CVV- Listas Series

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CVV - Lista 1 (Séries)
1. Calcule:
(a)
1X
n=2
2�4n: (b)
1X
n=1
�
� e
�
�n
: (c)
1X
n=0
(�2)n
5n�2
:
2. Encontre a expressão apropriada de an para que
1X
n=0
en+1
n2 + 4
=
1X
n=2
an:
3. Veri…que se o Teste da Série Alternada pode ser aplicado e justi…que a sua resposta:
(a)
1X
n=3
(�1)n n+ lnn
n
: (b)
1X
n=5
cos (n�) sen2
��
n
�
: (c)
1X
n=1
(�1)2n
n
:
4. Determine se a série é divergente ou convergente e justi…que a sua resposta:
(a)
1X
n=2
(�1)n n ln( 1
n
):
(b)
1X
n=3
(�1)n n
n2 + 1
:
(c)
1X
n=0
n
n2 + 3
:
CVV - Lista 2 (Séries)
1. Em cada item abaixo determine a natureza da série (isto é, se ela é convergente ou diver-
gente):
(a)
1X
n=1
sen (en)
n2
(Sugestão: Teste da comparação.)
(b)
1X
n=3
n105�n
2
(Sugestão:Teste da razão.)
(c)
1X
n=1
�
1
2n
�n
(Sugestão:Teste da comparação.)
(d)
1X
n=2
n+ 1
n(n� 1) (Sugestão: Teste da comparação.)
(e)
1X
n=5
1
lnn2
(Sugestão:Teste da comparação.)
(f)
1X
n=3
1
n (lnn)
3
2
(Sugestão:Teste da Integral.)
2. Determine a natureza da série utilizando o teste da razão:
(a)
1X
n=2
en
n!
: (Divergente: e
n+1
(n+1)!
n!
en
= e n
n+1
! e > 1)
(b)
1X
n=5
(n+ 1)!
(2n)!
:(Convergente: (n+2)!
(2(n+1))!
(2n)!
(n+1)!
= n+2
(2n+1)(2n+2)
! 0)
CVV - Lista 3 (Séries de Potências)
Questão 1. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries
de potências:
a.
1X
n=2
(x� 4)n
n lnn
:
b.
1X
n=1
(2x)n
2n2 + 1
:
c.
1X
n=1
(x+ 3)np
n
:
d.
1X
n=1
p
nxn
3n+1
:
Questão 2.Considere a representação ex =
1X
n=0
xn
n!
válida para todo x 2 R:
(a) Utilize a representação acima para escrever a função f(x) = xe�2x
2
como uma série de
potências de x:
(b) Escreva uma expressão numérica que permita calcular f (7)(0) (a derivada de ordem 7 da
função acima, calculada em x = 0).
Questão 3.Considere a representação lnx =
1X
n=1
(�1)n�1
n
(x� 1)n ; válida para 0 < x < 2:
(a) Encontre uma representação em série para f(x) = ln(1 + 2x2);
(b) Calcule f (8)(0):
Sugestões para os exercícios da Aula 3 (Livro de EAD)
1(a) e (b) Use o Teste da Razão.
2(a) Estude o Exemplo 3.3 (lá utilizamos que sen x � x se x � 0) e utilize o teste da comparação
com bn = 1
n
3
2
(termo geral da série 3
2
-harmônica).
2(b) Use o teste da razão e o fato de que lim
�
n+1
n
�n
= lim
�
1 + 1
n
�n
= e � 2:718 3 (Este limite é
uma das formas de se de…nir o número e; mas pode ser calculado por L’Hôpital).
2(c) Utilize novamente que sen x � x; se x � 0 e o teste da comparação.
2(d) Utilize o Teste da Integral. Para a integração faça a mudança de variável u = 2+ ln x (veja
Exemplo 3.10).
2(e) e (f) Utilize o Teste de Divergência.
2(g) Neste exercício, conserte o limite inferior da série: troque-o de 1 para 2 (pois como está,
se n = 1 o denominador se anula). A sugestão para analisar a série
1P
n=2
1
n(lnn)2
é utilizar o
teste da integral fazendo u = lnx: Entretanto, para veri…car que a função f(x) = 1
x(lnx)2
é
decrescente, basta veri…car que seu denominador, a função x(lnx)2; é crescente.
3(a) Utilize o Teste da Razão.
3(b) Note que lnn+ 3 � 3 se n � 1 e utilize o teste da comparação.
3(c) e (d) Utilize o Teste da Série Alternada.
3 (e) e (f) Utilize o Teste da Razão.
3(g) Utilize o Teste da Integral. Pode assumir (ou tente provar) que arctanx
1+x2
é decrescente para
x > 1) e use o Teste da Série Alternada.
3(h) Utilize o Teste da Série Alternada e também o Teste da Comparação (lembre-se de que
1 + n > n).
3(i) Lembre-se de que ln ab = b ln a; utilize o Teste da Série Alternada e o Teste da Integral.
4 Pense na série cujo termo geral é an e no Teste da Razão.
5 Utilize o Teste da Razão.
6 Mostre que (lnx)
2
x
é uma função limitada para x � 0 (basta veri…car que limx!1 (lnx)
2
x
é um
número real). Depois, utilize o Teste da Comparação com uma série p-harmônica.