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CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 9
Introdução
Neste capítulo vamos, recordar os conceitos estudados em Lógica Matemática
de álgebra booleana desenvolvidos por George Boole em meados de 1857.
Estes conceitos fazem o elo entre a matemática e os computadores digitais.
Os computadores utilizam a lógica binária, presença e ausência de energia,
ou seja, verdadeiro e falso. Agora basta associar de maneira adequada os
operadores, conjunção, disjunção, negação e outros para termos todas as
operações matemáticas que um computador executa.
Nosso curso tem como foco conversão de binário-decimal, e como ela acar-
reta erros nas operações realizadas por computadores. Ao fi nal deste capí-
tulo, você será capaz de identifi car as fases de modelagem e os possíveis erros
nelas cometidos e compreender a representação binária e como ocorre a repre-
sentação dos valores decimais em um computador.
Neste capítulo, estudaremos uma área relativamente nova em relação a toda
a história da Matemática, mas não menos importante, para isso é importante
conhecer sobre valor posicional de um algarismo no sistema de numeração de
base dez. Outro importante conceito é a notação científi ca, pois com esse tipo
de notação trabalhamos com o posicionamento da vírgula e a potência de 10,
muito útil em nosso curso de Cálculo Numérico.
1.1 Erros na fase de modelagem
Para melhor compreender em quais momentos, durante a resolução de um
problema, podem ocorrer erros, vamos representá-los por meio de um esquema,
conforme a fi gura a seguir.
Problema físico Modelo matemático
Modelagem Resolução
Solução
O erro pode ocorrer na fase de modelagem, por exemplo, se o problema
exige que tenhamos uma precisão de várias casas decimais não conseguimos
medi-los de maneira precisa dependendo do modelo que se tenha.
Erros e representação
numérica 1
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
10 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Outro exemplo que podemos citar são os modelos que matemáticos estudados
no Ensino Médio desprezam, como o atrito, a resistência do ar, entre outras variá-
veis que em problemas reais influenciam diretamente no resultado final.
Exemplo
Considerando a equação F = m ⋅ a, sendo F a força medida em Newtons, m
a massa em quilograma e a a aceleração em metros por segundo, se desejarmos
medir a forma de um objeto em queda livre, sabemos que a aceleração é apro-
ximadamente 9,8 m/s e sua massa igual a 5 Kg.
Facilmente respondemos que a sua força é F = 9,8 × 5 = 49 N. Entretanto,
existe variação na gravidade em função da altitude em relação ao nível do mar,
temos também que considerar a resistência do ar, entre outros fatores, portanto
embora os cálculos estejam corretos temos erros na modelagem problema.
O que ocorreu no problema citado acorre em qualquer área do
conhecimento.
1.2 Erros na fase de resolução
Os erros também podem ocorrer na fase de resolução devido a alguma
aproximação realizada pelo computador devido às restrições de representação,
como, por exemplo, o número pi, e, 2 e outros irracionais e alguns racionais.
Estes números não podem ser representados exatamente e o erro cometido
propaga nas operações aritméticas.
No computador ainda temos o problema da conversão em binário-decimal,
em que os números binários não representam todos na forma decimal.
Para melhor compreender essas situações vamos estudar como transformar
números da forma decimal-binária e vice-versa.
1.2.1 Conversão de bases
As máquinas digitais convertem todos os dados para binário (0 ou 1,
presença ou ausência de energia) realizam as operação, transformam em
decimal para que possamos compreender, todos os cálculos são realizados utili-
zando a Álgebra Booleana.
Um número N qualquer pode ser descrito numa base β de acordo com a
seguinte expressão polinomial:
m m 1 1 1 2
m m 1 1 o 1 2 n nN a a ... a a a a ... a
− − −
− − − − −= β + β + + β + + β + β + + β
Para compreender melhor, primeiro veremos um exemplo com a base decimal
com a qual estamos mais acostumados.
Deste momento em diante, nesta disciplina todos os números serão repre-
sentados entre parênteses com um índice indicando em qual base está o
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 11
número para que não haja confusão. Por exemplo, (110)10 que representa o
número cento e dez, enquanto que (110)2, representa o número “um um zero”
na base binária.
Vamos representar o número (142,52)10, assim temos:
2 1 1 2
2 1 1 2
2 2 0 1 2
10
N a a a a
(142,12) 1 10 4 10 2 10 5 10 2 10
− −
− −
− −
= β + β + β + β
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Podemos observar claramente o efeito da posição relativa, que neste caso
1 tem peso 100, 4 tem peso 40 e 2 tem peso unitário e o mesmo para a parte
fracionária que tem 5 com peso 0,5 e 2 com peso 0,02.
A base binária utiliza apenas dois símbolos para representar os números o
0 e o 1. Vamos escrever o número (110)2 utilizando o polinômio que generaliza
a representação dos números. Neste caso temos β = 2.
3 2 1
3 2 1
3 2 0
2
2 10
N a a a
(110) 1 2 1 2 0 2
(110) (12)
= β + β + β
= ⋅ + ⋅ + ⋅
=
Resolvendo a expressão anterior temos como resultado a representação
decimal do número binário (110)2.
Agora vamos estudar um método prático para realizar a conversão binário-
decimal e vice versa através de um exemplo.
Exemplo
Transforme em binário o número (26)10.
Solução
Para converter decimal em binário dividimos o número sucessivas vezes por
2 enquanto for possível, e escrevemos o número binário tomando os restos da
divisão, da última para a primeira.
37
18
9
4
2
0
0
0
0
1
1
0
2
2
2
2
2
2
1
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
12 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Assim o número (26)
10
= (11010)
2
, para verificar basta utilizar o polinômio
para transformar novamente em decimal. Vamos verificar:
4 3 2 1 0
4 3 2 1 0
4 3 2 1 0
2
2
2
2 10
N a a a a a
(11010) 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2
(110) 1 16 1 8 0 4 1 2 0 1
(110) 16 8 0 2 0
(110) (26)
= β + β + β + β + β
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= + + + +
=
Podemos observar que para representar um número em binário precisamos
de mais posições que na forma decimal, de maneira geral quanto menor a base
mais posições são necessárias. Agora, vamos estudar o processo para trans-
formar decimais fracionários, considere o exemplo.
Exemplo
Transforme em decimal o número (0,625)
10
.
Solução
Para transformar decimal fracionário em binário, multiplicamos apenas parte
fracionária por 2 sucessivas vezes até a parte fracionária ser igual a zero ou o
número repetir uma sequência, a parte inteira sempre será 0 ou 1.
0,625
x 2
1,250
0,250
x 2
0 ,500
0,500
x 2
1,000
A parte inteira em destaque é o número na forma binária (0,101)
2
. Como
fizemos no exemplo anterior vamos verificar se a transformação está correta
voltando o número para a forma decimal.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2
2
2 10
N a a a
(110) 1 2 0 2 1 2
1 1 1
(110) 1 0 1
2 4 8
(110) 1 0,5 0 0,25 1 0,125
(110) (0,625)
− − −
− − −
− − −
= β + β + β
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
=
E como faríamos se tivéssemos um número com parte inteira e fracionária,
ou seja, misto na forma decimal para transformar em binário?
A resposta é simples basta aplicar os dois processos em separado. Veja um
exemplo:
CALCULO_NUMERICO.indd 12 1/4/aaaa 13:13:03
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 13
Exemplo
Transforme o número (37,375)10 em binário.
Solução
Primeiro vamos transformar a parte inteira, ou seja, o 37.
37
18
9
4
2
0
0
0
0
1
1
0
2
2
2
2
2
2
1
Assim, na parte inteira temos (100101)2, mas ainda falta a parte fracio-
nária. Tomando apenas esta faremos como no exemplo anterior.
0,375
x 2
0 ,750
0,750
x 2
1,500
0,500
x 2
1,000
Então a representação binária do número (37,375)10 é (100101,011)2.
1.2.2 Erros de arredondamento
Durante o processo de conversão binário decimal, podem ocorrer alguns
erros, pois na forma binária não é possível representar todos os números da reta
real. Também existem casos em que um número exato na forma decimal não
possui tal representação na forma binária.
Por exemplo, o número (0,1)10, em binário é uma dízima periódica, ou seja,
não pode ser representada exatamente com uma quantidade fi nita de símbolos.
Existem também os números em decimal que não possuem representação
binária, então fazemos uma aproximação.
Exemplo
Vamos representar o número (0,1)10 na forma binária.
0,1
x 2
0,2
0,2
x 2
0,4
0,4
x 2
0,8
0,8
x 2
1,6
0,6
x 2
1,2
0,2
x 2
0,4
0,4
x 2
0,8
0,8
x 2
1,6
0,6
x 2
1,2
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
14 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Observe que neste ponto o (0,4)10 começa a se repetir formando assim uma
dízima periódica em binário. Neste caso, existe a necessidade de arredondar ou
truncar, pois temos uma quantidade finita de posições para representar o número.
A representação binária que obtivemos para (0,1)10 é (0,000110011...)2,
fazendo a transformação inversa do último número considerando apenas as nove
primeiras casas chegamos ao decimal (.09960937500)10, o qual possui um erro
de (0.000390625)2 que dependendo da aplicação pode ser um problema.
Vimos como os números são representados em máquinas digitais, agora,
vamos compreender como são armazenados e como podemos operá-los.
1.3 Representação em ponto flutuante
Todo dia utilizamos calculadoras e nem imaginamos que elas podem cometer
erros e muito menos nos preocupamos sobre como suas operações são reali-
zadas. Nelas são utilizadas, por exemplo, a representação em aritmética de
ponto flutuante. A seguir temos um exemplo.
Exemplo
O número 15.200.000.000 na calculadora é representado por 1,52 x 1010.
Observe que a vírgula que separa a parte fracionária no número
15.200.000.000 está a direita do último zero. Para facilitar a escrita e diminuir
o espaço necessário para a representação deslocamos a vírgula dez casas para
a esquerda e multiplicamos por uma potência de dez para não alterarmos o
valor do número, neste caso, 1010.
Conhecendo a base em que se está representando o número, os valores dos
números significativos, no exemplo anterior, 152 e o expoente da base.
Essa forma de representar os números otimiza a forma de representar os números
quando a quantidade de símbolos a ser armazenado é limitado. A seguir, temos a
definição do sistema de ponto flutuante para qualquer base de numeração.
Definição
Um sistema de ponto flutuante F ⊂ IR é um subconjunto dos números reais
cujos elementos tem a forma:
e
1 2 3 tF (.d d d ...d )= ± β
sendo i0 d , i 1,..., t≤ < β =
A aritmética de ponto flutuante F é caracterizada por quatro números inteiros:
base t� β (binária, decimal, hexadecimal e etc..);
precisão t (número de algarismos da mantissa);t�
limites do expoente e (t� min maxe e e≤ ≤ ).
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 15
Assim F é definido por F min max( , t,e ,e )β . A mantissa está sempre entre –1 e 1.
Para garantir a representação única para cada y ∈ F, faz-se uma norma-
lização no sistema de forma que d1 ≠ 0 para y ≠ 0. No exemplo, a seguir,
veremos como representar um número no sistema de ponto flutuante.
Exemplo
Considere o número (0,00021456)10, vamos representá-lo em uma máquina
com as seguintes características β = 10, t = 4 e –9 ≤ e ≤ 9.
Solução
Para representar nesta máquina o número vamos utilizar a equação
e
1 2 3 tF (.d d d ... d )= ± β
Como d1 ≠ 0, β = 10, como a mantissa deve estar entre –1 e 1 devemos
deslocar a vírgula três casas para a direita.
0,21456 × 10–3
Mas nossa máquina representa apenas 4 dígitos na mantissa então trun-
camos o último ficando com o número
0,2145 × 10–3
Utilizamos o mesmo processo para representar números inteiros, como no
exemplo a seguir.
Exemplo
Considere o número (21,004567)10, vamos representá-lo em uma máquina
com as seguintes características β = 10, t = 4 e –9 ≤ e ≤ 9.
Solução
Novamente devido às restrições da mantissa vamos reposicionar a vírgula
de modo que para d1 ≠ 0 a mantissa esteja entre –1 e 1.
0,21004567 × 102.
A nossa máquina representa apenas 4 dígitos na mantissa temos.
0,2100 × 102
Observe que neste último exemplo alguns algarismos foram ignorados, acar-
retando um erro, assim a quantidade de símbolos na mantissa determina a capa-
cidade de armazenamento de um número em uma máquina digital.
Para valores binários funciona da mesma maneira e assim como na represen-
tação decimal também ocorrem erros. Em uma máquina digital, em seu projeto,
está implícita a base do sistema de numeração e por isso não há necessidade
de armazená-la. Para representar em uma máquina digital devemos reservar um
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
16 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
espaço também para o sinal, onde se convenciona que 0 (zero) indica positivo
e 1(um) indica o sinal negativo. Observe o esquema a seguir.
Sinal da
mantissa
Mantissa Sinal do
expoente
Expoente
Observe o exemplo a seguir.
Exemplo
Represente o número (–26,575)10 em uma máquina digital com as seguintes
características β = 2, t = 4 e –8 < e < 8.
Solução
Inicialmente devemos converter o número para binário, assim temos:
(26,575)10 = (11010,11)2
Vamos deslocar a vírgula 5 casas para a esquerda para satisfazer as
condições da mantissa, ou seja, d1 ≠ 0 e a mantissa entre –1 e 1. Assim,
0,1101011 × 25, entretanto nossa máquina armazena apenas os símbolos 0 e
1, portanto, devemos transformar o expoente em binário também (5)10 = (101)2.
Utilizando o esquema, temos:
SM MANTISSA SE EXP
0 1 1 0 1 0 1 0 1
Nesta máquina devemos abandonar alguns dígitos, pois a máquina possui
apenas 4 posições para a mantissa causando um erro em sua representação
devido as limitações da máquina. Na máquina está representado:
0,1101 × 25 = (11010,00)2
Voltando o número representado na máquina a forma decimal, temos:
(11010,00)2 = (26)10
A parte fracionária foi perdida, e ocasiona um erro de (0,575)10.
Saiba mais
Durante a Guerra do Golfo em 1991, um míssil Patriot falhou devido a um
erro na representação do tempo utilizado para calcular a sua trajetória,
este erro impossibilitou o míssil Patriot de interceptar o míssil Scud que ma-
tou 28 soldados e deixou em torno de 100 feridos.
O erro no sistema ocorreu devido a um truncamento na conversão de déci-
mos de segundos em segundos utilizando uma memória de 24 bits na sua
representação, o agravante do erro foi ocasionado devido a alta velocidade
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 17
do míssil Scud, 1.676 m/s, que por um pequeno lapso no cálculo do tempo
o tirou da faixa de atuação do Patriot. Veja no sítio: <http://www.ima.umn.
edu/~arnold/disasters/patriot.html>.
Como vimos, as máquinas digitais possuem limitações e por isso é impor-
tante estudá-las para compreendermos o que podemos fazer e como corrigir
esses erros. Um outro erro comum, cometido por máquinas digitais, é o overflow
e o underflow que são erros relacionados ao projeto e a limitação de memória
na representação de números muito grandes ou muito pequenos em módulo.
1.4 Overflow e Underflow
O conjunto de números reais é infinito, entretanto, sendo o sistema de ponto
flutuante limitado, pois é um sistema finito, fica claro que não é possível repre-
sentar todos
os números.
Dois fatores causam essa limitação:
o intervalo dos expoentes (et� min ≤ e ≤ emax);
a quantidade de elementos na mantissa (t� β–1 ≤ m ≤ 1 – β –t).
A primeira limitação causa os fenômenos denominados de “overflow” e
“underflow”. A segunda ocasiona erros de arredondamento ou truncamento.
Ocorre um overflow quando tentamos armazenar um número real que tenha
expoente maior que o determinado pelo intervalo pré-definido por ele.
O underflow ocorre quando desejamos representar um número diferente de
zero, mas que seja menor que o menor representável possível pela máquina,
neste caso extrapolando o expoente pelo limite inferior.
Exemplo
Considere uma máquina em que t = 4, β = 2 e –2 ≤ exp ≤ 2, represente os
seguintes valores (0,00001)2 e (10000)2 nessa máquina.
Solução
Colocando (0,00001)2 na representação de ponto flutuante, temos:
0,1 x 2-4.
Como a nossa máquina trabalha no sistema binário devemos representar
também os expoentes na forma binária. Levando em consideração as especifica-
ções desta máquina, fazemos o seguinte esquema:
SM MANTISSA SE EXP
0 1 0 0 0 1 ? ?
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
18 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
O expoente tem representação (100)2, mas dispomos de apenas duas casas
para a representação, nesse caso houve um underflow.
Fazendo o mesmo processo para (10000)2, temos:
0,1 x 25 e (5)10 = (101)2
SM MANTISSA SE EXP
0 1 0 0 0 0 ? ?
Como o expoente extrapolou a capacidade da máquina de representação
para mais, dizemos que ocorreu um overflow.
1.5 Erros
Como vimos anteriormente em cálculos computacionais, os valores em geral
são aproximados, assim, é importante saber o quanto uma medida está próxima
de um valor “exato”. Assim utilizamos o erro para medir a diferença entre o
valor exato e o aproximado.
Seja:
x ∆ aproximação para x.
O erro absoluto de x é dado por:
Ae x x= −
No entanto, o erro absoluto nem sempre é eficiente considere o seguinte caso:
Na construção de uma casa, o mestre-de-obras mede o ângulo formado entre
a parede e o solo e obtêm 89° graus, sendo o ideal 90°, entretanto esse erro é
insignificante tendo em vista a altura da parede uma casa, que em média tem seis
metros de altura. Considerando o mesmo erro em um observatório no ajuste do
ângulo do telescópio pode significar milhares ou até milhões de quilômetros entre
dois astros. Nestes casos o erro absoluto de 1° tem significado muito diferente
dependendo da situação. Assim o erro relativo é definido conforme a expressão:
R
x x
e
x
−
=
O erro relativo é útil quando |x| é uma boa medida do tamanho da
quantidade.
Exemplo
Seja o valor pi = 3,141592 considerado como “valor exato”. Vamos calcular
o erro cometido no cálculo do comprimento de circunferências em dois casos:
pi = 3,14, raio = 4 m
pi = 3,141, raio = 20 m
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 19
Solução
Nos dois casos, vamos calcular o erro absoluto e relativo, sabendo que o
comprimento da circunferência é dado por: C = 2pir.
Calculando o valor exato:
Ce = 2 x 3,141592 x 4
Ce = 25,132736 m
C1 = 2 x 3,14 x 4
C1 = 25,12 m
eA1 = |x – x|
eA1 = |25,132736 – 25,12|
eA1 = 0,012736
Calculando o erro relativo:
R1
R1
25,132736 25,12
e
25,132736
e 0,000506
−
=
=
Fazendo o mesmo para letra b temos, calculando o valor exato:
Ce = 2 x 3,141592 x 1000
Ce = 628,3184 m
eA2 = |x – x|
eA2 = |6283,1840 – 6282,000|
eA2 = 1,184
Calculando o erro relativo:
R2
R2
R2
x x
e
x
6283,1840 6282,000
e
6283,1840
e 0,0001884
−
=
−
=
=
Comparando o erro absoluto da letra a e b observamos que o erro é maior
na letra b. Enquanto que o erro relativo da letra b é menor que o erro relativo
em a. O que isto significa?
Significa que eA2 = 1,184 é menos significativo quanto comparado com a
magnitude do comprimento.
CAPÍTULO 1 • CÁLCULO NUMÉRICO
20 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Agora sabemos qual é a base do sistema de numeração utilizada pelo
computador, como eles são representados dentro da máquina, sabemos sobre
alguns problemas que podem ocorrer durante esse processo, como underflow
e overflow e aplicaremos esses conceitos na determinação de zeros reais de
funções reais, assunto do nosso próximo capítulo.
Determinar as raízes de algumas funções de forma analítica pode ser muito
complexo e por isso optamos por encontrar o valor aproximado de métodos
numéricos.
Referências
BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher.
Editora da USP, 1972.
RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa-
cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997.
Anotações
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 21
Raízes reais de funções 2
Introdução
Muitos problemas são modelados por meio de funções e encontrar as suas
raízes signifi ca encontrar o resultado do problema. No entanto, podemos encon-
trar de forma analítica e exata apenas raízes de algumas funções, como as poli-
nomiais de 1º e 2º graus e certas classes de 3º e 4º graus e algumas equações
transcendentes.
E como faremos para resolver os problemas modelados por funções poli-
nomiais e transcendentes que não podem ter suas raízes determinadas analiti-
camente? Utilizaremos métodos numéricos que determinam as raízes de forma
aproximada à raiz exata.
Embora os métodos numéricos não forneçam as raízes exatas podemos
aproximá-las tanto quanto for necessário dependendo da natureza do problema,
tornando o erro desprezível. Por isso é importante conhecer bem o problema e
os métodos para podermos analisar os resultados obtidos de forma adequada.
Nosso principal objetivo neste capítulo é encontrar um número x para o qual
uma função f(x) seja igual a zero, ou seja, f(x) = 0, assim x é denominado raiz
da função ou zero da função.
Para determinar a raiz de uma função seguimos duas etapas:
Isolamento das raízest� : antes de aplicar qualquer método numérico para
a determinação de uma raiz de uma função devemos garantir que em
um intervalo [a, b], contenha uma e somente uma raiz da função.
Refi namento da raizt� : nesta etapa vamos determinar melhorar o resultado
diminuindo o intervalo e desta maneira aproximando de x de forma que
f(x) seja o mais próximo de zero possível.
Esperamos que ao fi nal deste capítulo, você seja capaz de determinar a raiz
aproximada de uma função e analisar e aplicar métodos numéricos para deter-
minação de raízes de uma função.
Para um bom desenvolvimento dos conceitos abordados neste capítulo é
importante ter compreendido os conceitos de erros numéricos ocorridos durante
operações aritméticas e cálculos binários. Os conceitos de funções suas classi-
fi cações e familiaridades com suas propriedades são de suma importância na
escolha do método adequado e análise de sua raiz.
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
22 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
2.1 Isolamento de raízes
Para isolar uma raiz vamos apresentar um importante e simples teorema da
Álgebra que nos auxiliará nessa tarefa.
Teorema 1: Se uma função contínua f(x)assume valores de sinais opostos nos
pontos extremos de um intervalo [a, b], isto é f(a) . f(b) < 0, então o intervalo
conterá, no mínimo, uma raiz de f(x), ou seja, haverá no mínimo, um número
x (a,b)∈ tal que f(x) 0= .
Exemplo
A figura a seguir representa o gráfico de uma função f(x) que possui algumas
raízes no intervalo [a, b].
x
a
b
y
x
1
x
2
x
3
Podemos observar que f(a) ⋅ f(b) < 0, pois f(a) < 0 e f(b) > 0, também vimos
que existem raízes no intervalo [a, b], mas ela não é única. Para garantir que a
raiz seja única, a derivada de f(x) deve existir e manter o mesmo sinal para todo
o intervalo [a, b].
A figura seguinte nos apresenta
um exemplo gráfico de uma função f(x) cujo
sinal de f'(x) não altera no intervalo [a, b].
y
x
a
b
f(x)
No caso de f(a) ⋅ f(b) > 0 nada podemos afirmar sobre as raízes de f(x) no
intervalo [a, b], pois podemos ter as seguintes situações:
Observe as figuras a seguir, estas duas situações podem ocorrer quando
f(a) ⋅ f(b) > 0.
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 23
y y
a
a
b
b
f(x)
x x
Figura (a) Figura (b)
x
1
x
2
Na figura a, f(a) > 0 e f(b) > 0, e temos duas raízes reais, e na figura b não
temos nenhuma raiz real, portanto quando encontramos f(a) ⋅ f(b) > 0, nada
podemos afirmar.
Existe uma vasta teoria a respeito de equações algébricas no que diz respeito
ao isolamento de suas raízes que não está no escopo de nosso curso.
Para isolar a raiz de uma função utilizaremos o método gráfico que pode ser utili-
zado tanto para equações algébricas quanto para equações transcendentais.
2.2 Método gráfico
Antes de comentarmos sobre o método é importante termos em mente alguns
tipos de gráficos. Você se lembra do gráfico da função f(x) = xa ou da função
f(x) = tg(x)? Agora vamos recordar alguns desses gráficos.
Na tabela a seguir temos alguns gráficos importantes, veja:
FUNÇÃO GRÁFICO
f(x) = sen(x)
y
1
–1
1 2 3 4 5 6
xpi
2
pi
f(x) = cos(x)
y
1
–1
1 2 3 4 5 6
xpi
2
pi
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
24 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
FUNÇÃO GRÁFICO
f(x) = tg(x)
–1
–1
–2
–3
–4
1
1
2
3
4
5
y
2 3 4 5 6 7 8
x2
pi 3
2
pi
f(x) = log
a
x
a>1
–1
–2
–3
1
1
2
3
y
2 3 4 5 6 7 8
x
f(x) = log
a
x
0 < a < 1
–1
–2
–3
1
1
2
3
y
2 3 4 5 6 7 8
x
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 25
FUNÇÃO GRÁFICO
f(x) = e
ax
a > 0
1
–1
1
3
4
5
6
7
2
2
y
–4 –3 –2 –1
x
f(x) = e
ax
a < 0
1
1
–1
–1
–2 2
2
3
3
4
4
5
6
7
Para encontrar o intervalo [a, b] que contenha a raiz fazemos um esboço do
gráfico da função f(x) e verificamos aproximadamente onde ela se anula.
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
26 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Exemplo
Seja a função f(x) = ex – sen(x) – 2, vamos determinar aproximadamente
onde a função se anula, ou seja, em qual intervalo se encontra a sua raiz.
Fazendo o esboço do gráfico, temos:
–1 1
y
x
1
Observando o gráfico podemos escolher um intervalo nas proximidades de
1, mas não podemos afirmar com precisão qual o valor da raiz, por exemplo, o
intervalo [0,5 ; 1,5].
Esboçar o gráfico de uma função desse tipo não é simples. Então, como
faremos para esboçar o gráfico e isolar as raízes de certas funções já que isso
não é tarefa fácil?
Vamos escrever a função de uma forma equivalente, considerando que dese-
jamos resolver a equação f(x) = 0, vamos escrever a função f(x) como uma soma
de funções que conhecemos seu gráfico. Assim, temos:
f(x) = g(x) + h(x) (1)
Substituindo (1) em f(x) = 0, obtemos o seguinte resultado:
g(x) + h(x) = 0
g(x) = –h(x)
Deste modo a raiz de f(x) corresponde à abscissa da solução da equação
g(x) = – h(x). Vejamos através de um exemplo como funciona este artifício.
Exemplo
Considerando a função do exemplo anterior f(x) = ex – sen(x) – 2, vamos
utilizar o artifício matemático apresentado.
Solução
Denominando g(x) = ex e h(x) = –sen(x) – 2.
Para resolver a expressão g(x) = –h(x). Esboçamos os dois gráficos no mesmo
plano cartesiano. Observe a figura a seguir.
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 27
4
3
2
1
21
x
f(x)
–h(x)
y
g(x)
–1
As funções h(x) e g(x) são mais simples de serem esboçadas graficamente
e o ponto de encontro das duas possui a mesma abscissa da raiz procurada,
portanto basta escolher um intervalo nas proximidades deste ponto.
Vamos praticar fazendo outro exemplo.
Exemplo
Determine um intervalo que contenha apenas a primeira raiz positiva da
função f(x) = x2 + x – cos(x).
Solução
Vamos escrever a função f(x) em termos da soma de h(x) e g(x), como fizemos
anteriormente, aqui temos dois tipos de função como parcela de f(x), uma poli-
nomial chamaremos de g(x) = x2 + 2 e outra trigonométrica que chamaremos
de h(x) – cos(x). Fazendo g(x) = h(x), e esboçando ambos os gráficos no mesmo
plano cartesiano, temos:
y
x
1
1–1
2
CALCULO_NUMERICO.indd 27 1/4/aaaa 13:14:34
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
28 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Assim, podemos escolher como intervalo, por exemplo, [0, 1], lembrando
que o enunciado pede a primeira raiz positiva.
Cuidado, não representa uma raiz de f(x)!
2.3 Métodos de refinamento
Durante o processo de refinamento necessitamos saber qual a diferença
entre a raiz aproximada e a raiz exata. Para realizar essa avaliação utilizamos
um dos três critérios a seguir.
1º Critério: nf(x ) ≤ ε
2º Critério: n n 1x x −− ≤ ε
3º Critério: n n 1
n
x x
x
−− ≤ ε
Nos critérios apresentados nx representa a enésima aproximação da raiz.
Nos critérios 1 e 2 podemos ter a situação representada pelos gráficos da
figura a seguir.
f(x)
xx
Figura 1
xx
Figura 2
A figura 1 apresenta um problema quando utilizamos o primeiro critério
para avaliar se um determinado valor está ou não próximo de uma raiz, pois
apesar do valor de f(x) estar próximo de zero percebemos que ainda está relati-
vamente longe da raiz exata.
A figura 2 temos um problema semelhante com o critério 2, a diferença é
que x está próximo da raiz, mas f(x) não se aproxima de zero.
Em muitos casos verificamos se os dois critérios são satisfeitos evitando
conclusões equivocadas.
O terceiro critério nos fornece a distância relativa da raiz e se comporta de
forma semelhante ao segundo.
Agora que conseguimos separar uma raiz de uma função e avaliar o quanto
x está próximo da raiz, vamos estudar técnicas que melhorem esse resultado que
inicialmente é simplesmente visual e nos fornece apenas uma aproximação inicial.
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 29
2.4 Métodos de refinamento
Métodos de refinamento aproximam da raiz através de um processo mate-
mático que se repete por uma quantidade finita de vezes. Esse processo cria
uma sequência de valores que se aproximam da raiz exata até que um critério
de avaliação seja satisfeito. Vamos estudar inicialmente um método simples, mas
bastante eficiente, o método da bisseção.
2.4.1 Método da Bisseção
Seja uma função contínua no intervalo [a, b] e que nesse intervalo possua
um ξ tal que f(ξ) = 0. O método da bisseção consiste em dividir o intervalo em
duas partes iguais, a ba,
2
+
e a b ,b
2
+
elegendo para o próximo passo o
intervalo que satisfaz a condição do teorema 1.
O processo se repete com o novo intervalo até que o valor esteja tão próximo
da raiz quanto se deseja.
A figura, a seguir, apresenta o esquema gráfico do método da bisseção.
y
a x1 x3
x2 b x
y = f(x)
Nós conhecemos como o método da bisseção atua, agora vamos ver como
esse processo pode ajudar-nos a refinar um intervalo inicial até que tenhamos a
raiz aproximada tão próxima da exata quanto possível.
Para isso seguimos alguns passos.
Passo 1: determinar um intervalo [a, b] que possua uma única raiz.
Passo 2: fazer k kk 1
a b
x
2+
+
= , dividindo [a, b] em dois subintervalos iguais
[a, xk] e [xk, b], se f(a) . f(xk) < 0, o intervalo que contém a raiz é [a, xk], caso
contrário o intervalo que contém a raiz é [xk, b].
Passo 3: verificar se qualquer valor dentro do intervalo satisfaz a precisão
desejada
utilizando um ou mais dos critérios apresentados. Caso contrário volte
ao passo 2.
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
30 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Exemplo
Calcule a raiz da equação f(x) = x2 + lnx com ε ≤ 0,1, sabendo que ela
possui apenas uma raiz no intervalo [0,5; 1,0].
Solução
Como o problema garante que existe apenas uma raiz no intervalo [0,5;
1,0], vamos passar ao segundo passo.
Fazendo 1
0,5 1
x 0,75
2
+
= ⇒ e
f(a) . f(x1)
f(0,5) . f(0,75) < 0
Portanto, nosso novo intervalo é [0,5; 0,75], para facilitar o processo podemos
escolher qualquer valor no intervalo e escolhemos 2
0,5 0,75
x 0,625
2
+
= ⇒
f(0,625) = –0,7937
|f(0,625)| = 0,7937
Como |f(0,625)| > 0,1, voltamos ao passo 2 escolhendo um novo intervalo
[0,5; 0,625] ou [0,625; 0,750]. Novamente:
f(a) . f(x2)
f(0,5) . f(0,625) > 0
Como o resultado é maior que zero e existem apenas dois intervalos, conclu-
ímos que o intervalo que contém a raiz é [0,625; 0,750], avaliamos novamente
o quanto estamos perto da raiz:
3
0,625 0,750
x 0,6875
2
+
= ⇒ , fazendo f(0,6875) = 0,097.
Avaliando o valor da função temos: f(0,6875) < ε e 0,097 < 0,1.
Assim podemos parar, pois está tão próximo da raiz quanto foi solicitado no
enunciado do problema.
Assim, x = 0,6875.
2.4.2 Análise da convergência do método da bisseção
A análise da convergência dos métodos iterativos permite avaliar previa-
mente algumas características adicionais do método em relação ao problema
estudado, como a quantidade de iterações necessárias até que o critério de
parada seja satisfeito.
Podemos notar que se f(x) for contínua no intervalo [a, b] e f(a) . f(b) < 0
no desenvolvimento do método da bisseção, geramos uma sequência xk que
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 31
converge para a raiz α. Observe como o intervalo diminui a cada iteração pelo
método da bisseção.
1 1
2 2 2
2
3 3 3
n n n
b a
b a
2
b a
b a2b a
2 2
b a
b a2b a
2 2
b a
b a
2
−
− =
−
−
− = ⇒
−
−
− = ⇒
−
− =
M M
Para n → ∞ e aplicando o limite nos dois membros da igualdade:
( )n n nx n
b a
lim b a lim
2→∞ →∞
−
− =
No segundo membro da expressão temos:
nn
b a
lim 0
2→∞
−
=
Assim:
( )
( )
n n nx n
n nx
n nx x
n nx x
b a
lim b a lim 0
2
lim b a 0
limb lim a 0
limb lim a
→∞ →∞
→∞
→∞ →∞
→∞ →∞
−
− = =
− =
− =
=
e n nn nlim a limb→∞ →∞= = α .
Agora vamos verificar se α é raiz de f(x).
Como f(an) f(bn) < 0 e f(x) é contínua:
n n n n n nn n n n n
lim f(a )f(b ) lim f(a ) lim f(b ) f(lim a ) f(limb ) 0
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
= ⋅ = ⋅ ≤
Como n nn nlim a limb→∞ →∞= = α e n nn nf(lim a ) f(limb ) 0→∞ →∞⋅ ≤
Concluímos que 20 [f( )] 0 f( ) 0≤ α ≤ ⇒ α = α é raiz.
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
32 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Provamos que, com certeza, chegaremos à raiz de uma função utilizando
o método da bisseção, mas quantas iterações são necessárias para chegarmos
ao resultado esperado? O método da bisseção nos permite calcular previamente
quantas iterações são necessárias para chegar a raiz α com um erro deseja ε.
Temos a seguinte expressão:
n n n
b a
b a
2
−
− =
Desejamos conhecer um intervalo tal que |bn – an| < ε.
Para
n
b a
2
−
≤ ε, tem-se que:
n
n
n
n
b a
2
b a
ln ln
2
ln(b a) ln2 ln
ln2 ln(b a) ln
ln(b a)
nln2
ln
ln[(b a) / ]
n
ln2
−
≤ ε
−
≤ ε
− − ≤ ε
≥ − − ε
−
≥
ε
− ε
≥
Com a última expressão podemos determinar quantas iterações são necessá-
rias conhecendo apenas a tolerância e o intervalo inicial, observe também que
a convergência do método da bisseção, sendo a única condição para a f(x) é
que seja contínua no intervalo.
Exemplo
Determine quantas iterações são necessárias para que se encontre uma raiz
aproximada da função f(x) = cos(x) + 2sen(x) no intervalo [2,3] com erro de
0,001.
Solução
Utilizando a expressão temos
ln[(b a) / ]
n
ln2
ln[(3 2) / 0,001]
n
ln2
n 9.965784285
− ε
≥
−
≥
≥
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 33
O n pertence aos naturais, portanto devemos fazer 10 iterações para encon-
trar a raiz com a precisão desejada.
Saiba mais
Neste sítio encontramos um programa denominado Visual Cálculo Numé-
rico (VCN), este programa possibilita aplicar e comparar vários métodos
de encontrar a raiz numérica de uma função, um programa simples usar
verifique. Verifique mais sobre esse assunto no sítio <http://www.geocities.
com/programa_vcn/>.
Seguiremos nossos estudos de zeros reais de funções abordando outros
métodos de refinamento da solução, no próximo capítulo, o que aumentará a
nossa capacidade de avaliar e interpretar resultados e resolver os problemas.
Referências
BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher,
Editora da USP, 1972.
RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa-
cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997.
Anotações
CAPÍTULO 2 • CÁLCULO NUMÉRICO
34 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 35
Raízes reais de funções,
método de Newton 3
Introdução
Neste capítulo estudaremos o método da iteração linear (MIL) e o método de
Newton para determinar raízes aproximadas de funções.
O método da iteração linear é importante mais devido aos conceitos
envolvidos do que a própria praticidade do método, pois é baseado nos conceitos
deste método que vamos defi nir o método de Newton.
Ao fi nal deste capítulo você será capaz de determinar a raiz aproximada de
uma função e analisar e conhecer as propriedades do método de Newton e da
posição falsa para encontrar a raiz aproximada de uma função.
Para um bom desenvolvimento dos conceitos abordados neste capítulo é
importante ter compreendido como isolar uma raiz, os conceitos de critério de
parada suas vantagens e desvantagens. Os conceitos de funções sua classi-
fi cação e familiaridade com suas propriedades também são importantes. A
derivada primeira e segunda de funções desempenha um papel importante na
compreensão dos conceitos.
3.1 Método da iteração linear
Seja f(x) uma função contínua em [a,b] com α ∈ [a,b] tal que f(α) = 0. O
Método da Iteração Linear consiste em alterar a equação f(x) = 0 de modo que
se obtenha a função x = ϕ(x) denominada função de iteração.
O MIL cria uma sequência [xk] de aproximações para raiz utilizando a
função iteração xk+1 = ϕ(xk), pois a função ϕ(x) é tal que f(α) = 0, se e somente,
se α = ϕ(α).
Dada uma função f(x) existem várias possibilidades de função iteração, ou
seja, esta não é a única.
Exemplo
Considere a função f(x) = x2 + x – 6, encontre as funções iteração.
Solução
Nesse exemplo, podemos citar algumas funções iterações.
a) ϕ1(x) = 6 – x
2
CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO
36 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
b) 2(x) 6 xϕ = ± −
c) 3
6
(x) 1
x
ϕ = +
d) 4
6
(x)
x 1
ϕ =
−
3.2 Interpretação Geométrica
Considerando a função x = ϕ(x), podemos encontrar a sua raiz graficamente
utilizando a regra g(x) = –h(x), assim a abscissa do ponto de intersecção entre
a curva y = x e y = ϕ(x).
y
y = x
x0 x0 x0 x
ϕ(x)
x
Nesse caso, a função escolhida ϕ(x) faz o processo convergir para a raiz da
função f(x), mas existem casos em que isso não ocorre, observe o gráfico a seguir.
ϕ(x)
y = x
x
y
Neste outro exemplo o processo diverge, ou seja, afasta da raiz:
Dada uma função f(x) = 0 pode existir mais de uma função de iteração ϕ(x),
entretanto não é para todo ϕ(x) que o processo xk+1 = ϕ(xk) gera uma sequência
convergente para a raiz α.
Exemplo
Considere a função
f(x) = x2 + x – 6, utilize as funções iteração ϕ1(x) = 6 – x
2
e 2(x) 6 xϕ = − , para determinar a raiz da função.
Solução
Apesar dessa função ter raízes conhecidas a utilizaremos como um exemplo
didático para compreender o método. Suas raízes são 2 e –3.
CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 37
Utilizando a primeira função ϕ1(x) = 6 – x
2.
Escolhendo o valor inicial x0 = 1,5 e o processo iterativo xk+1 = ϕ(xk), encon-
tramos a seguinte sequência.
x1 = 3,75
x2 = – 8,0625
x3 = – 59,003906
x4 = – 3475,4609
Observamos que o os valores não se aproximam da raiz 2 que é a mais
próxima de x0. Observando o gráfico, a seguir, podemos visualizar o que ocorreu
no processo algébrico.
y
xx0
Como no processo algébrico podemos observar que a sequência diverge.
Agora vamos repetir o processo com a função de iteração: 2x (x) 6 x= ϕ = − ,
com x0 = 1,5, assim temos:
x1 = 2,12132
x2 = 1,96944
x3 = 2,00763
x4 = 1,99809
x5 = 2,00048
Observamos que a função converge para 2, ou seja, para a raiz da função
f(x), observe o comportamento gráfico do processo na figura a seguir.
y
x0 x
ϕ(x)
α
CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO
38 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Para a função de iteração 2(x) 6 xϕ = − , o processo se aproxima da raiz.
3.3 Estudo da Convergência
Vimos que uma função f(x) possui várias funções iteração e que nem todas
geram uma sequência que converge para a raiz. Então como escolher a função
iteração para termos certeza que encontraremos a raiz aproximada de f(x)?
O teorema, a seguir, mostra os critérios para escolher a função iteração de
modo que a mesma gere uma sequência que converge para a raiz da função.
Teorema 1
Seja ϕ(x) uma função de iteração para f(x)=0 e uma raiz de f(x) = 0 isolada
no intervalo [a,b] e centrada em α, se
a) ϕ(x) e ϕ'(x) são contínuas em [a,b];
b) |ϕ'(x)| ≤ M < 1 ∀x∈ [a,b]
c) x0 ∈ [a,b]
Assim a sequência {x0, x1, x2, ..., xk+1} gerada pela função de iteração
xk+1 = ϕ(xk) converge para a raiz α.
O M no teorema anterior é um valor 0 < M < 1.
Agora vamos utilizar o teorema para verificar as funções iteração do exemplo
anterior e utilizar os critérios do teorema para identificar qual função iteração
ϕ(x) converge.
Verificando ϕ1(x) o exemplo anterior temos:
ϕ1(x) = 6 – x
2.
Considerando o teorema devemos encontrar um intervalo [a, b], centrado
em α, que satisfaça as condições a e b do teorema.
a) ϕ1(x) = 6 – x
2 e ϕ'1(x) = –2x, toda função polinomial é contínua no
conjunto dos Reais.
b) 1
1 1
'(x) 1 2x 1 x
2 2
−
ϕ < ⇒ < ⇒ < < . Não há um intervalo [a, b] centrado
na raiz, tal que |ϕ'1(x)| < 1 ∀x∈ [a, b], portanto ϕ1(x) não satisfaz a
condição b do teorema.
Verificando ϕ2(x):
No exemplo anterior temos a função de iteração 2(x) 6 xϕ = − . O método
de Iteração Linear converge para a raiz α = 2?
De acordo com o teorema, devemos encontrar um intervalo [a,b], centrado
em α, que satisfaça as condições a e b do teorema.
CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 39
2(x) 6 xϕ = −a) e
'
2
1
(x)
2 6 x
−
ϕ =
−
são contínuas em S = {x∈R | x < 6}.
'
2
1
(x) 1 1 5,75 x 5,75
2 6 x
ϕ < ⇒ < ⇒ − < <
−
b) .
Assim podemos escolher um intervalo [a,b] de modo que este esteja centrado
na raiz, tal que |ϕ'
2
(x)|<1 ∀x∈ [a, b], portanto ϕ
2
(x) satisfaz a condição b do
teorema e então podemos afirmar que o processo converge.
Agora vamos estudar o método de Newton que é uma variação do MIL, no
qual a função iteração é uma função em particular.
3.4 Método de Newton
O método de Newton é um processo mais elaborado e envolve o cálculo
da derivada da função f(x) em questão. Esse método converge para a raiz
de maneira muito rápida para valores próximos da raiz, mas possui algumas
restrições a serem consideradas.
O método parte de um ponto inicial próximo da raiz, mas o intervalo inicial
com apenas uma raiz não é indispensável.
A partir de um ponto inicial o próximo é determinado pela seguinte
equação.
n
n 1 n
n
f(x )
x x
f '(x )+
= −
sendo x
n+1
o próximo ponto.
Para utilizar o método de Newton realizamos os seguintes passos:
Passo 1: determinar um intervalo [a, b] que possua uma única raiz.
Passo 2: fazer nn 1 n
n
f(x )
x x
f '(x )+
= − .
Passo 3: verificar se qualquer valor dentro do intervalo satisfaz a precisão
desejada utilizando um ou mais dos critérios apresentados. Caso contrário volte
ao passo 2.
Exemplo
Calcular a raiz de f(x) = x3 – x2 – 4 que se encontra no intervalo [1; 2,5],
com precisão de ε < 0,01.
Neste processo vamos primeiro encontrar f'(x), assim temos:
f'(x) = 3x2 – 2x.
Como os pontos dos extremos do intervalo pertencem ao intervalo, vamos
escolher o valor x
0
= 2,5.
CALCULO_NUMERICO.indd 39 1/4/aaaa 13:17:09
CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO
40 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Substituindo na expressão:
n
n 1 n
n
0
1 0
0
1
1
f(x )
x x
f '(x )
f(x )
x x
f '(x )
f(2,5)
x 2,5
f '(2,5)
x 2,10909
+ = −
= −
= −
=
Como não vamos trabalhar com o intervalo durante o processo utilizaremos
o critério 1 para verificar a aproximação. Assim temos:
1
f(x)
f(x ) 0,01
f(2,1090) 0,01
≤ ε
≤
≤
Como f(2,1090) > 0,01, devemos voltar ao passo 2 e repetir o processo
utilizado a abscissa x2. Assim:
1
2 1
1
2
2
f(x )
x x
f '(x )
f(2,10909)
x 2,10909
f '(2,10909)
x 2,0068
= −
= −
=
Realizando o passo 3, temos que:
|f(2,0068)| > 0,001
Portanto, repetimos novamente o passo 2, lembrando que voltamos ao passo
2 sempre que |f(xk)| > 0,01.
2
3 2
2
3
3
f(x )
x x
f '(x )
f(2,0068)
x 2,0068
f '(2,0068)
x 2,000028
= −
= −
=
Fazendo, |f(2,000028)| < 0,001
Portanto a raiz aproximada é: x3 = 2,000028.
Neste exemplo, podemos observar que para valores próximos da raiz, o
método converge mais rapidamente. Então surge uma pergunta. O método de
Newton converge para qualquer intervalo que possui uma única raiz?
CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 41
A resposta é não, mas antes de explicar o porquê dessa resposta vamos
fazer sua interpretação geométrica.
y
x3 x2 x1 x0 x
A partir de um ponto inicial x0 aproximamos da raiz traçando uma reta
tangente a f(x0), a reta tangente intercepta o eixo das abscissas em x1, em uma
posição mais próxima da raiz. O processo se repete até que a aproximação
desejada seja alcançada.
Saiba mais
O artigo encontrado no sítio <http://www.famat.ufu.br/revista/revistaa-
bril2004/artigos/ArtigoCarlosSandreaneCesar.pdf> apresenta uma apli-
cação prática do método de Newton e algumas outras curiosidades, visite-o
e lembre que há diversos sítios em que podemos aprender e exercitar nos-
sos aprendizados, esse é um deles, experimente.
Agora que compreendemos a motivação geométrica do método de Newton,
vamos responder a pergunta feita anteriormente quanto à escolha de x0.
Considere o gráfico a seguir, da equação f(x) = x3 – 2x2 – 4.
y
1
1
xk
f'xk = 0
–1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
2 3 4
x
CAPÍTULO 3 • CÁLCULO NUMÉRICO
42 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Como podemos observar geometricamente e algebricamente no ponto onde
f'(x) = 0, algebricamente temos uma divisão por zero e geometricamente podemos
observar que a reta tangente no ponto não intercepta o eixo das abscissas e
assim não podemos continuar com o processo.
De maneira geral, não é aconselhável escolher um x0 de modo que exista um
xk entre x0 e ξ, faça f(xk) = 0.
É uma condição suficiente para que a convergência do método de Newton
que: f'(x) e f''(x) sejam não nulas e preservem o sinal em (a, b) e x0
seja tal que
f(x0) ⋅ f''(x0) > 0.
Neste capítulo, vimos como isolar uma raiz em um intervalo de tal forma que
esta seja única e em seguida como melhorar esse resultado a fim de encontrar
um valor tão próximo da raiz quanto se queira e vimos, também, dois métodos
para realizar o refinamento das raízes.
No próximo capítulo, estudaremos a interpolação polinomial, este conceito
permite associarmos uma tabela a uma função e assim calcular valores interme-
diários. Este estudo é aplicado em qualquer situação em que os dados sejam
obtidos de forma discreta e haja a necessidade de seus valores contínuos.
Referências
BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher.
Editora da USP, 1972.
RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa-
cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997.
Anotações
CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 43
Introdução à interpolação 4
Introdução
Os conceitos básicos de interpolação polinomial é aproximar uma função
f(x) através de uma função p(x), geralmente polinomial. Os maiores interesses
nessa aproximação são:
a) Determinar valores intermediários aproximados entre dados exatos.
A temperatura de uma determinada região é medida três vezes ao dia, as
oito horas, as doze e as dezoito horas. A interpolação nos permite conhecer os
valores intermediários aproximados, isto é, a temperatura as dez, por exemplo.
b) A função possui uma lei de formação tal que algumas operações como
diferenciação e integração são complexas ou impossíveis de serem
realizadas.
A integração da função
2xf(x) e= . Em outros casos para acelerar os cálculos
podemos transformar uma função transcendental em um polinômio de grau n,
mais prático e rápido de ser computado o valor de p(x).
Ao fi nal deste capítulo você deverá ser capaz de defi nir interpolação polino-
mial e encontrar o polinômio interpolador através de sistemas lineares.
Os conceitos de funções polinomiais sua classifi cação e familiaridade com
suas propriedades. A derivada primeira e segunda de funções também desem-
penha um papel importante na compreensão dos conceitos. Neste capítulo utili-
zaremos sistemas lineares para encontrar o polinômio interpolador e por isso é
importante ter em mente os conceitos relacionados a sistemas lineares.
4.1 Problema da Interpolação
A interpolação polinomial consiste em determinar os coefi cientes de um poli-
nômio de grau n, tal que os pontos de uma determinada tabela satisfaçam o
polinômio. Considere a tabela a seguir com (n + 1) pontos distintos:
x x1 x1 x2 ... xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ... f(x4)
A interpolação polinomial de f(x) consiste em encontrar uma função p(x), tal
que:
CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO
44 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
0 0
1 1
2 2
3 3
n 1 n 1
n n
p(x ) f(x )
p(x ) f(x )
p(x ) f(x )
p(x ) f(x )
p(x ) f(x )
p(x ) f(x )
− −
=
=
=
=
=
=
M
f(x)
f(x0)
x0 x1 x2 x3 xn–1 xn x
f(x1) f(x2)
f(x3)
f(xn–1)
f(xn)
p(x)
A forma geral de um polinômio é dada por:
0 1 2 n 1 n
n 0 1 2 n 1 np (x) a x a x a x ... a x a x
−
−= + + + + +
Vamos aproximar f(x) por um polinômio de grau menor ou igual a n, de
modo que f(xk) = pn(xk) k = 0, 1, 2, ..., n.
Baseados nessa condição, montamos o sistema a seguir:
2 n 1 n
o 1 0 2 0 n 1 0 n 0 0
2 n 1 n
o 1 1 2 1 n 1 1 n 1 1
2 n 1 n
o 1 2 2 2 n 1 2 n 2 2
2 n 1 n
o 1 n 1 2 n 1 n 1 n 1 n n 1 n
2 n 1 n
o 1 n 2 n n 2 n n
a a x a x ... a x a x f(x )
a a x a x ... a x a x f(x )
a a x a x ... a x a x f(x )
a a x a x ... a x a x f(x )
a a x a x ... a x a x f(x
−
−
−
−
−
−
−
− − − − −
−
+ + + + + =
+ + + + + =
+ + + + + =
+ + + + + =
+ + + + + =
M
n )
As variáveis deste sistema são: a0, a1, a2, ... an, pois os valores de x e f(x)
conhecidos a partir da tabela, assim temos um sistema linear com n + 1 variáveis
e n + 1 equações. Escrevendo na forma matricial temos:
2 n 1 n
0 00 0 0 0
2 n 1 n
1 11 1 1 1
2 n 1 n
2 22 2 2 2
2 n 1 n
n 1 n 1n 1 n 1 n 1 n 1
2 n 1 n
n nn n n n
a f(x )1 x x x x
a f(x )1 x x x x
a f(x )1 x x x x
a f(x )1 x x x x
a f(x )1 x x x x
−
−
−
−
− −− − − −
−
=
L
L
L
M MM M M O M M
L
L
A matriz de coeficientes é denominada como matriz de Vandermonde.
A matriz de Vandermonde, para x0, x1, x2, ..., xn distintos, possui det(A) ≠ 0
podemos mostrar esta propriedade mostrando que suas linhas são vetores line-
armente independentes, assim o sistema linear possui solução única. Devido a
esta propriedade existe um único polinômio, de grau menor ou igual a n, tal que:
pn(xk) = f(xk), k = 0, 1, 2, ..., n.
CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 45
Exemplo
Determine o polinômio que interpole os pontos da tabela a seguir.
x –1 0 2
f(x) 4 1 –1
k 0 1 2
Solução
Como o polinômio tem grau menor ou igual a 2 temos a forma geral p2(x) = a0
+ a1x + a2x
2. A nossa tarefa e determinar os valores de a0, a1 e a2. Satisfazendo
as seguintes condições:
2
2 0 0 1 0 2 0 0p (x ) a a x a x f(x )= + + =
2
2 1 0 1 1 2 1 1p (x ) a a x a x f(x )= + + =
2
2 2 0 1 2 2 2 2p (x ) a a x a x f(x )= + + =
Considerando o sistema na forma matricial temos:
2
0 0 0 1
2
1 1 1 2
2
2 2 2 3
1 x x a f(x )
1 x x a f(x )
1 x x a f(x )
=
Substituindo os dados da tabela encontramos o sistema:
0
1
2
1 1 1 a 4
1 0 0 a 1
1 2 4 a 1
−
=
−
Resolvendo o sistema, chegamos a solução:
0
1
2
1a
7a 3
a 2
3
−=
E o polinômio interpolador é 22
7 2
p (x) 1 x x
3 3
= − +
Verificando os pontos fornecidos na tabela:
p2(–1) = 4
p2(0) = 1
p2(2) = –1
CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO
46 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Essa verificação é uma forma de conferir os resultados, pois a curva de inter-
polação deve passar pelos pontos dados, entretanto pode haver pequenos erros
devido aos arredondamentos ocorridos durante a resolução do sistema linear.
Agora vamos estudar um exemplo, onde conhecemos valores na proximi-
dade do que desejamos calcular e verificar que as distâncias entre os pontos
influenciam na precisão do cálculo.
Exemplo
Estime o logaritmo natural de 2 usando interpolação linear e quadrática:
interpolando entre ln(1)=0 e ln(6)=1,7917595;
interpolando entre ln(1)=0 e ln(4)=1,3862944;
interpolando entre ln(1)=0, ln(4)=1,3862944 e ln(6)=1,7917595;
Solução
Nos dois primeiros casos a forma geral do polinômio é p1(x) = a0 +a1x, pois
n = 1. Assim:
p1(x0) = a0 + a1x0 = f(x0)
p1(x1) = a0 + a1x1 = f(x1)
Escrevendo o sistema na forma matricial, temos:
0
1
1 1 a 0
1 6 a 1,7917595
=
Resolvendo o sistema, chegamos ao seguinte resultado:
p1(x) = –0,3583519 + 0,3583519x
Determinando o ln(2) pelo polinômio interpolador, temos:
p1(x) = –0,3583519 + 0,3583519x
p1(2) = –0,3583519 + 0,3583519 . 2
p1(2) = 0,3583519
Calculando diretamente o valor ln(2), obtemos o valor exato 0,69314718.
O erro relativo ocorrido é:
R
0,69314718 0,35835190
E 100 48,3%
0,693114718
−
= × =
Vamos realizar o mesmo processo para o item b.
p1(x) = a0 + a1x
p1(x0) = a0 + a1x0 = f(x0)
p1(x1) = a0 + a1x1 = f(x1)
CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 47
Resolvendo o sistema, mas agora com os valores fornecidos pelo item b temos
0
1
1 1 a 0
1 4 a 1,3862944
=
p1(x) = –0,4620981333 + 0,4620981333x
Calculando pelo polinômio interpolador:
p1(x) = –4620981333 + 4620981333x
p1(x) = –4620981333 + 4620981333 . 2
p1(2) = 0,46209813
Determinando o erro relativo ocorrido neste caso, temos:
R
0,69314718 0,46209813
E 100 33,3%
0,693114718
−
= × =
Podemos observar que para um intervalo menor entre os pontos houve um
erro relativo menor.
No item c temos n = 2 e, portanto, a forma geral do nosso polinômio é
p2(x) = a0 + a1x + a2x
2.
Devemos encontrar coeficientes que satisfaçam as condições:
2
2 0 0 1 0 2 0 0p (x ) a a x a x f(x )= + + =
2
2 1 0 1 1 2 1 1p (x ) a a x a x f(x )= + + =
2
2 2 0 1 2 2 2 2p (x ) a a x a x f(x )= + + =
Assim temos o seguinte sistema linear.
0
1
2
1 1 1 a 1
1 4 16 a 1,3862944
1 6 36 a 1,7917595
=
Resolvendo o sistema encontramos a solução e, portanto, os coeficientes do
polinômio.
0
1
2
a 0,66596
a 0,721463716
a 0,051873116
−
=
−
2
2p (x) 0,669596 0,721463716x 0,051872116x= − + −
CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO
48 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Utilizando o polinômio interpolador para determinar ln (2).
2
2
2
2
2
p (x) 0,669596 0,721463716x 0,051872116x
p (x) 0,669596 0,721463716 2 0,051872116 2
p (x) 0,5658443666
= − + −
= − + ⋅ − ⋅
=
ln(2)=0,5658443666
Calculando o erro, temos:
R
0,69314718 0,5658443666
E 100 18,4%
0,693114718
−
= × =
No item c o erro foi menor, pois interpolamos por um polinômio do segundo
grau, também denominada interpolação quadrática.
Assim vimos que a precisão do polinômio interpolador depende da distância
entre os pontos interpolados e da quantidade de pontos interpolados.
4.2 Erro na interpolação
O erro na interpolação faz sentido apenas quando conhecemos a função
f(x), pois para dados tabelados não temos uma referência para o erro. Neste
caso o erro é estudado mais pelo seu valor teórico do que pela prática do
mesmo. A seguir enunciamos o teorema que define o erro na interpolação.
Teorema
Seja p um polinômio de grau n que interpola f em x0, x1, ..., xn, f é uma
função definida em um intervalo [a, b] que contém os n+1 pontos. Se f é (n+1)
vezes diferenciável em [a, b], então para t ∈ [a, b] o erro é dado por:
n 1
0 1 n
e(x) f(x) p(x)
f ( )
e(x) (x x )(x x )...(x x )
(n 1)!
+
= −
ξ
= − − −
+
x ∈ [a, b] e ξ a abscissa do ponto máximo de fn+1.
Exemplo
Determine a função do erro cometido na aproximação de f(x) = ex por um
polinômio interpolador que passa pelos pontos A(0, 1) e B(1; 2,718) no inter-
valo [0, 1].
Solução
Para calcular o erro cometido pelo polinômio interpolador, utilizamos a
equação
n 1
0 1 n
f ( )
e(x) (x x )(x x )...(x x )
(n 1)!
+ ξ
= − − −
+
, portanto não é necessário deter-
minar p(x).
CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 49
Temos dois pontos a interpolar assim n = 1. Calculando f''(x).
f(x) = ex
f''(x) = ex
n 1
0 1 n
''
0 1
1
2
f ( )
e(x) (x x )(x x )...(x x )
(n 1)!
f ( )
e(x) (x x )(x x )
(1 1)!
e
e(x) (x 0)(x 1)
2
e
e(x) (x x)
2
+ ξ
= − − −
+
ξ
= − −
+
= − −
= −
Portanto, o erro cometido no intervalo [0, 1] é determinado através da
expressão 2
e
e(x) (x x)
2
= − .
Saiba mais
No sítio <http://www.linux.ime.usp.br/~cef/mac499-04/monografias/elisa/
monografia/> encontramos uma monografia que utiliza interpolação poli-
nomial para alterar uma imagem e analisar seu padrão é um exemplo claro
de como a matemática se aplica em vários campos de atuação. Visite, leia
mais sobre o assunto, aprofunde seus conhecimentos.
No próximo capítulo, conheceremos outros métodos para encontrar o poli-
nômio interpolador, o método de Newton que utiliza diferenças divididas e o
método de Lagrange, embora os métodos utilizem conceitos diferentes todos eles
chegam ao mesmo polinômio.
Referências
BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher.
Editora da USP, 1972.
RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa-
cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997.
Anotações
CALCULO_NUMERICO.indd 49 1/4/aaaa 13:18:35
CAPÍTULO 4 • CÁLCULO NUMÉRICO
50 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 51
Interpolação II 5
Introdução
Para realizar a interpolação existem vários métodos. Neste capítulo vamos
estudar mais dois métodos, além do estudado no capítulo anterior. Esses dois
outros métodos possuem a vantagem de os dados não estarem, necessariamente,
igualmente espaçados no eixo das abscissas.
Existe, também, as vantagens computacionais, ou seja, os métodos são mais
rápidos. Ao fi nal deste capítulo, você será capaz de compreender os conceitos
pertinentes a ao processo de Newton para encontrar o polinômio interpolador e
compreender os conceitos pertinentes a ao processo de Lagrange para encontrar
o polinômio interpolador.
Veremos os conceitos de funções polinomiais, sua classifi cação e familiari-
dade com suas propriedades. A derivada primeira e segunda de funções também
desempenha um papel importante na compreensão dos conceitos. Neste capí-
tulo utilizaremos os conceitos estudados no quarto capítulo deste caderno.
Estudaremos uma maneira diferente de determinar o polinômio interpolador
que será o primeiro assunto deste capítulo, vejamos.
5.1 Forma de Interpolação Polinomial de Newton
Neste método não é preciso que os pontos utilizados estejam distribuídos
uniformemente ou que os valores das abscissas sejam em ordem crescente.
A expressão do método de Newton é dada por:
n 0 1 0 2 0 1 n 0 1 n 1P (x) d d (x x ) d (x x )(x x ) ... d (x x )(x x )...(x x )−= + − + − − + + − − −
Sendo di, i = 0, 1, ..., n são determinados por:
X Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
0 0 0
1 1 0
2 2 1 0
n n n 1 2 1 0
d f[x ] f(x )
d f[x , x ]
d f[x , x , x ]
d f[x , x ,........, x , x , x ]−
= =
=
=
=
M
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
52 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Observe que ao invés de parênteses utilizamos colchetes na função, isso
indica a operação diferença divididas e cada termo é calculado utilizando a
seguinte regra:
i j i j
i j
i j i j
i j j k
i j k
i k
i j jk k l
i j k l
i l
n n 1 2 1 n 1 n 2 1 0
n n 1 2 1 0
n
f x f x f(x ) f(x )
f[x , x ]
x x x x
f[x , x ] f[x , x ]
f[x , x , x ]
x x
f[x , x , x ] f[x , x , x ]
f[x , x , x , x ]
x x
f[x , x ,..., x , x ] f[x , x ,..., x , x ]
f[x , x ,........, x , x , x ]
x x
− − −
−
− − = =
− −
−
=
−
−
=
−
−
=
−
M
0
Este método utiliza uma aproximação da derivada em cada ponto a ser
determinado, note a semelhança com a definição de derivada.
Substituindo as diferenças divididas na expressão do polinômio proposto
por Newton temos a seguinte expressão.
n 0 0 1 0 0 1 2 1 0
0 1 n 1 n n 1 2 1 0
P (x) f[x ] (x x )f[x , x ] (x x )(x x )f[x , x , x ] ....
(x x )(x x )...(x x )f[x , x ,..., x , x , x ]− −
= + − + − − + +
+ − − −
Para tornar os cálculos mais práticos, utilizamos uma tabela recursiva, a
seguir temos um exemplo de ordem 4.
x0 f[x0]
f[x1, x0]
x1 f[x1] f[x2, x1, x0]
f[x2, x1] f[x3, x2, x1, x0]
x2 f[x2] f[x3, x2, x1] f[x4, x3, x2, x1, x0]
f[x3, x2] f[x4, x3, x2, x1]
x3 f[x3] f[x4, x3, x2]
f[x4, x3]
x4 f[x4]
Com os dados da tabela anterior podemos calcular os coeficientes do polinômio
procurado, nesta tabela utilizamos apenas o primeiro elemento de cada coluna,
mas para calcular o de maior ordem
necessitamos calcular todos os termos.
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 53
Para ilustrar como utilizar o método de Newton para calcular o polinômio
interpolador vamos fazer um exemplo.
Exemplo
Encontre o polinômio Pn(x) com n ≥ 2 que interpole os pontos tabelados
abaixo, utilizando a forma de Newton.
x –1 0 2
f(x) 4 1 –1
Solução
Como no método do sistema linear, o primeiro passo é estimar o polinômio
que queremos encontrar determinando o valor de n que nesse exemplo é 2.
De acordo com o método de Newton temos o seguinte polinômio.
2 0 1 0 0 2 1 0 0 1P (x) f(x ) f[x , x ](x x ) f[x , x , x ](x x )(x x )= + − + − −
O próximo passo é calcular as diferenças divididas. Inicialmente vamos
colocar os valores da abscissa na tabela. A ordem da diferença dividida é igual
a n, colocando o valor de x na primeira coluna e como f[xi] = f(xi), segunda
coluna são os valores de y.
X ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2
–1 4
f[x1, x0]
0 1 f[x2, x0]
f[x2, x1]
2 –1
Os termos seguintes são calculados de acordo com as fórmulas.
1 0
1 0
1 0
f[x ] f[x ] 1 4 3
f[x , x ]
x x 0 ( 1) 1
− − −
= = =
− − −
2 1
2 1
2 1
f[x ] f[x ] 1 1 2
f[x , x ] 1
x x 2 0 2
− − − −
= = = = −
− −
2 1 1 0
2 1 0
2 0
f[x , x ] f[x , x ] 1 ( 3) 2
f[x , x , x ]
x x 2 ( 1) 3
− − − −
= = =
− − −
Completando a tabela temos:
X ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2
–1 4
–3
0 1 2/3
–1
2 –1
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
54 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Substituindo na fórmula de Newton:
2 0 1 0 0 2 1 0 0 1P (x) f(x ) f[x , x ](x x ) f[x , x , x ](x x )(x x )= + − + − −
2
2 2
2
2
P (x) 4 3(x 1) (x 1)(x)
3
2 2 7 2
P (x) 4 3x 3 x x 1 x x
3 3 3 3
= − + + + =
= − − + + = − +
Determine uma aproximação para ln(2) por meio da forma de Newton, utili-
zando as informações da tabela a seguir:
x 1 4 6 5
f(x) 0 1,3862944 1,7917595 1,6094379
Neste caso, o nosso n é igual a 3 e, portanto o polinômio interpolador tem
a seguinte forma geral:
1 2 3
3 0 1 2 3P (x) a a x a x a x= + + +
Pela fórmula de Newton os coeficientes e o polinômio são
2 0 1 0 0 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0
1 2
P (x) f(x ) f[x , x ](x x ) f[x , x , x ](x x )(x x ) f[x , x , x , x ](x x )
(x x )(x x )
= + − + − − + −
− −
Montando a tabela de diferenças divididas temos:
X ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 ORDEM 3
x0 0
f[x1, x0]
x1 1,3862944 f[x2, x1, x0]
f[x2, x1] f[x3, x2, x1, x0]
x2 1,7917595 f[x3, x2, x1]
f[x3, x2]
x3 1,6094379
Calculando as diferenças divididas e colocando na tabela temos o seguinte
resultado:
X ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 ORDEM 3
1 0
0,46209813
4 1,3862944 –0,051873116
0,20273255 0,0078655415
6 1,7917595 –0,020410950
0,18231160
5 1,6094379
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 55
O polinômio obtido com os dados é:
3P (x) 0 0,46109813(x 1) 0,051873116(x 1)(x 4)
0,0078655415(x 1)(x 4)(x 6)
= − − − − − +
+ − − −
P3(2) = 0,62876869
Erro = 9,3%
Vimos como determinar o polinômio utilizando o método de Newton, vale
ressaltar que, independente do método, já mostramos que para um dado conjunto
de dados distintos temos um único polinômio.
Como nos outros métodos este apresenta vantagens e desvantagens na
quantidade de operações e complexidade dos cálculos.
5.2 Erro pelo método de Newton
Para dados tabelados não temos como determinar o erro, pois não conhe-
cemos a função, mas se tivermos conhecimento desta podemos determinar o erro
máximo ocorrido na interpolação dentro do intervalo pré-estabelecido.
O erro de interpolação é dado por:
en( x ) = f( x ) – pn(x)
Como o polinômio interpolador passa necessariamente pelos pontos dados,
nestes pontos o erro é zero, mas para valores intermediários temos:
en ( x ) = f [x0 , ... , xn, x ] ( x – x0 ) ... ( x – xn )
Por meio do teorema, a seguir, veremos que esse erro é apenas uma maneira
diferente de calcular o erro estudado no capítulo anterior, assim sendo considere
o seguinte teorema:
Teorema
Seja f(x) derivadas contínuas até ordem . Sejam , pontos distintos da função.
Seja o polinômio que interpola f(x) nestes pontos. Então, o erro de truncamento
da interpolação polinomial vale:
(n 1)
n 0 1 n 0 n
f ( (x))
E ( x ) (x x ) (x x ) (x x ) , (x) [x , x ]
(n 1)!
+ ξ
= − − − ξ ∈
+
L
5.3 Forma de Interpolação Polinomial de Lagrange
Seja uma tabela com n + 1 dados {xi,f(xi)}. Vamos encontrar um polinômio que
satisfaça as condições antes mencionadas por meio do método de Lagrange.
A equação para o método de Lagrange é
n 0 0 1 1 n np (x) L (x) f(x ) L (x) f(x ) L (x) f(x )= ⋅ + ⋅ + + ⋅L
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
56 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
sendo os Lk(x) são polinômios que obedecem a seguinte lei de formação:
= δk i kiL (x )
sendo que:
ki
0 se,k i
1 se,k i
≠
δ =
=
Agora, vamos mostrar que o polinômio sob estas condições passa pelos
pontos a serem considerados. Partiremos, inicialmente de f(x0).
0 0 0 0 1 0 1 n 0 n
0 0 1 n
0 0
p(x ) L (x ) f(x ) L (x ) f(x ) L (x ) f(x )
p(x ) 1 f(x ) 0 f(x ) 0 f(x )
p(x ) f(x )
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
=
L
L
E considerando também f(x1),
1 0 1 0 1 1 1 n 1 n
1 0 1 n
1 1
p(x ) L (x ) f(x ) L (x ) f(x ) L (x ) f(x )
p(x ) 0 f(x ) 1 f(x ) 0 f(x )
p(x ) f(x )
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
=
L
L
ou seja:
i ip(x ) f(x )= ,
o que demonstra que o polinômio interpolador p(x) intercepta exatamente sobre
os pontos {xi,f(xi)} dados.
Dessa maneira, nosso objetivo se resume em encontrar os polinômios Lk(x).
Assim a expressão procurada é determinada por:
0 1 nk 1 k 1
k
0 1 nk k k ki 1 k ki 1 k
(x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x )
L (x)
(x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x )
− +
− +
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
=
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
L L
L L
que é fácil verificar, pois:
k k
ik
L (x ) 1 e
L (x ) 0 se,i k
=
= ≠
Escrevendo na forma de somatório que é mais compacta, o polinômio de
Lagrange se resume em:
( ) ( ) ( )
n
n i i
i 0
p x L x f x
=
= ⋅∑
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 57
e os polinômios Li(x) são escritos da forma,
( )
( )
( )
n
j
j 0
j i
i n
i j
j 0
j i
x x
L x
x x
=
≠
=
≠
−
=
−
∏
∏
Exemplo
Determine o polinômio interpolador para os dados da tabela, a seguir.
x
i
f(x
i
)
1 3
3 5
Solução
Como nos outros métodos teremos um polinômio de grau 1, pois n = 1.
Utilizando o polinômio de Lagrange na forma de somatório temos:
1
i i
i 0
p(x) L (x) f(x )
=
= ⋅∑
Desenvolvendo o somatório temos o polinômio, agora nossa tarefa é deter-
minar os Li(x).
0 0 1 1p(x) L (x).f(x ) L (x).f(x )= +
As funções Li (x) devem satisfazer a função:
ki
0 se,k i
1 se,k i
≠δ = =
Então temos as seguintes condições:
L0 (x0) =1 L1 (x0) =0
L0 (x1) =0 L1 (x1) =1
Determinando os Li que satisfazem estas condições através da fórmula:
( )
( )
( )
n
j
j 0
j i
i n
i j
j 0
j i
x x
L x
x x
=
≠
=
≠
−
=
−
∏
∏
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
58 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Temos a seguinte forma geral e substituindo os valores da tabela
determinamos:
1
0
0 1
x x x 3 x 3
L (x)
x x 1 3 2
− − −
= ⇒ ⇒
− − −
0
1
1 0
x x x 1 x 1
L (x)
x x 3 1 2
− − −
= ⇒ ⇒
− −
Substituindo em: 0 0 1 1p(x) L (x).f(x ) L (x).f(x )= + , temos:
Temos:
x 3 x 1
p(x) 3 5
2 2
3x 9 5x 5
p(x)
2 2
2x 4
p(x)
2
p(x) x 2
− −
= ⋅ + ⋅
−
− + −
= +
+
=
= +
Para melhor compreender o processo vamos fazer outro exemplo interpo-
lando os pontos por uma parábola.
Exemplo
Interpolar
pelo método de Lagrange os dados da tabela a seguir.
X
I
f(xi)
–1 2
0 5
1 7
Solução
O polinômio pelo método de Lagrange é dado por
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 i i
i 0
2 0 0 1 1 2 2
p x L f x
p x L f x L f x L f x
=
= ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
∑
Considerando a função ki
0 se,k i
1 se,k i
≠δ = =
, os polinômios de Lagrange
assumem os seguintes valores nos pontos x0, x1, x2.
Assim:
L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0
L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0
L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 59
Substituindo na fórmula ( )
( )
( )
2
j
j 0
j i
i 2
i j
j 0
j i
x x
L x
x x
=
≠
=
≠
−
=
−
∏
∏
, encontramos os polinômios de
Lagrange L
0
, L
1
e L
2
.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 2
0
0 1 0 2
x x x x x 0 x 1 x x
L
2x x x x 1 0 1 1
− ⋅ − − ⋅ − −
= = =
− ⋅ − − − ⋅ − −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
1
x ( 1) x 1 x 1 x 1
L x 1
10 ( 1) 0 1
− − ⋅ − + ⋅ −
= = = − +
−− − ⋅ −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
0 1
2
2 0 2 1
x x x x x ( 1) x 0 x x
L
2x x x x 1 ( 1) 1 0
− ⋅ − − − ⋅ − +
= = =
− ⋅ − − − ⋅ −
Assim o polinômio procurado é:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 0 0 1 1 2 2
2 2
2
2 0 1 2
p (x) L f x L f x L f x
x x x x
p (x) f x x 1 f x f x
2 2
= ⋅ + ⋅ + ⋅
− +
= ⋅ + − + ⋅ + ⋅
Para problemas que envolvem mais pontos seguimos o mesmo raciocínio
para encontrar o polinômio interpolador.
Saiba mais
No sítio <http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/lsousa/Teoria_actualMN/
Cap%C3%ADtulo4-interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf> você terá acesso a
um material que aborda os conceitos aqui estudados de uma maneira mais
abrangente, consulte este material e aprofunde seus conhecimentos sobre
o assunto.
Todos os métodos como dito anteriormente chegam aos mesmo polinômio
interpolador pois este é único, entretanto eles se diferem no conceito e principal-
mente na quantidade de operações necessárias para chegar ao polinômio.
Utilizando sistema lineares temos um total de
3
op
2 n
N
3
⋅
= , enquanto que no
método de Lagrange ou o de Newton temos um total de
2
op
3 n
N
2
⋅
= , ou seja,
uma quantidade inferior de operações.
CALCULO_NUMERICO.indd 59 1/4/aaaa 13:21:12
CAPÍTULO 5 • CÁLCULO NUMÉRICO
60 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
No próximo capítulo, estudaremos como calcular integral de valores tabelados
e funções que apresentem a integral na forma analítica é complexa ou impossível.
Como nos casos que estudamos até agora, este cálculo não é preciso e, podemos
determiná-las escolhendo vários pontos ou determinadas regras para obter o
resultado que melhor atende às necessidades de um problema específico.
Referências
BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher.
Editora da USP, 1972.
RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa-
cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997.
Anotações
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 61
Introdução à integração
numérica 6
Introdução
A integração numérica é realizada quando há limitações semelhantes às
encontradas na interpolação, como funções cujo cálculo da integral é extrema-
mente complexo e funções tabeladas, ou seja, que não possuem uma expressão
que a caracteriza.
Integração Numérica
Estudamos em cálculo diferencial e integral que uma função f(x) contínua em
um intervalo [a, b], é dada pela seguinte expressão.
b
a
f(x)dx F(a) F(b)= −∫
sendo 'F (x) f(x)= . A integral defi nida representa grafi camente a área sob
uma curva.
Z
B C Y
G B
G C
Em certa situação o cálculo da integral de f(x) pode ser muito complexo ou
mesmo impossível e em determinados problemas onde não conhecemos a lei de
formação da função, funções tabeladas em um intervalo [a, b]. A alternativa é a
emprego de métodos numéricos.
Ao fi nal deste capítulo, você será capaz de compreender a integração numé-
rica e compreender os erros cometidos na integração numérica.
Neste capítulo, sexta parte do nosso curso, estudaremos como calcular inte-
grais por métodos numéricos. Para isso é importante estar familiarizado com os
conceitos de integrais estudados nas disciplinas de Cálculo I e II, como a defi -
nição de integral, técnicas de integração, continuidade de funções entre outros.
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
62 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
6.1 Regra dos Trapézios
Nessa regra, a função a ser integrada será aproximada por um polinômio
interpolador que é de grau 1. Portanto, necessita-se de dois pontos para a interpo-
lação, ou seja, os limites de integração 0 1[x , x ] [a,b]= . Assim temos a expressão:
Considerando a fórmula de Gregory-Newton, temos o polinômio:
0
1 0 0
(x x )
p (x) f(x ) f(x )
h
−
= + ∆
sendo, h = (x1 – x0)
Obtemos o seguinte resultado:
b b
1
a a
A f(x)dx p (x)dx= ≈∫ ∫
1
0
x
0
0 0
x
(x x )
A f(x ) f(x ) dx
h
−
≈ + ∆
∫
Para simplificar a nossa compreensão vamos fazer uma mudança de variável:
0 0y f(x )=
0(x x )z
h
−
=
0 0 1 0y f(x ) f(x ) f(x )∆ = ∆ = −
Resultando em:
b
0 0
a
A [y z y ]dx≈ + ∆∫
Agora temos que fazer a alteração no fator de integração dx, assim como
0(x x )z
h
−
=
e derivando em relação a x, temos:
dz 1
dx hdz
dx h
= ⇒ =
Alterando também os limites de integração:
0 0
0
(x x )
a x z 0
h
−
= ⇒ = =
1 0
1
(x x ) h
b x z 1
h h
−
= ⇒ = = =
1
0 0
0
A [y z y ] h dz≈ + ∆ ⋅ ⋅∫
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 63
Realizada as devidas alterações podemos integrar a última expressão em
função de z.
1
0 0
0
12
0 0
0
0
0
A [y z y ] h dz
z
A h zy y
2
y
A h y
2
≈ + ∆ ⋅ ⋅
≈ + ∆
∆
≈ +
∫
Pelas diferenças divididas, temos que:
0 1 0y f(x ) f(x )∆ = −
E fazendo a substituição, finalmente temos a regra dos trapézios:
b
1 0
0
a
0 1
f(x ) f(x )
A f(x)dx h f(x )
2
h
A f(x ) f(x )
2
−
= ≈ +
≈ +
∫
A representação da expressão é dada pelo gráfico da figura a seguir
Z
�
�
� �
I
�
Y
Y�Y�
Em geometria vimos que a área do trapézio é ( )trap
h B b
A
2
+
= , aqui nossa
base mede f(x0) e f(x1) e a altura é h, confirmando a equação que encontramos
analiticamente.
0 1
h
A f(x ) f(x )
2
≈ +
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
64 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
6.1.2 Erro de truncamento na regra dos trapézios
Na integração numérica assim como no cálculo das raízes de uma função
ou na interpolação obtemos resultados aproximados, ou seja, cometemos um
erro na regra do trapézio.
Vamos definir o erro cometido seguindo os mesmos passos que seguimos para
obter a regra do trapézio, neste caso integrando o erro do polinômio interpolador.
E
z z h
f c hdz
E h f c z z dz
E h f
T a
b
T a
b
T
=
−
= ⋅ ⋅ ⋅ −
= ⋅
∫
∫
( )
!
"( )
"( )
!
( )
1
2
1
2
2
3 2
3 ""( )
!
"( )
!
c
z z
E h f c
E
h
T
T
⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅ −
=
−
1
2 3 2
1
2
1
6
12
3 2
0
1
3
3
ff c c x x"( ) [ , ]∈ 0 1
Como o sinal do erro é negativo se f'' > 0, cometemos um erro por excesso,
ou seja, a área encontrada é maior que a exata, mas se f'' < 0, cometemos um
erro por falta, ou seja, a área encontrada é menor que a exata.
Exemplo
Calcule a integral definida
dx
x3
3 6,∫ inicialmente pelo método analítico e em
seguida pela regra dos trapézios e o erro cometido.
Solução
Vamos começar resolvendo pelo método analítico.
3,6
3.6
3
3
dx
ln x ln3,6 ln3 0,18232
x
= = − =∫
Agora vamos resolver utilizando a regra dos trapézios, definindo o intervalo
e calculando h temos:
x
0
= 3, x
1
= 3,6, h = x
1
– x
0
= 0,6
Substituindo na fórmula dos trapézios:
A
h
f x f x
A
A
≈ +
≈ +
≈
2
0 6
2
1
3
1
3 6
0 18333
0 1( ) ( )
,
,
,
CALCULO_NUMERICO.indd 64 1/5/aaaa 08:32:34
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 65
Para determinar vamos primeiro encontrar a derivada segunda da função
1
f(x)
x
= .
2
3
1
f '(x)
x
2
f ''(x)
x
=−
=
A função f''(c) assume um valor máximo em módulo para c [3; 3;6]∈ se c = 3,
assim temos:
3
T
0,6 2
E 0,00133
12 27
≤ ⋅ =
Como o valor da integral é conhecido, pode-se calcular o erro diretamente:
Erro = 0,18333 – 1,18233 = 0,001, valor muito próximo do calculado
acima.
Exemplo
Determine a integral da função utilizando o método analítico e a regra
dos trapézios 2 3 4 5f(x) 0,2 25x 200x 675x 900x 400x= + − + − + , no intervalo
[0; 0,8], calcule o erro cometido pela diferença entre o método exato e o
aproximado.
Solução
Determinando a integral de forma analítica temos a expressão a seguir:
f x dx x x x x x dx
f x d
( ) ,
( )
, ,
= + − + − +( ) =∫ ∫
0
0 8
2 3 4 5
0
0 8
0 2 25 200 675 900 400
xx x
x x x x x
f
0
0 8 2 3 4 5 6
0
0 8
0 2 25
2
200
3
675
4
900
5
400
6
, ,
,
(
∫ = + − + − +
xx dx) ,
,
0
0 8
1 64053334∫ =
Agora vamos calcular através da regra do trapézio:
0,8
0
0,8
0
0,8 0,8
f(x)dx [f(0) f(0,8)] [0,2 0,232]
2 2
f(x)dx 0,1728
≈ + = +
=
∫
∫
Calculando o erro cometido entre os métodos, temos:
T
T
E 1,64053334 0,1828
E 1,46773334
= −
=
CALCULO_NUMERICO.indd 65 1/4/aaaa 13:24:07
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
66 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Determinando o erro relativo para se ter uma idéia mais precisa fazemos
A
R
R
R
E
E
x
1,46773334
E
1,64053334
E 0,8946
=
=
=
Portanto o erro cometido é de 89,46%, ou seja, muito significativo quando
comparado com a grandeza exata.
Para ilustrar o que aconteceu no último exemplo na forma geométrica vamos
esboçar o gráfico da função e o trapézio.
Z
�
�
Y«SFB�EP�USBQÏ[JP
�
6.1.3 Regra do Trapézio – Fórmula Composta
O exemplo anterior mostra que a regra do trapézio em determinadas situações
é muito fraca. Para obter um resultado mais preciso vamos aplicar o método n vezes
no mesmo intervalo, ou seja, subdividir o intervalo [a, b] em intervalos menores e
iguais. Observe a representação gráfica da situação no gráfico da figura a seguir.
�
�
�
�
�
Z
Y
� � � �
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 67
Na figura, a área da região cinza somada à área da região preta, é a área
encontrada pela regra dos trapézios quando dividimos o intervalo [a, b] em três
partes. A área da região preta representa o erro cometido, que neste caso é
menor que na regra dos trapézios simples.
Agora fazendo de forma algébrica, dividindo o intervalo [a, b] em n subin-
tervalos, temos:
b
0 1 1 2 n 1 n
a
h h h
A f(x)dx f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) .......... f(x ) f(x )
2 2 2 −
= ≈ + + + + + + ∫
Colocando
h
2
em evidência e somando os termos semelhantes obtemos a
seguinte expressão:
b
0 1 2 n 1 n
a
h
A f(x)dx f(x ) 2f(x ) 2f(x ) .......... 2f(x ) f(x )
2 −
= ≈ + + + + ∫
Como dividimos o intervalo em n subintervalos também cometemos E
n
erros,
assim o erro total é a soma dos erros de cada subintervalo.
T 0 1 2 n 1 n
3
''
T
3
''
T 2
E E E E ..... E E
b a
n
n
E f (c)
12
(b a)
E f (c) a c b
12n
−= + + + + +
−
− ⋅
=
− −
= ≤ ≤
Exemplo
Calcular a área sob a curva no intervalo [3,0; 3,6], utilizando a regra dos
trapézios com seis subintervalos.
Solução
O primeiro passo é obter os f(x
i
) de cada extremo de intervalo, para sistema-
tizar o processo inicialmente construímos a tabela a seguir.
i x
i
f(x1) = 1/X
i
0 3 0,333333
1 3,1 0,322581
2 3,2 0,312500
3 3,3 0,303030
4 3,4 0,294118
5 3,5 0,285714
6 3,6 0,277778
CALCULO_NUMERICO.indd 67 1/4/aaaa 13:24:58
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
68 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Substituímos os dados da tabela na expressão:
3,6
3,0
0 1 2 3 4 5 6
1
A dx
x
h
A f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) f(x )
2
h
A f(3) 2f(3,1) 2f(3,2) 2f(3,3) 2f(3,4) 2f(3,6) f(3,6)
2
h
A f(3) 2f(3,1) 2f(3,2) 2f(3,3) 2f(3,4) 2f(3,6) f(3,6)
2
=
≈ + + + + + +
≈ + + + + + +
≈ + + + + + +
∫
Calculando o erro cometido nessa integração numérica, podemos observar
que ele é bem menor que o erro cometido pela regra do trapézio simples.
Calculando as derivadas da função f(x) encontramos 1f(x)
x
= , '
2
1
f (x)
x
−
=
e '' 3
2
f (x)
x
= . Para x [3, 3,6]∈ o valor máximo em módulo de f''(x) no inter-
valo é c = 3, uma vez que a sua derivada não muda de sinal neste intervalo
''
3
2 2
f (3)
273
= = , portanto:
3
5
T 2
(3,6 3) 2
E 3,704 10
2712 6
−−≤ = ×
⋅
Nesse último exemplo, podemos notar que o erro é muito menor que no
mesmo exemplo utilizando a regra do trapézio simples, isso porque o erro
diminui de forma quadrática.
Saiba mais
No sítio <http://www.wiley.com/college/mat/anton243310/mod2/ap-
plet1/applet1.html> temos a representação gráfica e a possibilidade de
comparar alguns métodos de integração. O programa funciona direta mente
do navegador e é autoexplicativo.
Neste capítulo, vimos que a integração numérica é uma ferramenta pode-
rosa mesmo encontrando resultados aproximados pois, permite calcular integrais
de funções complexas ou mesmo tabeladas com cálculos simples, tão próximo
quanto se deseja apenas aumentando a quantidade de pontos considerados no
intervalo [a, b].
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 69
No próximo capítulo, estudaremos sobre o método para o cálculo da inte-
gral de forma numérica que utiliza três pontos e assim aproxima-se da função
por um polinômio do segundo grau, essa regra é denominada primeira regra
de Simpson.
Referências
BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher.
Editora da USP, 1972.
RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa-
cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997.
Anotações
CAPÍTULO 6 • CÁLCULO NUMÉRICO
70 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 71
Integração numérica II
7
Introdução
Neste capítulo, vamos estudar uma técnica diferente da regra dos trapézios
para calcular a integração numérica as regras de Simpson, a diferença básica
nestes métodos são quantos pontos por intervalo de integração são utilizados,
assim aproximando da integração analítica de forma mais efi ciente.
Ao fi nal deste nosso último capítulo, você será capaz de compreender a inte-
gração numérica e compreender os erros cometidos na integração numérica.
Nessa parte do nosso curso estudaremos como calcular integrais por métodos
numéricos, mais especifi camente as regras de Simpson, para isto é importante
estar familiarizado com os conceitos de integrais como a defi nição de integral,
técnicas de integração, continuidade de funções, entre outros conceitos estu-
dados em Cálculo I e II.
A seguir temos a primeira regra de Simpson que interpola
a função por três
pontos por vez.
7.1 Primeira Regra de Simpson
A primeira regra de Simpson aproxima-se da função f(x) por um polinômio
de grau 2, por isso necessitamos de no mínimo três pontos, ou seja, {x
0
, x
1
, x
2
},
sendo x
0
= a e x
2
= b , deste modo temos a seguinte expressão.
A f x dx p x dx
x
x
x
x
= ≈ ∫∫ ( ) ( )2
0
2
0
2
Considerando a fórmula de Gregory-Newton, obtemos o seguinte resultado:
p x f x
x x
h
f x x x x x
f x
h
2 0
0
0 0 1
2
0
22
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
= +
−
+ − −∆
∆
Desenvolvendo as diferenças divididas:
A f x dx A p x dx
A f x
x x
h
f x x x x
x
x
x
x
= ≈
≈ +
−
+ − −
∫ ∫( ) ( )
( )
( )
( ) ( )(
0
2
0
2
2
0
0
0 0∆ xx
f x
h
dx
x
x
1
2
0
22
0
2
)
( )∆
∫
CALCULO_NUMERICO.indd 71 1/5/aaaa 08:36:12
CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO
72 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Vamos fazer uma troca de variáveis, para tornar simples a integração:
y f x0 0= ( ) e z
x x
h
=
−( )0
Encontrando ( )x x
h
− 1 em função de z:
( )001 x x(x x h)(x x ) 1 z 1
h h h
−− −−
= = − = −
Representando o operador de diferenças divididas em função de y
i
, pois
são os valores que conhecemos.
∆ ∆y f x f x f x y y0 0 1 0 1 0= = − = −( ) ( ) ( )
Fazendo o mesmo para a diferença de segunda ordem do polinômio temos:
∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆
2
0
2
0
2
0 1 0
2
0 2 1 1
y f x
y f x f x
y f x f x f x f
=
= −
= − − −
( )
( ) ( )
[ ( ) ( )] [ ( ) (xx
y f x f x f x
y y y y
0
2
0 2 1 0
2
0 2 1 0
2
2
)]
[ ( ) ( ) ( )]
[ ]
∆
∆
= − +
= − +
Substituindo na integral obtemos a seguinte expressão, mas antes de inte-
grar devemos substituir também o dx.
A y z y
z z
y dx
x
x
≈ + +
−∫ [ ( ) ]0 0 2 012
0
2
∆ ∆
Derivando a expressão z
x x
h
=
−( )0 em relação a x, temos:
dz
dx h
dx hdz= ⇒ =
1
Devemos também mudar os limites de integração:
a x z
x x
h
= ⇒ =
−
=0
0 0 0
( )
b x z
x x
h
h
h
= ⇒ =
−
= =1
2 0 2 2
( )
A y z y h dz≈ + ⋅ ⋅∫ [ ]0 0
0
2
∆
CALCULO_NUMERICO.indd 72 1/5/aaaa 08:44:58
CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 73
Finalmente, podemos resolver a integral e obter a denominada primeira
regra de Simpson para integração numérica.
2
2
0 0 0
0
2
2 3 2
2
0 0 0
0
2
0 0 0
z(z 1)
A y z y y h dz
2
z z z
A h zy y y
2 6 4
1
A h 2y 2 y y
3
−
≈ + ∆ + ∆ ⋅ ⋅
≈ + ∆ + − ∆
≈ + ∆ + ∆
∫
Os operadores Diferenças Finitas são constantes e por simplicidade na
notação vamos substituí-los neste momento.
b
a
0 1 0 2 1 0
0 1 2
A f(x)dx
1 2 1
A h 2y 2y 2y y y y
3 3 3
h
A y 4y y
3
=
≈ + − + − +
≈ + +
∫
O Erro cometido na integração pela Primeira Regra de Simpson é dado por:
5
(IV)
T 0 1
h
E f (c) c [x , x ]
90
−
= ∈
O fato do erro da primeira Regra de Simpson depender da derivada de
quarta ordem da função f(x) significa que esta se aproxima de forma exata de
polinômios de terceiro grau.
Exemplo
Utilizando a mesma função dos exemplos, mas calculando através da
primeira regra de Simpson, vamos calcular
3,6
3
dx
A
x
= ∫ .
Solução
Para a primeira regra de Simpson devemos utilizar três pontos igualmente
espaçados no intervalo [3, 3, 6], sistematizando os dados em uma tabela temos:
i X
i
i
i
1
f(x )
x
=
0 3 0,333333
1 3,3 0,303030
2 3,6 0,277778
CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO
74 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
3,6
3,0
0 1 2
1
A dx
x
h
A f(x ) 4f(x ) f(x )
3
0,3
A 0,333333 4 0,303030 0,277778
3
=
≈ + +
≈ + ⋅ +
∫
A 0,182323≈
Determinando o erro cometido, como nos outros casos vamos calcular
primeiro a derivada de quarta ordem da função f(x).
1
f(x)
x
= , '
2
1
f (x)
x
−
= , ''
3
2
f (x)
x
= , '''
4
6
f (x)
x
−
= e (IV)
5
24
f (x)
x
= .
Para c ∈ [3, 3, 6] o valor máximo do módulo de f(IV) (x), portanto:
5
(IV)
t
h
E f (c) c [3;3,6]
90
≤ ⋅ ∈
5
5
t
0,3 24
E 0,2666 10
90 243
−
≤ ⋅ = ×
Veja que comparando com a regra dos trapézios que utilizamos seis pontos
mesmo assim tivemos um erro maior que a primeira regra de Simpson na qual
utilizamos apenas três pontos.
7.1.1 Primeira Regra de Simpson – Fórmula Composta
Como na regra do trapézio podemos dividir o intervalo em subintervalos
menores para melhorar a aproximação.
Nesta regra devemos ter o cuidado de termos a quantidade de subintervalos
sempre par, ou seja, o n deve ser par, pois a regra de Simpson utiliza três pontos
de cada vez no processo. Assim como nos outros métodos estudados até agora
os comprimentos dos subintervalos devem ser iguais.
Repetindo a expressão para cada grupo de três pontos, temos:
b
0 1 2 2 3 4
a
n 2 n 1 n
h h
A f(x)dx f(x ) 4f(x ) f(x ) f(x ) 4f(x ) f(x ) ...
3 3
h
f(x ) 4f(x ) f(x )
3 − −
= ≈ + + + + + +
+ + +
∫
Colocando h
2
em evidência chegamos à expressão:
b
a
0 1 2 3 4 n 2 n 1 n
A f(x)dx
h
A [f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) 2f(x ) .... 2f(x ) 4f(x ) f(x )]
3 − −
=
≈ + + + + + + + +
∫
CALCULO_NUMERICO.indd 74 1/4/aaaa 13:45:19
CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 75
O erro cometido na integração numérica pela primeira regra de Simpson
composta é dada por
5
(IV)
T 4
(b a)
E f (c) c [a,b]
180n
− −
= ∈
onde n é o número de subintervalos.
Sendo o ponto c a abscissa em x que torna a f(IV) máxima em módulo.
Exemplo
Determinar pela primeira regra de Simpson a integral da função tabelada.
x
i
0 2 4 6 8 10 12
f(x
i
) 0 8 9 7 5 2 0
Solução
Para resolver uma integral numérica pela primeira regra de Simpson devemos
verificar em primeiro lugar se n é par. Em nosso exemplo, n é igual a seis e por
isso podemos aplicar a regra.
0 1 2 3 4 5 6
h
I [f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) f(x )]
3
2
I 0 4 8 2 9 4 7 2 5 4 2 0
3
2
I 0 16 18 28 10 8 0
3
2
I 80
3
160
I
3
I 53.333
= + + + + + +
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= + + + + + +
=
=
=
O resultado da integral é 53,333.
7.2 Segunda Regra de Simpson
Nesta regra, temos uma função f(x) que será aproximada por um polinômio
de grau 3. Assim são necessários quatro pontos para a interpolação, ou seja,
{ }0 1 2 3x , x , x , x , sendo 0x a= e 3x b= . Deste modo temos a seguinte expressão:
3
0
3
0
x
x
x
3
x
A f(x)dx
A p (x)dx
=
≈
∫
∫
CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO
76 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
Procedendo de maneira semelhante a primeira regra de Simpson.
b
a
0 1 2 3
0 1 2 3
A f(x)dx
3h
A y 3y 3y y
8
3h
A f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x )
8
=
≈ + + +
= + + +
∫
O erro cometido quanto integramos utilizando a segunda regra de Simpson é:
5
(IV)
T 0 3
3h
E f (c) c [x , x ]
80
−
= ∈
O erro máximo cometido pela segunda regra de Simpson é obtido quando
f(IV) é o máximo em módulo.
7.2.1 Segunda Regra de Simpson – Fórmula Composta
Assim como na regra dos trapézios e na primeira regra de Simpson na
segunda regra de Simpson também podemos aplicar a regra a subintervalos
menores, mas devemos ter cuidado porque aqui também temos uma quantidade
certa de subintervalos a considerar, assim n deve ser um múltiplo de três, pois
utilizamos quatro pontos na interpolação.
A fórmula da Segunda Regra de Simpson
composta é dada por:
b
a
0 1 2 3 3 4 5 6
n 3 n 2 n 1 n
A f(x)dx
3h 3h
A f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x ) f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x ) ...
8 8
3h
f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x )
8 − − −
=
= + + + + + + + +
+ + + +
∫
Para simplificar, colocamos 3h
8
em evidência:
b
a
0 1 2 3 4 5 6 n 2
n 1 n
A f(x)dx
3h
A [f(x ) 3f(x ) 3f(x ) 2f(x ) 3f(x ) 3f(x ) 2f(x ) .... 3f(x )
8
3f(x ) f(x )]
−
−
=
≈ + + + + + + + +
+ +
∫
O Erro cometido na integração pela Segunda Regra de Simpson – Fórmula
composta é dada por:
CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO
UNITINS • MATEMÁTICA • 7º PERÍODO 77
5
(IV)
T 4
(b a)
E f (c) c [a,b]
80n
− −
= ∈
O erro máximo cometido é determinado por c quanto torna f(IV) máxima
em módulo.
Exemplo
Calcular o valor de integral ln x e dxx3
1
2
1+ +( )∫ aplicando a regra de Simpson
para n = 9.
Solução
Inicialmente definimos o valor de h como temos n = 9.
4 1
h
9
1
h
3
−
=
=
i x
i
y
i
0 1,0000 1,0744
1 1,3333 1,5173
2 1,6666 1,9655
3 2,0000 2,3884
4 2,3333 2,7768
5 2,6666 3,1305
6 3,0000 3,4529
7 3,3333 3,7477
8 3.6666 4,0187
9 4,0000 4,2691
Agora, vamos aplicar a segunda regra de Simpson:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3h
I y 3y 3y 2y 3y 3y 2y 3y 3y y
8
1
3
3I 1,0744 3 1,5173 3 1,9655 2 2,3884 3 2,7768 3 3,1305
8
2 3,4529 3 3,7477 3 4,0187 4,2691
I 8,5619
= + + + + + + + + +
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +
=
Saiba mais
Leia o artigo disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/ Co
municacao_Cientifica/Trabalhos/CC03442487803T.doc>, pois ele abor-
da alguns aspectos pedagógicos sobre integração numérica e uso de um
CALCULO_NUMERICO.indd 77 1/4/aaaa 13:45:56
CAPÍTULO 7 • CÁLCULO NUMÉRICO
78 7º PERÍODO • MATEMÁTICA • UNITINS
programa específico, vale a pena conferir pois se trata de mais uma ferra-
menta de apoio ao nosso trabalho.
Nesta disciplina, nós estudamos, de modo diferente, vários conceitos estu-
dados anteriormente, como raízes de funções, integrais, polinômios, mas um
detalhe que diferencia esta disciplina de outras, é que na vida real quase nunca
temos valores inteiros, resultados exatos e aqui estudamos as teorias utilizadas
para contornar estes problemas reais.
Para resolvermos problemas reais utilizamos computadores que, como
vimos, são passíveis de erros, por isso, a importância de compreendê-los para
minimizar os erros ocorridos nas operações matemáticas.
Vale lembrar que este curso não abrange todas as teorias relacionadas à
Análise Numérica e ao Cálculo Numérico, mas é um início para que possamos
caminhar sozinhos em estudos futuros por meio das literaturas especializadas.
Bons estudos!
Referências
BARROSO, Leônidas Conceição. Cálculo Numérico. São Paulo: Edgard Blucher.
Editora da USP, 1972.
RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computa-
cionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1997.
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