(PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(–1, 6) são colineares.

Para que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(–1, 6) sejam colineares, a área do triângulo formado por eles deve ser igual a zero. Podemos usar a fórmula da área do triângulo com coordenadas: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos A, B e C: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{2}(0 - 6) + \frac{2}{3}(6 - t) + (-1)(t - 0) \right| = 0 \] Simplificando: \[ \frac{1}{2} \left| -3 + \frac{12}{3} - \frac{2}{3}t - t \right| = 0 \] \[ \left| -3 + 4 - \frac{5}{3}t \right| = 0 \] \[ 1 - \frac{5}{3}t = 0 \] Resolvendo para t: \[ \frac{5}{3}t = 1 \implies t = \frac{3}{5} \] Portanto, o valor de \( t \) é \( \frac{3}{5} \).