Calcule os limites: lim x→−∞ (x / √(x2 − 1)) lim x→0 (sen(3x2) / (3x2 − tan2(2x)))

Vamos calcular os limites um a um. 1. lim x→−∞ (x / √(x² − 1)): Para calcular esse limite, podemos simplificar a expressão. Quando \( x \) tende a \( -\infty \), podemos fatorar \( x² \) do radical: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1 - \frac{1}{x^2})}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \] Como \( x \) é negativo, \( |x| = -x \): \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \] Quando \( x \to -\infty \), \( \frac{1}{x^2} \to 0 \): \[ = \frac{1}{-\sqrt{1}} = -1 \] Portanto, o limite é -1. 2. lim x→0 (sen(3x²) / (3x² − tan²(2x))): Para esse limite, podemos usar a regra de L'Hôpital, pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \( x \to 0 \). Calculando as derivadas: - Derivada do numerador: \( \frac{d}{dx}[\sen(3x^2)] = 6x \cos(3x^2) \) - Derivada do denominador: \( \frac{d}{dx}[3x^2 - \tan^2(2x)] = 6x - 4\tan(2x)\sec^2(2x) \) Agora aplicamos a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{6x \cos(3x^2)}{6x - 4\tan(2x)\sec^2(2x)} \] Substituindo \( x = 0 \): Numerador: \( 6(0) \cos(0) = 0 \) Denominador: \( 6(0) - 4(0)\sec^2(0) = 0 \) Como ainda temos uma indeterminação \( \frac{0}{0} \), aplicamos a regra de L'Hôpital novamente. Calculando novamente as derivadas: - Derivada do numerador: \( 6\cos(3x^2) - 36x^2\sen(3x^2) \) - Derivada do denominador: \( 6 - 8\tan(2x)\sec^2(2x) + 8\tan^2(2x)\sec^2(2x) \) Substituindo \( x = 0 \) novamente, você encontrará que o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{6}{6} = 1 \] Portanto, o limite é 1. Resumindo: - \( \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = -1 \) - \( \lim_{x \to 0} \frac{\sen(3x^2)}{3x^2 - \tan^2(2x)} = 1 \)