prob

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

1
1
� Aplicações da Estatística
� População e amostra
� Conceito e divisão
� Síntese histórica
� Escalas de medida
� Classificação de variáveis
� Método científico e a Estatística
� Coleta de dados
Introdução
2
3
� Um político quer saber qual é o percentual de
eleitores que pretende votar nele nas próximas
eleições.
� Cientistas querem verificar se uma nova vacina
contra a dengue faz efeito.
� Uma montadora de automóveis quer verificar a
qualidade de um lote inteiro de peças fornecidas
através de uma pequena amostra.
Parte de perguntas/desafios do mundo real
4
MatériaMatéria--primaprima dada EstatísticaEstatística →→→→→→→→ variabilidade
É “difícil” encontrar duas coisas exatamente iguais
Objetivo da Estatística Objetivo da Estatística →→→→→→→→ A Estatística desenvolve métodos 
para descobrir e expor os padrões de comportamento 
(regularidade) que estão escondidos nos dados.
Definição de Estatística
� A estatística engloba um conjunto de métodos
científicos para:
� coleta, organização, resumo e análise de dados.
� obtenção de conclusões (suporte à tomada de decisão)
2
5
Limitações
���� A estatística não corrige erros grosseiros e
técnicas defeituosas. Como toda informação está
contida nos dados, se estes forem falsos ou viciados
será falsa qualquer conclusão que deles for retirada;
���� Não substitui o julgamento crítico do pesquisador.
“Algumas pessoas usam a estatística como um
bêbado usa um poste de iluminação, para servir de
apoio e não para iluminar.” Andrew Lang
6
�� PopulaçãoPopulação
�� AmostraAmostra
�� AmostragemAmostragem
Alguns conceitos básicos:
7
UnidadesUnidades
População:População: é o conjunto de todas as unidades 
(elementos) de interesse que têm pelo menos uma 
característica em comum. Pode ser finita finita ou infinitainfinita..
Exemplo: Pesquisas eleitorais no RS 
Característica definidora → votar no RS
População → conjunto de todos os eleitores que votam no RS
Unidade → o eleitor
8
AmostraAmostra é parte de uma população, 
convenientemente escolhida, que tem a 
finalidade de representá-la.
Deve apresentar as mesmas características da 
população.
AmostragemAmostragem é a metodologia de obtenção das 
amostras.
3
9
� Antes da eleição diversos órgãos de pesquisa e imprensa
ouvem um conjunto selecionado de eleitores para ter uma
ideia do desempenho dos vários candidatos nas futuras
eleições.
� Uma empresa metal-mecânica toma uma amostra do
produto fabricado em intervalos de tempo especificados para
verificar se o processo está sob controle e evitar a
fabricação de itens defeituosos.
� O IBGE faz levantamentos periódicos sobre emprego,
desemprego, inflação, etc.
� Redes de rádio e TV se utilizam constantemente dos índices
de popularidade dos programas para fixar valores da
propaganda ou então modificar ou eliminar programas com
audiência insatisfatória.
Exemplos
10
Por que fazer amostragem?
� população infinita
� diminuir custo
� aumentar velocidade na caracterização (medidas que variam no 
tempo)
� minimizar perdas por medidas destrutivas
Quanto amostrar? depende:
� da variabilidade original dos dados (maior variabilidade → maior n)
� da precisão requerida na estimação (maior precisão → maior n)
� do tempo disponível (menor o tempo → menor n)
� do custo da amostragem (maior o custo → menor n)
11
AmostragemAmostragem
Todos os elementos da população 
têm probabilidade conhecida e 
diferente de zero de participar da 
amostra. A realização deste tipo de 
amostragem só é possível se a 
população for finita e totalmente 
acessível.
Não probabilística:Não probabilística:
Probabilística:Probabilística:
Presença dos elementos na 
amostra deve-se a outros critérios. 
Por exemplo, quando somos 
obrigados a colher a amostra na 
parte da população a que temos 
acesso.
A amostragem probabilísticaprobabilística é a mais recomendável porque 
garante a imparcialidadeimparcialidade da amostra.
12
Amostragem não probabilística:Amostragem não probabilística:
Amostragem probabilística:Amostragem probabilística:
� Amostragem aleatória simples
� Amostragem aleatória estratificada
� Amostragem aleatória por conglomerados
� Amostragem aleatória sistemática
� Amostragem intencional
� Amostragem por quota
� Amostragem a esmo
4
13
Amostragem probabilística Amostragem probabilística –– aleatória simplesaleatória simples
� É equivalente a um 
sorteio de loteria;
� Considera a população 
homogênea;
� Cada elemento da 
população tem a mesma 
oportunidade de ser 
escolhido;
� Utilizam-se números 
aleatórios, programas 
computacionais, 
calculadoras, bolinhas 
numeradas, etc.
Exemplo: Imagine que você queira 
amostrar um número de pessoas que 
estão fazendo um determinado concurso 
com N inscritos. Devemos enumerar cada 
um dos N candidatos e sortear n deles.
Amostragem probabilística Amostragem probabilística –– estratificadaestratificada
� Quando a variável de interesse apresenta heterogeneidade na 
população e esta heterogeneidade permite a identificação de 
grupos homogêneos, divide-se a população em grupos (estratos) 
e faz-se uma amostragem dentro de cada estrato, garantindo, 
assim, a representatividade de cada estrato na amostra.
Exemplo: Podemos verificar 
que pesquisas eleitorais 
apresentam uma grande 
heterogeneidade em relação 
à intenção de votos, quando 
consideramos, por exemplo, 
a faixa salarial ou o nível de 
escolaridade.
14
15
Amostragem probabilística Amostragem probabilística –– por conglomeradospor conglomerados
� A população já é dividida em diferentes conglomerados (grupos), 
extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados, 
e não de toda a população. O ideal é que cada conglomerado 
represente tanto quanto possível o total da população.
� Os conglomerados são definidos em função da experiência do 
pesquisador. Geralmente, podemos definir os conglomerados por 
fatores geográficos, como por exemplo, bairros e quarteirões.
Exemplo: este tipo de 
amostragem é muito útil 
quando a população é 
grande, por exemplo, no 
caso de uma pesquisa 
em nível nacional.
16
Amostragem probabilística Amostragem probabilística –– sistemáticasistemática
� Quando os elementos da população se apresentam ordenados e 
a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente, temos 
uma amostragem sistemática.
� É de fundamental importância que a variável de interesse não 
apresente ciclos de variação coincidente com os ciclos de retirada, 
pois este fato tornará a amostragem não aleatória.
Exemplo: em uma linha 
de produção, podemos, 
a cada dez itens 
produzidos, retirar um 
para avaliar a qualidade 
da produção.
5
17
Amostragem não probabilística Amostragem não probabilística –– intencionalintencional
� A amostra pesquisada muitas vezes está disponível no local e no 
momento onde a pesquisa está sendo realizada.
� A seleção das unidades amostrais é deixada a cargo do 
pesquisador. Com base em seu julgamento, o pesquisador seleciona 
os elementos que julga mais representativos da população. 
Exemplos: 
• Para saber a preferência por determinado cosmético, o pesquisador 
entrevista os frequentadores de um grande salão de beleza.
• Para saber a aceitação em relação a uma nova marca de whisky a ser 
inserida no mercado, farão parte da amostra pessoas que façam uso da 
bebida e que tenham condições financeiras de comprar esta nova marca.
18
Amostragem não probabilística Amostragem não probabilística –– por quotapor quota
� A população é dividida em grupos, e seleciona-se uma cota 
proporcional ao tamanho de cada grupo. Entretanto, dentro de 
cada grupo não é feito sorteio, e sim os elementos são 
procurados até que a cota de cada grupo seja cumprida.
� As quotas asseguram que a composição da amostra seja
a 
mesma da população com relação às características escolhidas.
Exemplo: Em pesquisas eleitorais, a divisão de uma população em 
grupos (ex. sexo, escolaridade, idade e renda) pode servir de base para 
a definição dos grupos, partindo da suposição de que estas variáveis 
definem grupos com comportamentos diferenciados no processo 
eleitoral. Para saber o tamanho destes grupos, pode-se recorrer a 
pesquisas feitas anteriormente pelo IBGE.
19
Amostragem não probabilística Amostragem não probabilística –– a esmoa esmo
� É a amostragem em que o pesquisador, para simplificar o 
processo, procura ser aleatório sem, no entanto, realizar 
propriamente o sorteio usando algum dispositivo aleatório 
confiável.
� Os resultados da amostragem a esmo são, em geral, 
equivalentes aos da amostragem probabilística se não existir a 
possibilidade de o pesquisador ser inconscientemente 
influenciado por alguma característica da população. 
Exemplo: Se desejarmos retirar uma amostra de 100 parafusos de uma 
caixa contendo 10.000, evidentemente não faremos uma AAS, pois seria 
muito trabalhosa a tarefa de enumeração destes parafusos. Então 
retiramos simplesmente a esmo (sem regra) nossa amostra.
20
� Riscos da amostragem: o processo de
amostragem envolve riscos, pois toma-se
decisões sobre toda a população com base
em apenas uma parte dela.
� A teoria da probabilidade pode ser utilizada
para fornecer uma ideia do risco envolvido,
ou seja, do erro que se comete ao utilizar
uma amostra ao invés de toda a população.
6
21
�� DescritivaDescritiva
�� InferênciaInferência
Divisão da Estatística
22
Estatística Descritiva
�É a parte da estatística que cuida:
� da apresentação de dados através de 
tabelas e gráficostabelas e gráficos
� do resumo ou descrição de dados 
através de medidas descritivasmedidas descritivas
�Em geral, não tem por objetivos 
tirar conclusões.
23
� Métodos que propiciem a
realização das inferências sobre
populações a partir de amostras
delas retiradas, tendo por base o
cálculo das probabilidades
� Trabalha basicamente com dois
grandes tópicos:
�� estimaçãoestimação dede parâmetrosparâmetros e
�� testestestes dede hipóteseshipóteses
Inferência Estatística
24
�������� Existem indícios de que há mais de 2000 
anos a.C. já se faziam censos na Babilônia, 
na China e no Egito.
Informações históricas
�������� O objetivo do censo era saber o número
de pessoas disponíveis para fazer a 
guerra e para a cobrança de impostos.
24
�������� A Estatística teve origem na necessidade do Estado Político
conhecer os seus domínios.
�������� Sob a palavra Estatística, provavelmente derivada da palavra 
“status”“status” (estado, em latim), acumularam-se descrições e dados 
relativos ao Estado. Nas mãos dos governantes, a Estatística 
passou a constituir-se verdadeira ferramenta administrativa.
7
25
Jonh GrauntJonh Graunt
(1620 (1620 -- 1674)1674)
William Petty William Petty 
(1623 (1623 -- 1687)1687)
Resultado: o número de nascimentos de crianças
do sexo masculino era ligeiramente superior ao
de nascimentos de crianças do sexo feminino
25
�������� Século XVII →→→→ a aritmética política (demografia)
ganhou destaque na Inglaterra a partir das
tábuas de mortalidade de GrauntGraunt e PettyPetty.
Tábuas de mortalidadeTábuas de mortalidade: exaustivas 
análises de nascimentos e mortes
Esse levantamento originou o “DomesdayDomesday
BookBook” (Livro do dia do juízo final) que serviria 
de base também para o cálculo de impostos.
�������� Em 1085, Guilherme I, o Conquistador, ordenou que 
se fizesse um levantamento estatístico da 
Inglaterra, com informações sobre terras, 
proprietários, empregados e animais. 
26
�������� A partir das distribuições de probabilidade foi possível
a criação de técnicas de amostragem mais adequadas e
de formas de relacionarrelacionar asas amostrasamostras comcom asas populaçõespopulações.
�������� Outro marco decisivo no desenvolvimento da Estatística
foi o advento da computaçãocomputação, ferramenta que permitiu
que a Estatística ampliasse seus horizontes.
26
�������� Um grande avanço na 
teoria das 
probabilidades se deu, 
no início do século XIX, 
através dos estudos de 
LaplaceLaplace e GaussGauss que 
descreveram a famosa 
Distribuição NormalDistribuição Normal
f
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
estatura da população brasileira
estatura média
A maioria das A maioria das 
observações observações 
se concentra se concentra 
em torno da em torno da 
médiamédia
27
� Características e variáveis
� Escalas de medida 
� Classificação de variáveis
Conceitos fundamentais
27 28
�� CaracterísticaCaracterística é uma propriedade qualquer das 
unidades de uma população.
� Não há interesse nas unidades em si e sim nas suas 
características.
� Denominamos níveisníveis as alternativas para uma 
característica.
�� VariávelVariável é uma característica para a qual foi definida 
uma escala de medidaescala de medida..
Características e Variáveis
28
8
29
Escalas de medida
As variáveis podem ser expressas em quatro escalas 
distintas:
��NominalNominal
��OrdinalOrdinal
��IntervalarIntervalar
��Racional (de razão)Racional (de razão)
29 30
ExemplosExemplos
�� Sexo de estudantes (11 - Masculino, 22 - Feminino);
� Respostas do tipo sim ou não (00 - Não, 11 - Sim);
�� Nomes de cidades (11 - Porto Alegre, 22 - Canoas, 
33 - Viamão, 44 - Cachoeirinha, ...).
Escala nominal
Dados expressosDados expressos
em escala nominalem escala nominal
�������� Não é possível estabelecer Não é possível estabelecer 
qualquer relação de ordem entre elesqualquer relação de ordem entre eles
�������� Números não têm nenhum Números não têm nenhum 
significado para efeito de cálculos. significado para efeito de cálculos. 
Apenas a contagem por categoria faz Apenas a contagem por categoria faz 
sentido.sentido.
30
31
ExemplosExemplos
�� Grau de instrução:
1 1 - fundamental, 2 2 - médio, 3 3 - graduação e 4 4 -- pós-graduação
�� Classificação de alunos num teste de estatística:
1 1 - ruim, 2 2 - regular, 3 3 - bom e 4 4 - muito bom
�� Faixa etária:
1 1 - criança, 2 2 - jovem, 3 3 - adulto e 4 4 - idoso
Escala ordinal
Dados expressosDados expressos
em escala ordinalem escala ordinal
�������� É possível associar a eles É possível associar a eles 
valores que representam as ordensvalores que representam as ordens
�������� Diferenças entre valores não Diferenças entre valores não 
podem ser determinadas, ou não podem ser determinadas, ou não 
têm sentidotêm sentido
31 32
Escala intervalar
ExemploExemplo
�� Temperatura (em graus Celsius) : 5ºC, 10ºC 5ºC, 10ºC e 20ºC20ºC
Se em 3 dias consecutivos a temperatura atingir 5ºC, 10ºC e 20ºC num
certo horário, não faz sentido dizer que o 3º dia esteve 2 vezes mais
quente que o segundo ou 4 vezes mais quente que o primeiro.
O zero nesta escala é apenas uma convenção.
�������� Análogo à escala ordinal, mas Análogo à escala ordinal, mas 
possui uma unidade de medida que possui uma unidade de medida que 
permite determinar as diferenças permite determinar as diferenças 
entre os dadosentre os dados
�������� Não possui um ponto de partida Não possui um ponto de partida 
(zero) inerente(zero) inerente
Dados expressosDados expressos
em escala intervalarem escala intervalar
32
9
33
�������� Análogo à escala intervalar, Análogo à escala intervalar, 
com a propriedade adicionalcom a propriedade adicional de de 
ter um ponto de partida zero ter um ponto de partida zero 
inerente (que significa ausência inerente (que significa ausência 
de quantidade)de quantidade)
�������� Tanto as diferenças como as Tanto as diferenças como as 
razões têm significadorazões têm significado
� Pesos e estaturasPesos
e estaturas
� Distância percorrida em kmDistância percorrida em km
� Duração de filmesDuração de filmes
Dados expressosDados expressos
em escala racionalem escala racional
ExemplosExemplos
Escala racional
33 34
1º nível:1º nível: escala nominal
2º nível:2º nível: escala ordinal
3º nível:3º nível: escala intervalar
4º nível:4º nível: escala racional
Metodologia Metodologia 
EstatísticaEstatística
Operações Operações 
realizadasrealizadas
Escalas de medida
A complexidade e a informação A complexidade e a informação 
aumentam com o nível.aumentam com o nível.
34
Exercício proposto: Classifique as características 
abaixo quanto à escala de medida.
i) Idade
j) Nº de transações financeiras
k) Velocidade de um carro
l) Postos em um exército
m) Nº de peças com defeito em um lote
n) Altura de uma pessoa
o) Classe social
p) Valor de venda diária de uma empresa
a) Religião
b) Nº de vendas diárias de uma empresa
c) Distância entre duas cidades
d) Consumo mensal de energia elétrica
e) Estado civil
f) Nº da identidade
g) Temperatura de uma mistura
h) Estado de nascimento
35
1º nível:1º nível: escala nominal
2º nível:2º nível: escala ordinal
3º nível:3º nível: escala intervalar
4º nível:4º nível: escala racional
36
OrdinaisOrdinais
NominaisNominais
CategóricasCategóricas
NuméricasNuméricas
DiscretasDiscretas
ContínuasContínuas
VariáveisVariáveis
Classificação de variáveis
36
10
37
Variáveis categóricas Variáveis categóricas →→→→→→→→ descrevem qualidades 
(categorias ou classes)
NominaisNominais
Exemplos: sexo (masculino e feminino)
profissão (advogado, professor, médico, etc.)
região geográfica (norte, sul, sudeste, etc.)
→→→→→→→→ não há um sentido de ordem entre seus níveis
OrdinaisOrdinais
Exemplos: faixas de idade (criança, adolescente, adulto, idoso)
intensidade de cor (claro, médio, escuro)
nível de instrução (primário, secundário, universitário)
→→→→→→→→ há um sentido de ordem entre seus níveis
37 38
Variáveis numéricas Variáveis numéricas →→→→→→→→ seus valores são 
números reais (observados)
→→→→→→→→ descrevem dados discretos ou de enumeração 
(geralmente obtidos por processo de contagemprocesso de contagem)
→→ assumem valores inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, ...) 
Exemplos: número de carros sinistrados
número de pacientes que se recuperam
número de filhos de um casal 
→→→→→→→→ descrevem dados contínuos ou de mensuração 
(geralmente obtidos por processo de mediçãoprocesso de medição) 
→→→→→→→→ podem assumir qualquer valor dos reais (-10, 0, pi)
Exemplos: peso, altura, tempo, velocidade, temperatura 
DiscretasDiscretas
ContínuasContínuas
38
39
É de fundamental importância saber classificar 
corretamente uma variável porque esta 
discriminação é que irá indicar a possibilidade e 
a forma de utilização dos procedimentos 
estatísticos disponíveis. 
Porque classificar as variáveis
39
Exercício proposto: Classifique as variáveis abaixo.
i) Idade
j) Nº de transações financeiras
k) Velocidade de um carro
l) Postos em um exército
m) Nº de peças com defeito em um lote
n) Altura de uma pessoa
o) Classe social
p) Valor de venda diária de uma empresa
a) Religião
b) Nº de vendas diárias de uma empresa
c) Distância entre duas cidades
d) Consumo mensal de energia elétrica
e) Estado civil
f) Nº da identidade
g) Temperatura de uma mistura
h) Estado de nascimento
NuméricaNumérica
ContínuaContínua
DiscretaDiscreta
CategóricaCategórica
40
OrdinalOrdinal
NominalNominal
11
41
� Método científico e a Estatística 
� Coleta de dados
Estatística e a Ciência
� Nas pesquisas científicas precisamos coletar dados que
possam fornecer informaçõesinformações queque respondamrespondam nossasnossas
indagaçõesindagações
� Para que os resultados da pesquisa sejam confiáveis,
tanto a coletacoleta como a análiseanálise dosdos dadosdados devem ser feitas
de forma criteriosacriteriosa e objetivaobjetiva
� A metodologia estatística deve ser aplicadaaplicada nasnas
diversasdiversas etapasetapas da pesquisa
A estatística na pesquisa científica
42
43
Definição do problema, objetivosDefinição do problema, objetivos
Planejamento da pesquisaPlanejamento da pesquisa
Coleta dos dadosColeta dos dados
Análise dos dadosAnálise dos dados
ResultadosResultados
ConclusõesConclusões
MetodologiaMetodologia
estatísticaestatística
MetodologiaMetodologia
da área de da área de 
estudoestudo
Principais etapas da pesquisa científica
44
� Os dados são a basebase parapara aa tomadatomada dede decisõesdecisões
confiáveis durante a análise de um problema
� Os dados são úteis quando eles geram algum tipo de
açãoação. Por isso, é importante ter bem claro quais são os
objetivos da coleta de dados.
� Para a etapa de coleta de dados, o pesquisador deve
conhecer os métodosmétodos disponíveisdisponíveis, os tipostipos dede dadosdados que
podem ser coletados, as fontesfontes dede dadosdados e as formasformas dede
coletácoletá--loslos.
Coleta de Dados
12
45
a)a) DadosDados HistóricosHistóricos:: Dados disponíveis e mantidos
sem propósito específico de uso. Estão
disponíveis em agências coletoras de dados
(IBGE, por exemplo), em anuários, etc.
b)b) DadosDados dede pesquisapesquisa: Gerados para algum
propósito específico
- Levantamento por amostragem
- Experimento
- Estudo Observacional
- Censo
Métodos para obtenção de dados
46
�� LevantamentoLevantamento porpor amostragemamostragem:: Enumeração parcial de
uma parte da população. As unidades são escolhidas por um
procedimento específico que em geral envolve sorteio e a
pesquisa é conduzida segundo um plano previamente
estabelecido.
�� ExperimentoExperimento:: Pesquisa onde condições alternativas
(sistemas) são impostas com o propósito de avaliar
comparativamente seus efeitos.
�� EstudoEstudo observacionalobservacional:: Unidades são incluídas no estudo
segundo as circunstâncias. Comum na medicina, ciências
sociais.
�� CensoCenso:: Todas as unidades da população são observadas.
Notação somatório
� Variáveis numéricas estão presentes em quase
todas as pesquisas onde são aplicados métodos
estatísticos
� Como o processo de decisão é quase sempre
obtido em termos “médios” a notação soma
adquire uma grande importância na descrição
das metodologias.
47
i xi yi 
1 1 2 
2 0 1 
3 2 -2 
4 -1 1 
5 4 0 
 
ii é o número da observação, tal que 
i = 1i = 1,, 22,, ......,, nn
nn é o número total de observações
xxii é o valor da variável X para a observação i,
tal que xx11 = 1= 1,, xx22 = 0= 0,, ...... ,,xx55 = 4= 4
yyii é o valor da variável Y para a observação i,
tal que yy11 = 2= 2,, yy22 = 1= 1,, ...... ,,yy55 = 0= 0
xx(i)(i) é o valor da variável X para a observação i, 
tal que xx(1)(1) ≤≤≤≤≤≤≤≤ xx(2)(2) ≤≤≤≤≤≤≤≤ ......≤≤≤≤≤≤≤≤ xx(n)(n)
xx(1)(1) é o menor valor da variável X
xx(n)(n) é o maior valor da variável X
Notação somatório
48
13
�������� indica a soma sequencial de um conjunto de valores
∑
=
n
1i
ix
54321 xxxxx ++++=∑
=
5
1i
ix
somatóriosomatório
número das observaçõesnúmero das observações
limite inferior da somalimite inferior da soma
Valores que estão sendo somadosValores que estão sendo somados
limite superior da somalimite superior da soma
Somatório (ΣΣΣΣ)
A notação inclui todos os valores do intervalo e pode 
ser simplificada por Σ
∑
=
n
1i
49
Algumas quantidades de interesse:Algumas quantidades de interesse:
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1 xxxxx ++++=∑
=
5
1i
2
ix
( )254321 xxxxx ++++=






∑
=
25
1i
ix
5544332211 yxyxyxyxyx ++++=∑
=
5
1i
ii yx
( ) ( )5432154321 yyyyy.xxxxx
++++++++=∑∑
==
5
1i
i
5
1i
i y.x
50
Exercício proposto: Desenvolva os seguintes somatórios.
a) 54321
5
1i
i 2x2x2x2x2x2x ++++=∑
=
 (exemplo) 
b) =∑
=
10
6j
2
jf 
c) =+∑
=
6
3j
j c)(x 
d) =+∑
=
i
4
1i
2
i f2)(x 
e) =∑∑
==
3
1i
i
5
1i
i yk 
f) =∑
=
5
3i
iiyx4
1
 
g) =++ ∑∑
==
4
2i
i
4
2i
2
ii y)3y(x 
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6 fffff ++++
)cx()cx()cx()cx( 6543 +++++++
4
2
43
2
32
2
21
2
1 f)2x(f)2x(f)2x(f)2x( +++++++
)yyy()kkkkk( 32154321 ++++++ 
554433 yx4
1yx
4
1yx
4
1
++
)yyy(])y3x()y3x()y3x[( 432244233222 ++++++++
51