Limites

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METROPOLITANO DE ENSINO - IME
FACULDADE METROPOLITANA DE MANAUS – FAMETRO
DEPARTAMENTO DE QUÍMICA
Apostila de Cálculo I
Limites
Curso: Sistemas de Informação
2º. período
Prof. Alysson Roberto
Manaus, Março de 2012
LIMITES DE UMA FUNÇÃO
	Introdução
	Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode ser ultrapassado.
Exemplos:
a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.
b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o limite de carga que este suporta.
c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita.
	É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se aproximar tanto quanto se desejar. 
Definição
		Dizemos que o limite da função f (x) quando x tende a a é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f (x) para os infinitos valores de x permanecerem próximos de L, sempre que x estiver muito próximo de a. 
	Indica-se:
			lim f (x) = L
			x ( a
Exemplos:
1) Consideremos o gráfico da função f : R( R, definida por f (x) = x + 2 
	De acordo com o exposto, podemos dizer que:
O limite de f (x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos:
 lim f (x) = 5
 x ( 3 -
O limite de f (x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos:
 
 lim f (x) = 5
 x ( 3 +
		Em vez das duas indicações anteriores, podemos utilizar a seguinte representação única.
	 lim f (x) = 5
	 x ( 3 
	Lê-se: O limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5. 
2) Consideremos também o gráfico da função f : R( R, definida por :
 x se x ≤ 3 
f (x) = x + 2 se x > 3
Observe:
Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f (x) se aproxima de 3, isto é:
 lim f (x) = 3
 x ( 3 –
Quando x se aproxima de 3 pela direita, f (x) se aproxima de 5, isto é: 
 
 lim f (x) = 5
 x ( 3 +
	Estes limites são chamados de limites laterais e, como são diferentes, dizemos que neste caso não existe limite de f(x) quando x tende a 3.
	
	Para que exista o limite, f (x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é: 
	 lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) 
 	 x ( a - 	 x ( a + x ( a 
 
Exercícios
1) Calcule os seguintes limites:
a) lim (x² - 5x + 4)
 x ( 2
b) lim (x³ + 1)
 x ( - 2
c) lim (x4 + 5) 
 x ( 0
d) lim 
 x ( 4
e) lim (4x³ - x² + x – 1) 
 x ( 0
f) lim (1 – 4x²) 
 x ( 3
g) lim 
 x ( 1
2) Dada a função f (x) = 4x – 3, calcule:
a) lim f(x) 								b) lim f(x) 
 x ( 2								 x ( 0
c) lim f(x) 								d) lim f(x) 
 x ( 5								 x ( - 1
Propriedades dos Limites
O cálculo de um limite fica mais simples a partir de suas propriedades operatórias.
Sejam as funções f e g tais que lim f (x) = L e lim g (x) = M, então valem as seguintes propriedades.
1ª) Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria constante, isto é:
lim k = k
x ( a
Ex.: 
a) lim – 1 =				b) lim 4 =				c) lim 
 = 
2ª) Limite da soma
O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções, isto é:
lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L + M
x ( a		x ( a x ( a
Ex.:
a) lim (x + 3) = 
 x ( 2 
b) lim (x² + x + 1) = 
 x ( - 1 
3ª) Limite da diferença
O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções, isto é:
lim [ f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L – M
x ( a	 x ( a x ( a 
Ex.:
a) lim x² - 1 = 
 x ( 3 
b) lim (x³ + 4x² - 5x) = 
 x ( 1 
4ª) Limite do Produto
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:
lim [ f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x) = L . M
x ( a x ( a x ( a 
Ex.: 
a) lim 4x² = 
 x ( 3 
b) lim [(x² + 1) . (x + 3)] = 
 x ( 1 
5ª) Limite do quociente
O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:
lim f(x) = lim f(x) = L (M ( 0)
x ( a g(x) lim g(x) M
Ex.:
a) lim (x + 3) =
 x ( 2 (x + 4) 
b) lim x² + 1 = 
 x ( 1 x + 3 
6ª) Limite da potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função, isto é:
lim [f(x) ] n = [lim f(x)] n = L n (L >0)
x ( a x ( a 
Ex.:
a) lim (5x)² = 							b) lim (x² + 1)³ = 
 x ( 1 							 x ( 1 
7ª) Limite da raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função, isto é:
 lim 
 = 
 = 
 (L (0, n par)
x ( a x ( a 
Ex.:
a) lim 
�� EMBED Equation.3 =
 x ( 1 
b) lim 
 = 
 x ( 2 
Atividades
1) Calcule os seguintes limites, utilizando as propriedades estudadas:
a) lim 3 = 				f) lim (5x² - 3x + 1) = 			k) lim (3x – 1) 10 = 
 x ( 2 				 x ( 3					 x ( 1
b) lim 3x = 				g) lim (4x³ + 2x + 6) = 			l) lim 
 =
 x ( 2 				 x ( 0					 x ( 4
c) lim 3x5 = 				h) lim (x4 + x + 3) = 				m) lim 
= 
 x ( 2 				 x ( - 2					 x ( 1
d) lim x =				i) lim 3x + 2 = 				n) lim (2x – 5)4 = 
 x ( 5 				 x ( 3 x – 1 				 x ( 1
e) lim x4 =				j) lim (x² - 2x) 5 = 				o) lim x² + 4 = 
 x ( 2 				 x ( 2					 	 x ( 3 x – 1 
2) Calcule os limites:
a) lim (2x² - 3x + 1) = 					e) lim 2x³ =
 x ( 2 							 x ( 2 
b) lim 1 = 						f) lim (x³ – 5) = 
 x ( - 3 x² + 1 						 x ( 4 
c) lim 
=						g) lim 4x² – 2x = 
 x ( - 2 							 x ( 3 x – 1 
Limite de um polinômio
		Uma das conseqüências das propriedades dos limites é a regra para obter o limite de uma função polinomial, que pode ser obtida por substituição.
			f(x) = axo + a1x + a2x² + ... + anxn
Exemplos: 
1) lim (3x² - 5x + 2) = 
 x ( 2 
2) lim x² + 2x – 3 = 
 x ( - 3 4x – 3 
3) lim 2x² – x + 1 2 = 
 x ( 1 3x – 2 
4) lim 	 
= 
 x ( - 2 
Obs.: A casos em que chegaremos a uma indeterminação matemática 
 e teremos que fatorar e simplificar a função, antes de efetuarmos a substituição, porque ela não é definida para aquele valor de x.
5) lim x² – 4 = 
 x ( 2 x² – 2x 
6) lim x² – 64 =
 x ( 8 x – 8 
( Exercícios
1) Calcule os seguintes limites:
a) lim (3x4 – 2x³ + 4x² + 5) = 
 x ( 2 
b) lim x3 – x + 1 = 
 x ( 2 x + 3 
c) lim 3x2 – x = 
 x ( 1 x³ + 2 
d) lim 
 =
 x ( 3 
e) lim x + 4 =
 x ( 4 x + 4 
f) lim 6x² + 3x = 
 x ( 1 
g) lim x² – 9 =
 x ( 3 x – 3
h) lim x² – 4 =
 x (
2 x – 2
i) lim x² – 1 =
 x ( 1 x – 1
j) lim x² – 3x + 2 =
 x ( 1 x – 1
Exercícios Complementares 
1) Calcule o valor dos seguintes limites:
�
a) lim (2 + 3x)6 = 
 x ( - 2 
b) lim (2x² - 3x + 1) = 
 x ( ½ 
c) lim (4x - 1) (x + 3) = 
 x ( 2 
d) lim (2x4 + 4x³ - 5x² + x - 3) = 
 x ( 1 
e) lim x + 1 = 
 x ( 3 x + 2 
f) lim x² + x = 
 x ( 0 4x 
g) lim x² + 2x = 
 x ( - 2 x + 2 
h) lim x² - 6x = 
 x ( 6 x - 6 
i) lim x² + 3x = 
 x ( 0 2x 
j) lim x² + 5x = 
 x ( - 5 x + 5 
k) lim x² - 25 = 
 x ( - 5 x + 5 
l) lim x² - 81 = 
 x ( 9 x - 9 
m) lim x² - 10x + 25 = 
 x ( 5 x - 5 
n) lim x² - x – 12 = 
 x ( 4 x – 4 
o) lim x² - 7x + 10 = 
 x ( 2 x² - 4 
p) lim x² + x - 12 = 
 x ( 3 x - 3 
q) lim x² + 4x + 3 = 
 x ( - 3 x + 3 
r) lim x² + 3x - 10 = 
 x ( 2 3x² - 5x - 2 
�
�
Limites Infinitos
Ampliaremos agora o conceito de limite, introduzindo o elemento infinito, que representamos por ∞.
O símbolo ∞ não representa um número, portanto, não se efetuam com ele as operações que realizamos com os números reais. 
Vejamos alguns exemplos:
1º exemplo: Seja o gráfico da função f(x) = 
		Quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce indefinidamente superando qualquer valor arbitrário que fixamos, isto é, y tende a mais infinito e indicamos: 
 lim 1 = + ∞ 					 
 				 x ( 0 + x 			 
	Quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y decresce indefinidamente, isto é, y tende a menos infinito e indicamos: 
lim 1 = – ∞ 	 				 
 				 x ( 0 - x 			 
		
Observe que não existe lim f (x) porque os limites laterais são diferentes.
			 x ( 0	
A partir do mesmo gráfico, podemos concluir que:
* Quando x cresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo x, isto é, y tende a zero:
lim 1 = 0	 				 
 		 x ( + ∞ x 	
* Quando x decresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo x, isto é, y tende a zero:
lim 1 = 0	 				 
 		 x ( - ∞ x 	
	Obs.: Se n ( IN* e se f: IR* ( IR é a função definida por f(x) = 1 , então:
										 xn
 lim f (x ) = lim 1 = 0
 x ( ( ∞ x ( ( ∞ xn
2º Exemplo: Seja o gráfico da função f (x) = x:
								f (x) 
	A partir do gráfico, podemos concluir que:
	* Quando x tende a mais infinito, y tende a mais infinito, isto é:
 lim x = + ∞
 x ( + ∞ 
	* quando x tende a menos infinito, y tende a menos infinito, isto é:
 lim x = – ∞ 
 x ( - ∞ 
( Exercícios
1) Calcule os limites:
 a) lim 3 =		j) lim x³ = 
 x ( 0 + x		 x ( - ∞ 
b) lim 5 =		k) lim x4 = 
 x ( 0 - x		 x ( + ∞ 
c) lim 7 =		l) lim x5 = 
 x ( + ∞ x		 x ( + ∞ 
d) lim 2 =		m) lim 3 – x = 
 x ( - ∞ x		 x ( 0 - x² 
e) lim 11 =		n) lim 1 =
 x ( 0 - x²		 x ( 2 + x - 2 
f) lim _ 5 =		o) lim 1 =
 x ( + ∞ x		 x ( 5 - x - 5 
g) lim 2x = 		p) lim x8 = 
 x ( + ∞ 		 x ( - ∞ 
h) lim ( - 5x) = 		q) lim (- 9x) =
 x ( - ∞ 		 x ( + ∞ 
i) lim x² = 		r) lim _ 2 = 
 x ( - ∞ 		 x ( - ∞ x4
Limite da função polinomial para x ( ( ∞
Consideremos o limite lim ( 5x4 + 8x³ + 3x + 6). Como x tende a + ∞, temos que x não é igual 				 x ( + ∞ 
			
a zero e, portanto, podemos escrever: 	
lim ( 5x4 + 8x³ + 3x + 6) = lim x4 5 + 8 + 3 + 6 = lim 5 x4 = + ∞
 x ( + ∞ x ( + ∞ x x³ x4 x ( + ∞
Logo, o limite da função polinomial quando x ( + ∞ é igual ao limite do seu termo de maior grau.
Exemplos: 
a) lim (x5 + x² – x + 1) =
 x ( - ∞ 
b) lim (4x³ – 2x² + x – 1) = 
 x ( + ∞ 
c) lim (– x³ + x² + 2) = 
 x ( - ∞ 
d) lim x³ + x² – x + 1 = 
 x ( + ∞ x² + x – 1
e) lim x² + x + 1 = 
 x ( - ∞ 3x² + x – 1
( Exercícios
1) Determine os limites:
a) lim (– 3x³ + 2x² – x + 1) = 		h) lim x + 1 = 
 x ( + ∞ 	x ( - ∞ x – 1 	
b) lim (– 2x11 + x² + x ) = 		i) lim 2 x + 3 = 
 x ( - ∞ 	 x ( + ∞ 5x5 +x² + 1
c) lim (x7 + x² – x + 1) = 		j) lim 6 x4 + x³ + x = 
 x ( - ∞ 	 x ( - ∞ x² + x + 1
	
d) lim (2x³ – 5x² + 2x – 3) = 	k) lim 3 x² + x + 2 =
 x ( + ∞ 	 x ( + ∞ 2x² – x + 1
e) lim x5 + 1 = 		l) lim 3x5 + x4 + 8 =
 x ( + ∞ x5 – 1	 x ( + ∞ – 2 x11 + x + 1
f) lim 2 x² + x + 1 = 	m) lim 8x + 1 =
 x ( + ∞ x³ + 2x² + x – 1		 x ( + ∞ 4x – 5
g) lim x³ + x² + x + 1 = 	n) lim – 2 x² +5 =
 x ( - ∞ 7x³ + 2x² – x + 2	 x ( - ∞ 6x + 1
( Exercícios Complementares 
1) Calcule o valor dos seguintes limites:
a) lim ( 7x² – 9x + 4 ) =
 x ( 3
b) lim ( 5x³ + 3x² – 2x + 8) = 
 x ( - 2
c) lim ( x – 3 ) 6 = 
 x ( 5 
d) lim 9(x – 4) (x – 3) = 
 x ( 7
e) lim 
=
 x ( 4 
f) lim 
=
x ( - 2 
g) lim 
=
 x ( 0 
h) lim 
= 
 x ( - 8 
i) lim 
=
 x ( 3 
j) lim 
 =
 x ( - 1 
k) lim 9 = 
 x ( 7 - x - 4 
l) lim x + 3 =
 x ( 3 + 3 – x 
�
m) lim (– 9x7 ) = 
 x ( - ∞ 
n) lim 4 = 
 x ( + ∞ x8 
o) lim (– 4x7 + 2x5 – 9x³ + x² – 5x + 6) = 
 x ( + ∞ 
p) lim (7x6 + 5x³ – 2x) = 
 x ( - ∞ 
q) lim – 5x³ + 2x =
 x ( - ∞ x7
r) lim 12x³ – 7x² + 3x – 1 =
x ( + ∞ 4x³ + 6x² – 5
s) lim 
 = 
 x ( + ∞
t) lim 
=
 x ( - ∞ 
CÁLCULO DE LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR TENDEM A ZERO
	Quando o numerador e o denominador de uma função tender a zero, no cálculo de um limite para determinado valor de x, devemos efetuar e simplificar a função antes de efetuarmos a substituição, porque ela não é definida para aquele valor de x.
EXEMPLOS:
Calcular 
Fatorando e simplificando, temos:
Calcular 
Neste caso devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador.
Calcular 
Resolvendo a equação 
Obtemos duas raízes distintas: 
.
Fatoramos o trinômio do 2º grau: 
Então, 
Calcular 
Fazendo a divisão de 
 por 
, para simplificar, temos:
Então, 
Observação:
Poderíamos ter fatorado o numerador pela “diferença de cubos”
Assim, teríamos:
Depois, simplificaríamos: 
E, então, calcularíamos o limite desejado:
Calcular 
Fazendo a divisão de polinômios (numerador pelo denominador):
Como a divisão não é exata, temos que simplificar a fração algébrica pela fatoração do numerador e do denominador. Assim:
	Resolvendo a equação (numerador):
Fatorando:
Resolvendo a equação (denominador):
Fatorando:
Substituindo os trinômios fatorados no limite, temos:
Calcular 
Fazendo 
, temos que:
, logo: 
, 
então 
Exercícios
1) Calcule:
a) 
			b) 
	c) 
		d) 
2) Calcule os seguintes limites:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
�
3) Calcule:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
�
4. O é igual a
A) 1/9.
B) 1/27.
C) 1/243.
D) 1/243.
E) 1/54.
5) Se 
, então 
 é igual a:
A) 0
B) 1
C) 
D) 
E) 
6) (FGV-71) O limite, 
 é igual a:
A) não existe
B) 4
C) 0
D) 2
E) 
7) O
 é igual a:
A) 
B) 
C) 0
D) 1
E) 
8) vale
a) 7e
b) e7
c) 7 – e
d) 7 + e
e) 7e
Respostas:
1) a) 
 	b) 
 		 c) - 1 		 d) 
	
Resto!
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