gabarito-Lista2 patricia desidere

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Gabarito - Lista 2
• PARTE A
1) (a) Equação vetorial: (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2,−2, 2), t ∈ R (definida a partir do ponto A e
do vetor diretor
−→
AB)
Equações paramétricas: 
x = 1 + 2t
y = −2t
z = 1 + 2t (t ∈ R)
Equações simétricas:
x− 1
2
=
y
−2 =
z − 1
2
(b) P ∈ r
(c) Qualquer vetor nas formas α
−→
AB (α ∈ R) ou β
−→
BA (β ∈ R) será um vetor diretor de r.
2) 
x = 1− t
y = 4− 3t
z = −7 (t ∈ R)
Obs: Se duas retas são paralelas, qualquer vetor diretor de uma delas é também vetor diretor
da outra.
3)
x− 1
2
3
2
=
y − 1
−2 =
z + 1
1
P =
(
1
2
, 1,−1
)
e
→
v=
(
3
2
,−2, 1
)
4) (a) Sugestão: verifique se
−→
AB e
−→
AC são l.i. (ou seja, não são vetores paralelos); ou, então,
verifique que o ponto C não pertence à reta determinada pelos pontos A e B.
(b) 
x = 4− 5t
y = −7 + 11t
z = −6 + 4t (t ∈ R)
2
(equações definidas a partir do ponto C e do vetor diretor
−→
CM , onde M é o ponto médio
relativo ao lado AB do triângulo ABC).
5) P =
(
3
4
,
7
4
,
15
4
)
ou P =
(
3
2
,
5
2
,
15
2
)
• PARTE B
1) (a) Uma equação vetorial é:
(x, y, z) = (3, 7, 1) + s(1, 1, 1) + t(1, 1, 0),
s, t ∈ R, definida a partir do ponto A e dos vetores diretores →u e →v .
Outra equação vetorial de pi é:
(x, y, z) = (3, 7, 1) + s(2, 2, 1) + t(0, 0, 1),
s, t ∈ R, onde adotamos →u + →v= (2, 2, 1) e →u − →v= (0, 0, 1) como vetores diretores (lembrando-
se que, quaisquer dois vetores paralelos ao plano, e não paralelos entre si, são vetores diretores
de pi).
(b) 
x = 3 + s+ t
y = 7 + s+ t
z = 1 + s (s, t ∈ R)
(c) P /∈ pi
(d)
→
w é paralelo a pi
2) 
x = 1 + s+ 2t
y = 1 + 2s+ t
z = 2− s (s, t ∈ R)
Obs: Se dois planos são paralelos, os vetores diretores de um deles são vetores diretores do
outro plano também.
3) (a) x− z − 9 = 0
(b) 2y − 2z + 2 = 0
4)
→
u é paralelo a pi e
→
v não é paralelo a pi.
5) 2x+ y − 5z + 1 = 0
3
6) 
x = 1− 2s+ t
y = s
z = t (s, t ∈ R)
• PARTE C
1) São concorrentes e se interceptam no ponto (3, 0,−1).
2) α = −1
2
e t = 2
3) (a) As retas são reversas (r ∩ s = ∅).
(b) As retas são concorrentes e o ponto de interseção é P = (0, 0,−1).
(c) As retas são coincidentes (r=s).
4) A = (8,−7, 3) e B = (−3, 2, 3).
• PARTE D
1) (a) r ∩ pi =
{(
1
2
,
1
4
,
1
4
)}
(b) r ∩ pi = ∅ (a reta é paralela ao plano)
(c) r ∩ pi = r
(d) r ∩ pi = {(7, 3, 10)}
• PARTE E
1) (a) pi1 ∩ pi2 = r, onde
r :

x = −2 + 7t
y = t
z = 1− 3t (t ∈ R)
(b) pi1 ∩ pi2 = r, onde
r :

x = t
y = 1/2− t
z = 1/2 (t ∈ R)
(c) pi1 ∩ pi2 = ∅
(d) pi1 ∩ pi2 = pi1 = pi2 (observe que as equações pi1 e pi2 são equivalentes)
4
2) pi1 ∩ pi2 = r, onde
(x, y, z) = (1, 0, 0) + t(−2,−1, 1),
t ∈ R, é uma equação vetorial de r.
• PARTE F
1) (a) r e s são reversas
(b) r = s
(c) r e s são concorrentes (ponto de interseção: P = (1, 2, 3))
2) (a) m = 1
(b) m = 1
(c) m é qualquer número real
(d) não existe m
(e) {m ∈ R;m 6= 0 e m 6= 1}
• PARTE G
1) (a) r é transversal a pi e r ∩ pi = {(5,−3, 4)}
(b) r está contida em pi
(c) r é transversal a pi e r ∩ pi =
{(
−7
2
,
27
2
,
47
2
)}
2) m = 2
• PARTE H
1) (a) pi1 e pi2 são paralelos distintos
(b) pi1 = pi2 (paralelos coincidentes)
(c) pi1 e pi2 são transversais
(d) pi1 e pi2 são transversais