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Notas de aula de cálculo II
9 de setembro de 2013
Sumário
1 Funções de múltiplas variáveis p. 3
1.1 Funções e gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3
1.1.1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3
1.1.2 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5
1.1.3 Curvas de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 6
EXERCÍCIOS DA LISTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7
1.2 Limite e Continuidade de funções de múltiplas variáveis . . . . . . . . . p. 8
1.2.1 Revisão de limite, continuidade e derivada para funções de uma
variável real a valores reais – f : X⊂ R→ R –. . . . . . . . . . . p. 8
Limite de funções de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8
Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10
Operações com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL A VA-
LORES REAIS f : X⊂ R→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11
IMPORTANTE - Função descontínua no ponto x0 . . . . . . . . . . . . p. 12
EXERCÍCIOS DA LISTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12
1.2.2 Derivada da função de uma variável num ponto . . . . . . . . . p. 13
Derivada da função de uma variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13
1.2.3 Limite e Continuidade de funções de duas variáveis f :D2⊂R2→R p. 13
Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13
EXERCÍCIOS DA LISTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15
EXERCÍCIOS DA LISTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17
3
1 Funções de múltiplas variáveis
1.1 Funções e gráficos
1.1.1 Funções
O conceito de função de múltiplas variáveis é análogo ao de função de uma variável.
Isto é, consta de três partes, a saber:
1. O conjunto onde a função é definida - o domínio -, que denotaremos pela letra
maiúscula Dn. n representará o número de variávies independentes da função con-
siderada;
2. O conjunto onde a função toma valores - o contradomínio -, que denotaremos, de
maneira geral, pela letra K;
3. A regra f(x1,x2, ...,xn) que leva os elementos pertencentes ao domínio ao contrado-
mínio.
Como vimos, existem duas condições que devem ser satisfeitas por essa regra:
1. Não pode haver exceção, isto é, para todo elemento, em geral (x1,x2, ...,xn), per-
tencente ao domínio, existe f(x1,x2, ...,xn) pertencente ao contradomínio;
2. Não pode haver ambiguidade, isto é, dado dois elementos pertencentes ao domínio,
por exemplo, (x1, ...,xn) e (y1, ...,yn), se (x1, ...,xn) = (y1, ...,yn), então f(x1, ...,xn) =
f(y1, ...,yn), em que f(x1, ...,xn) e f(y1, ...,yn) pertencem a K.
Teremos, portanto, já definida as três partes que constituem a função, a sua representação
simbólica:
f :Dn ⊂ V n→K (1.1)
4
em que V n e K são, respectivamente, um espaço vetorial de dimensão n (n pertence aos
números naturais) e um corpo. Estaremos preocupados com funções de n variáveis reais
a valores reais. Dessa forma, teremos V n = Rn e K = R. R sendo, neste caso, o conjunto
dos números reais. Temos, então, a seguinte representação simbólica das nossas funções:
f :Dn ⊂ Rn→ R (1.2)
Consideremos, por exemplo, as equações
z = x2−y2
e
z =
√
4− (x2 +y2)
elas exprimem z como função de x e y. Em ambos os casos, z é a variável dependente -
dependente de x e y -, e x e y são as variáveis independentes. Podemos lançar a seguinte
pergunta:
• Quais os domínios máximos de definição de cada uma das duas funções acima dadas?
Nos dois casos acima (tanto para z = x2− y2 como para z =
√
4− (x2 +y2)), vemos que
as funções estão definidas num subconjunto D2 do espaço vetorial R2. Quais são, pois, os
domínios D2 dessas duas funções?
No primeiro exemplo (z = x2− y2), x e y podem assumir todos os valores reais -
verifique! -. No segundo caso
(
z =
√
4− (x2 +y2)
)
, devemos impor a restrição x2 +y2≤ 4.
Em outras palavras, podemos tomar como domínio da função do primeiro exemplo o
conjunto de todos os pontos (x,y) do plano, ao passo que, no segundo caso, o domínio
máximo da função é o círculo
{
(x,y) ∈R2 : x2 +y2 ≤ 4
}
(1.3)
É claro que, dada uma função com certo domínio Dn - no caso dos dois exemplos acima,
foi D2 -, podemos sempre restringir esse domínio. No entanto, se considerarmos uma
função dada por uma fórmula e não especificarmos seu domínio, entenderemos tratar-se
do maior conjunto para o qual a fórmula faz sentido.
Em geral, os resultados que se estabelecem para as funções de duas variáveis se es-
tendem para as funções de mais variáveis independentes, com o mesmo procedimento
realizado para o caso de duas variáveis. Por essa razão, vamos fixar mais a nossa atenção
nas funções de duas variáveis e considerar funções de três ou mais variáveis quando houver
5
necessidade de focalizar alguma propriedade ou resultados particularmente pertinentes a
essas funções - de três ou mais variáveis -.
No contexto de funções de duas variáveis, podemos fazer a visualização geométrica
dessas funções, porque podemos representar os pontos
(x,y,z) = (x,y,f(x,y))
no espaço R3, obtendo, assim, o gráfico da função z = f(x,y)
1.1.2 Gráficos
Da mesma forma que nos estudos das funções de uma variável, a noção de gráfico
desempenha um papel importante no estudo de funções de várias variáveis. Isso ocorre,
particularmente, para as funções de duas variáveis, pois podemos representar o gráfico
como uma superfície no espaço tridimensional R3.
Definição
O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y) é o conjunto de todos os pontos
(x,y,z) = (x,y,f(x,y)) ∈ R3, tais que (x,y) ∈D2 e z = f(x,y).
Simbolicamente, escrevemos
graf(f) =
{
(x,y,z) ∈ R3 : (x,y) ∈D2 , z = f(x,y)
}
(1.4)
Se f é uma função de n variáveis reais a valores reais - f : Dn ⊂ Rn → R -, o seu
gráfico é o conjunto de pontos do espaço Rn+1 dado por
graf(f) =
{
(x1,x2, ...,xn,f(x1,x2, ...,xn)) ∈ Rn+1 : (x1,x2, ...,xn) ∈Dn
}
(1.5)
Exemplo - 1
Considere a função z = f(x,y) =
√
4− (x2 +y2). O domínio dessa função é
D2(z) =
{
(x,y) ∈ R2 : x2 +y2 ≤ 4
}
.
6
- 2 - 1 0 1 2
- 2
- 1
0
1
2
Figura 1.1: domínio do exemplo 1 - D2(z).
O seu gráfico é o conjunto
graf(z) =
{
(x,y,z) ∈ R3 : (x,y) ∈D2(z) , z =
√
4−x2−y2
}
e, geometricamente, representa o hemisfério superior da esfera de centro na origem e raio
2 conforme figura 1.2 abaixo
- 2
- 1
0
1
2
- 2
- 1
0
1
2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 1.2: gráfico do exemplo 1
1.1.3 Curvas de nível
Para uma função de duas variáveis é praticamente impossível obter um esboço do
gráfico apenas criando uma tabela com os valores da função em diversos pontos de seu
domínio. Para contornar essa dificuldade, vamos determinar os conjuntos de pontos do
domínio da função, nos quais a função permanece constante. Esses conjuntos de pontos
7
são chamados curvas de níveis da função e são definidos a seguir
Definição
Seja k um número real. Uma curva de nível Ck, de uma função z= f(x,y), é o conjunto
de todos os pontos (x,y) ∈D2(f), tais que f(x,y) = k. Simbolicamente, escrevemos
Ck = {(x,y) ∈D2(f) : f(x,y) = k}
Exemplo
Para a função z =
√
4−x2−y2, algumas curvas de níveis são:
C0 : 0 =
√
4−x2−y2 ou x2 +y2 = 4; C1 : 1 =
√
4−x2−y2 ou x2 +y2 = 3;
C 1
2
: 12 =
√
4−x2−y2 ou x2 +y2 = 154 ; C 32 :
3
2 =
√
4−x2−y2 ou x2 +y2 = 74
Para k = 2, a curva de nível é dada por 2 =
√
4−x2−y2 ou x= y = 0. Nesse caso, a
curva de nível se reduz a um ponto e é chamada curva degenerada. Para k < 0 e k > 2,
as curvas de nível Ck são conjuntos vazios.
EXERCÍCIOS DA LISTA
1. Para função do exemplo acima, determine as curvas
de níveis para k = 0, k = 1,
k = 12 e k =
3
2 e ilustre a seção da superfície correspondente à curva de nível C 32
2. As equações a seguir representam planos. Esboçar o gráfico e identificar as possíveis
funções de duas variáveis que definem cada plano.
a) z = 2;
b) x= 3;
c) y = 1;
d) y = x.
3. Determine e represente graficamente os domínios máximos D2 para os quais as
funções f :D2 ⊂ R2→ R podem ser definidas, conhecendo-se as seguintes regras de
correspondências:
a) f(x,y) = 3x2 + 1;
b) f(x,y) = 3x
2−1
x2 +y2 + 1 ;
8
c) f(x,y) = 3x
2 +y2
x2 +y2 ;
d) f(x,y) = x
3
x−y ;
e) f(x,y) = 2x
2 +y
x2−y ;
f) f(x,y) = 2y
2 +x√
x2−y
;
g) f(x,y) = ln
(
x−y
y−1
)
;
h) f(x,y) =
√
x+y
x−y ;
i) f(x,y) = xy√
x2−y2
.
1.2 Limite e Continuidade de funções de múltiplas
variáveis
Quando estudamos funções de duas variáveis, seus domínios são conjuntos de pontos
(x,y) do plano - no nosso caso, plano real R2 , que podem ser o plano todo ou conjuntos
mais restritos, como retângulos, círculos, elipses, semiplanos, etc. . Quando lidamos com
esses domínios mais restritos, muitas vezes é necessário distinguir entre pontos internos e
pontos de fronteira do conjunto, por isso mesmo é interessante estabelecer esses e outros
conceitos correlatos que surgirão no decorrer do curso. Apesar da importância dessa
discussão, nossa prioridade serão os aspectos operacionais das definições e não no rigor
de sua definição.
1.2.1 Revisão de limite, continuidade e derivada para funções
de uma variável real a valores reais – f : X⊂ R→ R –.
Limite de funções de uma variável
Seja X ⊂ R um conjunto de números reais, f : X→ R uma função real cujo domínio
é X, e a ∈ X′ um ponto de acumulação do conjunto X. Diz-se que o número real L é o
limite de f(x) quando x tende para a (x→ a). Escrevemos limx→a f(x) = L quando,
para todo � > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que se tem |f(x)−L| < �
sempre que x ∈ X e 0< |x−a|< δ.
9
Simbolicamente, escrevemos:
lim
x→af(x) = L.≡ .∀� > 0, ∃ δ > 0; x ∈ X, 0< |x−a|< δ⇒ |f(x)−L|< �
.
De maneira informal: limx→a = L quer dizer que se pode tornar f(x) tão próximo de
L quanto se queira, desde que se tome x ∈ X suficientemente próximo, mas diferente de
a.
É importante observar que a restrição que fizemos (0 < |x− a|) significa que x 6= a.
Assim, no limite L= limx→a f(x) não é permitido à variável x assumir o valor a. Portanto,
o valor f(a) não tem importância alguma quando se quer determinar L. O que conta é o
comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, sempre com x 6= a.
Pelo que foi dito no parágrafo anterior, percebemos que não existe importância se a
pertence ou não ao domínio de definição da função f :X⊂R→R, isto é, se pertence ou não
ao conjunto X. O que queremos é que para qualquer vizinhança V de a, a interseção dessa
vizinhança com o conjunto X−{a} seja diferente do vazio, isto é, dado � > 0 arbitrário
e suficientemente pequeno, temos (a− �,a+ �)∩ (X−{a}) 6=∅. Estamos numa boa hora
para definir ponto de acumulação:
• ponto de acumulação: Diz-se que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto
X ⊂ R quando toda a vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do
próprio a, isto é, V ∩ (X−{a}) 6= ∅. Equivalentemente: para todo � > 0, tem-
se (a− �,a+ �)∩ (X−{a}) 6= ∅. Quando for conveniente, indicaremos por X′ o
conjunto dos pontos de acumulação de X.
Exemplo-1
Considere a função f : R−{0}→ R, com
f(x) = x+ 3
Podemos observar que quando x ∈ (R−{0}) tende a zero (x→ 0), o limite da função é 3,
mas a função não está definida no ponto x = 0, isto é, não existe f(0). Observe que isso
foi possível, pois tomamos o domínio da função como sendo o conjunto R−{0}.
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Exemplo-2
Considere uma função f : X ⊂ R→ R. Seja um ponto a ∈ X, isto é, existe f(a) ∈ R.
Se estivermos interessado no cálculo do limite abaixo
lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
verificamos que apesar de a está definida em f , a não estará definifa na função q(x) =
f(x)−f(a)
x−a .
Nas condições f : X → R, a sendo um ponto de acumulação, negar que se tem
limx→a f(x) = L equivale a dizer que existe um número � > 0 com a seguinte propriedade:
seja qual for δ > 0, pode-se sempre achar xδ ∈ X tal que 0< |x−a|< δ e |f(x)−L| ≥ �
Limites laterais
• Seja f :X− ⊂R→R. Considere um ponto c não necessariamente pertencente a X−
– podemos, por exemplo, tomar o conjunto X− como o intervalo aberto (a,c) ⊂ R
–. Se f(x) tende para o limite b1 quando x ∈ X− tende para o número c, tomando
apenas valores menores que c, mas sempre muito próximos de c, escreveremos, então,
limx→c− f(x) = b1 e chamaremos b1 o limite à esquerda da função f(x) no ponto c.
• Seja f :X+ ⊂R→R. Considere um ponto c não necessariamente pertencente a X+
– podemos, por exemplo, tomar o conjunto X+ como o intervalo aberto (c,d) ⊂ R
–. Se f(x) tende para o limite b2 quando x ∈ X+ tende para o número c, tomando
apenas valores maiores que c, mas sempre muito próximos de c, escreveremos, então,
limx→c+ f(x) = b2 e chamaremos b2 o limite à direita da função f(x) no ponto c.
Operações com limites
Sejam duas funções, f : X ⊂ R→ R e g : X ⊂ R→ R, seja a um ponto tal que, para
� > 0, temos (a−�, a+�)∩(X−{a}) 6=∅, com limx→a f(x) =L e limx→a g(x) =M . Então:
• lim
x→a [f(x)±g(x)] = L±M ;
• lim
x→a [f(x).g(x)] = L.M ;
• lim
x→a
f(x)
g(x) =
L
M
, se M 6= 0;
11
• Se lim
x→af(x) = 0 e g for uma função limitada numa vizinhança de a, temos limx→a [f(x).g(x)] =
0
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
REAL A VALORES REAIS f : X⊂ R→ R
Seja y = f(x) uma função definida para o valor x = x0 e numa certa vizinhança de
centro x0. Seja y0 = f(x0). Se se dá à variável x0 um acréscimo ∆x positivo ou negativo
(o acréscimo ser positivo ou negativo não tem nenhuma importância, o importante é o
acréscimo), ela fica x0 + ∆x, e a função y sofre igualmente um acréscimo ∆y. O novo
valor da função é y0 + ∆y = f(x0 + ∆x).
O acréscimo da função é dado pela fórmula
∆y = f(x0 + ∆x)−f(x0).
Definição - 1
A função y = f(x) diz-se contínua para o valor x= x0 se ela está definida numa certa
vizinhança do ponto x0 (e igualmente no ponto x0) e se
lim
∆x→0
∆y = 0
ou, o que é o mesmo
lim
∆x→0
[f(x0 + ∆x)−f(x0)] = 0
Definição - 2
Uma função f :X⊂R→R, diz-se contínua no ponto x0 ∈X quando, para todo � > 0
dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que x ∈ X e |x− x0| < δ impliquem em
|f(x)−f(x0)|< �.
Em símbolos, f contínua no ponto x0 significa:
∀� > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X, |x−x0|< δ ⇒ |f(x)−f(x0)|< �
Geometricamente, a continuidade duma função num dado ponto significa que a di-
ferença das ordenadas do gráfico y = f(x) nos pontos x0 + ∆x e x0 é arbitrariamente
pequena em valor absoluto de que |∆x| seja suficientemente pequeno.
12
Definição - 3
Uma função y = f(x) contínua em todo o ponto do intervalo (a,b) ⊂ R, onde a < b,
diz-se contínua neste intervalo
Se a função é definida para x = a e se limx→a+ f(x) = f(a), diz-se que a função f(x)
é contínua à direita no ponto x = a. Se limx→b− f(x) = f(b), diz-se que ela é contínua à
esquerda no ponto x= b.
Se a função é contínua em cada ponto do intervalo (a,b), bem como nas extremidades
desse intervalo, diz-se que a função f(x) é contínua no intervalo fechado ou no segmento
[a,b].
Definição - 4
Dizemos que uma função f : X ⊂ R → R é contínua no ponto x0 se as seguintes
condições forem satisfeitas:
1. f é definida no ponto x0, isto é, x0 ∈ X e existe f(x0) ∈ R
2. limx→x0 f(x) existe
3. limx→x0 = f(x0)
IMPORTANTE - Função descontínua no ponto x0
Se pelo menos uma das condições que exige a continuidade não é satisfeita - veja
definição 4 acima -, a função f : X⊂ R→ R é descontínua no ponto x0.
EXERCÍCIOS DA LISTA
1. Prove que a função y = x2 é contínua em todo o ponto x0;
2. Mostre que a função y = sinx é contínua em todo o ponto x0;
3. Mostre que as funções abaixo são descontínuas no ponto x= 1
i) f(x) = x
2−1
x−1 ;
ii) g(x) =

x2−1
x−1 se x 6= 1
1 se x= 1

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4. verifique que a função f(x) = x|x| é descontínua no ponto x= 0
1.2.2 Derivada da função de uma variável num ponto
A derivada de uma função f(x) no ponto x0, denotada por f ′(x0) (lê-se f linha de x
no ponto x0), é definida pelo limite
f ′(x0) = lim∆x→0
f(x0 + ∆x)−f(x0)
∆x ,
quando este limite existe.
Também podemos escrever
f ′(x0) = limx→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
Derivada da função de uma variável real
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f ′(x), tal que seu valor,
em qualquer x ∈D(f) é dado por
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)−f(x)
∆x ,
se esse limite existir. Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em
todos os pontos de seu domínio.
|f(x,y)−L|< �
1.2.3 Limite e Continuidade de funções de duas variáveis f :
D2 ⊂ R2→ R
Limite
Os conceitos de limite e continuidade de uma função de duas ou mais variáveis são
introduzidos de maneira análoga ao caso de uma função de uma variável independente.
Assim, dada uma função f : D2 ⊂ R2→ R, diz-se que f(x,y) tem limite L quando (x,y)
tende a (x0,y0) se, dado � > 0, existe δ > 0 tal que
0< |
√
(x−x0)2 + (y−y0)2|< δ⇒ |f(x,y)−L|< �
14
.
Podemos dizer que f(x,y) tem limite L quando (x,y) tende a (x0,y0) se, dado qualquer � >
0, existe δ > 0 tal que |f(x,y)−L|< � para todo (x,y) 6= (x0,y0) na vizinhança Vδ(x0,y0).
Costuma-se escrever
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) = L
Proposição 1
Considere uma função f :D2⊂R2→R. Sejam A e B dois subconjuntos de D2, ambos
tendo (x0,y0) como ponto de acumulação (isto é, devem existir nos subconjuntos A e B
de D2 pontos muito próximos de (x0,y0) que sejam diferentes de (x0,y0)). Se f(x,y) tem
limites diferentes quando (x,y) tende a (x0,y0) através de pontos de A e B, respectiva-
mente, então lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) não existe.
DEMONSTRAÇÃO: Vamos supor que existe um número real L tal que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) =
L. Então, para todo � > 0, existe δ > 0 tal que, se (x,y)⊂D2 e 0< |(x,y)− (x0,y0)|< δ,
então |f(x,y)−L|< �.
Como A⊂D2, temos que, se (x,y)⊂A e 0< |(x,y)− (x0,y0)|< δ, então |f(x,y)−L|< �.
Como B ⊂D2, temos que, se (x,y)⊂B e 0< |(x,y)− (x0,y0)|< δ, então |f(x,y)−L|< �.
Concluímos, dessa forma, que o limite de f(x,y) é igual ao mesmo valor L quando
(x,y) tende, mas é sempre diferente de (x0,y0) através de pontos pertencentes somente
a A e B. Isso é contrário a nossa hipótese, isto é, contraria a hipotese de que f(x,y)
tem limites diferentes quando (x,y) se aproxima de (x0,y0) através de pontos de A e B.
Assim, se f(x,y) tem limites diferentes quando (x,y) tende a (x0,y0) através de conjuntos
de pontos distintos do domínio de f , então lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) não existe.
Proposição 2
Seja uma função f :D2 ⊂R2→R definida por f(x,y) = ax+b, com a e b pertencentes
a R. Então
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) = ax0 + b
.
Demostração: Seja a 6= 0. Dado � > 0, devemos mostrar que existe δ > 0, tal que
|f(x,y)− (ax0 + b)|< � sempre que 0<
√
(x−x0)2 + (y−y0)2 < δ.
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Podemos fazer uma boa escolha do valor de δ examinando a desigualdade que envolve
�. As desigualdades abaixo são equivalentes:
|f(x,y)− (ax0 + b)| < �
|(ax+ b)− (ax0 + b)| < �
|ax−ax0| < �
|a||x−x0| < �
|x−x0| < �|a|
A última desigualdade acima sugere que façamos δ = �|a| . De fato, como |x− x0| ≤√
(x−x0)2 + (y−y0)2, para δ = �|a| , temos |f(x,y)−(ax0 +b)|= |a| |x−x0|< |a|.
�
|a| , sem-
pre que 0<
√
(x−x0)2 + (y−y0)2 < δ. Portanto,
lim
(x,y)→(x0,y0)
ax+ b= ax0 + b.
EXERCÍCIOS DA LISTA
1. Calcule o lim
(x,y)→(x0,y0)
(ay+ b) analogamente ao método empregado na proposição 2
Resposta: lim
(x,y)→(x0,y0)
ay+ b= ay0 + b;
2. Verifique que lim
(x,y)→(0,0)
2xy
x2 +y2 não existe
Solução: Se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo eixo dos x, temos:
lim
x→0, y=0
2xy
x2 +y2 = limx→0
2.x.0
x2 + 02 = limx→0
0
x2
= 0
Da mesma forma, se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo eixo dos y, obtemos:
lim
x=0, y→0
2xy
x2 +y2 = limy→0
2.0.y
02 +y2 = 0
Porém, se (x,y) se aproxima de (0,0) através da reta y = x, temos:
lim
x→0, y=x
2xy
x2 +y2 = limx→0
2.x.x
x2 +x2 = limx→0
2x2
2x2 = limx→01 = 1.
16
Portanto, lim
(x,y)→(0,0)
2xy
x2 +y2 não existe
3. Verificar se existe lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 +y4
Solução: Se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo eixo x, temos:
lim
x→0, y=0
xy2
x2 +y4 = limx→0
x.0
x2 + 04 = 0
Se (x,y) se aproxima de (0,0) pelo arco de parábola y =
√
x, obtemos:
lim
x→0, y=√x
= lim
x→0
x.(
√
x)2
x2 + (
√
x)4 = limx→0
x2
x2 +x2 =
1
2 .
Portanto, lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 +y4 não existe
Propriedades
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) e lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x,y) existem, e c é um número real qualquer,
então:
a) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x,y)±g(x,y)] =
[
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)
]
±
[
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x,y)
]
;
b) lim
(x,y)→(x0,y0)
[c.f(x,y)] = c.
[
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)
]
;
c) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x,y).g(x,y)] =
[
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)
]
.
[
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x,y)
]
;
d) lim
(x,y)→(x0,y0)
[
f(x,y)
g(x,y)
]
=
[
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)
]
[
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x,y)
] ;
e) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x,y)]n =
[
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)
]n
para qualquer inteiro positivo n;
f) lim
(x,y)→(x0,y0)
n
√
f(x,y) =
[
n
√
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)
]
, se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)≥ 0 e n inteiro
ou se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)≤ 0 e n é um inteiro positivo ímpar.
17
EXERCÍCIOS DA LISTA
Utilizando as proposições convenientes acima, resolva:
1. Calcule lim
(x,y)→(2,−1)
(x3y+x2y3−2xy+ 4)
Resposta: o limite é igual a −4
2. Calcular lim
(x,y)→(0,2)
√
x+y
Resposta: lim
(x,y)→(0,2)
√
x+y =
√
lim
(x,y)→(0,2)
(x+y) =
√
lim
x→0x+ limy→2y =
√
2.
CONTINUIDADE
Dada uma função f : D2 ⊂ R2→ R, diz-se que a função f(x,y) é contínua no ponto
(x0,y0) se:
(i) (x0,y0) ∈D2;
(ii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) existe;
(iii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y) = f(x0,y0)