MiniCursoMATLAB

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG 
CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA – CEEI 
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA ELÉTRICA – UAEE 
 
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL – PET 
TUTOR: EDMAR CANDEIA GURJÃO 
 
 
 
 
 
MINI-CURSO: 
ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB® 
1ª Edição 
 
 
 
 
 
AUTORES: Edson Porto da Silva (PET-Elétrica/UFCG) 
 Felipe Vigolvino Lopes (PET-Elétrica/UFCG) 
 Nustenil Segundo de M. L. Marinus (PET-Elétrica/UFCG) 
 
 
Outubro de 2008 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 1 
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1. APRESENTAÇÃO 
O MATLAB®, ao contrário do que muita gente pensa, é um software 
destinado a realizar cálculos com matrizes (MATLAB® = MATrix LABoratory) e não 
uma linguagem de programação. O seu uso é bastante abrangente, sendo utilizado em 
vários meios industriais e acadêmicos, por permitir a realização de aplicações ao nível 
da análise numérica, de análise de dados, cálculos matriciais, processamento de sinais, 
construção de gráficos, otimização de funções, entre outras, abordando uma banda larga 
de problemas científicos e de engenharia. 
O uso do MATLAB® se torna bastante simples, pois os seus comandos são 
bastante próximos da forma como escrevemos expressões algébricas, permitindo assim 
a resolução de problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria 
para escrever um programa semelhante numa linguagem de programação clássica. 
 
1.1) AMBIENTE DO MATLAB® 
O prompt do MATLAB® é o padrão “>>”. O prompt “>>” significa que o 
MATLAB® está “esperando” um comando do utilizador, sendo comumente chamando 
de “prompt de comando”. Todos os comandos devem ser finalizados teclando-se 
<enter>. 
O comando mais importante do MATLAB® é o help, onde exibe todos os 
comandos e símbolos sintáticos disponíveis. O comando help nome fornece informações 
sobre o comando nome. Como exemplo, faça: 
>>help plot 
Aperte <enter> e veja o que aparece. 
 
2. INTRODUÇÃO 
Como foi dito anteriormente, o MATLAB® trabalha com matrizes numéricas, 
podendo conter elementos complexos. Quando usamos apenas um escalar, estamos na 
verdade usando uma matriz 1x1. 
 
2.1) SINTAXE 
As duas principais terminações do MATLAB® são: a vírgula (,) e o ponto-e-
vírgula (;). Quando um comando é terminado com vírgula seu resultado é expresso na 
tela e atribuído à variável do sistema ans (de answer, ou resposta), enquanto que, com a 
terminação ponto-e-vírgula o resultado do comando não é expresso na tela. Quando a 
terminação é uma vírgula, esta pode ser suprimida. Para continuar um comando na outra 
linha, basta usar a terminação três pontos (...). Para fazer comentários, usa-se o sinal de 
por cento (%) no início da linha. 
EXEMPLO 1: Digite: 
 >>5 + 6, 
>>5 + 6 
>>5 + 6; 
>>% 5 + 6 
>>5+ ... 
6 
 
Para inicializar uma variável, basta fazer, por exemplo, a = 5 
OBS: O MATLAB® faz distinção entra maiúscula e minúscula. 
 
Algumas regras devem ser seguidas para nomear variáveis. Os nomes de 
variáveis devem ser nomes iniciados por letras e não podem conter espaços nem 
caracteres de pontuação. Assim, modificando o exemplo 1: 
 EXEMPLO 2: 
 Digite: 
 >>A = 5; 
 >>B = 6 
 >>A + B, 
 >>A + B 
 >>A + B; 
 >>% A + B 
 >>A+ ... 
 B 
 
2.2) CONSTANTES 
O MATLAB® também possui várias variáveis predefinidas, algumas listadas 
abaixo: 
• ans – variável usada para os resultados. 
• pi – número pi 
• eps - menos número tal que, quando adicionado a 1, cria um núemro 
maior que 1 no computador. 
• inf – significa infinito 
• NaN – não é um número, por exemplo, 0/0. 
• i e j – unidade imaginária √(-1_) 
• nargin – número de argumentos de entrada de uma função. 
• nargout – número de argumentos de saída de uma função. 
• realmin – menor número que o computador pode armazenar. 
• realmax – maior número que o computador pode armazenar. 
 
2.3) INFORMAÇÕES SOBRE A ÁREA DE TRABALHO 
Para listar as variáveis existentes no espaço de trabalho, basta usar o comando 
who ou whos. O comando clear limpa o espaço de trabalho, extinguindo todas as 
variáveis. 
EXEMPLO 3: 
Digite: 
>>A = 8; 
>>a = 6; 
>>A 
>>a 
>>who 
>>clear 
>>a 
>>A 
 
2.4) OPERAÇÕES BÁSICAS 
Para realizar as quatro operações básicas da matemática, usamos os símbolos 
+, -, * e / para soma, subtração, multiplicação e divisão, respectivamente. 
Para se calcular um número elevado a outro, usa-se o símbolo ^. Assim para o 
cálculo da raiz quadrada podemos usar (número)^(1/2) ou apenas usar o comando 
sqrt(número). 
OBS: As expressões são avaliadas, primeiramente, da esquerda pra direita, 
com a potência tendo a mais alta prioridade, seguida pela multiplicação e divisão, que 
tem igual precedência, e por último vem a adição e subtração, que possuem o mesmo 
peso. Para alterar essa ordem, usamos parênteses, sendo os mais internos avaliados 
antes dos mais externos. 
Parênteses também são úteis para calcular expressões grandes e seu uso 
incorreto pode gerar erros. Por exemplo, 
>> 9^1/2 = 4.5 
>> 9^(1/2) = 3 
 
EXEMPLO 4: 
Digite: 
>> a = 5 + 7*(5+9) - (6+8)/(5-3) 
>> b = 4 - (6 - (8/(9+7))*4) - sqrt(7+9) + (5+1)^(7+1) - 6^8 
>> total = a+b 
 
2.5) MATRIZES 
 Para criar uma variável que armazena uma matriz, basta escrever os 
elementos da matriz entre colchetes [...], sendo que os elementos de uma mesma linha 
são separados por vírgulas ou por espaços e as linhas são separadas com o uso de ponto-
e-vírgula ou por quebra de linha. Por exemplo, para escrever a matriz: 
A = 










9
6
3
8
5
2
7
4
1
 
Fazemos : 
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] 
Ou 
>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] 
Ou 
>> A = [1 2 3 
 4 5 6 
 7 8 9] 
 
Para acessar qualquer elemento de uma matriz, fazemos 
NomedaMatriz(linha,coluna). Por exemplo: 
 >>A(2,3) = 6 
 
Para se ter os elementos de uma coluna da matriz, fazemos NomedaMatriz(: , 
coluna). Por exemplo: 
A(:,2) = 










8
5
2
 
Para se ter os elementos de uma linha da matriz, fazemos NomedaMatriz(linha 
, :) Por exemplo: 
A(2,:) = [ 4 5 6 ]. 
As operações envolvendo matrizes são semelhantes às operações com 
escalares. 
• SOMA: A + B 
• SUBTRAÇÃO: A – B 
• PRODUTO: A*B (Deve obedecer a regra do produto de matrizes) 
• TRANSPOSTA: A’ 
• MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR: n*A (n é escalar) 
• POTÊNCIA: A^k (k é um escalar) 
 
2.5.1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
A adição e subtração de matrizes são indicadas, respectivamente, por "+" e "-". 
As operações são definidas somente se as matrizes possuírem as mesmas dimensões. 
EXEMPLO 5: 
>> A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]; 
>> B = [ 9 8 7 ; 6 5 4 ; 3 2 1 ]; 
Como A e B tem as mesmas dimensões, a operação pode ser realizada. 
>> Subtracao = A - B 
 
Subtracao = 
 
 -8 -6 -4 
 -2 0 2 
 4 6 8 
>> Soma = A + B 
 
Soma = 
 
 10 10 10 
 10 10 10 
 10 10 10 
 
As operações de adição e subtração também são definidas se um dos 
operadores for um escalar, ou seja, uma matriz 1x1. Neste caso, o escalar é adicionado 
ou subtraído de todos os elementos do outro operador. Por exemplo: 
 
>>x = [ -1 0 2]’; 
>> y = x – 1 
y = 
 -2 
 -1 
 1 
 
2.5.2) MULTIPLICAÇÃO 
A multiplicação de matrizes é indicada por "*". A multiplicação x*y é definida 
somente se a segunda dimensão
de x for igual à primeira dimensão de y. A 
multiplicação: 
>> x'* y 
ans = 
4 
Naturalmente, um escalar pode multiplicar ou ser multiplicado por qualquer 
matriz. 
>> pi*x 
 ans = 
 -3.1416 
 0 
 6.2832 
 
2.5.3) DIVISÃO 
A divisão de matrizes requer especial atenção, pois existem dois símbolos para 
divisão de matrizes no MATLAB® "\" e "/". Se A é uma matriz inversível quadrada e b 
é um vetor coluna (ou linha) compatível, então A\b e b\A correspondem 
respectivamente à multiplicação à esquerda e à direita da matriz b pela inversa da matriz 
A, ou inv(A)*b e b*inv(A), mas o resultado é obtido diretamente: 
X = A\b é a solução de A*X = b 
X = b/A é a solução de X*A = b 
 
2.5.4) POTENCIAÇÃO 
A expressão A^p eleva A à p-ésima potência e é definida se A é matriz 
quadrada e p um escalar. Se p é um inteiro maior do que um, a potenciação é calculada 
como múltiplas multiplicações. Por exemplo, 
>> A^3 
ans = 
279 360 306 
684 873 684 
738 900 441 
 
2.6) OPERAÇÕES “Elemento por elemento” 
O termo operações com conjuntos é utilizado quando as operações aritméticas 
são realizadas entre os elementos que ocupam as mesmas posições em cada matriz 
(elemento por elemento). As operações com conjuntos são efetuadas como as operações 
usuais, utilizando-se os mesmos caracteres ("*", "/", "\", "^" e " ‘ ") precedidos por um 
ponto "." (".*", "./", ".\", ".^" e " .‘ "). 
 
2.6.1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Para a adição e a subtração, as operações com conjuntos e as operações com 
matrizes são iguais. Deste modo os caracteres "+" e "-" são empregues do mesmo modo 
e considerando as mesmas restrições de utilização. 
 
2.6.2) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
A multiplicação de conjuntos é indicada por “ .* ”. Se A e B são matrizes com 
as mesmas dimensões, então A.*B indica um conjunto cujos elementos são 
simplesmente o produto dos elementos individuais de A e B. Por exemplo, se: 
>> x = [1 2 3]; y = [4 5 6]; 
>> z = x .* y 
z = 
4 10 18 
 
As expressões A./B e A.\B formam um conjunto cujos elementos são 
simplesmente os quocientes dos elementos individuais de A e B. Assim, 
>> z = x.\ y 
z = 
4.0000 2.5000 2.0000 
 
2.6.3) POTENCIAÇÃO 
 A potenciação de conjuntos é indicada por “.^”. A seguir são mostrados 
alguns exemplos utilizando os vetores x e y. A expressão: 
>> z = x .^ y 
z = 
1 32 729 
A potenciação pode usar um escalar. 
>> z = x.^2 
z = 
1 4 9 
Ou, a base pode ser um escalar. 
>> z = 2.^[x y] 
z = 
2 4 8 16 32 64 
2.7) NÚMEROS COMPLEXOS 
O MATLAB® trabalha de forma eficiente com números complexos. Como foi 
citada anteriormente, a unidade imaginária é representada por i ou j. Dessa forma, para 
escrever um número complexo basta fazer: 
>> z= 3 + 4*i 
ou 
>> z= 3 +4*j 
Este número complexo se encontra na forma retangular. Podemos também 
representar na forma polar, da seguinte forma: 
>> w= r * exp(i*theta) 
>> w = 5*exp(i*pi) 
 
Onde r é a magnitude e theta é o ângulo. 
 
Para se obter matrizes complexas, usamos as duas formas mostradas abaixo: 
>> A= [1 2; 3 4]+i*[5 6;7 8] 
e 
>> A= [1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i] 
Estas duas formas produzem o mesmo resultado. 
Se i ou j forem usados como variáveis, de forma que tenham seus valores 
originais modificados, uma nova unidade complexa deverá ser criada e utilizada de 
maneira usual: 
>>ii=sqrt(-1); 
 >> z = 3 + 4*ii 
Para se obter o módulo e o ângulo de um número complexo, basta usar as 
funções abs(x) e angle(x), respectivamente. 
Assim, para z = 3 + 4j, temos 
>> z = 3 + 4j 
>>abs(z) = 5 
>>angle(z) = 0.9273 
OBS: É importante observar que o MATLAB® só trabalha com radianos. 
Para transformar para graus basta multiplicar o ângulo por 180/pi. 
3. MANIPULAÇÃO DE VETORES E MATRIZES 
3.1) GERAÇÃO DE VETORES 
3.1.1) Para gerar vetores, podemos usar o caractere “:”. 
Podemos fazer: 
>> x = 1:10 
x = 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
Percebemos que foi gerado um vetor com de 1 até 10, com incremento de uma unidade. 
 
3.1.2) Podemos usar outros incrementos diferentes da unidade, fazendo: 
>> x = 1 : 2 : 10 
ans = 
 1 3 5 7 9 
Muitas vezes é útil usar incrementos negativos. 
>> z = 6: -1: 1 
z = 
 6 5 4 3 2 1 
 
3.1.3) Com a função linspace, podemos gerar vetores linearmente espaçados. 
>> linspace(1, 10, 5) 
ans = 
 1.0000 3.2500 5.5000 7.7500 10.0000 
 
Cria um vetor linearmente espaçado de 1 a 10 com 5 elementos. 
 
3.1.4) Outras funções úteis são dadas abaixo: 
• logspace(x1, x2, k) – cria um vetor com espaçamento logaritmo de x1 até x2 
com k elementos. 
• eye(n,m) – gera uma matriz identidade nxm. 
• ones(n,m) – gera uma matriz com elementos unitário nxm. 
• zeros(n,m) – gera uma matriz nxm com elementos nulos. 
• rand(n,m) – gera uma matriz nxm com elementos aleatório com distribuição 
uniforme entre 0 e 1. 
 
4. FUNÇÕES 
O MATLAB® tem diversas funções pré-definidas, onde a maioria pode ser 
usada da mesma que seria escrita matematicamente. Algumas dessas funções são 
listadas abaixo: 
abs(x) - valor absoluto de x. 
cos(x) – cosseno de x. 
acos(x) - arco cosseno de x. 
sin(x) – seno de x. 
asin(x) - arco seno de x. 
tan(x) – tangente de x. 
atan(x) - arco tangente de x. 
exp(x) - exponencial de x. 
gcd(x,y) – máximo divisor comum de x e y. 
lcm(x,y) - mínimo múltiplo comum de x e y. 
log(x) - logaritmo de x na base e. 
log10(x) - logaritmo de x na base 10. 
rem(x,y) - resto da divisão de x por y. 
sqrt(x) - raiz quadrada de x. 
5. GRÁFICOS 
Uma das principais ferramentas que o MATLAB® proporciona é a sua grande 
facilidade para gerar gráficos. 
Abaixo, listamos algumas funções para manipulação de gráficos. 
• plot(x, y) – gera um gráfico linear. X é o vetor que contêm os pontos do eixo das 
abscissas e y são os pontos do eixo das ordenadas. 
• semilogx (x,y) - gera um gráfico em escala semi-logaritmica(eixo x). x é o vetor 
que contêm os pontos do eixo das abscissas e y são os pontos do eixo das 
ordenadas. 
• semilogy (x,y) - gera um gráfico em escala semi-logaritmica(eixo y). x é o vetor 
que contêm os pontos do eixo das abscissas e y são os pontos do eixo das 
ordenadas. 
• title(‘texto’) – dar título ao gráfico gerado. 
• xlabel(‘texto’) – nomeia o eixo x. 
• ylabel(‘texto’) – nomeia o eixo y. 
• grid – cria linhas imaginárias no gráfico gerado 
• legend(‘texto’) – cria uma legenda para o gráfico. 
 
Podemos também escolher a cor do gráfico gerado, colocando mais um 
argumento na função que gerou o gráfico (plot, semilogx, semilogy, etc). 
Por exemplo, 
• plot (x, y, ‘r’) – cria um gráfico vermelho (o novo argumento é r, de red = 
vermelho). 
 
Para gerar vários gráficos, adicionamos novos valores na função que gerou o 
gráfico e escolhemos a cor de cada gráfico. 
Por exemplo, 
• plot(x1, y1, ‘r’, x2, y2, ‘b’, x3, y3, ‘g’) – gera três gráficos (x1, y1), (x2, y2) e 
(x3, y3) com cores vermelho, azul e verde, respectivamente. 
 
Esses gráficos são gerados na mesma janela (mesmo eixo), mas se quisermos gerar 
gráficos em janelas diferentes, é comum se usar a função figure (numero). 
Por exemplo, 
• figure(1), plot(x1, y1) 
• figure(2), plot(x2, y2). 
 
Assim, serão gerados dois gráficos em janelas diferentes, ou seja, figura 1 (x1,y1) e 
figura 2 (x2, y2). 
 
 
 
 
EXEMPLO 6: 
>> t = 0 : pi/10 : 4*pi; 
>> y = sin(t); 
>> figure(1), plot(t,y,'r'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Função Seno') 
 
 
Fig. 1 – Gráfico plotado no exemplo 6 
 
EXEMPLO 7: 
>> z = log(t) 
>>figure(2),plot(t,z,'b'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Função
Logaritmo') 
 
 
Fig. 2 – Gráfico plotado no exemplo 7 
EXEMPLO 8: 
 >> w = exp(t); 
>>figure(3),plot(t,w,'g'),xlabel('Eixo x'),ylabel('Eixo Y'), grid, title('Função Exponecial') 
 
 
Fig. 3 – Gráfico plotado no exemplo 8 
 
EXEMPLO 9: 
>> plot(t, y, 'r',t,z,'b'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funções: Seno e 
logaritmica'), legend('Seno', 'Logaritmo') 
 
Fig. 4 – Gráfico plotado no exemplo 9 
 
 
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AULA 2 
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6. CARACTERÍSTICAS DOS CONSTITUINTES 
BÁSICOS DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Os elementos básicos que constituem os circuitos elétricos são os resistores, os 
indutores, os capacitores e as fontes de alimentação. Cada um desses elementos tem um 
comportamento bem definido com relação a determinadas grandezas elétricas, ou à 
variação destas. Em outras palavras, cada um desses elementos tem uma característica 
própria que relaciona, por exemplo, a corrente e a tensão em seus terminais. 
Para uniformizar, de forma prática, a análise dos sistemas que são constituídos 
por circuitos elétricos, busca-se as relações lineares entre as grandezas de estudo e as 
características dos componentes presentes. 
Deve-se observar que a linearidade, por vezes, está restrita ao modelo análise 
que se segue. Desse modo, o comportamento real dos componentes pode não seguir 
estritamente o modelo linear, passando este a ser apenas uma aproximação do que 
realmente acontece no componente, ou circuito. 
Nos itens a seguir, temos uma breve descrição dos elementos citados que 
auxiliará o entendimento de como dos métodos que podem ser usados na análise de 
circuitos com o MATLAB®. 
 
 6.1) O RESISTOR 
 O resistor é o componente mais simples de um circuito elétrico. Sua última 
finalidade é apenas a de dissipar potência. A propriedade que quantifica a capacidade de 
dissipação de potência de um resistor é denominada resistência elétrica. A resistência 
elétrica, para cada resistor, é uma constante que relaciona linearmente a tensão e a 
corrente nos terminais do componente. Dessa forma, para um resistor, as grandezas 
elétricas que se relacionam de forma linear são a tensão e corrente nos seus terminais. 
Essa relação é mais conhecida como Lei de Ohm e é expressa como: iRV .= , onde V e 
i são, respectivamente, a tensão e a corrente nos terminais do componente e R é o valor 
da sua resistência, cuja unidade de medida é o Ohm. A mesma relação se mantém entre 
os fasores de tensão Vˆ e corrente Iˆ para a análise do regime permanente senoidal, no 
domínio da freqüência: I V ˆˆ ⋅= R . 
 
Figura 5 - Símbolos elétricos para o resistor 
 
Fig. 6 - Relação linear entre V e i para um resistor com R = 20 Ohms. 
 
 
 
6.2 ) O CAPACITOR 
O capacitor é o componente dos circuitos que tem a propriedade de acumular 
energia em um campo elétrico. A “capacidade” que um dado capacitor tem para 
armazenar energia é quantificada por um atributo do mesmo denominado capacitância 
elétrica. A capacitância é uma constante que relaciona a carga acumulada pelo capacitor 
e a tensão sobre seus terminais. Sua unidade de medida é o faraday (F), onde 1 faraday 
= 1 columb/1 volt. 
Assim, para um capacitor de capacitância C, têm-se as duas mais importantes 
relações: 
V
QC = e 
dt
dVCi = . Portanto, no capacitor as grandezas que se relacionam de 
forma linear são: a carga acumulada e a tensão nos terminais e, por conseqüência, a 
corrente e a derivada da tensão com relação ao tempo. Para a análise do regime 
permanente senoidal, no domínio da freqüência, temos a seguinte relação entre os 
fasores tensão e corrente no capacitor: I V ˆ1ˆ ⋅=
Cjω
. 
 
 
Fig. 7 - Símbolo elétrico do capacitor 
 
 
 
Fig. 8 - Relação entre i e dV/dt para um capacitor com C = 10uF 
 
 
 6.3) O INDUTOR 
De forma análoga ao capacitor, o indutor é um outro elemento do circuito 
capaz de armazenar energia em um campo. A diferença é que o indutor armazena 
energia em um campo magnético. O parâmetro que descreve numericamente a 
capacidade de um indutor armazenar energia é denominado de indutância, que tem o 
henry como unidade de medida. 
Dado um indutor de indutância L, percorrido por uma corrente i, segue-se que 
a tensão V entre os seus terminais será dada por: 
dt
diLV .= . A proporcionalidade entre a 
tensão e a variação da corrente é a relação linear mais importante de um indutor, do 
ponto de vista da análise de circuitos. Para circuitos em regime permanente senoidal, no 
domínio da freqüência, temos a seguinte relação entre os fasores tensão e corrente no 
indutor: I V ˆˆ ⋅= Ljω . 
 
Fig. 9 - Símbolo elétrico do indutor 
 
 
 
Fig. 10 - Relação entre V e di/dt para um indutor com L = 50mH 
 
 6.4) FONTES DE ALIMENTAÇÃO 
As fontes de alimentação são as entidades presentes no circuito com a 
finalidade de fornecer energia aos componentes passivos, por esse motivo recebem a 
denominação de componentes ativos. As fontes podem ser classificadas de várias 
formas: fonte de corrente ou de tensão, DC ou AC, dependente ou independente. 
O funcionamento de um circuito está diretamente relacionado com os tipos de 
fonte nele presentes. Por conseguinte, a forma de análise escolhida para um determinado 
sistema também depende de quais tipos de fonte nele estão presentes. Por exemplo, 
quando se quer avaliar o comportamento de regime de um sistema alimentado por 
fontes senoidais, a representação fasorial das grandezas é a mais adequada. 
7 – FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DOS 
CIRCUITOS NA LINGUAGEM DO MATLAB® 
 
A ferramenta que geralmente se usa para reproduzir os parâmetros e as 
equações dos circuitos na linguagem do MATLAB® é o arquivo M-file. Um M-file é 
um arquivo de texto, salvo no computador com a terminação ".m", que contém um uma 
seqüência de comandos que pode ser executada pelo MATLAB®. Exemplificaremos a 
seguir a melhor maneira de se passar os dados de circuito para um M-file. 
 
 7.1) UM CIRCUITO RESISTIVO COM ALIMENTAÇÃO DC 
Observe o circuito resistivo simples mostrado na figura 7: 
 
Fig. 11 - Exemplo de circuito resistivo 
 
 
A partir desse circuito obtemos o seguinte sistema de equações lineares, cujas 
incógnitas são as correntes no circuito: 





=−−
−=⋅−⋅
−=⋅+⋅+
0321
233223
21231)41(
iii
VViRiR
VViRiRR
 
Observe que as equações foram escritas de forma literal. A vantagem de 
escrever as equações dos circuitos na forma literal é que, mesmo que os valores dos 
resistores e das fontes mudem, elas continuarão válidas. Dessa forma, poupa-se trabalho 
se for necessário analisar o desempenho do circuito para diversos valores dos 
componentes. Em seguida, temos o mesmo sistema na notação matricial: 
 










−
−
=










⋅










−−
−
+
0
23
21
3
2
1
111
230
0341
VV
VV
i
i
i
RR
RRR
 
 
 
Uma vez que as operações no MATLAB® são de característica matricial, ao se 
representar o sistema linear na forma de igualdade de matrizes BIA =⋅ , foi dado o 
passo final para a representação do problema na linguagem do mesmo. Temos a seguir 
o texto do código presente no arquivo M-file gerado para análise desse circuito: 
 
 
A saída gerada pelo MATLAB®® no prompt de comando, ao se executar o M-
file com o código mostrado anteriormente, é mostrada no retângulo interno ao retângulo 
com o trecho de código. 
 
 7.2) UM CIRCUITO EM REGIME SENOIDAL 
O conceito de fasor é de extrema importância na análise de circuitos no regime
senoidal, já que a maioria das grandezas terá forma ( ) )cos(tg ϕω +⋅= tA , onde A é a 
amplitude, ω é a freqüência angular e ϕ é a fase de g(t). O fasor Gˆ da grandeza g(t) é 
definido pela relação seguinte: 
 
ϕϕω ϕωϕ ∠=∴⋅=⇔⋅⋅=+⋅= AGeAGeeAtAtg jtjj ˆˆ}Re{)cos()(
 
Dessa forma, podemos entender um fasor como sendo um número complexo 
que guarda informação sobre a amplitude e o ângulo de fase de uma grandeza senoidal. 
Suponha agora que necessitamos encontrar o fasor da corrente que circula no 
circuito a seguir, em regime senoidal. 
 
Fig. 12 - Exemplo de circuito em regime senoidal 
 
Novamente, seguimos passos semelhantes aos realizados no exemplo anterior. 
Primeiramente determinamos as expressões literais, em termos de fasores, que o circuito 
deve obedecer. São elas: 
 IˆVˆ
Iˆ IˆXVˆ
Iˆ1IˆXVˆ
010Vˆ
LL
cc
s
⋅=
⋅=⋅=
⋅=⋅−=
°∠=
R
Ljj
Cjj
R
ω
ω
 
)(
VˆIˆ
Iˆ)(VˆVˆVˆVˆVˆ
s
sLcs
CL
CLR
jXjXR
jXjXR
−+
=⇒
⋅−+=⇒++=
 
 
 
Deste modo, como o problema consiste em apenas determinar o fasor da 
corrente no circuito, no M-file devem constar apenas os parâmetros do circuito e a 
última expressão para o fasor da corrente. Desse modo, temos a seguir o texto do código 
presente no M-file gerado para a resolução desse problema: 
 
 
 
Saída no prompt do MATLAB®: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
--------------------------------------------------------------- 
AULA 3 
--------------------------------------------------------------- 
 
8 - ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 Com o avanço da tecnologia, sentiu-se a necessidade da realização da análise de 
circuitos elétricos mais complexos. Em geral, são adotados métodos apropriados para 
análise de circuitos os quais possibilitam, de forma simplificada, a obtenção das 
correntes e tensões verificadas ao longo do circuito. 
 Dentre estes métodos, os mais conhecidos são o método das tensões de nó e o 
método das correntes de malha. Neste mini-curso serão explanados estes métodos e, em 
seguida, considerando as variações possíveis dos circuitos em questão, serão transcritos, 
para o prompt do MATLAB®, os comandos necessários para que seja possível a 
verificação das correntes e tensão de forma precisa através das potencialidades desta 
ferramenta matemática. 
 
8.1) MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ 
 O objetivo deste método é obter equações que descrevam o comportamento das 
tensões no circuito as quais são conhecidas como Equações das tensões de nó. Estas 
equações co-relacionam as tensões dos nós dos circuitos possibilitando uma análise 
adequada no mesmo. 
Para tanto, um procedimento simples deve ser seguido. Veja: 
 
1. Desenhar o circuito de forma que os ramos não se cruzem facilitando assim a 
assinalação dos nós essenciais as quais são os nós que possuem três ou mais 
elementos ligados; 
2. Escolher um dos três nós essenciais como nó de referência. Embora qualquer 
um dos nós essenciais possa ser escolhido como referência, geralmente 
existe um nó mais indicado para tal função; 
3. Nomear as tensões nos nós essenciais assinalados; 
4. Calcular as correntes que saem de cada um dos nós considerados em função 
das tensões dos nós do circuito; 
5. Considerando a lei de Kirchhoff, igualar a zero a soma das correntes que 
saem de cada nó essencial; 
6. A partir do passo 5, são obtidas as equações das tensões de nó. Sendo assim, 
tem-se um sistema linear em que as variáveis são as tensões de nó do 
circuito. Portanto, basta resolver este sistema linear da forma que lhe for 
mais conveniente. 
 
8.2) MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ + FONTES DEPENDENTES 
 Em vários casos, são encontradas fontes dependentes nos circuitos elétricos. 
Estas fontes possuem um comportamento que depende de valores assumidos por 
grandezas como correntes ou tensões em diferentes pontos do circuito. 
Muitas vezes, a primeira impressão que se tem é a de que a existência de fontes 
dependentes complica por demais a solução do circuito elétrico, porém, para tanto, basta 
seguir o mesmo procedimento para o caso de circuito sem fontes dependentes e então 
adicionar as equações impostas pela presença da fonte dependente às equações das 
tensões de nó encontradas. 
EXEMPLO 1 - Determinar as correntes aIˆ , bIˆ e cIˆ . 
 
Fig 13 - Circuito Usado para ilustrar o método das tensões de nó. 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Figura 9.34 pág 298 
 
( ) 2,216,10ˆ2,01,1ˆ
0
21
ˆˆ
10
ˆ
6,10
1
21
211
jVjV
j
VVV
Nó
+=−+
=
+
−
++−
→
 
0
5
ˆ20ˆ
5
ˆ
21
ˆˆ
2
2212
=
−
+
−
+
+
−
→
xIV
j
V
j
VV
Nó
 
21
ˆˆ
ˆ
:
21
j
VVI
mas
x +
−
=
 
( )
( )
( ) 



 +
=





⋅





+−
−+
=++−
0
2,216,10
ˆ
ˆ
6,08,45
12,01,1
:
0ˆ6,08,4ˆ5
:)2(
2
1
21
j
V
V
j
j
Assim
VjV
nódoSubstituin
 
SOLUÇÃO: 
80,1640,68ˆ1 jV −= V 
2668ˆ2 jV −= V 
AjI
Logo
a 68,184,6ˆ
:
−=
 
AjIb 92,1144,1ˆ −−= 
AjI c 6,132,5ˆ += 
No MATLAB®: 
 
 
8.3) MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA 
 Um outro método bastante utilizado na análise de circuitos elétricos é o Método 
das correntes de malha. A corrente de malha pode ser definida como sendo uma 
corrente que existe apenas no perímetro de uma única malha. Sendo assim, percebe-se 
que este método se aplica apenas a circuitos em que as malhas não possuem outras 
malhas em seu interior. Desta forma, ao longo da análise por este método, a lei de 
Kirchhoff é automaticamente satisfeita uma vez que em qualquer um dos nós do 
circuito, a corrente de malha que entra no nó é a mesma que sai. 
 Portanto, para solucionar circuitos através deste método das correntes de malha, 
deve-se seguir o seguinte procedimento: 
 
1. Utilizar setas as quais indicarão o sentido das correntes de malha do circuito. 
É preferível que se utilize o mesmo sentido para todas as malhas; 
2. Calcular as tensões sobre os componentes da malha em análise considerando 
a corrente resultante nos ramos comuns a duas malhas e dando um sentido 
preferencial para a corrente da malha em análise; 
3. Considerando a lei de Kirchhoff, igualar a zero a soma das tensões da malha 
fechada em questão; 
4. A partir do passo 3, são obtidas as equações necessárias para análise das 
correntes de malha. Sendo assim, tem-se um sistema linear em que as 
variáveis são as correntes de malha do circuito. Portanto, basta resolver este 
sistema linear da forma que lhe for mais conveniente. 
 
 
8.4) MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA + FONTES 
DEPENDENTES 
Quando existem fontes dependentes no circuito em análise, basta seguir o 
mesmo procedimento para o caso de circuito sem fontes dependentes e então adicionar 
as equações impostas pela presença da fonte dependente às equações das correntes de 
malha obtidas. 
 
EXEMPLO 2 - Determinar as correntes de malha indicadas no circuito a seguir. 
 
Fig 14 - Circuito Usado para ilustrar o método das correntes de malha. 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig. 9.36 pág. 299 
 
( ) ( )( )
( ) ( ) 150ˆ1612ˆ1413
150ˆˆ1612ˆ21
1
21
211
=−−−
=−−++
→
IjIj
IIjIj
Malha
 ( )( ) ( ) 0ˆ39ˆ31ˆˆ1612
2
212 =+++−−
→
xIIjIIj
Malha
 
21
ˆˆˆ
:
III
mas
x −=
 ( ) ( ) 0ˆ1326ˆ1627
:)2(
21 =+−+ IjIj
malhadoSubstituin
 
( ) ( )
( ) ( ) 




=





⋅





+−+
−−−
0
150
ˆ
ˆ
13261627
16121413
:
2
1
I
I
jj
jj
Assim
 
 
SOLUÇÃO: 
5226ˆ1 jI −−= A 
5824ˆ2 jI −−= A 
No MATLAB®:
8.5) CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON 
 Em diversos casos, durante a análise dos circuitos elétricos, o objetivo é obter o 
comportamento em pontos específicos do circuito. Ao ligar um forno em casa, não 
estamos preocupados com os efeitos sobre a tensão nas outras tomadas, ou seja, o nosso 
interesse limita-se a um par de terminais. 
 A teoria sobre análise de circuitos elétricos no domínio da freqüência apresenta 
métodos que facilitam bastante os procedimentos de solução dos mesmos uma vez que 
permitem uma fácil simplificação dos circuitos. Os circuitos equivalentes de Thévenin e 
Norton são circuitos simplificados que têm mesmo funcionamento do ponto de vista do 
par de terminais de interesse. Desta forma, pode-se afirmar que qualquer circuito 
elétrico composto por elementos lineares pode ser representados pelos seus respectivos 
circuitos equivalentes de Thévenin e Norton. 
 
Para determinar o circuito equivalente de Thévenin, deve-se seguir o seguinte 
procedimento: 
1. Calcular a tensão de circuito aberto ThVˆ entre os terminais “a” e “b” de 
interesse; 
2. Colocar uma fonte de corrente de 1A entre os terminais “a” e “b” e em 
seguida calcular a tensão sobre esta mesma fonte ccVˆ , curto-circuitando as 
fontes de tensão e abrindo os circuito nas fontes de corrente; 
3. Calcular a resistência de Thévenin através da expressão ccccTh V
VZ ˆ
1
ˆ
== ; 
Assim, obtém-se o seguinte circuito equivalente de Thévenin: 
 
 
Fig 15 – Circuito equivalente de Thévenin 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig. 9.25 pág. 295 
 
 O circuito equivalente de Norton é formado por uma fonte independente de 
corrente NI em paralelo com uma resistência NR . Considerando que este circuito 
equivalente pode ser obtido a partir do circuito equivalente de Thévenin, deve-se seguir 
o seguinte procedimento para obtenção do circuito de Norton: 
1. Calcular o circuito equivalente de Thévenin segundo o procedimento 
especificado anteriormente; 
2. Realizar transformação da fonte de tensão para fonte de corrente. Veja que 
neste caso, a resistência de Thévenin é igual à resistência de Norton. 
 
Assim, obtém-se o circuito equivalente de Norton mostrado a seguir: 
 
Fig 16 – Circuito equivalente de Norton 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig. 9.25 pág. 295 
 
EXEMPLO 3 - Determinar o circuito equivalente de Thévenin e em seguida, calcular 
a corrente por um resistor de 1 Ω inserido entre os terminais “a” e “b”. 
 
Fig 17 – Circuito para análise de circuitos equivalentes 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig 9.27 pág. 295 Exemplo 9.9 
1a transformação(tensão - corrente): )(31,124ˆ ParalelojZAjI Ω+=−= 
Paralelo das impedâncias: ( ) ( ) Ω+=Ω−+= 4,28,139//31 jjjZ 
2a transformação de fonte(corrente-tensão): )(4,28,1,1236ˆ SériejZVjV Ω+=−= 
Série das impedâncias: ( ) ( ) Ω+=Ω+++= 326,02,04,28,1 jjjZ 
 
Assim: 
( ) ( )[ ] Ajjj
jI 08,156,1
191032
1236
ˆ
0 +=
−++
−
= 
Calculando o circuito equivalente de Thévenin teríamos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) Ω+=+−=
−=+⋅−=⋅−=
84,263,232//1910
84,1812,3608,156,11910ˆ1910ˆ 0
jjjZ
VjjIjV
Th
Th
 
 
Então, adicionando o resistor de Ω1 , teríamos uma corrente de AjI 05,865,3ˆ1 −=Ω . 
 
 
 
No MATLAB®: 
 
 
8.6) O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 
 Ao longo deste material, foram vistos diversos tipos de circuitos. Dentre os 
circuitos apresentados, é possível perceber que o número de fontes de tensão e/ou 
corrente que alimentam os circuitos varia bastante. Num sistema elétrico de potência, 
por exemplo, existem vários geradores atuando na alimentação das cargas, fato este que 
evidencia a necessidade do engenheiro de conhecer os melhores caminhos para análise 
de um circuito com mais de uma fonte de alimentação. 
Geralmente, a solução de circuitos com múltipla alimentação torna-se bastante 
complexa, fato este que evidencia a necessidade de métodos que possam simplificar o 
procedimento de análise do circuito. 
De acordo com James W. Nilson e Susan A. Riedel, 2003, segundo o princípio 
da superposição, nos casos em que um sistema linear é excitado ou alimentado por 
mais de uma fonte de energia, a resposta total é a soma das respostas a cada uma das 
fontes agindo separadamente. Entretanto, em alguns casos o uso do princípio da 
superposição pode dificultar a solução do problema, de forma que é mais indicado para 
circuitos que possuem fontes independentes de tipos distintos (CA e CC). 
 
EXEMPLO 4 - Determinar as correntes indicadas no circuito a seguir através do 
princípio da superposição. 
 
Fig 18 – Princípio da superposição 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig. 4.62 pág. 106 
Substituindo inicialmente a fonte de corrente por um circuito aberto, temos: 
VV
VVV
30
0
4236
120
1
111
=
=
+
++
−
 � 
Aii
Ai
Ai
Logo
5
6
30
10
3
30
15
6
30120
:
43
2
1
==
′
=
′
==
′
=
−
=
′
 
Substituindo agora a fonte de tensão por um curto-circuito, temos: 
 
VV
VV
Logo
VVV
Também
VVVV
24
12
:
012
22
:
0
263
4
3
434
4333
−=
−=







=++
−
=
−
++
 
AVi
A
VV
i
AVi
AVi
Então
6
4
24
4
6
2
2412
2
4
3
12
3
2
6
12
6
:
4
4
43
3
3
2
3
1
−=
−
==
″
=
+−
=
−
=
″
−=
−
==
″
==
−
=
″
⇔ 
Aiii
Aiii
Aiii
Aiii
165
1165
6410
17215
444
333
222
111
−=−=
″+′=
=+=′+′=
=−=
″+′=
=+=″+′=
 
No MATLAB®: 
 
 
--------------------------------------------------------------- 
AULA 4 
--------------------------------------------------------------- 
9 - RESPOSTAS DOS CIRCUITOS RL E RC A UM 
DEGRAU 
Didaticamente, circuitos RL e RC alimentados por fontes contínuas são bastante 
utilizados em disciplinas que envolvem o estudo de circuitos elétricos. Sendo assim, 
neste tópico, explicitaremos a análise destes circuitos evidenciando seu comportamente 
sempre visando uma implementação do modelo através do MATLAB®. 
Cada circuito elétrico tem um comportamento distinto quando submetido à 
aplicação brusca de uma tensão ou corrente. Este comportamento é conhecido como 
resposta a um degrau. 
Neste caso, no exame da resposta dos circuitos RL e RC a um degrau, é possível 
verificar o comportamento destes circuitos durante a fase em que a energia está sendo 
armazenada no indutor ou capacitor. 
 
Resposta de um Circuito RL a um degrau 
Para este caso, a energia inicial do circuito é expressa como um valor inicial da 
corrente circulante pelo indutor, ou seja, ( )0i . Portanto, o objetivo desta análise é obter 
expressões para a corrente no circuito e para as tensões entre os terminais do indutor 
durante seu carregamento. 
Então temos: 
 
Fig 19 –Resposta a um degrau de um circuito RL 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig. 7.16 pág. 204 
Logo: 
dt
R
Vi
L
Rdi
dt
R
V
i
L
Rdt
dt
di
R
Vi
L
R
L
VRi
dt
di
dt
diLRiV
S
S
SS
S






−
−
=






−
−
=






−
−
=
+−
=
+=
 ⇔ 
( )
( )
t
L
R
R
VI
R
Vti
td
L
R
R
Vi
id
dt
L
R
R
Vi
di
Assim
S
S
ti
I
t
S
S
−
=






−






−
′
−
=






−
′
′
−
=






−
∫ ∫
0
0
ln
:
0
 
 
( )
t
L
R
S
S
e
R
VI
R
Vti
Logo
−
=






−






−
0
:
 ⇔ ( ) ( )tLRSS e
R
V
I
R
V
ti −





−+= 0 
 Considerando então que a tensão nos terminais do indutor é dada por 
dt
diLv = ⇔ ( ) ( )tLRS e
R
V
IL
Rv −





−−= 0 
As equações acima demonstradas dão suporte para as análises do circuito 
proposto. A seguir, exemplos de circuito RL alimentado por fonte CC resolvido 
analiticamente e através do MATLAB®. 
 
Resposta de um Circuito RC a um degrau 
Para o caso de um circuito RC, a energia inicial do circuito é expressa como um 
valor inicial da tensão sobre o capacitor, ou seja, ( )0V . Sendo assim, o objetivo desta 
análise é obter expressões para a corrente no circuito e para as tensões entre os terminais 
do capacitor durante seu carregamento. 
Então tomemos como exemplo: 
 
Fig 20 – Resposta a um degrau de um circuito RC 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig. 7.21 pág. 207 
 
Logo: 
( )
( )dtIRv
RC
dv
IRv
RCRC
v
C
I
dt
dv
C
I
RC
v
dt
dv
I
R
v
dt
dvC
SCC
SC
CSC
SCC
S
CC
.
1
.
1
−−=
−−=−=
=+
=+
 ⇔ 
( )
( ) ( )
( ) tRCIRV
IRtv
td
RCIRv
dv
Assim
S
SC
ttv
V SC
C
1
.
.ln
1
.
:
0
00
−=
−
−
′
−=





−
′
′
∫∫ 
 
( ) ( )
( )
t
RC
S
SC e
IRV
IRtv
Então
1
0 .
.
:
−
=
−
−
 ⇔ ( ) ( ) tRCSSC eIRVIRtv
1
0 ..
−
−+= 
 
 
 
Considerando então que a corrente circulante pelo capacitor é dada por 
⇒=
dt
dvCi C ( ) ( ) ⇒−−= − tRCS eIRVCRCti
1
0 .
1
 ( ) tRCS eR
VIti
1
0 −





−= 
 
As equações acima demonstradas dão suporte para as análises do circuito 
proposto. A seguir, exemplos de circuito RC alimentado por fonte CC resolvido 
analiticamente e através do MATLAB®. 
 
10 - RESPOSTA A NATURAL E A UM DEGRAU DE 
UM CIRCUITO RLC SÉRIE E PARALELO 
 A compreensão do funcionamento de circuitos RLC série ou paralelo é de 
grande relevância uma vez que, seu comportamento apresenta características semlhantes 
a inúmeros fenômenos abordados na engenharia elétrica. A resposta de circuitos deste 
tipo apresentam oscilações até entrarem em regime, oscilações estas semelhantes aos 
verificados em fenômenos de desligamento de transformadores, transitórios em sistemas 
de potência, controle de motores, entre outros. 
 As oscilações verificadas nas respostas destes circuitos a um degrau podem ser 
classificadas como: 
1. Super-amortecidas 
2. Sub-amortecidas 
3. Criticamente amortecidas 
A forma assumida pela resposta do circuito RLC, seja ele paralelo ou série, 
depende dos valores da freqüência de Neper (α ), a qual reflete o efeito da resistência 
no circuito, e da freqüência angular de ressonância ( 0ω ). Assim, dependendo dos 
valores destas freqüências, as soluções destes circuitos variam, apresentando diferentes 
comportamentos de amortecimento. Portanto, a seguir, é apresentado um procedimento 
simplificado para a obtenção da solução destes circuitos. Veja: 
1. Verificar os valores de α e de 0ω 
2. Verificar as condições a seguir: 
a. Se 20
2 ωα > � Superamortecido - A tensão ou corrente chega ao 
valor final sem oscilações; 
b. Se 20
2 ωα < � Subamortercido - A tensão ou corrente oscila antes 
de chegar ao valor final; 
c. Se 20
2 ωα = � Criticamente amortecido - A tensão ou corrente 
oscila antes de chegar ao valor final; 
3. Dependendo da classificação do amortecimento a partir do tópico anterior, 
utilizar as equações apresentadas na Tabela 1 como resposta do sistema. 
Amortecimento Equação da Resposta Natural 
Equações dos coeficientes - 
Resposta Natural 
Superamortecido ( ) tsts eAeAtx 21 21 += ( ) 210 AAx += 
Subamortecido ( ) ( ) tdd etBtBtx αωω −+= sincos 21 
( )
( )
22
0
21
1
:
0
0
αωω
ωα
−=
+−=
=
d
d
onde
BB
dt
dx
Bx
 
Criticamente 
amortecido 
( ) ( ) teDtDtx α−+= 21 
( )
( ) 21
2
0
0
DD
dt
dx
Dx
α−=
=
 
Amortecimento Equação da Resposta a um Degrau 
Equações dos coeficientes – 
Resposta a um degrau 
Superamortecido ( ) tstsf eAeAXtx 21 21 ++= ( ) 210 AAXx f ++= 
Subamortecido ( ) ( ) tddf etBtBXtx αωω −++= sincos 21 
( )
( )
22
0
21
1
:
0
0
αωω
ωα
−=
+−=
+=
d
d
f
onde
BB
dt
dx
BXx
 
Criticamente 
amortecido 
( ) ( ) tf eDtDXtx α−++= 21 
( )
( ) 21
2
0
0
DD
dt
dx
DXx f
α−=
+=
 
Equação característica: 
RLC série e paralelo 02
2
0
2
=++ ωαss 
Raízes 2
0
2
21, ωαα −±−=ss 
Tabela 1 – Equações das respostas de um circuito RLC em paralelo ou em série 
 
Sendo assim, utilizando o procedimento descrito, é possível solucionar os 
circuitos a seguir. No MATLAB®, as curvas podem ser evidenciadas. 
EXEMPLO 5 - Determinar a expressão de ( )tiL para R=400Ω, sabendo que a energia 
inicial do circuito é zero e que em t=0s, uma fonte de corrente de I=24mA é ligada ao 
circuito. 
 
Fig 21 – Resposta a um degrau de um circuito RLC paralelo 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pág. 256 e 257 
 
Valor inicial de Li : 
• Energia inicial zero, então ( ) .00 AiL =+ 
Valor inicial de 
dt
diL : 
• Energia inicial zero, então ( ) .00 =+
dt
diL
 
Verificando o tipo de amortecimento: 
• 
824
9
8
12
0
1025/105
254002
10
2
1
/1016
2525
101
⋅=⇒⋅=
⋅⋅
==
⋅=
⋅
==
αα
ω
srad
RC
srad
LC
 
Então, temos uma resposta do sistema superamortecida, pois 20
2 ωα > . 
Raízes: 
• 
srads
srads
/80000103105
/20000103105
44
2
44
1
−=⋅−⋅−=
−=⋅+⋅−=
 
Expressão: 
• ( ) tstsfL eAeAIti 21 21 ++= 
Mas: 
• 
( )
( )



=
−=
⇒
=+=
=++=
mAA
mAA
AsAs
dt
di
AAIi
L
fL
8
32
00
00
2
1
2211
21
 
Logo: 
• ( ) ( ) stmAeeti ttL 0,83224 8000020000 ≥+−= −− 
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10-3
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Gráfico do tempo versus corrente no indutor
Tempo(s)
Co
rr
en
te
 
no
 
in
du
to
r(A
)
 
 
 
11 - POTÊNCIA COMPLEXA 
 Existem inúmeros conceitos envolvidos no estudo de potências em circuitos 
senoidais, porém, no intuito de facilitar o entendimento desta análise trataremos apenas 
da potencia complexa a qual traz informações suficientes sobre a potência dos circuitos 
elétricos em análise. 
 A potência complexa, expressa em volt-ampère(VA), é dada pela soma entra a 
potência ativa (unidade W) com a potência reativa (unidade var) multiplicada por j. 
jQPS += 
 Uma das vantagens de se utilizar a potência complexa nas análises, é que esta 
permite uma análise geométrica, na qual é originado o triângulo de potência. Veja: 
 
Fig 22 - Triângulo de potência 
Fonte: Wikipédia 
 
A relação entre a potência útil do circuito (potência ativa) e a potência total do 
circuito(potência aparente) é denominada fator de potência. Sendo assim, o cosseno do 
ângulo ϕ é equivalente ao valor do fator de potência do circuito em questão. 
Então, considerando que tratam-se de potencias em circuitos senoidais, então as 
potências serão dadas por: 
22
:
sin
cos
QPS
onde
SQ
SP
+=
=
=
ϕ
ϕ
 
Fasorialmente, teríamos que a potência aparente é dada por: 
ϕ∠= SS 
Analiticamente, a potência pode ser demonstrada a partir das expressões da 
corrente e da tensão a seguir: 
( )
( )im
vm
tIi
tVv
θω
θω
+=
+=
cos
cos
 
 
 Então, desenvolvendo a expressão ivp ⋅= , obtém-se que a potencia total é dada por: 
tQtPPp ωω 2sin2cos −+= 
 
Portanto, no intuito de realizar o estudo da potência complexa em
circuitos 
elétricos, consideremos o seguinte exemplo: 
 
EXEMPLO 6 - Uma carga elétrica é alimentada com 240 Vrms. A carga consome uma 
potência média de 8kW com um fator de potência atrasado de 0,8. 
a) Calcule a potência complexa da carga. 
b) Calcule a impedância da carga. 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, pág 336 
SOLUÇÃO: 
a) 




=
=
θ
θ
sin
cos
SQ
SP
 6,0sin8,0cos
:
=⇒= θθ
mas
 ⇔ 
var6sin10
10
8,0
8
cos
:
kQ
kVAkPS
Logo
==
==
θ
θ
 
Logo: 
( )kVAjS 68 += 
 
b) 
( ) ( )
AI
Logo
WIP
IVIVP
eff
eff
effeffiveffeff
67,41
:
80008,0240
coscos
=
=⋅⋅=
=−= θθθ
 ⇔ 
o
eff
eff
Z
I
V
Z
Assim
87,3676,5
8,0cos
:
1
∠=
∠= − 
 
EXEMPLO 7 - Determinar as potências fornecidas pelas fontes de tensão do circuito 
do EXEMPLO 2 (Aula 3) para um circuito que opera com freqüência de 60Hz. 
 
Já temos conhecimento dos valores das correntes de malha do circuito. Perceba que as 
correntes que passam pelas fontes de tensão são 1ˆI e 2ˆI respectivamente. 
 
5226ˆ1 jI −−= A 
5824ˆ2 jI −−= A 
Assim, temos que: 
( ) ( )
( ) ( )
VAS
Ou
jS
jS
jS
IVS
o
indepfonte
indepfonte
o
indepfonte
o
indepfonte
indepfonteindepfonte
56,1167,8720
78003900
52260150
52260150
ˆˆ
_
_
_
*
_
*
1__
∠=
+−=
+−⋅∠=
−−⋅∠=
⋅=
 
( ) ( )
( ) ( )
VAS
Ou
jS
jjS
jIIIMas
jIS
IVS
o
depfonte
depfonte
depfonte
x
xdepfonte
depfontedepfonte
91,4056,15482
1014011700
58246239
62ˆˆˆ:
5824ˆ39
ˆˆ
_
_
_
21
*
_
*
2__
∠=
+=
−⋅−−=
−−=−=
−−−⋅⋅=
−⋅=
 
 
Plotando os diagramas fasoriais no MATLAB®, temos: 
 
 
 
--------------------------------------------------------------- 
AULA 5 
--------------------------------------------------------------- 
10 - RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS NO AMBIENTE MATLAB® 
EXERCÍCIO 1 - Determinar as potências associadas às três fontes do circuito. 
 
Fig 23 - Método das tensões de nó 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exercício 4.7 pág. 83 
RESPOSTAS: WPWPWP AiV 80,144,150 5350 1 === 
EXERCÍCIO 2 - Determinar ( )tv para fontes de tvs ωsin100= V e tI s ωcos10= A, 
sendo skrad /50=ω . 
 
Fig 24 – Método das tensões de nó 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exercício 9.17 pág 299 
RESPOSTA: ( ) ( )ottv 57,7150000cos62,31 −= V 
EXERCÍCIO 3 – Determinar as potência fornecidas pelas fontes de tensão. 
 
Fig 25 - Método das Correntes de Malha com fonte dependente 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig. 4.12 pág. 89 
RESPOSTA: ojI 95,307,29229ˆ ∠=+= A 
EXERCÍCIO 4 - Determinar Iˆ através do método das malhas. 
 
Fig 26 - Método das correntes de malha 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exercício 9.18 pág. 300 
RESPOSTA: ojI 95,307,29229ˆ ∠=+= A 
 
EXERCÍCIO 5 - Determinar 0v através do método da superposição. 
 
Fig 27 – Princípio da superposição 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 4.13 pág. 107 
RESPOSTA: 240 =v V 
 
EXERCÍCIO 6 - Em t=0s, a chave passa da posição “a” para a posição “b”. 
Determinar plotar ( )ti e ( )tv em função de t. 
 
Fig 28 – Respostado circuito RL 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 7.5 pág.205 fig. 7.19 
 
 
EXERCÍCIO 7 - Em t=0s, a chave passa da posição “a” para a posição “b”. 
Determinar plotar ( )ti e ( )tvC em função de t. 
 
Fig 29 – Resposta a um degrau de um circuito RC 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 7.7 pág.209 fig. 7.25 
 
EXERCÍCIO 8 - Em t=0s, a fonte I=24mA é ligada. Determinar a expressão de ( )tiL , 
para R=400Ω, 500Ω e 625Ω. Em seguida plotá-la no MATLAB®. 
 
 
Fig 30 – Resposta a um degrau de um circuito RLC paralelo 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pág. 256 e 257 
RESPOSTAS: ( ) ( ) stpmAeeti ttL 0/,83224 8000020000 ≥+−= −− 
( ) ( ) stpmAeteti ttL 0/,2496000024 4000040000 ≥−= −− 
( ) ( ) ( )[ ] stpmAteteti ttL 0/,24000sin3224000cos2424 3200032000 ≥−−= −− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG 
CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA – CEEI 
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA ELÉTRICA – UAEE 
 
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL – PET 
TUTOR: EDMAR CANDEIA GURJÃO 
 
 
 
 
 
MINI-CURSO: 
ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB® 
1ª Edição 
RESOLUÇÃO – EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
AUTORES: Felipe Vigolvino Lopes (PET-Elétrica/UFCG) 
 
 
Outubro de 2008 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 1 - Determinar as potências associadas às três fontes do circuito. 
 
Fig 23 - Método das tensões de nó 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exercício 4.7 pág. 83 
 
clear 
clc 
%---------------------------------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%---------------------------------------------------------------- 
 
fprintf('\nEXERCÍCIO 1\n') 
Vf=50; 
If=5; 
R1=6; 
R2=8; 
R3=2; 
R4=4; 
%Sistema Linear - A.x = B: 
A = [((4/R1)+(1/R2)+(1/R3)) -(1/R3);-((3/R1)+(1/R3)) ((1/R3)+(1/R4))]; 
B = [(4*Vf/R1);(If-(3*Vf/R1))]; 
V=A\B; 
%Tensões: 
V1=V(1); 
V2=V(2); 
%Potências: 
i1=((Vf-V1)/6); 
P50v=Vf*i1; 
P3i1=(V1-V2)*3*i1; 
P5A=V2*If; 
%Escrevendo as respostas: 
fprintf('Tensões:\n') 
fprintf('V1 = %.2fV\n',V1) 
fprintf('V2 = %.2fV\n',V2) 
fprintf('Potências:\n') 
fprintf('P50V = %.2fW\n',P50v) 
fprintf('P3i1 = %.2fW\n',P3i1) 
fprintf('P5A = %.2fW\n',P5A) 
 
 
RESPOSTAS: WPWPWP AiV 80,144,150 5350 1 === 
 
EXERCÍCIO 2 - Determinar ( )tv para fontes de tvs ωsin100= V e tI s ωcos10= A, 
sendo skrad /50=ω . 
 
 Fig 24 – Método das tensões de nó 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, 
Exercício 9.17 pág 299 
 
 
clear 
clc 
%---------------------------------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%---------------------------------------------------------------- 
 
fprintf('\nEXERCÍCIO 2\n') 
%Conversores de fase: 
rad=pi/180; 
graus=180/pi; 
%Fontes: 
tetaV=-90*rad;%(cos(a-90)=sin(a)) 
tetaI=0*rad; 
Vf=100*(cos(tetaV)+sin(tetaV)*i); 
If=10*(cos(tetaI)+sin(tetaI)*i); 
%Componentes: 
R1=5; 
R2=20; 
L=100e-6; 
C=9e-6; 
%Freqüência Angular: 
w=50e3; 
%Operador s: 
s=w*i; 
%Expressão fasorial para V: 
V=((Vf/R2)+If)/((1/R1)+(1/R2)+(s*C)+(1/(s*L))); 
%Tensões: 
Vmod=abs(V); 
VfaseRad=angle(V); 
VfaseGraus=VfaseRad*graus; 
%Escrevendo as respostas: 
fprintf('Tensão V(t):\n') 
fprintf('v(t) = %.2fcos(%.3fwt %+.2f)V\n',Vmod,w,VfaseGraus) 
 
dt=10e-7; 
tmax=1e-3; 
t=[0:dt:tmax]; 
v=Vmod*cos((w.*t+VfaseRad)); 
Vs=abs(Vf)*sin(w.*t); 
Is=abs(If)*cos(w.*t); 
plot(t,v,t,Vs,t,Is),grid 
title('gráfico - Exercício 2') 
xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitudes') 
legend('Tensão v(t)','Fonte de tensão','Fonte de corrente') 
 
RESPOSTA: ( ) ( )ottv 57,7150000cos62,31 −= V 
 
EXERCÍCIO 3 – Determinar as potência fornecidas pelas fontes de tensão. 
 
Fig 25 - Método das Correntes de Malha com fonte dependente 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Fig. 4.12 pág. 89 
 
clear 
clc 
%---------------------------------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%---------------------------------------------------------------- 
 
fprintf('\nEXERCÍCIO
3\n') 
%Fontes 
Vf1=25; 
Vf2=10; 
%Componentes: 
R1=2; 
R2=5; 
R3=3; 
R4=1; 
R5=14; 
%Sistema Linear: (A.x = B) 
A=[(R1+R2) (-R2) (-R1);(-R2) (R2+R3+R4) (-R3);(-R1) (2*R3) ((-
2*R3)+R1+R5)]; 
B=[(Vf1-Vf2);(Vf2);(0)]; 
I=A\B; 
I1=I(1); 
I2=I(2); 
I3=I(3); 
%Potências: 
Vphi=R3*(I2-I3); 
Vdep=(-3*Vphi); 
P25V=Vf1*I1; 
P10V=Vf2*(I2-I1); 
Pdep=Vdep*I3; 
%Escrevendo as respostas: 
fprintf('Potências:\n') 
fprintf('P25V = %.2f W\n',P25V) 
fprintf('P10V = %.2f W\n',P10V) 
fprintf('Pdep = %.2f W\n',Pdep) 
 
RESPOSTA: ojI 95,307,29229ˆ ∠=+= A 
 
 
EXERCÍCIO 4 - Determinar Iˆ através do método das malhas. 
 
Fig 26 - Método das correntes de malha 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exercício 9.18 pág. 300 
 
 
clear 
clc 
%---------------------------------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%---------------------------------------------------------------- 
 
fprintf('\nEXERCÍCIO 4\n') 
%Conversores: 
rad=pi/180; 
%Fontes 
Vfmod=33.8; 
VfFasegraus=0; 
VfFaseRad=VfFasegraus*rad; 
Vf=Vfmod*(cos(VfFaseRad)+sin(VfFaseRad)*i); 
%Componentes: 
R1=1; 
R2=3; 
R3=2; 
XL=2*i; 
XC=-5*i; 
%Sistema Linear: (A.x = B) 
A=[(R1+R2+XL+XC) -(R2+XC);((0.75*R3*XC)-(R2+XC)) (R2+R3+XC-
(0.75*R3*XC))]; 
B=[(Vf);(0)]; 
I=A\B; 
I1=I(1); 
I2=I(2); 
%Escrevendo as respostas: 
fprintf('Corrente(Retangular):\n') 
fprintf('I = %.2f %+.2fA\n',real(I1),imag(I1)) 
fprintf('Corrente(Polar):\n') 
fprintf('I = %.2f/_%+.2fA\n',abs(I1),angle(I1)*inv(rad)) 
 
 
RESPOSTA: ojI 95,307,29229ˆ ∠=+= A 
 
 
EXERCÍCIO 5 - Determinar 0v através do método da superposição. 
 
Fig 27 – Princípio da superposição 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 4.13 pág. 107 
clear 
clc 
%---------------------------------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%---------------------------------------------------------------- 
 
fprintf('\nEXERCÍCIO 5\n') 
%Fontes 
Vf=10; 
If=5; 
%Componentes: 
R1=5; 
R2=20; 
R3=10; 
%Sistema Linear: (A.x = B) 
for caso=1:2 
 if caso==1 
 A=[(inv(R1)+inv(R2)) (-0.4);(0) (inv(R3)+0.4)]; 
 B=[(0);(If)]; 
 V=A\B; 
 v0(1)=V(1); 
 vA(1)=V(2); 
 end 
 if caso==2 
 A=[(inv(R1)+inv(R2)) (-0.4);(0) (1+(0.4*R3))]; 
 B=[(Vf/R1);(0)]; 
 V=A\B; 
 v0(2)=V(1); 
 vA(2)=V(2); 
 end 
end 
%Tensão: 
V0=sum(v0); 
VA=sum(vA); 
%Escrevendo as respostas: 
fprintf('Corrente:\n') 
fprintf('IA = %.2f A\n',(Vf-V0)/R1) 
fprintf('Tensões:\n') 
fprintf('V0 = %.2f V\n',V0) 
fprintf('VA = %.2f V\n',VA) 
 
RESPOSTA: 240 =v V 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Tempo(s)
Am
pl
itu
de
Gráfico da corrente e tensão - no indutor
 
 
Corrente iL(A)
Tensão vL(V)
EXERCÍCIO 6 - Em t=0s, a chave passa da posição “a” para a posição “b”. 
Determinar plotar ( )ti e ( )tv em função de t. 
 
 
 
 Fig 28 – Respostado circuito RL 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, 
 Exemplo 7.5 pág.205 fig. 7.19 
 
 
clear 
clc 
%---------------------------------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%---------------------------------------------------------------- 
fprintf('\nEXERCÍCIO 6\n') 
%Tempo: 
tmax=1; 
dt=10e-7; 
t=[0:dt:tmax]; 
%Fontes 
Vs=24; 
R=2; 
L=200e-3; 
%Condições iniciais: 
I0=-8; 
%Corrente iL pelo indutor: 
iL=(Vs/R)+(I0-(Vs/R))*exp((-R/L).*t); 
%Tensão vL sobre o indutor(vL=L*diL/dt): 
vL=L*((-R/L)*(I0-(Vs/R))*exp((-R/L).*t)); 
%Plotando: 
plot(t,iL,t,vL),grid 
legend('Corrente iL(A)','Tensão vL(V)') 
xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitude') 
title('Gráfico da corrente e tensão - no indutor') 
 
RESPOSTA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 7 - Em t=0s, a chave passa da posição “a” para a posição “b”. 
Determinar plotar ( )ti e ( )tvC em função de t. 
 
Fig 29 – Resposta a um degrau de um circuito RC 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, 
 Exemplo 7.7 pág.209 fig. 7.25 
 
clear 
clc 
%---------------------------------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%---------------------------------------------------------------- 
fprintf('\nEXERCÍCIO 7\n') 
%Tempo: 
tmax=1; 
dt=10e-7; 
t=[0:dt:tmax]; 
%Fontes 
Vs=90; 
Vf=40; 
R=400e3; 
R1=60; 
R2=20; 
C=0.5e-6; 
%Condições iniciais: 
V0=(R1/(R1+R2))*-Vf;%Divisor de tensão 
%Transformação de fonte(Tensão-Corrente): 
Is=Vs/R; 
%Corrente iL pelo indutor: 
vC=(Is*R)+(V0-(Is*R))*exp((-1/(R*C)).*t); 
%Tensão vL sobre o indutor(iC=C*dvC/dt): 
iC=C*((-1/(R*C))*(V0-(Is*R))*exp((-1/(R*C)).*t)); 
%Plotando: 
figure(1),plot(t,iC),grid 
legend('Corrente iC(A)',0) 
xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitude(A)') 
title('Gráfico da corrente - no Capacitor') 
figure(2),plot(t,vC),grid 
legend('Tensão vC(V)',0) 
xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitude(V)') 
title('Gráfico da tensão - no Capacitor') 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 8 - Em t=0s, a fonte I=24mA é ligada. Determinar a expressão de ( )tiL , 
para R=400Ω, 500Ω e 625Ω. Em seguida plotá-la no MATLAB®. 
 
 
Fig 30 – Resposta a um degrau de um circuito RLC paralelo 
Fonte: Circuitos Elétricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pág. 256 e 257 
clear 
clc 
%-------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS 
% ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%-------------------------------------- 
fprintf('\nEXERCÍCIO 8\n') 
%Valores dos componentes e fontes: 
If=24e-3; %Fonte de corrente 
R=[400 625 500]; %Resistência 
C=25e-9; %Capacitância 
L=25e-3; %Indutância 
 
%Tempo máximo de simulação: 
tmax=0.4e-3; 
dt=10e-8; 
%Vetor tempo: 
t=[0:dt:tmax]; 
%Número de pontos: 
TAM=length(t); 
 
%Criando vetores: 
iL=zeros(1,TAM); 
didt=zeros(1,TAM); 
 
%Condições iniciais: 
iL(1)=0; 
didt(1)=0; 
 
%Varificando tipo de resposta: 
w0=sqrt(1/(L*C)); 
for k=1:3 
 alfa(k)=1/(2*R(k)*C); 
 %Eq. Característica: 
 poly=[1 (2*alfa(k)) (w0^2)]; 
 S=roots(poly); 
 s2(k)=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2a 
 s1(k)=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a 
 
 %Identificação do tipo de amortecimento: 
 alfaAux = (alfa(k)^2); 
 w0Aux = (w0^2); 
 if alfaAux > w0Aux 
 caso(k)=1;%Superamortecido 
 end 
 if alfaAux < w0Aux 
 caso(k)=2;%Subamortecido 
 end 
 if alfaAux == w0Aux 
 caso(k)=3;%Criticamente amortecido 
 end 
end 
 
for k=1:3 
 if caso(k)==1 
 %Obtendo coeficientes: 
 a=[1 1;s1(k) s2(k)]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 A=a\b; 
 A1=A(1); 
 A2=A(2); 
 
 %Simulação dos pontos: 
 for tempo=1:TAM 
 iL(tempo)=(If+A1*exp(s1(k)*t(tempo))+A2*exp(s2(k)*t(tempo))); 
 end 
 iL1=iL; 
 end 
 if caso(k)==2 
 %Obtendo coeficientes: 
 wd=sqrt((w0^2)-(alfa(k)^2)); 
 a=[1 0;(-alfa(k)) wd]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 B=a\b; 
 B1=B(1); 
 B2=B(2); 
 
 %Simulação dos pontos: 
 for tempo=1:TAM 
 iL(tempo)=If+(B1*cos(wd*t(tempo))+B2*sin(wd*t(tempo)))*exp((-
alfa(k))*t(tempo)); 
 end 
 iL2=iL; 
 end 
 if caso(k)==3 
 %Obtendo coeficientes: 
 a=[0 1;1 (-alfa(k))]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 D=a\b; 
 D1=D(1); 
 D2=D(2); 
 
 %Simulação dos pontos: 
 for tempo=1:TAM 
 iL(tempo)=(If+(D1*t(tempo)*exp((-
alfa(k))*t(tempo)))+(D2*exp((-alfa(k))*t(tempo))));
end 
 iL3=iL; 
 end 
end 
 
%Escrevendo as respostas: 
fprintf('\nRaízes - R=400ohm:\n') 
fprintf('s1 = %.3f\n',s1(1)) 
fprintf('s2 = %.3f\n',s2(1)) 
fprintf('Coeficientes:\n') 
fprintf('A1 = %.3f\n',A1) 
fprintf('A2 = %.3f\n',A2) 
fprintf('\nRaízes - R=625ohm:\n') 
fprintf('s1 = %.3f\n',s1(2)) 
fprintf('s2 = %.3f\n',s2(2)) 
fprintf('Coeficientes:\n') 
fprintf('B1 = %.3f\n',B1) 
fprintf('B2 = %.3f\n',B2) 
fprintf('wd = %.3f rad/s\n',wd) 
fprintf('alfa = %.3f rad/s\n',alfa(2)) 
fprintf('\nRaízes - R=500ohm:\n') 
fprintf('s1 = %.3f\n',s1(3)) 
fprintf('s2 = %.3f\n',s2(3)) 
fprintf('Coeficientes:\n') 
fprintf('D1 = %.3f\n',D1) 
fprintf('D2 = %.3f\n',D2) 
 
 
%Plotar graficos: 
plot(t,iL1,t,iL2,t,iL3),grid 
legend('Caso - R=400ohm','Caso - R=625ohm','Caso - R=500ohm',0) 
title('Gráfico da corrente no indutor versus tempo') 
xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)') 
 
 
FORMA ALTERNATIVA: 
Trata-se de uma resolução mais objetiva. Porém, para os usuários de menor 
experiência, torna-se uma resolução de compreensão mais difícil. 
 
clear 
clc 
%-------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS 
% ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%-------------------------------------- 
fprintf('\nEXERCÍCIO 8\n') 
%Valores dos componentes e fontes: 
If=24e-3; R=[400 625 500]; C=25e-9; L=25e-3; 
%Tempo máximo de simulação: 
tmax=0.4e-3; dt=10e-8; t=[0:dt:tmax]; 
%Condições iniciais: 
iL(1)=0; didt(1)=0; 
%Varificando tipo de resposta: 
w0=sqrt(1/(L*C)); 
for k=1:3 
 alfa(k)=1/(2*R(k)*C); 
 %Eq. Característica: 
 poly=[1 (2*alfa(k)) (w0^2)]; 
 S=roots(poly); 
 s2(k)=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2a 
 s1(k)=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a 
 
 %Identificação do tipo de amortecimento: 
 alfaAux = (alfa(k)^2); 
 w0Aux = (w0^2); 
 if alfaAux > w0Aux 
 %Superamortecido 
 a=[1 1;s1(k) s2(k)]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 A=a\b; 
 A1=A(1); 
 A2=A(2); 
 %Simulação dos pontos: 
 iL1=(If+A1*exp(s1(k).*t)+A2*exp(s2(k).*t)); 
 end 
 if alfaAux < w0Aux 
 %Subamortecido 
 %Obtendo coeficientes: 
 wd=sqrt((w0^2)-(alfa(k)^2)); 
 a=[1 0;(-alfa(k)) wd]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 B=a\b; 
 B1=B(1); 
 B2=B(2); 
 %Simulação dos pontos: 
 iL2=If+(B1.*cos(wd.*t)+B2.*sin(wd.*t)).*exp((-alfa(k)).*t); 
 end 
 if alfaAux == w0Aux 
 %Criticamente amortecido 
 %Obtendo coeficientes: 
 a=[0 1;1 (-alfa(k))]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 D=a\b; 
 D1=D(1); 
 D2=D(2); 
 %Simulação dos pontos: 
 iL3=(If+(D1.*t.*exp((-alfa(k)).*t))+(D2*exp((-alfa(k)).*t))); 
 end 
end 
%Escrevendo as respostas: 
fprintf('\nRaízes\n') 
fprintf('R=400.00ohm: R=625.00ohm: R=500.00ohm:\n') 
fprintf('s1=%.2f s1=%.2f s1=%.3f\n',s1(1),s1(2),s1(3)) 
fprintf('s2=%.2f s2=%.2f s2=%.3f\n',s2(1),s2(2),s2(3)) 
fprintf('Coeficientes:\n') 
fprintf('A1 = %.2f B1 = %.2f D1 = %.2f\n',A1,B1,D1) 
fprintf('A2 = %.2f B2 = %.2f D2 = %.2f\n',A2,B2,D2) 
fprintf('Freqüências auxiliares:\n') 
fprintf(' wd = %.2f rad/s\n',wd) 
fprintf('alf= %.2f rad/s alf= %.2f rad/s alf= %.2frad/s\n',alfa(1),alfa(2),alfa(3)) 
%Plotar graficos: 
plot(t,iL1,t,iL2,t,iL3),grid 
legend('Caso - R=400ohm','Caso - R=625ohm','Caso - R=500ohm',0) 
title('Gráfico da corrente no indutor versus tempo') 
xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)') 
 
3o MÉTODO – COM ENTRADA DE DADOS 
Neste caso, é possível entrar, através do prompt, com o valor da resistência. 
clear 
clc 
%-------------------------------------- 
%MINI-CURSO DE SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS 
% ELÉTRICOS NO AMBIENTE MATLAB 
%-------------------------------------- 
fprintf('\nEXERCÍCIO 8\n') 
%Valores dos componentes e fontes: 
R = input('Valor da resistência do circuito:\nR = '); 
If=24e-3; C=25e-9; L=25e-3; 
%Tempo máximo de simulação: 
tmax=0.4e-3; dt=10e-8; t=[0:dt:tmax]; 
%Condições iniciais: 
iL(1)=0; didt(1)=0; 
%Varificando tipo de resposta: 
w0=sqrt(1/(L*C)); 
 
alfa=1/(2*R*C); 
%Eq. Característica: 
poly=[1 (2*alfa) (w0^2)]; 
S=roots(poly); 
s2=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2a 
s1=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a 
 
%Identificação do tipo de amortecimento: 
alfaAux = (alfa^2); 
w0Aux = (w0^2); 
if alfaAux > w0Aux 
 %Superamortecido 
 fprintf('\nCaso: Superamortecido\n') 
 fprintf('\nRaízes - R=400ohm:\n') 
 fprintf('s1 = %.3f\n',s1) 
 fprintf('s2 = %.3f\n',s2) 
 a=[1 1;s1 s2]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 A=a\b; 
 A1=A(1); 
 A2=A(2); 
 %Simulação dos pontos: 
 iL=(If+A1*exp(s1.*t)+A2*exp(s2.*t)); 
end 
if alfaAux < w0Aux 
 %Subamortecido 
 fprintf('\nCaso: Subamortecido\n') 
 fprintf('s1 = %.3f\n',s1) 
 fprintf('s2 = %.3f\n',s2) 
 %Obtendo coeficientes: 
 wd=sqrt((w0^2)-(alfa^2)); 
 a=[1 0;(-alfa) wd]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 B=a\b; 
 B1=B(1); 
 B2=B(2); 
 %Simulação dos pontos: 
 iL=If+(B1.*cos(wd.*t)+B2.*sin(wd.*t)).*exp((-alfa).*t); 
end 
if alfaAux == w0Aux 
 %Criticamente amortecido 
 fprintf('\nCaso: Criticamente amortecido\n') 
 fprintf('s1 = %.3f\n',s1) 
 fprintf('s2 = %.3f\n',s2) 
 %Obtendo coeficientes: 
 a=[0 1;1 (-alfa)]; 
 b=[(iL(1)-If);didt(1)]; 
 D=a\b; 
 D1=D(1); 
 D2=D(2); 
 %Simulação dos pontos: 
 iL=(If+(D1.*t.*exp((-alfa).*t))+(D2*exp((-alfa).*t))); 
end 
%Plotar graficos: 
plot(t,iL),grid 
title('Gráfico da corrente no indutor versus tempo') 
xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)') 
 
 
RESPOSTAS: 
( ) ( ) stpmAeeti ttL 0/,83224 8000020000 ≥+−= −− 
( ) ( ) stpmAeteti ttL 0/,2496000024 4000040000 ≥−= −− 
( ) ( ) ( )[ ] stpmAteteti ttL 0/,24000sin3224000cos2424 3200032000 ≥−−= −− 
 
 
0 1 2 3 4
x 10-4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tempo(s)
Co
rr
en
te
 
no
 
in
du
to
r(A
)
Gráfico da corrente no indutor versus tempo
 
 
Caso - R=400ohm
Caso - R=625ohm
Caso - R=500ohm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
--------------------------------------------------------------- 
REFERÊNCIAS 
--------------------------------------------------------------- 
 
[1] Nilsson & Riedel, "Circuitos Elétricos", 6a edição, Ed. LTC – 
 Livros técnicos e científicos, 2003; 
[2] Duane Hanselman & Bruce Littlefiled, “MATLAB® 6 - Curso 
 Completo”, Ed. Prentice Hall, 2003; 
[3] Mathworks Inc. Student Edition of MATLAB Version 5 for 
 Windows. Prentice Hall,Upper Saddle River,New Jersey, 1997; 
[4] Hunt, B. R.; Lipsman, R. L.; Rosenberg, J. M.;A Guide To MATLAB 
 for Beginners and Experience Users. Cambridge, 1995. 
[5] Gaspar, P. D.; Santo, A. E.; APONTAMENTOS DE MATLAB - 
 Introdução ao MATLAB. Universidade da Beira Interior, Editora 
 Abril 2002. 
[6] Santos, R. J.. Introdução ao MATLAB.Universidade Federal de Minas 
 Gerais. 2005 
[7] http://www.mathworks.com/ 
[8] http://pt.wikipedia.org/wiki/MATLAB 
 
 
 
 
 
Esta apostila foi desenvolvida por alunos do PET – Elétrica/UFCG: 
 
Aula 1: 
Autor: Nustenil Segundo de M. L. Marinus 
 
Aula 2: 
Autor: Edson Porto da Silva 
 
Aulas 3, 4 e 5 + Resoluções dos exercícios da Aula 5: 
Autor: Felipe Vigolvino Lopes