Determine o valor de y de maneira que os pontos P(1, 3), Q(3, 4) e R(y, 2) sejam os vértices de um triângulo qualquer.

Para que os pontos P(1, 3), Q(3, 4) e R(y, 2) formem um triângulo, eles não podem ser colineares. Para verificar isso, podemos usar a fórmula da área de um triângulo formada por três pontos: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos P(1, 3), Q(3, 4) e R(y, 2): \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 1(4 - 2) + 3(2 - 3) + y(3 - 4) \right| \] Simplificando: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + y \cdot (-1) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 2 - 3 - y \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1 - y \right| \] Para que os pontos não sejam colineares, a área deve ser diferente de zero: \[ \left| -1 - y \right| \neq 0 \] Isso implica que: \[ -1 - y \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq -1 \] Portanto, o valor de \( y \) pode ser qualquer número real, exceto \( -1 \).