3ª Lista de Exercícios - Respostas

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Econometria II
Terceira Lista de Exercícios – Alberson da Silva Miranda
Primeira Questão – No que se refere às séries de tempo, responda:
O que é um processo estocástico?
O processo estocástico é uma coleção de variáveis randômicas. Isto porque essas variáveis poderiam adotar qualquer valor em uma determinada observação. Esta observação seria uma realização particular de todos os valores que a variável poderia assumir.
Que condições devem ser válidas para que um processo estocástico seja considerado estacionário?
De acordo com o livro-texto (Gujarati & Porter, 2011):
“Um processo estocástico será chamado de estacionário se sua média e variância forem constantes ao longo do tempo e o valor da covariância entre os dois períodos de tempo depender apenas da distância, do intervalo ou da defasagem entre os dois períodos e não do tempo real ao qual a covariância é computada.”
Existe alguma restrição quanto à utilização de séries temporais não estacionárias?
Séries temporais não estacionárias podem demonstrar correlação entre variáveis quando não deveria haver nenhuma, mesmo para grandes amostras (Yule, 1926). Esse fenômeno foi nomeado de Regressão Espúria, ou sem sentido. Ele é caracterizado por uma estatística d de Durbin-Watson muito baixa, que sugere uma autocorrelação de primeira ordem muito forte. Além disso, podem existir ilegítimos R² e estatística t significativas.
O que significa dizer que uma série de tempo é integrada de ordem um, isto é, I(1)?
Em geral, se uma série temporal não estacionária precisa ser diferenciada d vezes para tornar-se estacionária, denominamos essa série temporal integrada de ordem d. Nesse caso, a regressão precisa ser diferenciada uma vez para se tornar estacionária. Formalmente, .
Quais são as características de um processo (ou uma série):
Ruído Branco
Também chamado de puramente aleatório, o processo será de ruído branco se possuir média zero, variância constante e é serialmente não correlacionado. Se também independente, é chamado de estritamente de ruído branco.
Passeio aleatório
É uma série não estacionária em que a melhor previsão de uma variável explicada é a própria, defasada em um período, mais um choque puramente aleatório. Formalmente .
Em geral, se o processo iniciou-se em algum tempo zero com o valor de , podemos escrever:
Ou seja,
A média de será:
E sua variância:
Represente um passeio aleatório sem deslocamento e diga por que ele é não estacionário. Como você faria para torná-lo estacionário?
Ele não é estacionário porque sua variância não é constante, conforme demonstrado acima. Mas, se escrevermos da seguinte maneira:
Temos:
E:
Dessa forma fica claro que, apesar de não ser estacionária, sua primeira diferença o é.
Segunda Questão – Sobre o método Box-Jenkins, responda:
Quais etapas usadas na aplicação do método? Explique resumidamente cada uma delas.
Etapa I – Identificação
Neste estágio descobrem-se os valores apropriados de , e .
Aos observarmos os correlogramas acumulado e amostral, podemos compará-los aos padrões reconhecidos dos modelos AR, MA e ARMA.
Etapa II – Estimação
Estimar os coeficientes dos termos AR e MA no método adequado.
Etapa III – Verificação do diagnóstico
Realização de testes para verificar qual dos modelos encontrados alcança melhor performance.
Etapa IV – Previsão
Adotar, no modelo encontrado, superiores aos coletados na amostra e encontrar o valor de .
Na fase de diagnóstico, explique quais os principais testes que devem ser realizados.
Box-Pierce, Ljung-Box e Dickey-Fuller, para verificar se a série é estacionária; Jarque-Bera, para verificar a normalidade da distribuição; Breusch-Godfrey para autocorrelação; Ramsey para especificação.
Faça o mesmo para a fase de previsão.
Nesta fase se utiliza as medidas de acurácia para verificar qual dos modelos possíveis possui menor coeficiente de desigualdade. Os testes são MAPE e u de Theil.
E,
Terceira Questão – Autocorrelação
Esboce o correlograma da série com o intervalo de confiança.
Indique quais autocorrelações são estatisticamente diferentes de zero.
Ao ultrapassar o intervalo de confiança, a primeira defasagem apresenta autocorrelação diferente de zero estatisticamente relevante.
Quarta Questão – Estimação
Qual é o tipo (AR, MA ou ARMA) e qual a ordem do modelo?
Arma (2,2).
Escreva o modelo usando o operador de defasagem L.
Quinta Questão – Escreva de forma explícita os seguintes modelos:
AR(3)
MA(2)
ARMA(1,1)
ARMA(2,0)
ARIMA(2,1,1)
Sexta Questão – Identifique quanto ao tipo e ordem os seguintes modelos:
MA(1)
ARMA(2,2)
ARIMA(2,1,1)
ARMA(1,2)
AR(3)
Sétima Questão – Análise Gráfica
A partir de 2002, a série começa a mostrar crescimento exponencial. Isso significa que a média não é mais constante. Não mantendo as propriedades estatísticas constantes, há indícios de que a série seja não estacionária.
Oitava Questão – Dikey-Fuller Aumentado
O teste consiste em se estimar a seguinte equação:
Onde o número de diferenças defasadas é estendido até que o termo do erro seja não correlacionado. Podem ser usados os critérios de informação Akaike e Schwarz para definir essa extensão.
Como extensão do teste da raiz unitária, as hipóteses e estatística de teste permanecem as mesmas. Lembrando que :
 
Cada hipótese tem uma interpretação diferente dependendo dos parâmetros da equação a ser estimada. Para a hipótese nula e alternativa, respectivamente, se:
, é um passeio aleatório ou é estacionária com média zero;
, é um passeio aleatório com deslocamento ou é estacionária com média não zero;
, é um passeio aleatório com deslocamento em torno de uma tendência determinística ou é estacionária em torno de uma tendência determinística.
, é um passeio aleatório sem deslocamento em torno de uma tendência determinística ou é estacionária em torno de uma tendência determinística.
A estatística calculada é obtida através da divisão de por seu desvio padrão. Se menor que a estatística tabelada, não se rejeita a hipótese nula, do contrário a rejeitamos.
Nona Questão – O correlograma tem características de uma série estacionária ou não estacionária? Explique.
Não estacionária, porque uma série estacionária é um processo ruído branco, que tem por característica autocorrelações absolutas e parciais estatisticamente iguais a zero. No correlograma, as correlações absolutas anteriores à 12ª e posteriores à 32ª estão fora do intervalo de confiança.
Décima Questão – Dikey-Fuller Aumentado
Considerando que se utilizam os valores absolutos, em módulo, a série é não estacionária em nível e estacionária em primeira diferença.
Décima Primeira Questão – Estatística 
Se , rejeita-se . No caso, todos três valores críticos são superiores em módulo à estatística calculada. Portanto não se rejeita , a série apresenta raiz unitária, é não estacionária.
Décima Segunda Questão – Correlograma
Décima Terceira Questão – Ljung-Box
Há correlação estatisticamente relevante em ao menos uma defasagem
Se rejeitarmos a hipótese nula, a série temporal não será um ruído branco, portanto, não estacionária.
Décima Quarta Questão – Primeira Diferença
Quando aplicamos as primeiras diferenças de um par de séries, por exemplo, removemos as tendências de ambas as séries, aumentando as chances do par apresentar regressão espúria caso as séries não sejam cointegradas.
Além disso, ao obtermos as diferenças da série, perdemos as variáveis que gostaríamos de estimar em primeiro lugar e alcançamos apenas uma série de variações. Com isso, devemos ter o cuidado de modificar os dados obtidos em previsão, por exemplo, para então reinseri-los na série original.
Esse sacrifício das variáveis originais só toma lugar quando surge a necessidade estacionarizar uma série não puramente aleatória. Caso ela exiba ruído branco em nível, podemos trabalha-la sem necessidade de integração.
Décima Quinta Questão – Quais possíveis características podem estar presentes em regressões espúrias?
Além das características levantadas na terceira parte da primeira questão, as regressões espúrias também invalidam o teste de hipóteses dos coeficientes individualmente, pois a estatística calculada não mais segue a distribuição de Student.
Décima Sexta Questão – Cointegração
Primeiramente, estimamos a seguinte equação e obtemos seus resíduos:
Da mesma forma que os demais testes, estimamos a equação da forma puramente aleatória, com deslocamento ou com tendência determinística, ou ainda com ambas, e escolhermos a que obter melhor resultado de acordo com o teste.
O próximo passo é estabelecer a seguinte regressão com os resíduos obtidos:
Se , rejeita-se e os resíduos serão estacionários. Nessa situação, podemos descartar a suposição de regressão espúria e a série será cointegrada, ou seja, há uma relação de longo prazo ou de equilíbrio entre elas.
Décima Sétima Questão – Engle-Granger Aumentado
Nenhuma das estatísticas calculadas supera as estatísticas críticas. De acordo com as hipóteses formuladas acima, não podemos rejeitar a hipótese nula. Há raiz unitária no coeficiente do termo autoregressivo, significando que o resíduo é correlacionado serialmente. Isso implica que a série possa apresentar regressão espúria e não seja de fato cointegrada.
Décima Oitava Questão – MCE
Quando as séries são cointegradas, quer dizer que elas apresentam relação de longo prazo ou equilíbrio. Isso não quer dizer que as séries apresentarão relação em toda a série. Podem ocorrer variações no curto prazo que serão corrigidas para manter as séries no caminho do equilíbrio.
O Mecanismo de Correção de Erro implica em estimar um coeficiente que mede, em termos percentuais, o ajustamento do curto para o logo prazo.
Vigésima Questão – Quais características o MPL, Probit e Logit compartiham?
Nesses modelos, as variáveis dependentes geralmente são qualitativas e seus efeitos marginais são expressos por meio de probabilidade.
Vigésima Primeira Questão – Por que Logit e Probit são superiores ao MPL?
O MPL é estimado pelo MQO e este não é capaz de impor a restrição probabilística entre zero e um. Portanto, pode ser que os efeitos marginais estimados estejam abaixo de zero ou superiores a um, gerando inconsistência estatística.
Vigésima Segunda Questão – Por que os modelos Logit e Probit, em suas formas originais, não podem ser estimados por MQO?
Porque não são lineares nos parâmetros, violando uma das hipóteses do MCRLN.
Vigésima Terceira Questão – Logit
Vigésima Quinta Questão – Logit aplicado
Vigésima Sexta Questão – Probit Aplicado
Quando a rentabilidade aumentar para R$ 11, a probabilidade de se adotar a nova tecnologia aumenta em 1,26 pontos percentuais.