10. Inferência para Duas Populações - Parte III

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23/09/2013 
1 
Inferência para Duas Populações 
Parte III 
Luis A. Toscano 
Est-UFMG 
21 xx 















21
2
2121
11
),(~
nn
Normalxx 
• Seja X a variável aleatória que representa a característica de interesse em cada 
uma das populações. 
• O tamanho das amostras aleatórias independentes n1 e n2 podem, 
eventualmente ser iguais; 
• Estimador pontual de 1 - 2 é 
 
• Se ambas populações tiverem uma distribuição normal, ou se os tamanhos de 
amostra forem suficientemente grades a ponto de o Teorema Central nos 
permitir concluir que 
 
 
• Como a variância populacional 2 é desconhecida, precisará ser estimada. 
Caso 3: Amostras independentes com variâncias desconhecidos e iguais, 1 = 2 : 
Caso 3: Amostras independentes com variâncias desconhecidos e iguais, 1 = 2 : 
Considerando que são estimadores não viciados dessa variância, as 
usaremos para estimar uma combinação de variâncias: 
21
2/21
11
nn
Stxx c  
Onde (1 - ) é o coeficiente de confiança. 
Assim, uma estimação por intervalo da diferença de médias assumirá a seguinte 
forma 
2
2
2
1 SeS
)1()1(
)1()1(
21
2
22
2
112



nn
SnSn
SC
• Se nosso interesse é testar: 
211
210
:
:




H
H
H0 As médias populacionais são iguais; 
H1: As médias populacionais as médias não são iguais 
• As hipóteses em termos das medias populacionais  1 e 2 ; 
• A estatística de teste para testes de hipóteses sobre 1 - 2 com variâncias 
desconhecidos e 1 = 2 é a seguinte: 
Caso 3: Amostras independentes com variâncias desconhecidos e iguais, 1 = 2 : 
 
)2(
21
21
21
~
11



 nn
C
obs t
nn
S
xx
t
• Sob a hipótese H0 esta estatística tem uma distribuição t de Student. 
Caso 4: Amostras independentes com variâncias desconhecidos, 1 ≠ 2 : 
 
)(
2
2
2
1
2
1
21 ~ vobs t
n
S
n
S
xx
t



Sob a hipótese H0 esta estatística tem uma distribuição t de Student com v graus 
de liberdade, onde v é dado pela pela expressão: 
 
   
11 2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1





nn
v
n
S
n
S
n
S
n
S
Estatística do teste: 
• Duas tecnicas de venda são aplicadas por dois grupos de vendedores: a tecnica 
A, por 12 vendedores, e a tecnica B, por 15 vendedores. 
• Espera-se que a tecnica B produza melhores resultados. 
• No final de um mês, obtiveram –se os resultados da tabela abaixo. 
Tabela: Dados para duas tecnicas de vendas;
Dados Vendas
Tecnica A Tecnica B
Media 68 76
Variancia 50 75
Vendedores 12 15
• Vamos testar, para um nivel de siginificancia de 5%, se há diferença 
significativas entre as vendas resultantes das duas tecnicas. 
• Informações adicionais permitem supor que as vendas sejam normalmente 
distribuidas, com uma variancia comum 2 , desconhecida. 
Exemplo: Diferença entre Médias 
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2 
• Queremos testar as resistências de dois tipos de vigas de aço, A e B, têm a 
mesma resistência média (em t/cm2), ao nível de 10% de significância. 
• Tomando-se 15 vigas do tipo A e 20 vigas de tipo B, obtemos os valores na tabela 
abaixo. 
Exemplo: Diferença entre Médias 
Tabela: Médias e variâncias para dois tipos de vigas de aço 
Tipo Média Variância 
A 70,5 81,6 
B 84,3 246,3 
•Construa um intervalo de confiança de 90% para µd= µ1 -µ2. 
2
2
2
1
2
1
;2/21
n
S
n
S
txx v  
Onde (1 - ) é o coeficiente de confiança. 
O intervalo de confiança para a diferença de médias assumirá a seguinte forma