Material Estatística - Gisele Lamas

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 1 
 
1. Estatística 
1.1. Definição de Estatística 
 È um conjunto de métodos que permite o estudo de determinados fenômenos (coletivos e de 
multidão) através da observação, coleta de informação e obtenção das conclusões. A maior 
aplicação da estatística ocorre nos fenômenos influenciados por um grande nº de causas ou 
fatores, principalmente os fenômenos sociais políticos, econômicos, etc. 
 Com a finalidade didática a estatística se divide em 2 partes: 
a) Estatística Descritiva: é a parte da estatística que tem por objetivo a observação dos 
fenômenos de mesma natureza, a coleta de informações numéricas referentes a estes 
fenômenos, a organização e a classificação dessas informações, a apresentação através de 
tabelas e gráficos, além do cálculo de índices ( estatísticas ou medidas estatísticas) que permitem 
descrever as ocorrências dos fenômenos. 
b) Estatística Indutiva ou Inferência Estatística: está parte se preocupa com o processo de 
generalizar conclusões a partir de resultados particulares. Tem como objetivo obter e generalizar 
resultados de um conjunto de informações associados a um fenômeno com base numa parte 
(subconjunto) de informações convenientemente selecionada, que é chamada de amostra. 
1.2. População e amostra 
 População: é um conjunto constituído por todos os elementos que apresentem pelo menos 
uma característica comum, cujo comportamento seja de interesse. 
 Amostra: é a parcela da população selecionada segundo normas e métodos estatísticos, 
com a finalidade de obter informações e resultados para a população. 
Exemplo1.2: um hospital deseja conhecer a distribuição do tipo sang6uíneo dos seus 200 
pacientes. Para tanto, a direção resolveu coletar sangue de 80 pacientes. 
 População: 
 
 Amostra: 
 
1.3. Fases do método estatístico 
1. Planejamento: é a etapa que consiste na identificação do objetivo, escolha da metodologia, 
estimação do custo, obtenção do material e pessoal necessário, elaboração do instrumento de 
coleta (questionário ou folha de coleta), etc. 
2. Coleta das informações: é a atividade que compreende o levantamento (obtenção) das 
informações necessárias. 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 2 
 
3. Crítica: compreende as atividades de verificação das omissões (falta de resposta) e correções 
das informações. 
4. Apuração: é a etapa referente ao processamento das informações manualmente ou através de 
máquinas eletromecânicas (calculadora) ou através de equipamentos eletrônicos (computador). 
 Nesta etapa podem ser calculados determinados índices e elaborados gráficos e tabelas. 
5. Interpretação das informações: consiste na obtenção das conclusões, ou seja, na análise dos 
resultados. Através de métodos estatísticos podemos verificar o comportamento do fenômeno de 
interesse, estabelecendo as causas de sua ocorrência. 
6. Divulgação dos resultados: consiste na publicação dos resultados e análises através de 
revistas, livros, etc. A divulgação através de relatórios compreende também a apresentação dos 
dados com base em tabelas e gráficos. 
1.4.Tipos de variáveis 
 Qualitativas: expressam uma qualidade ou atributo. 
 Quando estes atributos possuem uma ordenação natural, a variável é classificada como 
qualitativa ordinal; caso contrário, qualitativa nominal. 
Exemplo 1.4.1: Patente do servidor militar ( ); 
 cor dos olhos ( ); 
 sexo ( ) 
 Quantitativas: expressam uma contagem ou mensuração. 
Quando a variável expressa contagem, é classificada de quantitativa discreta; quando 
expressa uma mensuração, quantitativa continua. 
Exemplo 1.4.2: idade ( ); 
 comprimento de um certo material ( ); 
 nº de televisões na residência ( ) 
 
 
 
 
 
 
ordinal 
qualitativas 
nominal 
variáveis 
quantitativas 
discreta 
contínua 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 3 
 
2. Séries estatísticas e apresentação de dados. 
 Retomando o exemplo do hospital, suponha que a amostra dos 80 pacientes forneceu: 
O B A O AB AB O A B B ... B O 
 Como há muitas observações, sentimos a necessidade de organizar os dados para melhor 
compreender o comportamento dos mesmos. 
2.1. Gráficos e distribuições de freqüências para variáveis 
2.1.1. Qualitativas nominais 
 Tomando como base o exemplo do hospital e os dados listados anteriormente, podemos 
obter uma tabela onde a 1ª coluna contém os tipos sanguíneos observados na amostra e a 2ª 
coluna o total de observações de cada categoria. Note que, como o objetivo é generalizar os 
resultados para a população, é mais significativo expressá-los em termos de freqüências relativas. 
 
Tipo 
sanguíneo 
i
f
 
i
fr
 % 
i
F
 
i
Fr
 
O 36 
A 33 
B 8 
AB 3 
total 80 - - 
 
Observação: 
1) 
i
f
freqüência absoluta simples 
 Soma-se as freqüências dos valores que contém cada classe. A soma das freqüências é dita 
tamanho da população ou amostra. 
2) 
i
fr
freqüência relativa 
 
i
i
i
f
f
fr
 
nf
i
, onde n é o tamanho da população ou amostra 
3) 
%
freqüência relativa percentual 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 4 
 
 
100*% ifr
 
4) 
i
F
freqüência absoluta acumulada crescente 
 
kk
fffF ...
21
 
 Ou 
 
),...,2,1(
1
kifF
k
i
ik
 
5) 
i
Fr
freqüência relativa acumulada crescente 
 
ki
frfrfrFr ...
21
 
 Ou 
 
),...,2,1(
1
kifrFr
k
i
ii
 
 
 Os gráficos que podem ser utilizados na representação deste tipo de variável são o de barras, 
o de colunas e o de setores. 
 
. 
 
 
 
0,45
0,41
0,10
0,04
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
O A B AB
fr
Tipo sanguíneo
 colunas 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 5 
 
2.1.2. Qualitativas ordinais 
 Suponha que em uma fábrica realizou-se uma pesquisa para saber o grau de instrução dos 
500 empregados, e para este fim, tomou-se uma amostra de 15 empregados. 
 Uma possível amostra seria: 
 
Ensino médio Ensino médio Ensino superior Ensino superior Ensino médio 
Ensino fundamental Ensino médio Ensino médio Ensino fundamental Ensino fundamental 
Ensino médio Ensino fundamental Ensino fundamental Ensino médio Ensino fundamental 
 
 Que resultaria na seguinte distribuição de freqüências: 
 
Grau de 
instrução 
i
f
 
i
fr
 % 
i
F
 
i
Fr
 
Ensino 
fundamental 
 
Ensino 
médio 
 
Ensino 
superior 
 
total 
 
 Os gráficos que podem ser utilizados para representar este tipo de variável são os mesmos do 
caso anterior. Convém ressaltar que agora as categorias devem ser apresentadas em ordem 
crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Barras 
Grau de instrução 
fr 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 6 
 
2.1.4. Variável quantitativa discreta 
 Um grupo de médicos deseja saber se é necessário ministrar cursos de métodos 
contraceptivos em certa região e resolveu estudar então o nº de filhos por mulher nesta região: 
 População: 
 
 
 Amostra: 
 
 
 Foram observadas 50 mulheres, cujos números de filhos foram: 
2 5 4 6 1 5 11 4 4 7 
2 4 5 10 6 6 5 7 2 6 
3 4 1 4 5 4 9 7 2 4 
2 4 3 6 6 3 2 5 5 3 
2 4 4 4 6 6 5 5 4 2 
 Gerando a seguinte distribuição de freqüências: 
Nº de 
filhos 
f fr fr(%) F Fr 
1
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 7 
 
10 
11 
total 
 
 O gráfico mais indicado para representar uma variável quantitativa discreta é o gráfico de 
linha. Não se deve utilizar o gráfico em colunas porque agora no eixo horizontal estamos 
representando uma quantidade numérica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.4. Variável quantitativa contínua 
 Suponha que você seja responsável pelo controle da qualidade de uma indústria e que seu 
objetivo é saber se os comprimidos estão sendo fabricados com o diâmetro desejado. 
 População: 
 
 
 Amostra: 
 
 
 
 
 
f 
Nº de filhos 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 8 
 
 Suponha que a amostra selecionada tenha fornecido: 
0,921 0,934 0,935 0,941 0,955 0,960 
0,967 0,973 0,975 0,978 0,985 0,985 
0,989 0,990 0,990 0,990 0,995 0,995 
1,009 1,010 1,020 1,022 1,033 1,037 
1,053 1,057 1,073 1,079 1,104 1,105 
 Como não se tem muitos valores coincidentes usa-se esta tabela: 
 
diâmetro f fr % F Fr 
0,92├ 0,96 
0,96├ 1,00 
1,00 ├ 1,04 
1,04 ├ 1,08 
1,08 ├ 1,12 
total 
 
 Regras básicas: 
 Nº de classes (k): não se utiliza menos de 5 classes, para não resumir demais os 
dados. Se n>25, então 
nk
. No exemplo, n = 30 
k
 . 
 Amplitude das classes (h): para calculá-la, devemos conhecer primeiramente a 
amplitude total dos dados r, dado pela diferença entre o maior e o menor valor 
observado. No exemplo, 
 r = 
Como todas as classes devem ter o mesmo tamanho então 
k
r
h
. 
No exemplo, 
 
h
 
 Os gráficos mais utilizados para variável quantitativa contínua são o histograma e o polígono 
de freqüência. 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 9 
 
 
 
3. Medidas de tendência central 
 Vimos que o resumo de dados por meio de distribuição de freqüências fornece muito mais 
informações sobre o comportamento de uma variável do que a própria tabela original de dados. 
Muitas vezes, queremos resumir ainda mais estes dados, apresentando um ou alguns valores que 
sejam representativos da série toda. Quando usamos um só valor, obtemos uma redução drástica 
dos dados. Usualmente, emprega-se uma das seguintes medidas: moda, mediana ou média. 
3.1. Moda (mo) 
 Moda é o valor da variável que apresenta maior fr. No caso de variáveis contínuas 
agrupadas em classes, é o valor médio da classes com maior fr. Nos exemplos citados, a moda é 
o sangue do tipo ----------, ensino -------------------, -------- filhos, ------------cm, respectivamente. 
3.2. Mediana (me) 
 Mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenados. Não pode ser obtida para 
variável qualitativa nominal, pois esta não possui sequer ordenação, e mesmo para variável 
qualitativa ordinal, esta medida é de pouco interesse. 
1. Cálculo da mediana na amostra 
 Considere os seguintes conjuntos de valores: 
 A: -5; 7,2; -4,4; 17; 8,0; 15,9; 2,1 
 B: 11; 4; 3; 9; 10; 0; 4,8; 8 
Ordenado 
histograma 
Polígono de 
freqüência 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 10 
 
 A: -5; -4,4; 2,1; 7,2; 8,0; 15,9; 17 
 B: 0; 3; 4; 4,6; 8; 9; 10; 11 
 O conjunto A tem 7 elementos, portanto o elemento central é aquele que ocupa a 4ª posição, 
ou seja, me = . 
 O conjunto B não existe um único elemento central, mas sim dois: aqueles que ocupam a 4ª 
e a 5ª posição. Então, a mediana será a média dos termos centrais, ou seja, me = . 
 Regra geral para uma amostra de tamanho n: 
 Se n é ímpar 
Me = elemento que ocupa a 
2
1n ésima posição; 
 Se n é par 
 Me = média entre os elementos que ocupam a 
ésima
2
2n
 e ésima
2
n posição. 
Exemplo: No exemplo das mães, n = 50, portanto a mediana será a média dos elementos 
correspondentes a 25ª e 26ª posição. Assim, me = . 
2. Cálculo da mediana para dados tabelados 
 Se os dados forem discretos, dada a distribuição de freqüências, é possível reconstruir a 
amostra. Dessa forma, a mediana será obtida pela regra anterior. 
 
 Vejamos novamente o exemplo dos comprimidos (caso contínuo). 
diâmetro f fr % F Fr 
0,92├ 0,96 5 0,17 17 5 0,17 
0,96├ 1,00 13 0,43 43 18 0,60 
1,00 ├ 1,04 6 0,20 20 24 0,80 
1,04 ├ 1,08 4 0,13 13 28 0,93 
1,08 ├ 1,12 2 0,07 7 30 1,00 
total 30 1,00 100 - - 
 
 Como estamos interessados na mediana, procuramos o valor que tem frequência relativa 
acumulada, Fr = --------%. Observando o gráfico do histograma vemos que não é difícil calcular a 
mediana. 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 11 
 
 
 
0,04 0,43 
d ( 0,50 – 0,17) 
 Regra geral para o cálculo da mediana 
Me =
fr
hFr
l
*)50,0( *
inf
, onde 
inf
l
: limite inferior da classe que contém a mediana; 
*
Fr
: freqüência relativa acumulada da classe anterior a que contém a mediana; 
fr: freqüência relativa da classe que contém a mediana. 
Utilizando a fórmula acima, a mediana para o diâmetro dos comprimidos será 
 me = 
3.3. Média aritmética (X ) 
1. Cálculo na amostra: dado um conjunto de dados, a média aritmética é dada pela soma dos 
elementos, dividida pelo total de elementos. 
 Denotando os elementos da amostra por x1,x2,...,xn temos que 
n
x
n
xxx
n
i
i
n 121
...
X 
 
0,17
0,43
0,20
0,13
0,07
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
fr
diâmetro
0,92 a menos de 0,96
0,96 a menos de 1,00
1,00 a menos de 1,04
1,04 a menos de 1,08
1,08 a menos de 1,12
 1 unid. 
0,33 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 12 
 
2. Cálculo para dados agrupados 
a) Dados discretos: já vimos que não há perda de informação ao organizar dados discretos em 
tabelas. Assim, o cálculo da média poderia ser feito como no caso anterior. Voltando ao exemplo 
do número de filhos, temos que: 
 
X
 
 
 Vemos então que a média também pode ser calculada somando-se o produto de cada valor 
observado pela respectiva freqüência e depois dividindo tudo por n, ou seja, 
i
k
i
i
k
i
ii
frx
n
fx
*
*
X
1
1 
 
 Note que i agora representa cada uma das classes e não mais cada um dos elementos da 
amostra. 
 
 
b) Dados contínuos: retornando ao exemplo dos comprimidos, temos: 
diâmetro f fr 
x
 
0,92├ 0,96 5 0,17 
0,96├ 1,00 13 0,43 
1,00 ├ 1,04 6 0,20 
1,04 ├ 1,08 4 0,13 
1,08 ├ 1,12 2 0,07 
total 30 1,00 - 
 
 Obs.: 
ix
: ponto médio da classe, onde 
 
 
 Fórmula geral: 
classe; dainferior limite:infl
classe. dasuperior limite:supl
2
supinf ll
xi
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 13 
 
i
k
i
i
k
i
ii
frx
n
fx
*
*
X
1
1 
 
No exemplo, temos então 
 X 
3.4. Características mais importantes 
 Moda 
 É em geral menos utilizada que a média e a mediana; 
 A moda as vezes pode não existir e em outras ocasiões pode haver mais de uma 
moda; 
 O valor da moda não sofre influências de valores extremos 
 Mediana 
 Tem fácil interpretação e cálculo; 
 É determinada pelo nº de observações e não pelo seu valor. Desse modo os valores 
extremos não afetam o valor da mediana; 
 É uma media muito utilizada para dados assimétricos.
Média 
 Tem fácil interpretação e cálculo; 
 Utiliza todos os valores disponíveis; 
 É influenciada por valores extremos. Assim, deixará de ser representativa para 
distribuições assimétricas. 
4. Medidas de posição 
 As medidas de posição mais utilizadas são os quartis. Quartis são valores que divide4m a 
amostra em 4 partes iguais. Sejam Q1,Q2 e Q3. Temos então que Fr(Q1) = 25%, Fr(Q2) = 50% e 
Fr(Q3) = 75%. 
 Recordando o exemplo dos conjuntos de dados A e B: 
 A: -5; -4,4; 2,1; 7,2; 8,0; 15,9 ; 17 
 
 
 
Q1 
Q1 
Q2 
Q1 
Q3 
Q1 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 14 
 
 B: 0; 3; 4; 4,6; 8; 9; 10; 11 
 
 
 
 
 Com os dados ordenados crescentemente, temos: 
Posição Q1: 
4
1n
 Posição Q2: 
2
1n
 Posição Q3: 
4
)1(3 n
 
 
 Para se obter os quartis em dados contínuos tabelados, basta seguir o mesmo raciocínio 
desenvolvido no cálculo da mediana: 
 Fórmula geral: 
 Qi =
fr
hFr
i
l
*)
4
( *
inf
, onde i = 1, 2 e 3 
inf
l
: limite inferior da classe que contém o quartil; 
*
Fr
: freqüência relativa acumulada da classe anterior a que contém o quartil; 
fr: freqüência relativa da classe que contém o quartil 
5. Medidas de dispersão. 
 As medidas de dispersão são medidas que têm como objetivo quantificar a dispersão dos 
dados. Para exemplificar, suponha que um professor tenha aplicado quatro provas a cada um de 
três alunos, e os resultados foram os seguintes: 
Aluno P1 P2 P3 P4 
A 0 10 10 0 
B 5 5 5 5 
C 0 6 4 10 
 
Q1 Q2 
Q1 
Q3 
Q1 
3,5 6,4 9,5 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 15 
 
 Embora todos tenham a mesma média, o aluno B apresentou maior regularidade nas notas 
seguido do aluno C, e o mais irregular foi o aluno A. pelo bom senso, qualquer medida de 
dispersão que venhamos a calcular, deverá chegar às mesmas conclusões. 
5.1. Amplitude amostral – A 
 É a diferença entre o maior e o menor valor observado. 
 A = xmáx-xmín 
 No exemplo, AA= ----------, AB = ---------- e AC= ----------- 
5.2. Intervalo interquartílico – I 
 È dado pela diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. 
 I = Q3 – Q1 
 No exemplo, IA = ------------, IB = ----------- e IC = ------------ 
 Como podemos ver as duas medidas citadas possuem o “defeito” de não utilizar todos os 
dados, levando algumas vezes a resultados incoerentes. 
5.3. Variância 
a) Seja a variável X = x1, x2,..., xN uma população. Define-se a variância ² da variável X da 
população contendo N dados: 
N
)x(
N
))x(...)x()x((
N
1i
2
i2
N
2
2
2
12 
 No exemplo, 
2
A
 
 
2
B
 
 
2
C
 
b) Seja a variável X = x1, x2,..., xn uma amostra. Define-se a variância S² da variável X da amostra 
contendo n dados: 
1
)(
1
))(...)()((
1
2
22
2
2
12
n
Xx
n
XxXxXx
S
n
i
i
N 
5.3.1. Variância para dados agrupados 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 16 
 
a) Seja a variável X = x1, x2,..., xK uma população. Define-se a variância ² da variável X da 
população contendo N dados: 
K
1i
i
2
i
K
1i
i
2
i
2 fr*)x(
N
f*)x(
, caso discreto 
K
1i
i
2
i
K
1i
i
2
i
2 fr*)x(
N
f*)x(
, caso contínuo 
a) Seja a variável X = x1, x2,..., xk uma amostra. Define-se a variância S² da variável X da amostra 
contendo n dados: 
1n
f*)Xx(
S
k
1i
i
2
i
2 , caso discreto 
1n
f*)Xx(
S
k
1i
i
2
i
2 , caso contínuo 
5.4. Desvio padrão 
 É definido como a raiz quadrada da variância. Dessa maneira: 
 O desvio padrão utilizando dados de uma população é: 2 . 
 O desvio padrão utilizando dados de uma amostra é: 2
SS
. 
 Esse cálculo é realizado para que o valor da medida de dispersão fique na mesma escala que 
a dos originais. 
 No exemplo, 
A
 
 
B
 
 
C
 
5.5. Coeficiente de variação – CV 
 É dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média. 
CV = , considerando dados de uma população 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 17 
 
CV = 
X
S , considerando dados de uma amostra 
 Para entender melhor a utilidade desta medida, suponha que duas empresas A e B tenham as 
seguintes características: 
Empresa 
X S CV 
A 100,00 10,00 
B 100.000,00 15,00 
 Qual das duas empresas possui menor dispersão de salários em torno da média? 
 Com este exemplo, notamos que o desvio padrão não é a medida adequada para comparar 
dispersão entre conjuntos de dados com médias diferentes. Nesta situação deve-se usar o 
coeficiente de variação. 
 
6. Medidas de Assimetria 
6.1. Medidas de Assimetria 
 Assimetria é a característica de gráficos ou de curvas em que a média não coincide com a 
moda, ou seja, a maioria dos valores da variável se concentra em uma das extremidades. 
 
 
 Curva Assimétrica Negativa 
 
 
 
 
 
 Curva Assimétrica Positiva 
 
 
 
 
 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 18 
 
 
 
 Curva Simétrica 
 
 
 
 
 
 Para determinar o grau de assimetria, utilizaremos o coeficiente de assimetria de Pearson, 
dado por: 
 
 Desse modo, pode-se concluir que: 
 Se > 0, a distribuição é assimétrica positiva; 
 Se = 0, a distribuição é simétrica; 
 Se > 0, a distribuição é assimétrica negativa; 
 Exemplo: 
Distribuição A 
Pesos 
(kg) 
 
2 ├ 6 6 
6 ├ 10 12 
10 ├ 14 24 
14 ├ 18 12 
18 ├ 22 6 
Total 60 
 
 
 Distribuição B 
Pesos 
(kg) 
 
2 ├ 6 6 
6 ├ 10 12 
10 ├ 14 24 
14 ├ 18 30 
18 ├ 22 6 
Total 78 
 
 
 Distribuição C 
Pesos 
(kg) 
 
2 ├ 6 6 
6 ├ 10 30 
10 ├ 14 24 
14 ├ 18 12 
18 ├ 22 6 
Total 78 
 
 
 
 
Profª Gisele Lamas 
 
Estatística Página 19 
 
 Temos: 
 
 me = 12 kg 
 mo = 12 kg 
 s = 4,42 kg 
 
 
 me = 13,5 kg 
 mo = 16 kg 
 s = 4,20 kg 
 
 
 me = 10,5 
 mo = 8 kg 
 s = 4,20 kg 
 Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
• Bibliografia 
 BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo M.; BORNIA, Antônio Cezar. Estatística: para 
cursos de engenharia e informática. São Paulo: Atlas, 2004. 
 BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 
2002. 
 CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 17ª ed. São Paulo:Saraiva,2002. 
 OLIVEIRA, Francisco Estevam Martins de. Estatística e probabilidade: Exercícios resolvidos 
e propostos. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
 SMAILES, Joanne; McGRANE, Angela. Estatística Aplicada à Administração com Excel. 
São Paulo: Atlas, 2002.