 2 7 
 
Onde N=10, 50
1
=∑
=
N
i
iX e ( ) 482
1
=−∑
=
N
i
i XX . 
 
(a) Seguindo um modelo de probabilidade linear, qual é o impacto de um ano 
adicional de estudo sobre a probabilidade de estar desempregado? 
 
(b) Esse impacto é estatisticamente significante? 
 
 
Questão 9 
 
 
Considere uma empresa em que homens e mulheres estão distribuídos da 
seguinte forma entre cargos de gerência e de produção: 
 
Gerência: 20 homens e 10 mulheres. 
Produção: 30 homens e 40 mulheres. 
 
a) Estimando, pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários, uma regressão em que a 
variável dependente é igual a 1 se a pessoa ocupa um cargo de gerência e zero caso 
contrário e a variável explicativa é uma dummy para mulher, obtenha o coeficiente 
estimado para essa dummy. Inclua uma constante na regressão. Como você interpreta o 
resultado encontrado? 
 
b) Quais outros métodos poderiam ser empregados para estimar a relação descrita no 
item a)? Descreva as vantagens e desvantagens de cada abordagem. 
 
 
Questão 10 
 
Considere a seguinte base de dados (N=4), onde Y é uma variável binária que é 
igual a 1 se a pessoa se encontra desempregada e 0 caso contrário; e X mede anos de 
estudo: 
 
 
Y 1 1 0 0
X 1 2 3 4
 
 
(a) Usando um modelo de probabilidade linear (m.p.l.), obtenha da maneira mais eficiente 
possível (com menor variância e sem hipóteses sobre a distribuição dos erros) os valores 
estimados para os parâmetros 0β e 1β na regressão: uXY ++= 10 ββ . 
(b) Qual a fórmula da variância do estimador de 1β da parte (a)? [não precisa obter uma 
estimativa, só escrever a fórmula]. 
 
(c) Agora suponha que você queira estimar os parâmetros  0β e 1β em um modelo probit. 
(i) Como você os estimaria? (dê uma descrição detalhada do método de estimação, escrevendo a 
fórmula da função objetivo que você optimizaria, mas sem fazer uso dos dados (Y,X) acima). 
(ii) Como o seu método de estimação mudaria se o modelo fosse logit? 
 
 
(d) Como variações em X influenciam Y (em média) em cada um dos modelos acima 
(m.p.l., probit e logit)?