PESQUISA OPERACIONAL

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Aula - ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS.pdf
 1 
ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS 
 
 
Série Temporais: é uma seqüência de observações de uma variável qualquer ao longo do tempo. 
 
Objetivo: determinar se os dados apresentam algum padrão não-aleatório. 
 
Hipótese básica: é a de que os valores futuros da série podem ser estimados com base nos valores passados. 
 
 
Efeitos ou Comportamentos associados com uma série temporal: 
 
a) Efeito de Tendência: descreve um movimento suave, ao longo prazo, para cima ou para baixo. 
 
b) Efeito Cíclico: quando as variações apresentam certo grau de regularidade. Geralmente o horizonte 
de tempo observado é superior a um ano. 
 
c) Efeito Sazonal: são variações ciclicas a prazo relativamente curto (um ano ou menos), em geral 
relacionadas com a variação da época ou feriados. 
 
d) Efeitos Irregulares: são coisas tais como “atos de Deus”, greves, e tudo quanto reste após a 
consideração dos tres primeiros efeitos. 
 
 
MODELO CLÁSICO OU DA DECOMPOSIÇÃO 
 
Existem dois modelos para se explicar como os componetes combinam-se em uma série. O modelo aditivo e 
o mutiplicativo. 
 
Modelo Aditivo 
 
 Y = T + S + C + i 
Onde: 
 Y = é igual ao valor da série 
 T = componetente de tendencia 
 S = componente de sazonalidade 
 C = componente cíclico 
 i = residuo devido flutuações irregulares 
 
Cada uma das quantidades é expressa por valores de mesma unidade que se somam. 
 
Modelo Mutiplicativo 
 
 Y = T x S x C x i 
 
 O modelo mais utilizado (popular) é o modelo mutiplicativo. 
 Ele pode ser simplificado se admitirmos: 
o O horizonte de previsão é curto o suficiente para que estejamos sempre na mesma fase do 
cíclo de negocio (C = 1); 
o Os efetios sazonais e as variações ao acaso possam ser reunidos aproximadamente em um só 
evento; 
 
 Modelo simplificado final: Y = T x S 
 2 
Exemplo: Registro de vendas da Casa das Tintas Ltda durante os anos de 2007 a 2011, trimestre a 
trimestre, medidos em milhões de galõs vedidos, são: 
 
Ano 1° Trimestre 2° Trimestre 3° Trimestre 4° Trimestre TOTAL 
2007 12 10 8 18 48 
2008 15 14 10 21 60 
2009 25 18 15 27 85 
2010 28 19 17 33 97 
2011 31 23 20 37 111 
 
 
A Casa das Tintas está planejando uma expansão de suas instalações para 2006. Para tanto, precisa projetar a 
sua demanda para este ano, trimestre a trimestre. Determinar: 
 
a) a linda de tendência das vendas e o valor de T (Componete de Tendência) para os quatros trimestres 
de 2012. 
b) Os índices sazonais, ou seja, os valores dos índices S que deverão ser aplicados aos valores previstos 
pela linha de tendência. 
c) Os valores finais (corrigidos pelo efeito sazonal) das previsões para os quatro trimestres de 2012 ( 
YK = TK x SK ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
Solução: 
 Regressão linear simples: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 2012: 
 
1° trim. (t =21): Y(21) = 1,0263 . + 9,2737 = = T21 
2° trim. (t =22): Y(22) = 1,0263 . + 9,2737 = = T22 
3° trim. (t =23): Y(23) = 1,0263 . + 9,2737 = = T23 
4° trim. (t =24): Y(24) = 1,0263 . + 9,2737 = = T24 
 
a) Índices sazonais 
 
X Y Tendência 
(Tk) 
Y/Tk 
X Y Tendência 
(Tk) 
Y/Tk 
Período Demanda Período Demanda 
1 12 11 15 
2 10 12 27 
3 8 13 28 
4 18 14 19 
5 15 15 17 
6 14 16 33 
7 10 17 31 
8 21 18 23 
9 25 19 20 
10 18 20 37 
 
Y/Tk Média dos 
índices sazonais 
 Ano 2007 2008 2009 2010 2011 
1° Trimestre = S1 
2° Trimestre = S2 
3° Trimestre = S3 
4° Trimestre = S4 
 
b) Previsões corrigidas 
 
1° trim. de 2012 (t =21): Y(21) = T21 x S1 = x = 
2° trim. de 2012 (t =22): Y(22) = T22 x S2 = x = 
3° trim. de 2012 (t =23): Y(23) = T23 x S3 = x = 
4° trim. de 2012 (t =24): Y(24) = T24 x S4 = x = 
X Y X Y 
Período Demanda Período Demanda 
1 12 11 15 
2 10 12 27 
3 8 13 28 
4 18 14 19 
5 15 15 17 
6 14 16 33 
7 10 17 31 
8 21 18 23 
9 25 19 20 
10 18 20 37 
 
Vendas da Casa das Tintas
y = 1,0263x + 9,2737
R2 = 0,5654
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25
Aula 01 - Pesquisa Operacional.pptx
Aula 01 – Pesquisa Operacional
Abordagem Gerencial da Pesquisa Operacional
Carlos Frederico Ferreira
cfredferreira@hotmail.com
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Caruaru
Reflexão
	“Nada é tão difícil de fazer, tão perigoso de conduzir ou mais incerto em seus resultados do que tomar as rédeas para estabelecer uma nova ordem de coisas, por que aqueles que inovam têm por inimigos todos os que foram bem sucedidos no antigo estado de coisas e só encontram moderado apoio dos que poderão ser beneficiados com a nova situação.“
Maquiavel, em "O Principe"
Sumário
Introdução;
Definição da Pesquisa Operacional;
Notas Históricas;
Características Principais;
Conclusões.
Objetivos
Compreender os fundamentos da Pesquisa Operacional;
Endenter a importância e a evolução histórica da Pesquisa Operacional;
Reconhecer as aplicações da Pesquisa Operacional nas áreas do conhecimento, tais como finanças, auditoria, marketing, produção, etc.
Causa: apertar um interruptor
	Efeito: lâmpada acende
Causa: tomar uma aspirina
	Efeito: não surgimento de efeitos colaterais
Introdução
Pode o administrador depositar a mesma confiança na eficiência do seu sistema administrativo?
Introdução
Reduzirei os estoques a tal nível sem prejudicar o processo de produção a ponto de não mais poder atender aos meus consumidores?
Alterarei o sistema da distribuição do produto e obterei melhores resultados?
Em que ocasiões uma alteração é necessária ou desejável?
Introdução
Objetivo: Pesquisa Operacional
Compreender sistemas administrativos, de modo a poder-se, mais claramente, controlá-los.
A tarefa da PO é estudar os sistemas administrativos e compreender como controlá-los através de regras simples.
Conceito: Pesquisa Operacional
Conjunto de técnicas e métodos aplicados por equipes multidisciplinares para se determinar a melhor utilização de recursos limitados e para programação otimizada e planejamento das operações de uma empresa.
Conceito: Pesquisa Operacional
Técnicas, métodos e procedimentos orientados à descrição de um sistema organizado com o auxílio de um modelo,
 
Busca, através da experimentação do modelo, descobrir a melhor forma de operar o sistema;
Conceito: Pesquisa Operacional
PO é a aplicação do método científico a problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados e tem como finalidade obter as soluções que melhor satisfazem aos objetivos da organização, como UM TODO.
A PO se esforça ao máximo para discutir a incerteza, mas não a pode eliminar.
Conceito: Pesquisa Operacional
A PO firmou-se como uma atividade que pode colocar, a serviço da gerência, novas atitudes, novos conceitos e novas técnicas; ajudando a resolver problemas complexos e tomar decisões importantes.
Conceito: Pesquisa Operacional
PO é a aplicação de análises quantitativas dos problemas gerenciais. O objetivo da análise é encontrar as
melhores soluções dos problemas, isto é, escolher as boas decisões.
Pesquisa Operacional é a preparação científica das decisões, visando a modificação do binômio "Experiência -Intuição“ pela "Informação -Racionalidade".
Conceito: Pesquisa Operacional
A PO é um conjunto de métodos, que recorre a diversas disciplinas cientificas, com a finalidade de preparar as decisões que se devem tomar, determinar racionalmente as soluções mais eficientes (eficazes) ou as mais econômicas, recorrendo a procedimentos estatísticos e/ou matemáticos.
Conceito: Pesquisa Operacional
Em síntese a PO envolve:
Pesquisa sobre operações;
Aplicação de método científico por equipes interdiciplinares;
Apresenta novas atitudes, novos conceitos e novas técnicas
Aplicação de análises quantitativas aos problemas gerenciais;
Tomar decisões importantes (ou escolher as boas decisões)
Problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados;
Discutir a incerteza
Notas Históricas
Os caminhos da PO podem ser traçados a muitas décadas atrás, quando foi aplicada a administração cientifica às organizações.
Como a tendência natural é aumentar a complexidade e a especialização das organizações, torna-se mais e mais difícil alocar seus recursos disponíveis pelas suas várias atividades de maneira a obter a melhor eficiência para a organização.
Notas Históricas
O termo PO é geralmente atribuído aos serviços militares durante a Segunda Grande Guerra Mundial (1939).
Os dirigentes militares chamaram equipes de cientistas para estudar problemas estratégicos e táticos associados com a defesa aérea e terrestre do país.
Seu objetivo era determinar a melhor utilização efetiva dos recursos militares limitados.
Exemplo:
Otimização dos procedimentos relacionados ao estabelecimentos de preços a serem pagos pelos clientes numa firma empreiteira:
Depto de Vendas: recebe consultas dos clientes; estabelece preço final.
Depto de Engenharia de Produção: determina o custo de produção.
	Estudo do trabalho: verifica as rotinas de trabalho a fim de simplificá-las e dar-lhes uma maior celeridade 
Exemplo:
Papel da pesquisa operacional:
Estudar o sistema global que envolvia o depto. de vendas e produção a fim de elaborar técnicas que levem a redução das demoras.
Foram feitos estudos que mostraram quantas pessoas seria necessário empregar e como deveria ser organizada a rotina para que nenhum trabalho excedesse um número determinado de horas e, por outro lado, nenhum funcionário tivesse longos períodos de ociosidade. 
Exemplo:
Montagem de uma oficina para a produção de artigos têxteis diversos:
Administração da produção: define métodos de trabalho, rotinas de operação, etc.
PO: auxilia na determinação das dimensões ótimas da oficina, do número de equipamentos e operadores, dos métodos ótimos de esquematizar a produção, etc.
Características Importantes
Administração da produção, estudo do trabalho, contabilidade gerencial, etc.
Pesquisa Operacional
Instrumento quantitativo que se ocupa do sistema global, orientando a tomada de decisão quando predominam situações de incerteza.
Principais referências bibliográficas
Título/Periódico
Autor
Local
Editora
Ano
PesquisaOperacional na Tomada de Decisões
LACHTERMACHER, Gerson
Rio de Janeiro
Elservier
2002
Pesquisa operacional para decisão em contabilidade e administração
CORRAR,LuizJ.; THEÓPHILO,Carlos Renato.
São Paulo
Atlas
2004
Pesquisa Operacional
TAHA,HamdyA.
São Paulo
Pearson/ Prentice Hall
2007
Aula 01 – Pesquisa Operacional
Abordagem Gerencial da Pesquisa Operacional
Carlos Frederico Ferreira
cfredferreira@hotmail.com
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Caruaru
Aula 04 - Pesquisa Operacional.pptx
Aula 04 – Pesquisa Operacional
CORRELAÇÃO LINEAR
Carlos Frederico Ferreira
cfredferreira@hotmail.com
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Caruaru
Sumário
Introdução;
Definição e distinção: correlação e regressão;
Gráfico de dispersão e tipos de correlação;
Coeficiente de correlação;
Conclusões.
Objetivos
Compreender e estabelecer a relação entre duas variáveis quantitativas (dependentes e independentes);
Entender os procedimentos para obtenção e interpretação do coeficiente de correlação linear
Reconhecer as aplicações e limitações da correlação linear para utilização nas diversas áreas do conhecimento, tais como finanças, auditoria, marketing, produção, etc.
Na análise de bancos de dados, frequentemente se torna necessário comparar duas distribuições, de maneira a avaliar seu grau de relação.
Entretanto, a análise gráfica com seus respectivos sumários estatísticos, revela apenas a existência de diferenças mais evidentes.
E se duas distribuições forem semelhantes, quais os recursos para avaliar as diferenças mais sutis entre elas?
Introdução
Assim, o próposito desse estudo é apresentar ferramentas que permitam entender melhor o comportamento de dois conjuntos de valores
Além disso, objetiva-se, quando possível, fazer alguma predição ou projeção usando uma variável em funçao da outra.
Introdução
Estudar a relação entre duas variáveis quantitativas. Exemplos:
	
Objetivo
Idade e altura das crianças;
Taxa de desemprego e taxa de criminalidade;
Horas de treinamento e número de acidentes;
Cigarros fumados por dia e capacidade pulmonar;
Quantificando a força dessa relação:
	correlação.
Explicitando a forma dessa relação:
	regressão.
 A presença ou ausência de relação linear pode ser investigada sob dois pontos de vista:
Conceito
Mapas de dispersão e tipos de correlação
Representação gráfica de duas variáveis quantitativas: Diagrama de dispersão;
Esse gráfico é construído anotando, em sistema de coordenadas retangulares, os pontos correspondentes aos pares de observação de X e de Y.
Mapas de dispersão e tipos de correlação
Mapas de dispersão e tipos de correlação
 De forma simplificada, existe três padrões que podem ser observados em gráficos de dispersão:
Correlação positiva;
Correlação negativa;
Ausência de correlação.
Mapas de dispersão e tipos de correlação: 
Correlação negativa: à medida que x cresce, y decresce
x = horas de treinamento
y = número de acidentes
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Horas de treinamento
Acidentes
Mapas de dispersão e tipos de correlação
Correlação positiva: à medida que x cresce, y cresce também 
Média de notas 
na graduação
4,00
3,75
3,50
3,00
2,75
2,50
2,25
2,00
1,50
1,75
3,25
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
Nota no vestibular
x = nota no vestibular
y = média de notas na graduação
Mapas de dispersão e tipos de correlação
Não há correlação linear.
x = altura y = QI
160
150
140
130
120
110
100
90
80
60
64
68
72
76
80
Altura
QI
Mede a intensidade e a direção da 
relação linear entre duas variáveis.
O intervalo de r vai de –1 a 1. 
Se r está próximo de 1, há uma forte correlação positiva.
Se r está próximo a –1, há uma forte correlação negativa.
Se r está próximo de 0, não há correlação linear.
–1
0
1
Coeficiente de correlação
14
Coeficiente de correlação
 x y
 8 	78
 2 	92
 5 	90
12 	58
15 	43
 9 	74
 6 	81
Faltas
Nota
final
95
90
85
80
75
70
65
60
55
45
40
50
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Nota final
X
Faltas
15
Coeficiente de correlação
6.084
8.464
8.100
3.364
1.849
5.476
6.561
624 
184
450
696 
645
666
486
57
516
3.751
579
39.898
 1 8 78
 2 2 92
 3 5 90
4 12 58 
 5 15 43
 6 9 74
 7 6 81
 64
 4
 25
144
225
 81
 36
xy
 x2
y2
Cálculo de r
x y
16
Coeficiente de correlação
Cálculo de r
(3.751)
(39.898)
13.030
0,975
3.155
Obs.: O coeficiente de correlação r indica a intensidade de uma relação linear. Não mede, portanto, a intensidade de relações não-lineares.
17
Suposições
1. A amostra de Dados Emparelhados (x,y) é aleatória;
2. Os pares de dados (x,y) têm Distribuição Normal Bivariada (significa que para qualquer valor fixo de x os valores correspondentes de y têm distribuição em forma de sino e que para qualquer valor fixo de Y os valores correspondentes de x têm distribuição em forma de sino).
18
Erros comuns na interpretação:
Concluir que a Correlação implica em CAUSALIDADE ⇒pode haver uma variável oculta que afeta as variáveis em estudo que não esta sendo levada em consideração.
Usar como dados TAXAS e MÉDIAS ⇒suprimimos a variação entre indivíduos o que inflaciona o coeficiente.
Concluir que não há correlação entre as variáveis porque não há correlação linear significativa ⇒as variáveis podem ter outro tipo de relação não linear.
Exemplo:
Os dados abaixo referem-se ao volume de precipitação pluviométrica e ao volume de produção de leite tipo C, em determinada região do país:
Anos
Produção de Leite C
(1.000.000 l)
Índice Pluviométrico
(mm)
1970
26
23
1971
25
21
1972
31
28
1973
29
27
1974
27
23
1975
31
28
1976
32
27
1977
28
22
1978
30
26
1979
30
25
Exemplo:
Existe correlação entre a quantidade de leite produzido e o índice pluviométrico?
Y
X
X2
XY
Y2
26
23
529
598
676
25
21
441
525
625
31
28
784
868
961
29
27
729
783
841
27
23
529
621
729
31
28
784
868
961
32
27
729
864
1024
28
22
484
616
784
30
26
676
780
900
30
25
625
750
900
Y = 289
X = 250
X2= 6.310
XY = 7.273
Y2= 8.401
Exemplo:
Existe correlação entre a quantidade de leite produzido e o índice pluviométrico?
	 
	
Exemplo:
Os dados abaixo representam o Consumo e a Renda Disponível. Qual é a relação existente entre o Consumo e a Renda?
Anos
Consumo (Y) (R$ milhões)
Renda (X) (R$ milhões)
1960
159,3
188,3
1961
170,6
202,6
1962
187,2
215,4
1963
196,9
222,7
1964
198,2
243,1
1965
208,8
259,9
1966
221,0
256,3
1967
228,8
280,0
1968
247,6
296,1
1969
255,1
300,8
1970
274,3
326,6
1971
293,4
347,9
1972
301,6
375,1
1973
330,6
400,7
Exemplo:
Resolução:
Y
X
X2
XY
Y2
159,3
188,3
35456,9
29996,2
25376,5
170,6
202,6
41046,8
34563,6
29104,4
187,2
215,4
46397,2
40322,9
35043,8
196,9
222,7
49595,3
43849,6
38769,6
198,2
243,1
59097,6
48182,4
39283,2
208,8
259,9
67548,0
54267,1
43597,4
221,0
256,3
65689,7
56642,3
48841,0
228,8
280,0
78400,0
64064,0
52349,4
247,6
296,1
87675,2
73314,4
61305,8
255,1
300,8
90480,6
76734,1
65076,0
274,3
326,6
106667,6
89586,4
75240,5
293,4
347,9
121034,4
102073,9
86083,6
301,6
375,1
140700,0
113130,2
90962,6
330,6
400,7
160560,5
132471,4
109296,4
Y = 3.273,4
X = 3.915,5
X2= 1.150.349,7
XY = 959.198,4
Y2= 800.330,2
Exemplo:
Resolução:
Novamente verificamos uma forte correlação positiva. Sendo assim, podemos supor que existe uma tendência de aumento do consumo em função do aumento da renda, isto é, quanto maior o consumo maior será a renda
Principais referências bibliográficas
Título/Periódico
Autor
Local
Editora
Ano
Estatística Aplicada
LARSON, Ron e FARBER, Betsy
São Paulo
Pearson Prentice Hall
2004
Pesquisa operacional para decisão em contabilidade e administração
CORRAR,LuizJ.; THEÓPHILO,Carlos Renato.
São Paulo
Atlas
2004
Estatística aplicada à administração e economia.
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.
São Paulo
Pioneira Thomson.
2002
Aula 04 – Pesquisa Operacional
CORRELAÇÃO LINEAR
Carlos Frederico Ferreira
cfredferreira@hotmail.com
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Caruaru
Aula 05 - Pesquisa Operacional.pptx
Aula 05 – Pesquisa Operacional
ANÁLISE DE REGRESSÃO
Carlos Frederico Ferreira
cfredferreira@hotmail.com
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Caruaru
Sumário
Introdução;
Análise de regressão;
Coeficiente de determinação;
Erro padrão estimativa;
Conclusões.
Objetivos
Entender os conceitos básicos de regressão linear simples, regrssão linear múltipla e regressão não-linear;
Compreender a lógica da resolução de problemas que envolvem regressões;
Identificar situações em que se possam aplicar as técnicas discutidas;
Solucionar problemas que envolvem regressões.
Introdução
Correlação ⇒ Determinar SE havia correlação linear significativa entre duas variaveis.
Importância⇒ a presença de uma correlação pode conduzir-nos a um método para estimar uma variável a partir da outra.
Introdução
REGRESSÃO ⇒ DESCREVE a relação traçando um gráfico e determinando a Equação da reta que representa a relação;
Análise de regressão: metodologia estatística que estuda (modela) a relação entre duas ou mais variáveis;
Análise de regressão
Construir um modelo de regressão linear de Y sobre X consiste em obter, a partir desses valores, uma reta que melhor represente a relação verdadeira entre essas variáveis; 
A determinação dos parâmetros dessa reta é denominada ajustamento; 
O processo de ajustamento deve partir da escolha da função através da qual os valores de X explicarão os de Y; 
Para isso recorre-se ao gráfico conhecido como diagrama de dispersão.
Análise de regressão
Tempo de reação  variável dependente ou resposta
	 idade  variável independente 
 
	modelo de regressão linear simples
Tempo de reação  variável dependente ou resposta
	sexo, idade, acuidade visual  var. independentes
 
	modelo de regressão linear múltipla
Análise de regressão
Procedimentos:
Constata-se se existe uma correlação linear significante;
Determina-se uma equação que descreva a relação entre as variáveis x e y (reta de regressão ou reta do ajuste ótimo).
A reta de regressão expressa a relação entre a variável preditora (x) e a variável resposta (y).
Análise de regressão
O critério para determinar a reta que melhor se ajusta aos dados se baseia na distância vertical entre os pontos originais e os estimados. 
RESÍDUOS são essas distâncias.Quando a soma dos quadrados dos resíduos é a menor possível, se verifica a PROPRIEDADE DE MÍNIMOS QUADRADOS
Análise de regressão
Pode-se escrever a equação de uma reta como:
y = mx + b onde m é a inclinação da reta e b, o intercepto y.
Assim, a reta de regressão é:
A inclinação m é: 
E o intercepto y é:
Análise de regressão
onde correspondem a média da variável Y e X, respectivamente.
Onde:
180
190
200
210
220
230
240
250
260
1,5
2,0
2,5
3,0
Investimento em publicidade
= um resíduo
(xi,yi)
 = um ponto de
dados
Receita
= um ponto na reta com o mesmo valor de x
é um mínimo
Análise de regressão
PREDIÇÃO
As equações de regressão podem ser úteis para PREDIZER o valor de uma variável, dado um valor determinado da outra variável;
Deve-se usar a equação de regressão somente quando r indicar correlação linear
significativa. E, usá-la somente dentro dos limites de valores disponíveis;
Quando não há correlação linear significativa, a melhor estimativa de uma variável é sua média.
Análise de regressão
OUTLIERS ⇒pontos muito afastados dos demais;
PONTOS DE INFLUÊNCIA ⇒pontos que influenciam fortemente a reta.
VARIAÇÃO MARGINAL ⇒o quanto uma das variáveis varia quando a outra varia 1 unidade. 
Análise de regressão
Exemplo
X
Y
1
8
78
2
2
92
3
5
90
4
12
58
5
15
43
6
9
74
7
6
81
Escreva a equação da reta de regressão com:
	x = número de faltas e y = nota final.
Resolução:
A reta de regressão é:
= –3,924x + 105,667
6.084
8.464
8.100
3.364
1.849
5.476
6.561
624 
184
450
696 
645
666
486
57
516
3.751
579
39.898
 1 8 78
 2 2 92
 3 5 90
 4 12 58 
 5 15 43
 6 9 74
 7 6 81
 64
 4
 25
144
225
 81
 36
xy
 x2
y2
y
73,714
(–3,924)(8,143)
105,667
Exemplo
x
Resolução: Calcule m e b.
A reta de regressão é:
= –3,924x + 105,667
3,924
73,714
(–3,924)(8,143)
105,667
Exemplo
m = –3,924 e b = 105,667
A reta de regressão é:
= –3,924x + 105,667
Exemplo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Faltas
Nota
final
A reta de regressão é:
3,924
105,667
Prevendo valores de Y
 Com a reta de regressão, é possível prever valores de y correspondentes aos valores de x que caiam em determinado intervalo de dados.
 Exemplo: considerando que a equação de regressão para o número de faltas e a nota final é:
 Use essa equação para prever a nota esperada de um aluno com:
(a) 3 faltas		(b) 12 faltas
= –3,924x + 105,667
Exemplo
(a) 
(b) 
= –3,924(3) + 105,667 = 93,895
= –3,924(12) + 105,667 = 58,579
Exemplo
(a) 
(b) 
= –3,924(3) + 105,667 = 93,895
= –3,924(12) + 105,667 = 58,579
Coeficiente de determinação
O coeficiente de correlação entre as faltas e a nota final era 
r = –0,975. O coeficiente de determinação é r2 = (–0,975)2 = 0,9506.
Interpretação: cerca de 95% da variação nas notas finais pode ser explicada pelo número de vezes que o aluno falta. Os outros 5% são inexplicados e podem dever-se a um erro amostral ou outras variáveis, como inteligência, tempo dedicado ao estudo etc.
Variação explicada
Variação total
O coeficiente de determinação, r2, é a razão entre a variação 
explicada em y e a variação total em y.
Coeficiente de determinação
O coeficiente de determinação também é comumente chamado de Coeficiente de Correlação de Pearson:
Trata-se de uma medida de dependência linear entre duas variáveis;
Observa-se que esta medida é sensível a pontos que plotem afastados da “nuvem principal” de pontos.
Coeficiente de determinação
O poder explicativo da regressão tem por objetivo avaliar a “qualidade“ do ajuste. 
Seu valor fornece a proporção da variação total da variável Y, explicada pela variável X através da função ajustada.
Quanto mais próximo de 1 (ou 100%) estiver o valor de R2 , melhor a “qualidade“ do ajuste da função resposta e, quanto mais próximo de zero, pior será a “qualidade“ do ajuste.
Coeficiente de determinação
Se o poder explicativo for, por exemplo, 0,98 (ou 98%), isto significa que 98% das variações de Y são explicadas por X através da função escolhida para relacionar as duas variáveis e 2% são atribuídas a causas aleatórias. Veja o Gráfico abaixo:
Y
X
Coeficiente de determinação
Pode também expressar o poder explicativo da seguinte maneira:
0  R2  1	ou	0  R2  100%
Exemplo:
Os dados abaixo referem-se ao volume de precipitação pluviométrica e ao volume de produção de leite tipo C, em determinada região do país:
Anos
Produção de Leite C
(1.000.000 l)
Índice Pluviométrico
(mm)
1970
26
23
1971
25
21
1972
31
28
1973
29
27
1974
27
23
1975
31
28
1976
32
27
1977
28
22
1978
30
26
1979
30
25
Exemplo:
Ajustar os dados através de um modelo linear:
Y
X
X2
XY
Y2
26
23
529
598
676
25
21
441
525
625
31
28
784
868
961
29
27
729
783
841
27
23
529
621
729
31
28
784
868
961
32
27
729
864
1024
28
22
484
616
784
30
26
676
780
900
30
25
625
750
900
Y = 289
X = 250
X2= 6.310
XY = 7.273
Y2= 8.401
Exemplo:
Cálculo do parâmetro b:
Exemplo:
Cálculo do parâmetro a:
Y = 8,9 + 0,8X
Então:
Exemplo
Admitindo-se, em 1980, um índice pluviométrico de 24 mm, qual deverá ser o volume esperado de produção de leite tipo C?
Fazendo X = 24 mm temos:
Y= a + bX	 = 8,9 + 0,8 (24)= 28,1
	De acordo com o modelo, podemos esperar 28,1 milhões de litros de leite produzidos, para um índice pluviométrico de 24 mm.
Exemplo:
Os dados abaixo representam o Consumo e a Renda Disponível. Determinar as estimativas dos parâmetros da reta estimada.
?
Anos
Consumo (Y) (R$ milhões)
Renda (X) (R$ milhões)
1960
159,3
188,3
1961
170,6
202,6
1962
187,2
215,4
1963
196,9
222,7
1964
198,2
243,1
1965
208,8
259,9
1966
221,0
256,3
1967
228,8
280,0
1968
247,6
296,1
1969
255,1
300,8
1970
274,3
326,6
1971
293,4
347,9
1972
301,6
375,1
1973
330,6
400,7
Exemplo:
Resolução:
Y
X
X2
XY
Y2
159,3
188,3
35456,9
29996,2
25376,5
170,6
202,6
41046,8
34563,6
29104,4
187,2
215,4
46397,2
40322,9
35043,8
196,9
222,7
49595,3
43849,6
38769,6
198,2
243,1
59097,6
48182,4
39283,2
208,8
259,9
67548,0
54267,1
43597,4
221,0
256,3
65689,7
56642,3
48841,0
228,8
280,0
78400,0
64064,0
52349,4
247,6
296,1
87675,2
73314,4
61305,8
255,1
300,8
90480,6
76734,1
65076,0
274,3
326,6
106667,6
89586,4
75240,5
293,4
347,9
121034,4
102073,9
86083,6
301,6
375,1
140700,0
113130,2
90962,6
330,6
400,7
160560,5
132471,4
109296,4
Y = 3.273,4
X = 3.915,5
X2= 1.150.349,7
XY = 959.198,4
Y2= 800.330,2
Exemplo:
Resolução: Determinar as estimativas dos parâmetros da reta estimada.
 
De acordo com os resultados da tabela anterior temos que:
 
X = 3.915,5		
Y = 3.273,4
X2 = 1.150.349,73
XY = 959.198,36
 233,81
 279,68
n = 14
Exemplo
 Então:
b = 0,791		a = 233,81 - (0,791) (279,68)  a = 12,683 
 
Então: Y = 12,683 + 0,791X
Logo, b = 0,791 significa que para cada unidade de variação positiva na renda (X), o consumo cresce 0,791 unidades.
Exemplo
Qual o consumo esperado para uma renda de 400 milhões de reais?
	X = 400  = 12,683 + 0,791(400) Y= 329,083
	
	De acordo com o modelo, podemos esperar um consumo de R$ 328.580.000,00 para uma renda de R$ 400.000.000,00.
Calcule o poder explicativo da regressão anterior.
Temos:
X = 3.915,5
Y = 3.273,4
Y2 = 800.330,16
X2 = 1.150.349,73
XY = 959.198,36
n = 14		
Exemplo
Exemplo
Exemplo
R2 = 0,989 ou 98,9%
Assim, podemos dizer que o modelo ajustado é muito bom, pois 98,9% da variação do consumo será explicada apenas pela renda. 
O erro padrão da estimativa
O erro padrão da estimativa, se, é o desvio padrão dos valores yi observados em torno do valor previsto.
O erro padrão
da estimativa
 1 8 78 74,275 13,8756
 2 2 92 97,819 33,8608
 3 5 90 86,047 15,6262
 4 12 58 58,579 0,3352
 5 15 43 46,807 14,4932
 6 9 74 70,351 13,3152
 7 6 81 82,123 1,2611
92,767
= 4,307
x
y
Calcule para cada xi 
92,767
3,924x
105,667
Principais referências bibliográficas
Título/Periódico
Autor
Local
Editora
Ano
Estatística Aplicada
LARSON, Ron e FARBER, Betsy
São Paulo
Pearson Prentice Hall
2004
Pesquisa operacional para decisão em contabilidade e administração
CORRAR,LuizJ.; THEÓPHILO,Carlos Renato.
São Paulo
Atlas
2004
Estatística aplicada à administração e economia.
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.
São Paulo
Pioneira Thomson.
2002
Aula 05 – Pesquisa Operacional
ANÁLISE DE REGRESSÃO
Carlos Frederico Ferreira
cfredferreira@hotmail.com
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Caruaru