(UFMG) Determine o valor de m para que os pontos A(2m+1, 2), B(–6, –5) e C(0, 1) sejam colineares.

Para determinar o valor de \( m \) que faz os pontos A(2m+1, 2), B(–6, –5) e C(0, 1) serem colineares, podemos usar a condição de colinearidade que envolve o cálculo da área do triângulo formado pelos três pontos. A área deve ser igual a zero. A fórmula da área \( A \) de um triângulo formado pelos pontos \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \) e \( (x_3, y_3) \) é dada por: \[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos A(2m+1, 2), B(–6, –5) e C(0, 1): \[ A = \frac{1}{2} \left| (2m+1)(-5 - 1) + (-6)(1 - 2) + 0(2 - (-5)) \right| \] Simplificando: \[ A = \frac{1}{2} \left| (2m+1)(-6) + 6 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -12m - 6 + 6 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -12m \right| \] Para que os pontos sejam colineares, a área deve ser zero: \[ \frac{1}{2} \left| -12m \right| = 0 \] Isso implica que: \[ -12m = 0 \implies m = 0 \] Portanto, o valor de \( m \) para que os pontos A, B e C sejam colineares é \( m = 0 \).