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Capítulo 8
Transformações Lineares
8.1 Transformações Lineares 
Arbitrárias
T : V → W é uma transformação linear se:
a) T(u+v) = T(u) + T(v)
b) T(cv) = c T(v)
T : V → V é chamado de operador linear
Exemplos de transformações 
lineares
• Multiplicação por matriz
• Projeção ortogonal
• Mudança de base
• Derivada
• Integral
• Exemplos de transformações não-lineares:
– Norma
– Determinante
Propriedades de transformações 
lineares
• T(0) = 0
• T(−v) = −T(v)
• T(v-w) = T(v) − T(w)
• T(cu+dv) = c T(u) + d T(v)
Encontrando transformações 
lineares a partir das imagens de 
vetores de uma base
Se T : V → W
e S = {v
1
,v
2
,...,v
n
} é base de V
e v Є V
Então: v = c
1
v
1
+ c
2
v
2
+ … + c
n
v
n
T(v) = c
1
T(v
1
) + c
2
T(v
2
) + … + c
n
T(v
n
)
Exemplo 14, p.261
Composição
u Є U T
1
: U → V T
2
: V → W
Composta de T
2
com T
1
: T
2
◦T
1
(T
2
◦T
1
)(u) = T
2
( T
1
(u) )
(T
2
◦T
1
) : U → W
Se T
1
e T
2
são transformações lineares,
T
2
◦T
1
também é.
●
u
●
T
1
(u)
●
T
2
(T
1
(u))
T
1
T
2
U
V W
T
2
◦T
1
Exemplo 15, p. 261
2
Composição com operador 
identidade
• T : V → V (operador linear)
• I : V → V (operador identidade)
• T( I(v) ) = T(v)
• I( T(v) ) = T(v)
• T◦I = I◦T = T
Composição múltipla
(T
3
◦T
2
◦T
1
)(u) = T
3
( T
2
( T
1
(u) ) )
Exercícios – Seção 8.1
• 2, 3, 6, 8, 14, 16, 17a, 19a, 22
8.2 Núcleo e Imagem
T : V → W é uma transformação linear
• Nuc(T) ou núcleo de T
– Conjunto de vetores em V que T leva a 0.
• Im(T) ou imagem de T
– Conjunto de vetores em W que são imagem 
por T de pelo menos um vetor em V.
Núcleo e imagem: exemplos
• Multiplicação por matriz
• Operador identidade
• Rotação no plano
• Projeção ortogonal
Núcleo e imagem: propriedades
Se T : V → W
a) Nuc(T) é um subespaço de V
b) Im(T) é um subespaço de W
Prova: Teorema 8.2.1, p. 265
3
Posto e nulidade
• Revisão da seção 5.6
– pos(A) = posto da matriz A = dimensão do 
espaço-coluna de A = dimensão do espaço-
linha de A
– nul(A) = nulidade de A = dimensão do 
espaço-nulo de A
• Seja T : V → W
– pos(T) = posto de T = dimensão de Im(T)
– nul(T) = nulidade de T = dimensão de Nuc(T)
Exemplo 8, p. 266
Posto e nulidade: Teorema 8.2.2
Se T
A
: IR
n
→ IR
m
é a multiplicação por A
m×n
a) nul(T
A
) = nul(A)
b) pos(T
A
) = pos(A)
Exemplo 7, p. 265
Posto e nulidade: Teorema 8.2.3
• Revisão da seção 5.6
A : matriz com n colunas
pos(A) + nul(A) = n
• Se V é um espaço n-dimensional e seja
T : V → W
• Então: pos(T) + nul(T) = n
• “Em TL’s, posto+nulidade = dimensão do 
domínio”
Exemplo anterior
Exercícios – Seção 8.2
• 1, 2, 7a, 8a, 10, 11, 14
8.3 Transformações lineares 
inversas
• Transformação linear injetora
T: V → W
Leva vetores distintos de V em vetores distintos 
de W
• Exemplo de T.L. injetora:
T
A 
: IR
n
→ IR
n
y = A x (onde A é n×n)
T
A 
é injetora se A é invertível
Exemplo de TL não-injetora
T : P
n
→ P
n−1
T(p) = T( p(x) ) = d p(x)
T(x
2
) = 2x
T(x
2
+ 1) = 2x
dx
Exemplo 2: multiplicação por matriz
4
T.L. injetora
• Se T : V → W é uma transformação 
linear, são afirmações equivalentes:
a) T é injetora
b) Nuc(T) = { 0 }
c) nul(T) = 0
Prova (Teorema 8.3.1, p. 269)
Exemplo 4, p.269
Operador linear - Teorema
• Se T : V → V é um operador linear, são 
afirmações equivalentes:
a) T é injetora
b) Nuc(T) = { 0 }
c) nul(T) = 0
d) Im(T) = V 
Transformações lineares inversas
• Se T é injetora:
T : V → W
T
-1
: Im(T) → V
v
w
V
W
T
T
-1
• Se T é operador 
linear injetor:
T : V → V
Im(T) = V
T
-1
: V → V
T(v) = w
T
-1
(w) = v
T
-1
( T(v) ) = T
-1
(w) = v
T( T
-1
(w) ) = T
-1
(v) = w
v
w
V
W
T
T
-1
Exemplo 6, p. 270
Exemplo 7, p. 270
Composição de T.L.’s injetoras
Se T
1
: U → V
e T
2
: U → V são T.L.’s injetoras
Então:
a) T
2
◦T
1
é injetora
b) (T
2
◦T
1
)
-1
= T
1
-1
◦T
2
-1
(troca a ordem)
• Prova: Teorema 8.3.3, p. 270.
Inversa de composição múltipla
• (T
3
◦T
2
◦T
1
)
-1
= T
1
-1
◦T
2
-1
◦T
3
-1
(troca a ordem)
• Se T
A
, T
B
, T
C
são operadores matriciais, isto é, 
multiplicação pelas matrizes A, B, C
[T
C
◦T
B
◦T
A
] = C B A
[T
C
◦T
B
◦T
A
]
-1
= (C B A)
-1
= A
-1
B
-1
C
-1
Isto é:
[T
C
◦T
B
◦T
A
]
-1 
[T
C
◦T
B
◦T
A
] x = A
-1
B
-1
C
-1 
C B A x
= A
-1
B
-1
B A x = A
-1
A x = x
5
Exercícios – Seção 8.3
• 2a,b
• 3a,d
• 4
• 5
• 6
• 12
8.4 Matrizes de Transformações 
Lineares Arbitrárias
• Motivação:
– Permite calcular a transformação linear 
usando multiplicação matricial
– Implementação rápida em computadores
x T(x)
[x]
B
[T(x)]
B’
cálculo direto
multiplicação
de matriz
• T : V → W
B={v
1
,v
2
,...,v
n
} : base de V
B’={w
1
,w
2
,...,w
m
} : base de W
• x Є V
• T(x) Є W
• [x]
B
Є IR
n
• [T(x)]
B’
Є IR
m
x T(x)
[x]
B
[T(x)]
B’
V W
IR
n
IR
m
T : V → W
T
A
: IR
n
→ IR
m
T
A
([x]
B
) = [T(x)]
B’
T
A
é a multiplicação pela matriz A:
[T(x)]
B’
= A [x]
B
Como se calcula a matriz A?
x T(x)
[x]
B
[T(x)]
B’
V W
IR
n
IR
m
T
T
A
[T(x)]
B’
= A [x]
B
Transformando a base B={v
1
,v
2
,...,v
n
} 
[T(v
1
)]
B’
= A [v
1
]
B
[T(v
2
)]
B’
= A [v
2
]
B
....
[T(v
n
)]
B’
= A [v
n
]
B
Mas:










=
0
1
0
][ 2 MB
v










=
1
0
0
][
MBn
v










=
0
0
1
][ 1 MB
v ...
Seja:
[T(v
1
)]
B’
= A [v
1
]
B 
=
[T(v
2
)]
B’
= A [v
2
]
B 
=
....
[T(v
n
)]
B’
= A [v
n
]
B 
=
Isto é:








↓↓↓
↑↑↑
=
n
A aaa L21








↓
↑
=


















↓↓↓
↑↑↑
121
0
0
1
aaaa
M
L
n








↓
↑
=


















↓↓↓
↑↑↑
221
0
1
0
aaaa
M
L
n








↓
↑
=


















↓↓↓
↑↑↑
nn
aaaa
1
0
0
21 M
L
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]










↓↓↓
↑↑↑
=
''2'1
TTT
BnBB
A vvv L
6
[T(x)]
B’
= A [x]
B
[T(x)]
B’
= [x]
B
[T(x)]
B’
= [T]
B’,B
[x]
B
Matriz de T em relação às bases B e B’
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]










↓↓↓
↑↑↑
=
''2'1
TTT
BnBB
A vvv L
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]










↓↓↓
↑↑↑
''2'1
TTT
BnBB
vvv L
[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]










↓↓↓
↑↑↑
=
''2'1,'
TTTT
BnBBBB
vvv L
Resumo
T : V → W
B={v
1
,v
2
,...,v
n
} : base de V
B’ : base de W
x Є V
[T(x)]
B’
= [T]
B’,B
[x]
B
[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]










↓↓↓
↑↑↑
=
''2'1,'
TTTT
BnBBBB
vvv L
x
T(x)
[x]
B
[T(x)]
B’
cálculo direto
multiplicação
de matriz
[T]
B’,B
Exemplos
• Exemplo 1 e 2, p. 274:
T : P
1
→ P
2
B = {1, x} : base de P
1
B’ = {1, x, x
2
} : base de P
2
T( p(x) ) = x p(x)
• Exemplo 3, p. 275:
– T : IR
2
→ IR
3
Com bases canônicas
• T : IR
n
→ IR
m
– B : base canônica de IR
n
– B’ : base canônica de IR
m
• [x]
B
= x
• [T(x)]
B’
= T(x)
• [T]
B’,B
= [T]
• Isto: [T(x)]
B’
= [T]
B’,B
[x]
B
• Vira: T(x) = [T] x
Matrizes de operadores lineares
• T : V → V (B’ = B)
• [T]
B’,B
= [T]
B,B
= [T]
B
• [T(x)]
B
= [T]
B
[x]
B
[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]










↓↓↓
↑↑↑
=
BnBBB
vvv TTTT 21 L
Exemplo 6, p. 276
T : P
2
→ P
2
Matrizes de transformações 
compostas
T
1
: U → V
T
2
: V → W
T
2
◦T
1
: U → W
B : base de U
B” : base de V
B’ : base de W
[T
2
◦T
1
]
B’,B
= [T
2
]
B’,B”
[T
1
]
B”,B
7
Composição múltipla
[T
3
◦T
2
◦T
1
]
B’,B
= [T
3
]
B’,B”’
[T
2
]
B”’,B”
[T
1
]
B”,B
base B base B” base B”’ base B’
T
1
T
2
T
3
Exemplo 7, p. 277
T
1
: P
1
→ P
2
T
2
: P
2
→ P
2
Matrizes de transformações 
inversas
T : V → V (operador linear)
B : base de V
Afirmações equivalentes:
a) T é injetora
b) [T]
B
é invertível
[T
-1
]
B
= ([T]
B
)
-1
x
T(x)
[x]
B
[T(x)]
B
[T]
B
([T]
B
)
-1
T
T
-1
Seção 8.4 - Exercícios
• 2
• 4
• 5
• 9
• 12