Calcule os limites: (a) $\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{48(\sqrt{2 x}-2)}{8-x^{3}}+2\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{8-x^{3}}\right)$

Para calcular o limite \(\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{48(\sqrt{2 x}-2)}{8-x^{3}}+2\right) \sin\left(\frac{1}{8-x^{3}}\right)\), vamos analisar cada parte da expressão. 1. Substituição direta: Primeiro, substituímos \(x = 2\): - O numerador da fração \(\sqrt{2 \cdot 2} - 2 = 0\). - O denominador \(8 - 2^3 = 8 - 8 = 0\). Portanto, temos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: Como temos uma indeterminação, podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Derivamos o numerador e o denominador da fração: - Derivada do numerador \(48(\sqrt{2x} - 2)\): \[ \frac{d}{dx}[48(\sqrt{2x} - 2)] = 48 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{48}{\sqrt{2x}}. \] - Derivada do denominador \(8 - x^3\): \[ \frac{d}{dx}[8 - x^3] = -3x^2. \] 3. Reescrevendo o limite: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\frac{48}{\sqrt{2x}}}{-3x^2}. \] 4. Substituindo \(x = 2\): \[ \frac{48}{\sqrt{4}} \cdot \frac{1}{-3 \cdot 4} = \frac{48}{2} \cdot \frac{1}{-12} = \frac{24}{-12} = -2. \] 5. Agora, substituímos no limite original: \[ \lim_{x \to 2} \left(-2 + 2\right) \sin\left(\frac{1}{8 - x^3}\right). \] Como \(8 - x^3 \to 0\) quando \(x \to 2\), \(\frac{1}{8 - x^3} \to \infty\), e \(\sin\) oscila entre -1 e 1. 6. Resultado final: O limite se torna \(0 \cdot \text{(algo oscilante)}\), que é indeterminado. Portanto, precisamos analisar mais a fundo, mas a parte que se aproxima de zero é dominante. Assim, o limite final é: \[ \lim_{x \to 2} \left(\frac{48(\sqrt{2x}-2)}{8-x^3}+2\right) \sin\left(\frac{1}{8-x^3}\right) = 0. \]