Aula 9 - Controle e Automação I

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ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA 
– DEFINIÇÕES DE ESPECIFICAÇÕES DE 
RESPOSTA TRANSITÓRIAS 
Prof. Almir Kimura Junior 
EST – Escola Superior de Tecnologia 
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
 
 
 
 
 
Manaus, Brasil 
 
 
 DEFINIÇÕES DE ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA 
TRANSITÓRIA 
 Característica de desempenho: especificação no domínio do 
tempo e aplicar um degrau unitário como sinal de entrada 
(sistema inicialmente em repouso). 
 Resposta transitória: apresenta oscilações amortecidas. 
 
 ESPECIFICAÇÕES DA RESPOSTA TRANSITÓRIA 
 Tempo de atraso (td) 
 Tempo de subida (tr) 
 Instante de pico (tp) 
 Sobre-sinal máximo ou Overshoot (Mp) 
 Tempo de acomodação (ts) 
 
 ESPECIFICAÇÕES DA RESPOSTA TRANSITÓRIA 
 Estas especificações no domínio de tempo são muito importantes, 
pois a maioria dos sistemas de controle é de sistemas no domínio 
do tempo. Isto é, estes sistemas devem apresentar respostas 
temporais aceitáveis. 
 As especificações dos valores de td, tr, tp, ts e Mp determinam a 
curva de resposta, como mostra a figura abaixo. 
 
 
ESPECIFICAÇÕES DA RESPOSTA TRANSITÓRIA 
 Note que nem todas estas especificações necessariamente se 
aplicam a qualquer caso. Por exemplo, para um sistema 
sobreamortecido, os termos instante de pico e sobre-sinal 
não se aplicam. 
 
COMENTÁRIOS SOBRE ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA 
TRANSITÓRIAS 
 
 Exceto em certas aplicações onde não se podem tolerar 
oscilações, é desejável que a resposta transitória seja 
suficientemente rápida e amortecida. 
 
 
COMENTÁRIOS SOBRE ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA 
TRANSITÓRIAS 
 Portanto, para uma desejada resposta transitória de 
um sistema de segunda ordem, o coeficiente de 
amortecimento deve estar entre 0,4 e 0,8. 
 Valores pequenos de  (<0,4) resultam em sobresinal 
excessivo na resposta transitória, e um sistema com 
um grande valor  (>0,8) responderá de forma lenta. 
 Tempo de subida e “overshoot” são especificações 
conflitantes; não se pode minimizar ambos 
juntamente. 
 
 
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM: ESPECIFICAÇÕES DA 
RESPOSTA TRANSITÓRIA. 
 A seguir obtêm-se expressões para tempo de subida, 
instante de pico, overshoot e tempo de acomodação de 
sistemas de segunda ordem. 
 
 
 
 Obviamente, estas especificações são feitas em termos 
de  e n e que o sistema seja subamortecido. 
 
 
 
2
nn
2
2
n
s ..2sR(s)
C(s)



TEMPO DE SUBIDA (TR) 
 Da equação do caso subamortecido sendo o degrau 
como entrada, obtém-se o tempo de subida fazendo 
c(t) = 1, 
 
 
 
 Considerando que e resolvendo os termos 
com cos e sen, obtém-se que, 
 
 
 
TEMPO DE SUBIDA (TR) 
 Onde β é definido na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
INSTANTE DE PICO (TP) 
 Da equação do caso subamortecido sendo o degrau 
como entrada, pode-se obter o instante de pico 
diferenciando c(t) em relação ao tempo e igualando a 
zero, como segue: 
 
 
 
 Sendo que sen(d.tp) = 0  d.tp = 0, , 2, ..., 
considerando o primeiro pico, tem-se que, 
 
 
 O instante de pico corresponde ao meio ciclo de 
freqüência de oscilação amortecida. 
 
 
 
 
 
SOBRESINAL MÁXIMO OU OVERSHOOT (MP) 
 O overshoot ocorre no instante de pico, isto é, 
t=tp=/d. Assim, da equação do caso subamortecido 
sendo o degrau como entrada obtém-se Mp, 
 
 
 O overshoot máximo percentual é: 
 
 
 
 
 
TEMPO DE ACOMODAÇÃO (TS) 
 Para um sistema subamortecido de segunda ordem, a 
resposta transitória é obtida da equação padrão, mas de 
forma prática são comumente utilizados dois critérios 
para determinação do tempo de acomodação. Assim, 
pode-se definir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMPO DE ACOMODAÇÃO (TS) 
 Note que o tempo de acomodação é inversamente 
proporcional ao produto do coeficiente de amortecimento 
pela freqüência natural não-amortecida do sistema. 
 Como o valor de  é normalmente determinado a partir 
da especificação requerida de sobresinal máximo, o tempo 
de acomodação é determinado principalmente pela 
freqüência natural não-amortecida (n). Isto significa que 
a duração do período transitório pode ser variada, sem 
modificar o sobresinal máximo, pelo ajuste da freqüência 
natural não-amortecida (n). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA TRANSITÓRIAS (RESUMO) 
 Tempo de Subida (tr). 
 
 
 
 onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA TRANSITÓRIAS (RESUMO) 
 Instante de Pico (tp) 
 
 O instante de pico corresponde ao meio ciclo de 
freqüência de oscilação amortecida. 
 
 Sobre-sinal máximo ou Overshoot (Mp) 
 O overshoot ocorre no instantede pico, isto é, 
 
 
 Tempo de Acomodação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1 
 Para o sistema da figura abaixo, onde =0,6 e n=5 
rad/s, determinar o tempo de subida (tr), o tempo de 
pico (tp), o overshoot (Mp) e o tempo de acomodação (ts), 
quando o sinal de entrada for um degrau unitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1 
 Solução: 
 Tempo de subida: 
 
 Mas 
 Ou ainda 
 
 Então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1 
 Instante de pico 
 
 Overshoot 
 
 Tempo de acomodação 
 
 Critério 2% 
 
 
 Critério 5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
 Para o servosistema o sinal do ponto de soma não tem 
potência suficiente para acionar o motor, usa-se para 
isso um amplificador de potência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
 
 
 
 A função de transferência do sistema é: 
 
 
 
 Onde Ka é o ganho de potência do amplificador, sendo 
que este parâmetro é o único que pode ser variado. 
 Portanto, pode-se determinar apenas uma 
característica do sistema; isto é, pode-se apenas 
determinar apenas  e n. Ou seja, não se pode 
determinar  e n independente da escolha de Ka. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
 Para uma resposta sem overshoot 
 Tem-se 
 E da função de transferência 
 
 E támbem, tem-se que 
 
 E, portanto, o ganho do amplificador é, Ka=2,0, desta 
forma ajustando o ganho do amplificador não haverá 
um overshoot na resposta temporal. E o tempo de 
acomodação do sistema é, 
 Critério de 2% e critério de 5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
 Para um overshoot de 10% e um tempo de acomodação 
de 4 segundos (critério de 2%), tem-se que, 
 
 
 E 
 
 
 De onde se obtém: 
 
 Com isso, o ganho do amplificador pode ser calculado 
através da comparação entre a função de transferência 
padrão e a função de transferência do servo. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE ORDEM SUPERIOR 
 A função de transferência de um sistema de terceira 
ordem é dada por: 
 
 
 
 A resposta temporal ao degrau unitário de um sistema 
de terceira ordem é dada
pela seguinte equação, 
 
 
 
 Onde 
 
 
SISTEMA DE ORDEM SUPERIOR 
 Outra forma de obter a resposta de um sistema de 
terceira ordem é através da expansão da função de 
transferência expandida em frações parciais, 
 
 
 E então, a resposta pode ser escrita como, 
 
 
 
 
 Assim, a resposta do sistema de terceira ordem pode 
ser modelada como a soma das respostas dos sistemas 
de primeira e de segunda ordem, como mostra a figura 
abaixo 
 
 
 
 
SISTEMA DE ORDEM SUPERIOR 
SISTEMA DE ORDEM SUPERIOR 
 Para uma entrada em degrau unitário, nota-se que o 
primeiro termo C1(s), é a resposta ao degrau unitário 
de um sistema de primeira ordem. 
 O segundo termo representa a resposta ao degrau 
unitário de um sistema de segunda ordem. 
 O terceiro termo representa a derivada da resposta 
deste sistema de segunda ordem. 
 Portanto, a resposta ao degrau unitário de um sistema 
de terceira ordem é composta de três termos: 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE ORDEM SUPERIOR 
1. Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem 
de ganho conhecido e constante de tempo . 
2. Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem 
padrão, com ganho conhecido, taxa de amortecimento 
 e freqüência natural n. 
3. A derivada da resposta do item anterior, com mesma 
taxa de amortecimento  e freqüência natural n, 
porém com ganho diferente. 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 O tempo de acomodação do sistema será aproximadamente igual a 
quatro vezes a menor constante de tempo; isto é, o tempo mais lento 
normalmente é que determinará o tempo de acomodação do sistema. 
 Enquanto, a estimação do sobresinal (overshoot) e do tempo de 
subida é mais complexa. 
 A taxa de amortecimento  do termo de segunda ordem dá uma 
aproximação do overshoot. 
 Efeito do pólo real  Reduz o overshoot (MP) e aumenta o tempo de 
acomodação (tS). 
 Se o pólo real está localizado à direita dos pólos complexos conjugados 
 Resposta lenta, ou seja, o sistema se comporta como um sistema 
sobreamortecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3 
 Para o sistema mostrado com a função de transferência 
abaixo, determinar a resposta ao degrau unitário. 
 
 
 Solução: Por frações parciais a função de transferência pode 
ser escrita como, 
 
 
 No termo de primeira ordem da função de transferência, a 
constante de tempo é de 0,4s. No termo de segunda ordem, 
o coeficiente de amortecimento é =0,5, e a freqüência 
natural n=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: 
 Assim, a constante de tempo  é de 1,0s, e o tempo de 
acomodação do sistema é de aproximadamente de 4s, 
ou seja, quatro vezes a menor constante de tempo do 
sistema. 
 Da família de curvas padrão, para o sistema de 
segunda ordem, um coeficiente de amortecimento de 0,5 
fornece um overshoot de 17%. 
 A resposta temporal, para uma entrada em degrau, é 
mostrada na figura 3.19, com um overshoot de 10,34% 
e um tempo de acomodação de 4s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 Os sistemas de ordem superior a três podem ser 
considerados como uma série de sistemas de primeira e de 
segunda ordem conectados em paralelo. 
 A análise da constante de tempo fornece uma indicação do 
tempo de acomodação. 
 As várias taxas de amortecimento indicam o tipo de 
resposta transitória do sistema e a combinação delas com as 
freqüências naturais indica o tempo de acomodação. 
 Entretanto, os resultados são apenas aproximados e em 
alguns casos contêm muitos erros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELOS DE ORDEM REDUZIDA 
 Em alguns casos pode-se reduzir a ordem de um 
sistema de ordem superior para um de primeira ou de 
segunda ordem, e ainda obter uma precisão razoável 
deste modelo. 
 Para certos sistemas físicos quando se ignoram certas 
características obtêm-se modelos de ordem reduzida. 
Por exemplo, podem-se seguir as seguintes 
recomendações para a obtenção de modelos de ordem 
reduzidas. 
 
 
 
 
 
 
 
MODELOS DE ORDEM REDUZIDA 
 
1) A análise e o projeto são bem mais simples para 
modelos de baixa ordem; 
2) A precisão numérica para os cálculos por computador 
é melhor para os sistemas de ordem inferior; 
3) Se o modelo de baixa ordem (primeira ou segunda) 
um grande número de informações estará disponível 
para análise e projeto; 
4) Como os modelos de ordem superior apresentam 
imprecisões, em alguns casos os modelos de ordem 
inferior podem dar resultados que são tão precisos 
quanto àqueles. Aumentar a ordem dos modelos pode 
não corresponder a um aumento significativo de sua 
precisão; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELOS DE ORDEM REDUZIDA 
 
5) Nos modelos de baixa ordem, o desenvolvimento intuitivo 
é mais fácil. Esta intuição, adquirida com a experiência 
com os sistemas, não pode ser desprezada no projeto 
prático. 
 
 Na redução da ordem do sistema o plano complexo s pode 
ser dividido como mostra a figura a seguir. 
 Os pólos dominantes, geralmente, dão os termos lentos da 
resposta transitória. Os pólos insignificantes dão os termos 
mais rápidos desta resposta. 
 Como regra prática, a razão b/a está entre 5 e 10 ou maior. 
Deve-se observar que esta regra não se aplica em todas as 
funções de transferência. 
 A redução da ordem de um sistema será justificada no 
capítulo sobre o Lugar das raízes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
 Escreva a equação geral de segunda ordem em relação 
ao coeficiente de amortecimento e a frequência natural 
não amortecida. 
 Esboce o gráfico de um sistema de segunda ordem 
entrada degrau com vários valores de coeficiente de 
amortecimento, e classifique os mesmo.