Para que a função \( G(x) \) seja contínua, precisamos garantir que o limite de \( G(x) \) quando \( x \) se aproxima do ponto onde \( x \) não está no domínio de \( F \) seja igual ao valor de \( G(x) \) nesse ponto. Primeiro, vamos determinar o domínio da função \( F(x) = 1 - |1 - \sqrt{\sqrt{x^2} - 2}| \). 1. A expressão \( \sqrt{x^2} \) é igual a \( |x| \), então temos: \[ F(x) = 1 - |1 - \sqrt{|x| - 2}| \] 2. Para que \( \sqrt{|x| - 2} \) seja real, precisamos que \( |x| - 2 \geq 0 \), ou seja, \( |x| \geq 2 \). Isso implica que \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 2 \). Assim, o domínio de \( F \) é \( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \). Agora, para \( G(x) \) ser contínua em \( x = -2 \) e \( x = 2 \), precisamos que: \[ \lim_{x \to -2} G(x) = G(-2) \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 2} G(x) = G(2) \] Para \( x = -2 \): - \( G(-2) = F(-2) \) - Precisamos calcular \( F(-2) \): \[ F(-2) = 1 - |1 - \sqrt{|-2| - 2}| = 1 - |1 - \sqrt{2 - 2}| = 1 - |1 - 0| = 1 - 1 = 0 \] Para \( x = 2 \): - \( G(2) = F(2) \) - Precisamos calcular \( F(2) \): \[ F(2) = 1 - |1 - \sqrt{|2| - 2}| = 1 - |1 - \sqrt{2 - 2}| = 1 - |1 - 0| = 1 - 1 = 0 \] Agora, para \( x \notin \text{Domínio de } F \), temos \( G(x) = ax^2 - 4 \). Precisamos que: \[ \lim_{x \to -2} G(x) = a(-2)^2 - 4 = 4a - 4 \] E isso deve ser igual a \( 0 \): \[ 4a - 4 = 0 \implies 4a = 4 \implies a = 1 \] E para \( x = 2 \): \[ \lim_{x \to 2} G(x) = a(2)^2 - 4 = 4a - 4 \] E isso também deve ser igual a \( 0 \): \[ 4a - 4 = 0 \implies 4a = 4 \implies a = 1 \] Portanto, o valor de \( a \) que torna \( G \) contínua é \( a = 1 \).