Calculo I - Lista4_N2_Teorema_Stokes

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OBSERVA<;AO. A Formula (9) e considerada, as vezes, como a defini9ao de rotacional. Esta e
uma alternativa para a Defini9ao 8.1.5 porque nao requer urn sistema de coordenadas.
As figuras dos Exercfcios I e 2 mostram uma camada horizontal
do campo vetorial de urn fluxo fluido, no qual 0 fluxo e paralelo ao
plano xy em cada ponto e e identico em cada camada (ou seja, e
independente de z). Para cada fluxo, diga se voce acha que 0
rotacional e diferente de zero na origem e explique seu raciocfnio.
Se voce acredita que seja diferente de zero, diga se aponta na dire<;ao
positiva ou negativa de z.
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l. (a) y (b) i'I "'-\\\ / / // --:::- .::::-"""" \ \ / / / / / --- '- '-........ ,,, \ 1/// //~ ,,"\\
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==t=-==+= .---t---x
__ l __ •==+==--j----T--
Nos Exercfcios 3 a 6, verifique a F6rmula (2) do Teorema de Stokes
calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a
superffcie tenha orienta<;ao para cima.
F(x, y, z) = (x - y)i + (y - z)j + (z - x)k; a e a por<;ao do plano
x + y + Z = 1 no primeiro octante.
4. F(x, y, z) = x2i + y2j + z2k; a e a por<;ao do cone z = ~ x2 +l
abaixo do plano z = l.
/" F(x,y, z) =xi +yj +zk; aeohemisferio superior z = ~a2 - x2 -l.
6. F(x, y, z) = (z - y)i + (z +x)j - (x + y)k; a e a por<;ao do parabol6ide
z = 9 - x2 - i acima do plano xy.
Nos Exercfcios 7 a 14, use 0 Teorema de Stokes para calcular a
integral fcF· dr.
~7. F(x, y, z) = z2i+ 2xj - ik; Ceo cfrculo x2+y2 = 1 no plano xy com
orientaqao anti-hofliria olhando 0 eixo z positivo de cima para baixo.
8. F(x, y, z) = xzi + 3x2y'j + yxk; Ceo retangulo no plano z = y
mostrado na Figura 8.8.2.
F(x, y, z) = 3zi + 4xj + 2yk; C e a fronteira do parabol6ide mostrado
na Figura 8.8.3.
10. F(x, y,~) = -3y'i + 4zj + 6xk; Ceo triangulo no plano z = t y com
verti'ces (2, 0, 0), (0, 2, I) e (0, 0, 0), com orienta<;ao anti-honiria
olhando 0 eixo z positivo de cima para baixo.
F(x, y, z) = xyi + x'j + z'k; C e a intersec<;ao do parabol6ide
z = x' + i e 0 plano z = y com orienta<;ao anti-horaria olhando 0
eixo z positivo de cima para baixo.
12. F(x, y, z) = xyi + yzj + ~k; Ceo triangulo no plano x + y + Z = 1
com vertices (1, 0, 0), (0, 1,0) e (0, 0, I), com orienta<;ao anti-
oraria olhando do primeiro octante para a origem.
13. F(x, y, z) = (x - y)i + (y - z)j + (z -x)k; Ceo cfrculo x' +y' = a' no
plano xy com orienta<;ao anti-horaria olhando 0 eixo z positivo de
cima para baixo. .
14. F(x, y, z) = (z + sen x)i + (x + i)j + (y + e')k; C e a intersec<;ao da
esfera x2 +i + z' = I e do cone Z = ~x2 +l com orienta<;ao anti-
horaria olhando 0 eixo z positivo de cima para baixo.
15. Considere 0 campo vetorial dado pela f6rmula
F(x, y, z) = (x - z)i + (y - x)j + (z - xy)k
(a) Use 0 Teorema de Stokes para determinar a circula<;ao em tomo
do triangulo com vertices A(l, 0, 0), B(O, 2, 0) e ceO, 0, I),
orientado no sentido anti-horario olhando da origem para 0
primeiro octante.
(b) Determine a densidade de circula<;ao de F na origem na dire<;ao
de k.
(c) Determine 0 vetor unitario n tal que a densidade de circula<;ao
de F na origem seja maxima na dire<;ao de n.
16. (a) Mostre que se F for urn campo vetorial cujos componentes tern
derivadas parciais de segunda ordem contfnuas, entao
div (rot F) = 0.
(b) Use 0 resultado da parte (a) para mostrar que se a superffcie a
de urn s6lido G tiver orienta<;ao para fora, n for 0 vetor unitario
normal para fora de ae os componentes de F tiverem primeiras
derivadas parciais contfnuas em a e dentro de a, entao
JJ (rot F· n) dS = °
(c) a campo vetorial rot (F) e chamado campo rotacional de F.
Interprete, com palavras, a f6rmula da parte (b) como urn
enunciado sobre 0 fluxo do campo rotacional.