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ELETROMAGNETISMO I – FCM0114 – 2013 - José Schneider 
 
LISTA 1 – Elementos de cálculo vetorial 
 
 
1) Demonstre as seguintes identidades entre operadores vetoriais, onde A, B, C são campos vetoriais e f , g campos 
escalares. 
 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) fAff
fggfgf
AfAff
f
BAABBA
AA
∇⋅+⋅∇=⋅∇
∇+∇=∇
×∇+×∇=×∇
=∇×∇
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
∇−⋅∇∇=×∇×∇
=×∇⋅∇
AA
A
A
A
0
0
2
 
 
 
2) Demonstre as seguintes identidades, que são utilizadas frequentemente em Eletromagnetismo: 
 
23
ˆ1
r
r
r
r
r
−=−=




∇
r
 
0=×∇ rr
 
0ˆ2 =





×∇
r
r
 
003 ≠=





⋅∇ r
r
r
r
 





∇−=




∇
RR
1
'
1
 , sendo 'rrR
rrr
−= as derivadas nos operadores ∇ e '∇ atuam 
respectivamente sobre as coordenadas de ( )zyxr ,,=r e de ( )',','' zyxr =r . 
3) Considere o campo vetorial 2
ˆ
r
r
u =
r
. (a) Desenhe qualitativamente a distribuição de linhas de campo. (b) 
Calcule o divergente do campo em algum ponto r
r
 com 0≠r . O resultado é coerente com o esperado de acordo 
com a distribuição de linhas de campo? (c) Aplicando o teorema da divergência em um volume infinitesimal ao 
redor de r
r
 verifique a consistência do resultado de (b). 
 
4) Considere o campo vetorial yxxyu ˆˆ +−=
r
. (a) Desenhe qualitativamente a distribuição de linhas de 
campo. (b) Calcule o divergente e o rotacional de u
r
. (c) Como mudam seus resultados se o campo fosse 
yxxyu ˆˆ −=r
 ? E se fosse yxxyu ˆ10ˆ10 +−=
r
 ? 
 2 
 
5) Calcule o Laplaciano dos seguintes campos: 
(a) 4322 +++= zyxxu , 
(b) ( ) ( ) ( )zsenysenxsenu = , 
(c) zzxyzxxxu ˆ2ˆ3ˆ 22 −+=
r
 
 
6) Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos vetoriais: 
(a) zzxyzxxxu ˆ2ˆ3ˆ 22 −+=
r
 
(b) zzxyzyxyxu ˆ3ˆ2ˆ ++=
r
 
 
7) Verifique o teorema de Gauss para o campo zzxyzyxyxu ˆ3ˆ2ˆ ++=
r
, usando como volume de 
integração um cubo no octante positivo (x, y, z > 0), com um vértice na origem e aresta de comprimento 2. 
 
8) Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial zyu ˆ=
r
considerando como contorno o triângulo mostrado 
na figura. 
 
 
9) Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial abaixo, expresso em coordenadas esféricas, usando como 
volume de integração o octante positivo de uma esfera de raio R. 
 
10) Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial ( ) zzsssu ˆ3ˆcossinˆsin2 2 +++= φφφφr , 
expresso em coordenadas cilíndricas, usando como volume de integração um quarto de cilindro como mostrado na 
figura, com raio 2 e comprimento 5. 
 
 3 
 
 
11) Usando os teoremas de Gauss ou Stokes e as identidades de operadores vetoriais, demonstre as seguintes 
identidades integrais: 
a) ∫∫ =∇
SV
adTdvT r
 (No teorema de Gauss, use o campo vetorial Tcv
rr
= , sendo c
r
um vetor 
constante qualquer.) 
b) ∫∫ ×−=×∇
SV
advdvv rrr
 (No teorema de Gauss, use o campo vetorial cv
rr
× .) 
c) ∫∫
Γ
−=×∇ ldTadT
S
rr
 (No teorema de Stokes, use o campo vetorial Tcv
rr
= .) 
 
12) Avalie a seguintes integrais 
a) ( )∫
∞−
−
a
dxbxδ 
b) ( )∫ 





⋅∇+
V
dv
r
r
r 2
2 ˆ2 , sendo V uma esfera de raio R com centro na origem. 
c) Mesma integral de (b), agora explicitamente, usando a expressão de integração por partes no espaço. 
c) ( ) ( )∫ −+⋅+
espaçotodo
dvaraarr rrrr δ22 
 
 
13) (a) Mostre, utilizando integração por partes, que 
 
 
( )( ) ( )x
dx
xd
x δδ −= 
(b) A função degrau ( )xθ é definida como 
 
( )



≤
>
=
00
01
x
x
xθ 
 
Mostre que 
( )( ) ( )x
dx
xd δθ = 
 
14) Seja uma função ( )xf com um conjunto de zeros simples em nx : ( ) 0=nxf com ( ) 0' ≠nxf . Demonstre que: 
 
( )( ) ( )( )∑
−
=
n n
n
xf
xx
xf
'
δδ 
 4 
 
 
15) Utilizando o formalismo de coordenadas generalizadas, onde o deslocamento infinitesimal no espaço se escreve 
como wdwhvdvgudufld ˆˆˆ ++=
r
, demonstre que para coordenadas esféricas ( ) ( )φθ ,,,, rwvu = : 
a) ( ) ( ) ( ) ( )θsenrrhrrgrf === rrr ,,1 
b) o gradiente de um campo escalar ( )rt r e o divergente e rotacional de um campo vetorial ( )rv rr resultam: 
 
 
 
 
16) Considere campos arbitrários ( )rf e ( )rFr dependentes apenas do módulo do vetor posição rr , e o campo 
escalar ( ) rAr rrr ⋅=ξ , onde Ar é um vetor constante. Demonstre que: 
 
(a) ( ) r
dr
df
rf ˆ=∇ (b) ( ) r
dr
Fd
rF ˆ⋅=⋅∇
r
r
 (c) ( )( ) ξξ d
dfArf r=∇