Juros compostos

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5ª lista: Juros Compostos 
 
“Quando nada parece ajudar, eu olho o cortador de pedras martelando sua rocha 
talvez cem vezes sem que nem uma só rachadura apareça. No entanto, na centésima 
primeira martelada, a pedra se abre em duas e eu sei que não foi aquela que 
conseguiu, mas todas as que vieram antes.” 
Jacob Riis 
 
 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
SIMPLES X COMPOSTO 
 O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a 
saber: Juros Simples ou Composto. 
 Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com 
um exemplo: 
 Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos: 
 JUROS SIMPLES  ao longo do tempo, somente o principal rende juros. 
PRINCIPAL = 100 
NO DE MESES MONTANTE SIMPLES 
1 100 + 10%.100 = 110,00 
2 110 + 10%.100 = 120,00 
3 120 + 10%.100 = 130,00 
4 130 + 10%.100 = 140,00 
5 140 + 10%.100 = 150,00 
 
 
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JUROS COMPOSTOS  após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render 
juros. Também conhecido como "juros sobre juros". 
 
 
 Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é 
LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é 
EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
Isto poderia ser ilustrado graficamente como no gráfico ao lado. 
 Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores 
particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações 
financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos 
na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em 
estudos econômicos. 
 
EXEMPLOS 
01- Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos, com taxa de 5% a.m.. 
Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação. 
02- Qual o capital que, aplicado em caderneta de poupança, produz um montante de R$ 41.674,50 em 3 
meses, a 5% ao mês? 
PRINCIPAL = 100 
NO DE MESES MONTANTE COMPOSTO 
1 100,00 + 10%.100,00 = 110,00 
2 110,00 + 10%.110,00 = 121,00 
3 121,00 + 10%.121,00 = 133,10 
4 133,10 + 10%.133,10 = 146,41 
5 146,41 + 10%.146,41 = 161,05 
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03- Determinar em quantos meses um capital de R$ 240.000,00 produz R$ 37.830,00 de rendimento, quando 
aplicado a juros compostos, a 5% ao mês. (Com a tabela em anexo) 
04- Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 8% ao mês, obtendo-se um montante 
de R$ 1.713,82. Quanto tempo durou esta operação de juros? 
Dados: i) 
 ii) 
05- Um capital de R$ 3.000,00 é aplicado, a juros compostos, durante um período de tempo de 4 meses, 
obtendo-se ao final da operação um montante de R$ 4.081,44. Qual a taxa utilizada nesta operação? (Com a 
tabela em anexo) 
06- Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado, a juros compostos, durante um período de tempo de 6 bimestres, 
obtendo-se ao final da operação um montante de R$ 2.388,10. Qual a taxa bimestral utilizada nesta 
operação? (Sem a tabela em anexo) 
Dados: i) 
 ii) 
 iii) 
TIPOS DE TAXAS 
TAXAS PROPORCIONAIS 
 Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante um 
mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do prazo, em regimes de juros simples. 
 
EXEMPLO: 
 1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a. 
 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a. 
 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m. 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
 Duas ou mais taxas são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, em regime de juros 
compostos, capitalizados em prazos diferentes, durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo 
montante no final do período. 
033,0log 08,1 
231,0log 71382,1 
045,119405,14 
030,119405,16 
023,119405,18 
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 Assim duas ou mais taxas são equivalentes se, e somente se: 
 
De maneira geral temos: 
I  taxa do período maior. 
i  taxa do período menor. 
n  numero de vezes que o período maior contém o menor. 
Podemos escrever que então: 
 
 
EXEMPLO 
01- Qual a taxa bimestral equivalente 2% a.m.? 
02- Qual a taxa anual equivalente 5% a.b.? 
03- Qual a taxa mensal equivalente 42,58% a.a.? 
04- Qual a taxa mensal equivalente a 60% a.a.? 
 
TAXA NOMINAL 
 A unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, 
geralmente a Taxa Nominal é fornecida em tempos anuais, e os períodos de capitalização podem ser mensais, 
trimestrais ou qualquer outro período, inferior ao da taxa. 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1: 
 12% a.a. capitalizamos mensalmente. 
 20% a.a. capitalizamos semestralmente. 
 15% a.a. capitalizamos trimestralmente.. 
EXEMPLO 2: 
 36% a.a. capitalizados mensalmente (Taxa Nominal). 
 (Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal). 
 
 
TAXA EFETIVA 
 É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. 
EXEMPLO 1: 
 15% a.a. capitalizados anualmente. 
 5% a.s. capitalizados semestralmente. 
 3% a.m. capitalizados mensalmente. 
 
 
..%3
12
..%36
ma
meses
aa

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05- Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. capitalizado mensalmente? 
06- Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa nominal de 24% a.s. capitalizado mensalmente? 
07- Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 42% a.a. capital. bimestralmente? 
07- Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 33,1% ao trimestre, durante um 
período de tempo de 5 meses. Qual o valor do montante e dos juros obtidos nesta operação? 
 
08- Um capital de R$1.000,00 é aplicado durante um prazo de 9 meses, a uma taxa de 96% ao ano, com 
capitalização mensal. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nesta operação? 
 
09- Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante um prazo de 3 meses, a uma taxa de 132% ao semestre, com 
capitalização bimestral. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nesta operação? 
 
 
 
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10- Um capital de R$1.000,00 é aplicado durante um prazo de 5 meses, a uma taxa de 42% ao quadrimestre, com 
capitalização bimestral. Qual o valor do Montante e dos Juros obtidos nesta operação? 
11- (ESAF) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano, com 
capitalização semestral. 
a) 8,20% 
b) 8,16% 
c) 8,10% 
d) 8,05% 
e) 8,00% 
 
12- (ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização 
mensal. 
a) 12,3600% 
b) 12,6825% 
c) 12,4864% 
d) 12,6162%
e) 12,5508% 
TAXA REAL E APARENTE 
 
 Em uma situação em que a inflação for levada em consideração, a taxa i aplicada sobre um capital é 
aparente, pois o montante produzido não terá o mesmo poder aquisitivo. 
 
 Entenda que se em um certo período aplicarmos um capital C à taxa de juros iA, obteremos o montante: 
 
 Se no mesmo período a inflação foi iINF, o capital C para manter seu poder aquisitivo deve ser corrigido pela 
inflação, gerando um montante inflacionado: 
 
 Dessa forma, MINF e C correspondem ao mesmo poder aquisitivo em momentos distintos: um afetado pela 
inflação e outro não. 
 
 Portanto, chamaremos de taxa real de juros iR a taxa que leva o valor MINF ao valor M e de taxa aparente de 
juros iA a taxa que leva C ao valor M. 
 
CÁLCULO DA TAXA REAL 
 
Ora, C(1+iR) é o montante, no final de um período, considerando uma economia sem inflação, à taxa real de juros 
iR. C(1+iINF) é o montante considerando apenas a inflação e C(1+iR)(1+iINF) é o montante considerando o juros 
reais e a inflação. Como o montante gerado por uma taxa aparente iA, divulgada pelo mercado financeiro, produz 
o mesmo montante gerado pelas taxas de inflação iINF e real iR aplicadas uma sob a outra, temos: 
 
logo: 
 
M = C.(1 + iA) 
 
MINF = C.(1 + iINF) 
 
C.(1+iA) = C.(1+iR)(1+iINF) 
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ou então 
 
 
Exemplo 01 
Um capital foi aplicado por um ano à taxa de juros nominal de 21% ao ano. No mesmo período a inflação foi de 
11%. Qual a taxa real de juros? 
 
Exemplo 02 
Um ano atrás um televisor 20” custava R$ 1000,00 e hoje a loja cobra R$ 1260,00 pelo mesmo produto. Sabendo 
que nesse mesmo período a inflação foi de 20%, determine a taxa real de aumento sofrida pelo televisor. 
 
PARA UMA MELHOR VISUALIZAÇÃO: 
 
Portanto a loja aumentou aparentemente 26%, mas na verdade ela subiu o preço 5% acima da inflação. 
 
13- (AF-GO/ESAF) Com uma inflação anual de 12%, admitindo-se que o salário foi corrigido em 8%, a variação 
real do poder de compra de um assalariado é de? 
a) – 3,57% 
b) 3,57% 
c) -3,70% 
d) 3,70% 
e) -4,00% 
 
DESCONTO COMPOSTO 
 
 Os descontos compostos funcionam da mesma forma que as capitalizações, podendo ser usadas as mesma 
fórmulas, onde o valor descontado (D) corresponde aos juros (J) do período (t), enquanto o valor nominal (N) 
e o valor atual (A), corresponderão ao montante (M) e ao capital (C), dependendo do tipo de desconto. 
 
 
 Da mesma forma que o desconto simples, o desconto composto pode ocorrer de duas formas: desconto 
racional e desconto comercial. É importante salientar que na grande maioria dos casos os descontos 
compostos são racionais, portanto quando não estiver descriminado fica implicito o uso desse tipo de 
desconto. 
(1+iA) = (1+iR)(1+iINF) 
 
1
1
1




INF
A
R
i
i
i
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DESCONTO COMPOSTO RACIONAL (POR DENTRO) 
 
 Sabemos que quando o desconto é dito racional, devemos calular o desconto em ralação ao valor atual, logo 
o valor nominal (N) corresponderá ao montante (M) e o valor atual (A) corresponderá ao capital (C), assim 
como em uma capitalização, portanto: 
 
 
 
 
 
 Dessa forma, podemos dizer que o valor atual (A) é equivalente ao valor nominal (N) em períodos diferentes, 
assim como representado no fluxo. 
 Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente o juro que o valor atual (A) deveria 
produzir nesse período, logo 
 
 
 
 
Exemplo 01 
Um título de R$20.000,00, vencível em quatro meses, será pago hoje. De quanto será o valor do desconto e de 
quanto será o valor descontado, considerando-se na operação uma taxa 6% ao mês, e o desconto composto 
racional? 
 
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL (POR FORA) 
 
 No caso do desconto comercial, devemos calular o desconto em ralação ao valor nominal (N), logo este 
corresponderá ao capital (C) e o valor atual (A) corresponderá ao montante (M), que será sempre menor que 
o valor nominal. Se for usada a fórmula da capaitalização a taxa de juros (i) deve ser negativa, mas a forma 
prática é substituir (i) positiva na seguinte equação: 
 
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 Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente a deflação calculada sobre ele, 
logo 
 
 
Exemplo 02 
Um título de R$ 10.000,00, vencível em dois meses, será pago hoje. De quanto será o valor do desconto e de 
quanto será o valor descontado, considerando-se na operação uma taxa 213,84% ao ano, e o desconto composto 
comercial? 
 
14- (CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, 
com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do 
desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
 
EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS 
 
15- (ESAF/AFRF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao 
fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende 
negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos 
sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
a) R$ 63.232,00 
b) R$ 64.000,00 
c) R$ 62.032,00 
d) R$ 62.200,00 
e) R$ 64.513,28 
 
 
 
 
 
 
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16- (ESAF) Uma empresa tem um compromisso de $ 100.000 para ser pago dentro de 30 dias. Para ajustar o seu 
fluxo de caixa, propõe ao banco a seguinte forma de pagamento: $ 20.000 antecipado, à vista, e dois pagamentos 
iguais para 60 e 90 dias. Admitindo-se a taxa de juros compostos de 7% ao mês, o valor dessas parcelas deve ser 
de: 
 
a) $ 43.473 
b) $ 46.725 
c) $ 46.830 
d) $ 47.396 
e) $ 48.377 
 
17- (FCC) Determine o valor atual de três cheques no valor de R$1.331,00, se forem descontados racionalmente, 
a uma taxa composta de 10% para cada período, segundo o fluxo a seguir. 
a) R$ 3.993,00 
b) R$ 3.630,00 
c) R$ 3.310,00 
d) R$ 3.000,00 
 
 
18- (ACEP) Thiago Pacífico quer fazer uma aplicação de R$ 5.000,00 em um dos três bancos em que ele opera. 
Cada um deles oferece uma forma de retorno diferente, representadas nos fluxos abaixo. 
 
Dessa forma, Thiago Pacífico verificou que, para ele: 
a) o Banco A é mais vantajoso 
b) o Banco B é mais vantajoso 
c) o Banco C é mais vantajoso 
d) todos são igualmente vantajosos 
 
 
 
19- (ESAF) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para resolução da questão seguinte. Os 
valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados. 
 
Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4% a.m. O fluxo de caixa, da tabela acima, que apresenta o 
maior valor atual (valor no mês zero) é: 
a) Fluxo Um 
b) Fluxo Dois 
c) Fluxo Três 
d) Fluxo Quatro 
e) Fluxo Cinco 
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