Para encontrar um intervalo de amplitude igual a \( \frac{1}{2} \) onde há um valor de \( x \) que é a abscissa de um ponto de interseção entre as funções \( f(x) = \sqrt{4 - x} \) e \( g(x) = 2x^3 \), precisamos primeiro determinar onde essas funções se cruzam. 1. Igualar as funções: \[ \sqrt{4 - x} = 2x^3 \] Para encontrar os pontos de interseção, vamos elevar ambos os lados ao quadrado: \[ 4 - x = 4x^6 \] Rearranjando, temos: \[ 4x^6 + x - 4 = 0 \] 2. Análise gráfica: Para entender onde essas funções se cruzam, podemos analisar graficamente ou calcular alguns valores. 3. Testando valores: Vamos calcular \( f(x) \) e \( g(x) \) para alguns valores de \( x \): - Para \( x = 0 \): \[ f(0) = \sqrt{4 - 0} = 2, \quad g(0) = 2(0)^3 = 0 \] - Para \( x = 1 \): \[ f(1) = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1.73, \quad g(1) = 2(1)^3 = 2 \] - Para \( x = 1.5 \): \[ f(1.5) = \sqrt{4 - 1.5} = \sqrt{2.5} \approx 1.58, \quad g(1.5) = 2(1.5)^3 = 6.75 \] 4. Intervalo de interseção: Observamos que \( f(0) = 2 \) e \( g(0) = 0 \) (a função \( f \) está acima de \( g \) em \( x = 0 \)) e que \( f(1) \approx 1.73 \) e \( g(1) = 2 \) (a função \( g \) está acima de \( f \) em \( x = 1 \)). Portanto, entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \), as funções se cruzam. 5. Intervalo de amplitude \( \frac{1}{2} \): Um intervalo de amplitude \( \frac{1}{2} \) pode ser, por exemplo, \( [0.25, 0.75] \). Neste intervalo, podemos garantir que existe um valor de \( x \) onde as funções se cruzam, pois \( f(0.25) > g(0.25) \) e \( f(0.75) < g(0.75) \). Portanto, um intervalo que atende à condição é \( [0.25, 0.75] \).