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CÁLCULO: VOLUME I
MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA
Departamento de Análise - IME
UERJ
2
Copyright by Mauricio A. Vilches
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
3
PREFÁCIO
"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?
Isso depende bastante de até onde você quer chegar."
Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas
Através dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferramenta para a com-
preensão das leis que regem a Natureza e o Universo.
Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicialmente, dos pro-
blemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidade
humana de entender e explicar os fenônemos que regem a natureza.
Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois tipos de proble-
mas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados de tangências e os problemas
de integração, antigamente chamados de quadraturas. Os relativos à derivação envolvem va-
riações ou mudanças, como por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentos
econômicos ou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos de
problemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de regiões delimitadas por
curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula.
Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVIII por Isaac
Newton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproximadamente na mesma época,
Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, também desenvolveu considerá-
vel parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre
derivada e integral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibniz
são as universalmente usadas.
O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Diferencial e Integral
de uma variável com simplicidade, através de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formal
da disciplina, dando ênfase à interpretação geométrica e intuitiva dos conteúdos.
O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e problemas. As
provas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que não foram provados no apêndice,
foram ilustrados através de exemplos, aplicações e indicações bibliográficas adequadas e estão
incluidos como referência ou leitura adicional para os leitores interessados.
Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são relativamente pro-
fundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante é
que o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão intuitiva dos proble-
mas. As expressões do tipo "é facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem ser
encaradas de forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar a
apresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser preenchidos.
Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Diferencial
e Integral de uma variável. Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, cri-
4
teriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil ao
aprendizado da disciplina.
Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ que, de
algum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia M.
Alves pela digitação. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dos
autores.
Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa
Rio de Janeiro
Conteúdo
1 INTRODUÇÃO 9
1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Equações das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 31
2.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Função Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.3 Função Polinomial de Grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.4 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Interseção de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.1 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Composta de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8 Inversa de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.1 Método para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.10 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.10.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.10.3 Função Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5
6 CONTEÚDO
2.11 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.11.1 Desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.12 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.12.1 Função Seno e Função Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.12.2 Função Tangente e Função Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.13 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.13.1 Função Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.13.2 Função Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.13.3 Função Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante . . . . . . . . . 86
2.14 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.15 Exercícios . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 LIMITE E CONTINUIDADE 99
3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5 Símbolos de Indeterminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.7 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.8 Continuidade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 DERIVADA 141
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.5 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6 Derivadas das Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6.2 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.6.5 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.6.6 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.7 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.8 Famílias de Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.9 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.10 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.11 Velocidade e Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
CONTEÚDO 7
4.12 A Derivada como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5 APLICAÇÕES DA DERIVADA 191
5.1 Variação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2 Funções Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.3 Determinação de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.5 Esboço do Gráfico de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.6 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.7 Teorema de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.7.1 Outros tipos de indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.8 Diferencial de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 239
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.2 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.3 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.1 Outros Tipos de Substituições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . 245
6.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.6 Método de Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.7 Método para Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.9 Aplicações da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.9.2 Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7 INTEGRAÇÃO DEFINIDA 271
7.1 Intodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.3 Métodos para Calcular Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.4 Construção de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.5 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.5.1 Aceleração, velocidade e posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.6 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.7 Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
7.7.1 Cálculo do Volume dos Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.7.2 Outros Eixos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
7.7.3 Método das Arruelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
7.8 Cálculo do Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.9 Definição de Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.9.1 Logaritmo como Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.10 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8 CONTEÚDO
7.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 333
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.2.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
8.3 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
8.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9 EXEMPLOS DIVERSOS 347
9.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
9.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.4 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10 APÊNDICE 373
10.1 Limites . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.2 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
10.3 Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11 RESPOSTAS 381
11.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
11.2 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
11.3 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
11.4 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
11.5 Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
11.6 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
11.7 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11.8 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Bibliografia Básica 392
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do
���
grau essenciais para
o estudo do Cálculo de uma Variável Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o con-
junto dos números reais, denotado por � , com as operações fundamentais e suas respectivas
propriedades, bem como com a visualização geométrica de � como uma reta e dos números
reais como pontos dessa reta.
1.1 Desigualdades
A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usando
os símbolos usuais para maior ( � ), maior ou igual ( � ), menor ( � ), menor ou igual ( � ), podemos
ver, por exemplo, que se �
	���
�� e ����� , então ��������� ; no eixo coordenado temos que � está
à esquerda de � . Para todo ��	���
�� temos: ou ����� , ou �ff��� , ou �flfiffi� .
1.2 Intervalos
Muitos subconjuntos de � são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os
intervalos.
Sejam �
	���
�� tais que �ff��� .
Intervalo aberto de extremidades � e � , denotado por � ��	��"! é definido por:
� ��	��#!$fi&%(')
��+*,�)��'-���/.10
a b
( )
Figura 1.1: Intervalo aberto.
Intervalo fechado de extremidades � e � , denotado por 2 ��	���3 é definido por:
2 ��	��435fi&%('-
��+*6�7��'-���/.10
9
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
a b
][
Figura 1.2: Intervalo fechado.
Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, são denotados e definidos, respectivamente,
por:
2 �
	��"! fi %(')
��+* � � ')���/. e � �
	���3 fi %(')
��$* � � ')���/.10
a b
[ )
a
( ]
b
Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados.
Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos � � e � � ,
os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:
� ��	
�
�
! fi %(')
��$* � � ' . e � � � 	4� 3 fi&%(')
��+* ' ��� .1	
� �
�
	4� ! fi %(')
��$*6' ���
. e 2 �
	 � � ! fi&%(')
��+* ' ��� .10
Note que � fi � � � 	 � � ! . Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequa-
ções, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.
Desigualdades Lineares:
Determinemos o conjunto-solução de:
�+'
�
����� 0
�+'
�
����� é equivalente a �$' � � � ; logo, se ����� , ')� �
�
�
; o conjunto-solução é 2 �
�
�
	
�
�
! . Se
�ff��� , '-� �
�
� ; o conjunto-solução é
� �
�
	(�
�
�
�
0
Desigualdades Quadráticas:
Seja �+'�� � ��' �	� fi � a equação de segundo grau. Denotemos por 
 fi ��� �
� � � o discri-
minante da equação e � , � as raízes reais da equação ( �&��� ). O conjunto-solução � de uma
desigualdade quadrática depende do sinal de � e de 
 .
Para 
 ��� . Se ����� , a desigualdade �$' � � ��' ��� ��� tem conjunto-solução � � � 	�� 3��ff2 � 	 � � !
e �+'�� � ��' ��� ��� tem conjunto-solução 2�� 	��53
Se ����� , a desigualdade �+'�� � �
' ��� � � tem conjunto-solução 2�� 	�� 3 e �$'ff� � ��' �fi� ��� tem
conjunto-solução � � � 	�� 3fl�72 �$	 � � ! .
1.3. VALOR ABSOLUTO 11
Para 
 fi � . Se �ff��� , a desigualdade �+' � � ��' � � ��� tem conjunto-solução � e �+' � � �
' � � ���
tem conjunto-solução % � . .
Se �)� � , a desigualdade �$' � � �
' � � � � tem conjunto-solução % � . e �$' � � ��' � � � � tem
conjunto-solução � .
Para 
 ��� . Se �ff��� , a desigualdade �+'ff� � ��' � � ��� tem conjunto-solução � e �+'ff� � �
' � � ���
tem conjunto-solução
�
. Se �)�&� , a desigualdade �$' � � ��' �
� � � tem conjunto-solução � e
�+'��
�
��'
�fi�
��� tem conjunto-solução � .
Exemplo 1.1.
[1] Ache a solução de: '�� � ' . Fatorando '�� ��' fi ' � ' ��� ! � ' � � ! ; então, '�� � ' � � é
equivalente a ' � ' ��� ! � '�� � ! ��� , da qual obtemos '7�&� � ou ����'7� � . O conjunto-solução
é:
� fi � �
�
	(�
�
! ��� � 	
�
! 0
[2] Ache a solução de: 	
'��
�
'
�
�
��
 0
Note que a desigualdade não é equivalente a
	
'��
�
��
 � '
�
�
! . Se ' �
�
� � , isto é ' � �
�
;
então,
	
'��
�
�
 � '
�
�
! , de onde obtemos ' � ��� . Se ' �
�
� � , isto é ' � �
�
; então,
	
'��
�
��
 � '
�
�
! , de onde obtemos ���fl� ' . Logo, o conjunto-solução é:
��fi 2 ��� 	(�
�
! 0
[3] Ache a solução de:
'
�
�
'ff�
�
�
'
'
�
�
0
Resolvemos
'
�
�
'��
�
�
'
'
�
�
� � , que é equivalente a
�
'
���
� 'ff�
�
! � '
�
� !
� � , da qual obtemos
�
�
� ��'-�
� ou '-� � � . Logo, o conjunto-solução é:
��fi�� �
�
	(� ��� ��� �
�
�
	
�
�10
1.3 Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real � , denotado por � ��� é definido como o maior
número do conjunto %/��	 � �
. , ou equivalentemente:
� ���,fi
ff
� se �����
� � se ����� 0
Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintes
propriedades imediatas. Sejam �
	 � 
�� ; então:
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1. � �
�
fi � ��� , para todo �ff
��
2. � � � ��� se e somente se � 
 � � �
	4��! , �ff���
3. � ���/� �1fi � ����� � � �
4. � � � ��� se e somente se � ��� ou ��� � ��	 �����
5.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
� ���
� � �
, se ���fi �
6. � � � � � � � ��� � � � � .
Exemplo 1.2.
[1] Achar a solução de: � '�� �7' � � � � � .
Pelas propriedades anteriores, � 'ff� � ' � � � � � é equivalente a: '�� � ' � � � � ou '�� � ' � � � � � .
Se ' � � ' � � � � , então ' � ' � � !���� e '-��� ou '-� � ; se ' � � ' � � � � � , então � ' �
�
�
�
�
�
�
�
��� ,
o que é impossível. O conjunto-solução é:
� �
�
	4� ! ���
�
	
�
�
! 0
[2] Achar a solução de: � � �
�
' � � � � ' � .
Pela propriedades anteriores, � ���
�
' ����� � ' � é equivalente a: ���
�
')��� � ' � ou ���
�
' � � � � ' � ;
Se � �
�
'-��� � ' � , então
�
'ff���fl�
� ')��� �
�
' ; logo,
�
�
�
� ')�
	
�
0
Se � �
�
')� � � � ' � , então � �
�
' �fi� ' �
�
' �	� , que não possui solução. O conjunto-solução é:
� �
�
�
	
	
�
�
0
1.3.1 Distância
Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais. A distância
entre os números reais � e 	�� é � � � � � . Então � ��� é a distância de � à origem.
Exemplo 1.3.
[1] A distância entre os números 
 e ��
 é � 
���� ��
 ! �1fi
�
 .
[2] A distância entre os números ��
 e �
�
é � � 
fl�&� �
�
! � fi � �
	
� fi
	
e a distância entre os
números � e � � é � � � � � � ! � fi
�
.
[3] A distância entre os números �
�
e
�
	 é:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
fi
�
	
�
0
1.4. PLANO COORDENADO 13
1.4 Plano Coordenado
Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais � ' 	���! , tais que � ' 	�� ! fi ��� 	 ' !
se e somente se ' fi�� . O elemento ' do par ordenado é chamado primeira coordenada do
par e � é chamado a segunda coordenada do par. De forma análoga à representação geo-
métrica dos reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados. Para isto con-
sideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmen-
te. A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos ' e a reta vertical é chamada
eixo das ordenadas ou eixo dos � . A interseção das retas é chamada origem, à qual asso-
ciamos o par � � 	4� ! e atribuimos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamado
plano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadas
quadrantes. A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciproca-
mente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado. Por exemplo, os seguintes pontos
�
fi �
�
	
�
! 	�� fi � �
�
	
�
! 	�� fi � �
�
	(�
�
! 	
	 fi �
�
	(�
�
! , tem a seguinte representação no plano
coordenado:
D
A2
1
-1
-2
-2 10
x
y
B
C
Figura 1.4:
Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coor-
denado.
B
x
y
x
y
1 2
1
2
A
d
y
x
Figura 1.5:
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Sejam
�
fi � '��(	���� ! e � fi � '
�
	��
�
! pontos do plano. A distância
�
entre
�
e � é:
�
�
�
	 � !$fi
�
� '
�
�7'�� !
�
�
���
�
� ��� !
�
A distância possui as seguintes propriedades imediatas.
Proposição 1.1. Sejam
�
, � e � pontos do plano, então:
1.
�
�
�
	 � ! ��� e
�
�
�
	 �fl!$fi � se e somente se
�
fi � .
2.
�
�
�
	 � !$fi
�
� �ff	
�
! .
3.
�
�
�
	 � ! �
�
�
�
	 � !
�
�
� ��	 � ! .
Exemplo 1.4.
[1] Calcule a distância entre os pontos
�
fi �
�
	(�
	
! e � fi � �
�
	
�
! . Aplicando a fórmula:
�
�
�
	 �fl!+fi
�
� �
�
�
�
!
�
�
�
�
��� �
	
! !
�
fi �
	
�
0
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Figura 1.6:
[2] Determine o ponto � , que divide na razão �� o segmento de reta que liga os pontos � � ��	(� � !
e � �
�
	
� �
! .
Sejam �&fi � � ��	(� � ! , � fi � �
�
	
� �
! os pontos dados e � fi � ' 	���! o ponto procurado e � fi � ' 	(� � ! ,
	
fi �
�
�
	(�
�
! pontos auxiliares como no desenho:
1.5. EQUAÇÃO DA RETA 15
P
Q
S T
R
Figura 1.7:
Os triângulos � � � e � �
	
são semelhantes; logo:
�
� � 	 � !
�
� � 	
	
!
fi
�
� � 	 � !
�
� � 	 � !
e
�
� � 	 � !
�
� � 	
	
!
fi
�
� � 	 � !
�
� � 	 � !
0
Por outro lado,
�
� � 	 � ! fi
	
�
� � 	 � !
�
e
�
� � 	 � !$fi
�
� � 	 � !
�
0
Aplicando a fórmula da distância, temos que:
�
� � 	 �$!�fi '
�
� ,
�
� �fl	 � ! fi �
� � e
�
� � 	
	
! fi
�
�
.
Obtemos o sistema:
ff
'
�
� fi
�
�
�
���
fi � 	
que tem como solução: '�fi � fi � ; logo �&fi � � 	 � ! .
1.5 Equação da Reta
1.5.1 Equação Geral da Reta
Sejam � ��fi � ' �(	���� ! e �
�
fi � '
�
	��
�
! dois pontos distintos no plano:
x1 2
2
1
P
P
1
2y
y
x x
y
Figura 1.8:
A equação da reta que passa pelos pontos � � e �
�
é:
�+'
�
�
�
���
fi �
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
onde � fi � � � �
�
, � fi '
�
�7'�� e � fi '����
�
��'
�
��� . Veja [TA], [LB].
Se � fi � a reta é horizontal; se ��fi � a reta é vertical. O ponto � � fi � ' � 	�� � ! pertence à reta
�+'
�
�
�
���
fi � se �+' � � �
� � �fi� fi � .
Exemplo 1.5.
[1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos � ��fi � � � 	
	
! e �
�
fi �
�
	(� � ! .
Neste caso: �flfi
	
�
� fi
�
, � fi
�
� �
fi
	
e � fi �
�
; logo, a equação é:
�
'
�
	
� �
�
fi � .
-1 1 2 3 x
-4
-2
2
4
y
Figura 1.9: A reta
�
'
�
	
�fl�
�
fiffi� .
[2] Determine
�
tal que o ponto � fi �
	
	
�
! pertença à reta
	
'
�
 �fl�
�
�
fiffi� .
O ponto �&fi �
	
	
�
! pertence à reta
	
'
�
 � �
�
�
fi � se, e somente se
	
�
	
�
 �
�
�
�
�
fi � ; logo,
�
fi
	
.
-1 1 2 3 4 5 x
-1
1
2
3
4
y
Figura 1.10: A reta
	
'
�
 � �
�
�
fi � e o ponto � fi �
	
	
	
* 
1! .
1.5.2 Equação Reduzida da Reta
Se uma reta não é paralela ao eixo dos � , então ���fi � . Fazendo:
�
fi
�
�
� ���
'
�
�7'
�
e � fi
'
�
� � �7'�� �
�
'
�
�7'
�
	
1.5. EQUAÇÃO DA RETA 17
obtemos a equação reduzida da reta:
�flfi
�
'
�
�
� é chamado coeficiente angular da reta e � coeficiente linear da reta. É fácil ver que a equação
da reta que passa pelo ponto � � fi � ' � 	�� � ! e tem coeficiente angular � é:
� � �
�
fi
�
� '��7'
�
!
Exemplo 1.6.
[1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos � � fi �
�
	
�
! e �
�
fi � � 	 
1! .
Neste caso: � fi � e fazemos � � fi � � ou � � fi �
�
; então, se ' � fi
�
e � � fi � , temos, � �ff' � � fi �
ou � fi 'ff� � .
-1 1 2 3 x
-2
-1
1
2
y
Figura 1.11: A reta � fi '�� � .
[2] Escreva na forma reduzida a equação: � ' �
�
�
�
 fi � .
A forma reduzida é do tipo �flfi � ' � � ; então, �flfi �
�
'����
�
1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas
Sejam � fi � ��' � � � e ��fi �
�
'
�
�
�
as equações de duas retas. As retas são paralelas se, e
somente se:
�
�$fi
�
�
0
As retas são perpendiculares se, e somente se:
�
� �
�
�
fi �
�
0
Logo, as retas de equações � ��' � � � � �
� � fi&� e �
�
'
�
�
�
�
�fi�
�
fi � são perpendiculares, se, e
somente se:
� � �
�
�
� � �
�
fi � 0
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Exemplo 1.7.
[1] Ache o valor de
�
tal que as retas::
(a) � �
�
�
�
�
! '
�
�
� fi
� e � �
	
'
�
�
�
�
�
�
�
fiffi� sejam paralelas.
(b)
�
� fi '
�
�
� e � � � fi
�
�
�#' sejam perpendiculares.
(a) As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo,
�
�
�
�
�
�
fi
	
; donde
�
fi
� .
(b) As retas são perpendiculares se: �
�
�
� � �
�
�
�/!$fi �
� , donde
�
fi �
�
�
.
-0.4 -0.2 0.2 0.4 x
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
-1.0 -0.5 0.5 1.0 x
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 1.12: As retas do exemplo (a) e (b), respectivamente.
[2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas
�
'+�
	
�
�
�
fi � e 
 ' � � � � fi �
e é perpendicular a
�
'�� �
���
fi � .
Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:
ff
�
'��
	
� fi �
�
 '
�
� fi � � 0
Obtemos o ponto � �
�
	
�
! . A reta que procuramos tem equação � fi �
�
'
�
� tal que � ��� �
�
fi �
� ,
onde � �$fi
�
é o coeficiente angular da reta
�
' � �
� �
fi � ; logo, �
�
fi �
�
�
e � fi �
'
�
�
� . Como
a reta passa por � �
�
	
�
! , a reta procurada é ' �
�
� fi � .
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 1.13: As retas do exemplo [2].
1.6. EQUAÇÕES
DAS CÔNICAS 19
1.6 Equações das Cônicas
A equação do segundo grau em duas variáveis:
�
'
�
�
� �
�
�
	�'
���
�
���
fiffi� 	
sendo
�
e � não simultanemente nulas representa, em geral, uma curva no plano chamada
cônica, cuja natureza depende dos coeficientes
�
, � , 	 , � e � . Podemos considerar dois casos:
�
�fi � e � �fi � e
�
� fi � .
Caso 1 : Se
�
�fi � e � �fi � , completando quadrados dos binômios nas variáveis ' e � , a equação
acima pode ser escrita como:
�
� '
���
!
�
�
�����
�
�
!
�
fi�� 	
onde � fi��
�
	
,
�
fi��
��
e � fi
�
�
�
�
�
�
�
�
� . Se � fi � , o lugar geométrico é um ponto.
Se � e � ou
�
tem sinais opostos, não existe lugar geométrico. Se � �fi � , a equação pode ser
escrita como:
�
�
!
� '
���
!
�
�
	
�
���
�
�
!
�
�
fi
�
0
Se
�
� � � (
�
e � tem o mesmo sinal) e � tem o mesmo sinal de
�
ou � , a equação � � ! pode
ser escrita como:
�
�
!
� '
���
! �
�
�
�
���
�
�
! �
�
�
fi
�
onde � � fi
�
	
e � � fi
�
. A equação �
�
! representa uma elipse centrada em � � � 	(�
�
! e eixos
paralelos aos eixos coordenados; no caso particular
�
fi � , a equação representa um círculo de
raio � , centrado em � � � 	(�
�
! :
� '
���
!
�
�
���
�
�
!
�
fi �
�
Se
�
� ��� (
�
e � tem sinais opostos). Se � ��� e
�
��� (ou � ��� e � ��� ), a equação � � ! pode
ser escrita como:
�
	
!
� '
���
! �
�
�
�
���
�
�
! �
�
�
fi
�
onde � � fi
�
	
e � � fi
�
�
�
�
� .
Se ����� e � ��� (ou � ��� e
�
��� ), a equação � � ! pode ser escrita como:
� � !
���
�
�
! �
�
�
�
� '
���
! �
�
�
fi
�
onde � � fi
�
�
�
	
�
� e � � fi
�
. As equações �
	
! e � � ! representam uma hipérbole de eixos paralelos
aos eixos coordenados.
Se �ffifi � , a equação pode ser escrita como:
�
� '
���
! �
�
�����
�
�
! � fi � , que representa duas
retas que se intersectam.
Caso 2: Se
�
fi � ou � fiffi� . Supondo
�
fi � e � �fiffi� , a equação é:
� �
�
�
	�'
���
�
���
fi �
20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
que representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos ' .
Se
�
�fi � e �&fi � a equação é:
�
'
�
�
	�'
���
�
���
fi �
que é a equação de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos � . Se
�
fi � fi � , a equação
representa uma reta.
Exemplo 1.8.
Diga o que representam as seguintes equações:
[1] � ' � � � � �
	
�
'��
�
�
�
���
� fi � .
[2] ' � � � � �
�
'�fi
	
.
[3] � �fl� � � '�� fi
	
� .
[4] � '�� � � �fl� � � � ' ��� �fl�
	
�
fi � .
[5] ' � � � � �
�
'�� � � �
	
fi � .
[6] �fl����'ff� � fiffi� .
[7] ' � � � � �
	
fi � .
Soluções:
[1]
�
fi � , � fi � ,
�
� � � ; 	 fi �
	
�
, � fi � �
�
e � fi � � ; logo, � fi � � ,
�
fi ��� , � fi � � , �fl� fi	� e
� � fi
�
� . A equação representa uma elipse centrada no ponto � ��	 �1! de equação:
� 'ff� � ! �
�
�
���fl� �1! �
�
�
fi
�
0
[2]
�
fi � fi
� ,
�
� � � ; 	 fi �
�
, � fi � e � fi �
	
; logo, ��fi � , � fi � � ,
�
fi � e � � fi � � fi � . A
equação representa um círculo centrado em � � 	4� ! , de raio
�
e tem a forma: � '�� � ! � � �fl� fi � .
1 2 3 4 5 6 x
2
4
6
8
10
y
-1 1 2 3 x
-2
-1
1
2
y
Figura 1.14: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente.
[3] Como
�
fi � � , � fi � , 	 fi � fi � e � fi �
	
� , temos:
�
� � � , � fi
�
fi � , � fi
	
� ,
� � fi �6� � �1fi � e � � fi � . A equação representa uma hipérbole e pode ser escrita como:
� �
�
�
'��
�
fi
�
0
1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 21
[4] Como
�
fi � , � fi � � , 	 fi � � � , � fi � e � fi �
	
� , temos:,
�
� ��� , � fi � � ,
�
fi �
� , � fi
	
� ,
� � fi � e � � fi � . A equação representa uma hipérbole:
� '��
�
! �
�
�
��� �
�
! �
�
fi
�
0
-4 -2 2 4 x
-3
-2
-1
1
2
3
y
-2 2 4 x
-4
-2
2
4
y
Figura 1.15: Desenhos do exemplo [3] e [4], respectivamente.
[5] Como
�
� fi �
�
� � e � fi � , a equação representa duas retas concorrentes; de fato:
'�� � �fl� �
�
'�� � � �
	
fi � '��
�
! � �����
�
�
! � fi � . Logo, � '�� � ! � fi ��� �
�
! � ; então, �flfi '��
	
ou
� fi � '��
� .
[6] Como
�
fi � , �&fi � , a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos ' .
-4 -2 2 4 x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
-1 1 2 3 4 5 x
-2
-1
1
2
y
Figura 1.16: Desenhos do exemplo [5] e [6], respectivamente.
[7] Como �&fi � , a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos � .
22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
-3 -2 -1 1 2 3 x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 1.17: Desenho do exemplo [7].
1.7 Trigonometria
Inicialmente faremos uma revisão do conceito de radiano. Sabemos que arcos de círculos que
subtendem o mesmo ângulo central são semelhantes e que a razão da semelhança é a razão
entre os raios. Num círculo de centro � e raio � , seja � o comprimento do arco
�
� subtendido
pelo ângulo central � .
A
B
l
r
α
O
Figura 1.18:
� é diretamente proporcional a � e à medida do ângulo � . Admitindo que o arco e o raio sejam
medidos com a mesma unidade e denotando por ���
�
� � ! a medida do ângulo � , temos � fi
�
�
���
�
� � ! , onde a constante
�
depende da unidade de medida de ângulos escolhida. Radiano
é a unidade de medida de ângulos para a qual
�
fi
� , ou seja, tal que �fffi�� ���
�
� � ! . Em
resumo, a medida do ângulo � em radianos é dada pela razão: � *�� , onde � é o comprimento
do arco subtendido no círculo cujo centro é o vértice do ângulo e � é o raio do círculo. Como o
comprimento de um semi-círculo ou arco de � � �
�
é 
�� , então � � �
�
fi 
 radianos; logo,
�
� �
�
fi
�
� �
�
�
�	�
fi
�
�
0
Note que a medida de um ângulo em radianos não depende da unidade de comprimento consi-
derada. No plano coordenado consideremos um círculo orientado no sentido anti-horário,
centrado na origem e de raio igual a � . Este círculo é denominado círculo trigonométrico. O
ponto
�
, interseção do círculo com o semi-eixo positivo das abscissas é chamado origem. Os
pontos
�
, � , � , 	 , interseções do círculo com os eixos coordenados o dividem em quatro partes
congruentes.
1.7. TRIGONOMETRIA 23
B
C A
D
III
II I
IV
Figura 1.19:
Como a equação do círculo é '�� � � �flfi � , seu comprimento é � fi
�
 . Portanto, a medida de
qualquer arco deste círculo é igual a sua medida em radianos.
Considere o ângulo � que determina sobre o círculo de raio � , o arco de origem
�
fi �
�
	4� ! e
extremidade � fi � ' 	���! tais que � � � �,fi ' e � ��� �1fi � , como no desenho:
M
O
α
P A
Figura 1.20:
O seno do ângulo � é denotado por � � �$� � ! e definido por: � � �$� � !$fi ��0
O co-seno do ângulo � é denotado por ��� � � � ! e definido por: ��� � � � !$fi ' 0
A tangente do ângulo � é denotada por ��� � � ! e definida por: ��� � � ! fi
	
�
se ' �fi � ; equivalente-
mente,
��� � � !$fi
�
�
�$� � !
���
� � � !
	 se ��� � � � ! �fi � 0
A co-tangente do ângulo � é denotada por ��� ��� � � ! e definida por ��� ��� � � !+fi
�
	
se � �fi � ; equiva-
lentemente,
���
��� � � !$fi
���
� � � !
�
�
�$� � !
	 se � � �$� � ! �fi � 0
Identidade Fundamental : Do triângulo ��� � e como ' � � � � fi
� , tem-se:
�
�
�
�
� � !
� ���
�
�
� � ! fi
�
0
As definições de seno, co-seno, tangente e co-tangente de um ângulo agudo são coerentes com
nossa definição. Por simetria, podemos obter os valores para os arcos maiores que 
 *
�
. Como
24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
dois arcos são congruentes se suas medidas diferirem por um múltiplo de
�
 , temos que dois
arcos congruentes tem a mesma origem e a mesma extremidade, portanto o mesmo seno, co-
seno, etc. É comum representar todos os arcos congruentes ao arco � por � �
�
�
 , onde
�
é um
número inteiro. A partir das relações anteriores, definimos a secante e a co-secante do ângulo
� por:
�
�
�
� � !+fi
�
'
fi
�
���
� � � !
e ��� � � � � � !$fi
�
�
fi
�
�
�
�$� � !
	
onde ��� � � � ! �fi � e � � �$� � ! �fi � , respectivamente. A seguir apresentamos algumas propriedades:
Se � �fi
�
 *
�
	
�
�� : ��� � � ! ��� ��� � � !�fi � 0 Se � �fi 
 *
�
�
�
 	
�
�� : � � � �,� � ! � ��� �1� � !�fi � 0 Se
� �fi
�
 	
�
�� : ��� � � � � � � ! � ��� ��� � � � ! fi � 0 Observamos que para qualquer ângulo � tem-se:
� �
�
�$� � ! � �
� e � ��� � � � ! ��� � 0
Adição dos arcos :
�
�
�$� ��� � ! fi �
�
�$� � !
���
� � � !�� �
�
�$� � !
���
� � � ! 0
���
� � ��� � ! fi
���
� � � !
���
� � � !	� �
�
�$� � ! �
�
�$� � ! 0
��� � �
� � ! fi
��� � � !�� ��� � � !
�
� ��� � � ! ��� � � !
0
A verificação destas propriedades pode ser considerada como exercício. Usando as definições
é possível deduzir muitas outras propriedades ou identidades trigonométricas. Por exemplo:
1. � � �$�
�
� !$fi
�
�
�
�$� � !
���
� � � !
2. ��� � �
�
� !$fi
���
� �1� � ! � �
�
� �,� � !
3. � � � �6� � !$fi
�
�
���
� �
�
� !
�
4. ��� � � � � !$fi
� �����
� �
�
� !
�
0
A seguir os valores mais utilizados de seno e co-seno:
� � 
 * � 
 * � 
 *
	
 *
�
	
 * � 
�
�
�$� � ! �
�
*
�
�
�
*
�
�
	
*
�
�
�
�
*
�
�
���
� � � !
�
�
	
*
�
�
�
*
�
�
*
�
� � �
�
*
�
�
�
� 
 
 * � � 
 *
	 	
 *
�
 
 *
	
�
 * �
� �
 * �
�
�
�
�$� � ! � �
�
*
�
� �
	
*
�
�
�
� �
	
*
�
� �
�
*
�
�
�
*
�
�
���
� � � ! �
�
�
*
�
�
�
*
�
�
�
*
�
�
�
*
�
�
	
*
�
�
1.7.1 Aplicações
Lei dos Senos Para qualquer triângulo
�
� � verifica-se:
�
�
�$� � !
�
fi
�
�
�$� � !
�
fi
�
�
�$�
�5!
�
	
onde �flfi�� � � � , � fi �
�
� � , � fi��
�
� � são os lados opostos aos ângulos �7fi�� �
�
� , �7fi��
�
� � e
��fi��
�
� � , respectivamente. Considere o seguinte desenho:
1.8. EXERCÍCIOS 25
C
B
α
β
D
b
a
A
c
γ
Figura 1.21:
Seja 	 o ponto obtido pela interseção da reta que passa por � e é perpendicular ao lado
�
� .
Logo:
�
�
�$� � ! fi
� � 	 �
�
�
� �
	 �
�
�$� � ! fi
� � 	 �
� � � �
	
o que implica: �
�
� � �
�
�$� � ! fi � � 	 ��fi � � � � �
�
�$� � ! . Portanto: �
�������	�
�
fi
�
�������
�
� . Analogamente,
obtemos:
�
�
�$� � !
�
fi
�
�
�$� � !
�
fi
�
�
�$�
�5!
�
0
Área de um triângulo : Como aplicação direta da lei dos senos, obtemos a área do triângulo
�
� � :
�
fi
�
�
� � �
�
�$�
� ! fi
�
�
�
�
�
�
�$� � ! fi
�
�
�
�
�
�
�$� � ! 0
1.8 Exercícios
1. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto
solução:
(a) '
�
�7'
�
���
(b) '�� �
�
� '
(c) '�� � '-�
�
(d) � 'ff� 
1!
�
� '
���
� ! ���
(e) � ' �
�
� �
�
(f) � 'ff� 
 � � � ' ��� �
(g) � ' � ��� � '�� �fl���
(h) � 'ff� � � � � �
�
'
���
�
(i)
	
'�� 
�
'
�
�
�
�
(j) � '�� � � � � ' ��� �����
(k)
�
'�� �
�
� '�� ��'
(l) � 'ff� � � � � 'ff�
�
��� �
�
� 'ff�
�
�
(m) '�� �
�
'
� �
�&� 'ff� �1! �
(n) � '�� ��'�� � � �
�
(o)
� '
�
� 
 '
�
� �
� '
�
� � �
�
�
26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
(p) � '�� � � � � ' �
�
� �
� '��
�
�
�
(q) � ' ��� � � � ' �
�
� ���
�
� '��
�
�
(r) � ' � � � � � � '�� � �
2. Determine os valores de ' tais que:
(a) � '
�
fi '
(b)
�
� 'ff�
�
!
�
fi '��
�
(c)
�
'
�
�
�
'
���
fi
�
� '
(d) � '
�
fi ' �
(e) � ' ��� �1fi � '�� � �
(f) � 'ff� � � � fi �
�
'ff�
�
�
(g) � ' �1fi � ' �
�
�
(h) � '�� � � � fi �
�
'
���
�
3. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de serem falso:
(a) Para todo ' , � e � : � ' � � � � �,fi � ' � � � � � � � � � e
(b) para todo ' e � : � '�� � � � � ' � � � ��� .
4. Marque os seguintes pontos no plano coordenado e calcule a distância entre eles:
(a) � ��	 
1!�� � � ��	(��
1!
(b) � � 	 �1!�� � �
	
	(���1!
(c) � �
�
	(�
	
!�� � �
�
	(���1!
(d) � 
 	
�
!�� � � ��	
	
!
(e) �
�
�
	
�
!�� � � 	
�
!
(f) � � 
 	
	
!�� �
	
	 
 !
(g) � ��
 	 �1!�� � ��	(�
�
!
(h) � � � 	(� � � !�� � � � 	
�
!
(i) � � ��	 
1!�� � � ��	 �1!
(j) �
�
�,�
�	
	
!�� �
�
 	
�
	
!
5. Utilize a fórmula da distância para verificar que os pontos � �
�
	
�
! , �
�
	
�
! , � � � 	�� ! são coli-
neares.
6. Utilize a fórmula da distância para verificar que os comprimentos das diagonais de um
retângulo são iguais.
7. Verificar que os seguintes pontos: �
	
	(�
	
! , � �
	
	
	
! e �
	
�
	
	
	
�
	
! são os vértices de um
triângulo equilátero.
8. Determine os pontos equidistantes dos pontos � � 	(�
�
! e � � 	�� ! .
9. Verifique que a distância do ponto � ' � 	�� � ! à reta � ' � � � ��� fi � é
� � '
�
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
0
10. Determine a distância entre as retas �,' �
	
�
���
�
fi � e �,' �
	
�fl�
	
�
fi � .
11. Ache a equação da reta que passa pelos pontos:
1.8. EXERCÍCIOS 27
(a) � ��fi �
	
	
�
!�� �
�
fi � 
 	
�
!
(b) � ��fi � � 	
	
!�� �
�
fi �
�
	 
1!
(c) � � fi � ��
 	
	
!�� �
�
fi � � 	�� !
(d) � ��fi � � 	(� � !�� �
�
fi � �
�
	
�
!
(e) � ��fi �
�
	
	
!�� �
�
fi � ��	
�
!
(f) f) � � fi � � 	 � !�� �
�
fi � �
�
	(�
�
!
12. Obtenha a equação da reta paralela à reta
�
'
�
	
�
� �
fi � e que passa pelo ponto � fi
� 
 	(�
�
! .
13. Ache a equação da reta perpendicular à reta
�
'
�
 ���
�
fi � e que passa pelo ponto
�&fi �
�
	
�
! .
14. Verifique que as retas
�
'
�
	
� fi
� e � '�� � � � � fi � são perpendiculares.
15. Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
(a)
	
�fl� �
�
'��
�
�
�
���
�
fi �
(b) � �6'�� � � �fl� fi � � � �
(c) '�� � �fl� �
�
'��
�
fi �
(d)
�
'
�
�
�,'
�
	
�fl� � fi �
(e) �6' � � � � � � � � 'ff� � � � � � � fi �
(f) �6'�� � � � �fl� �
	
�6'��
	
�
�fl�
�
�
� fi �
(g) �6'�� ��� � �fl� fi
�
(h) '�� � � � ��� �6' ��� � � � � � fi � 0
(i) 
6'�� �
�
6'
���
� �fl� � 
 fiffi�
(j) '�� � � ' � � �fl� �
	
� fi �
0
(k) ' � � � � � � '�� � � fi �
(l) ' � � � � � � � '�� � � � ���
	
� fiffi� 0
(m) '�� � � � ��� ' ��� � � � �1� fi �
(n) � '�� � � � � ���
�
'��
	
�
��fi �
	
�
0
16. Seja � um ponto numa parábola ou numa elipse. Uma reta que passe por � é dita tangen-
te à parábola ou à elipse no ponto � se a parábola ou a elipse estão contidas inteiramente
num dos semi-planos determinado pela reta. Verifique que a a reta � fiffi��' � � é tangente
à parabola � fi �+' � � ��' ��� no ponto � � 	 � ! .
17. Dada a reta �flfi ' �
�
e o círculo '�� � �fl� fi � , determine
�
tal que:
(a) sejam secantes;
(b) sejam tangentes.
18. Para que valores de
�
a reta � fi
�
' é tangente ao círculo ' � � � � �
�
� �
�
	
� fi � ?
19. Obter o valor simplificado de:
(a) � � ��� � �
�
�
(b) ��� �
�
�
�
���
�
�
(c) � � � � � � � 
 !
(d) � � �$� � �
	
� � 
 !
(e) ��� � � � � � � � 
 !
(f) � � ��� � � ���
�
�
���
��� �
�
�
�
�
28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
20. Verifique as seguintes identidades trigonométricas:
(a) ��� � ' ! � ��� ��� � ' !+fi
�
���
�
�
�
�
�
'5!
(b)
���
�
�
� �
���
�
�
� ���
���
� � �
fi
�
���
� � � ' !
(c) � � �$� ' ! ��� ��� � ' ! � � � � ' !�fi �
(d) � � �$� ' ! ��� � � '5! � ��� � '5! �fi��� ��� � ' ! !+fi �
(e) � � � � � ! � ��� � � ! fi
���
�
������� �
�
�
�
�
���
	
�
�
	
�
21. Prove as seguintes propriedades:
(a) ��� � � � ! ����� � � � ! fi
�
���
���
�
�
�
�
�
���
� �
��� �
�
�
(b) ��� � � � ! � ��� � � � ! fi �
�
�
�
���
�
�
�
�
� �
�
���
��� �
�
�
(c) � � �$� � ! � � � �$� � ! fi
�
�
�
���
�
�
�
�
�
���
� �
��� �
�
�
(d) � � �$� � ! � � � �$� � ! fi
�
�
�
���
��� �
�
�
���
� �
�
�
�
�
�
22. Num triângulo de ângulos �$	 � e � e lados ��	
� e � tal que
��
fiffi�
�
�
�fi� , verifique:
(a) � fi
�
�
� �
���
	
�
�
�
�
���
	
�
�
�
�
���
	
�
� fi
�
�
� �
���
	
�
�
�
�
���
	
�
�
�
�
���
	
�
e � fi
�
�
� �
���
	
�
�
�
�
���
	
�
�
�
�
���
	
�
0
(b) � � ��� � � � ! fi �
� ������� � �
�
�
�
�
�
	
� �����
� � � !$fi
�
� � �
� � �
�
�
0
(c) A área do triângulo é
�
�
����! �
� �#! �
�
�
! . Esta expressão é chamada Fórmula
de Herón.
23. Lei dos Co-senos: Para qualquer triângulo
�
� � , verifique:
(a) � � fiffi� � ��� � �
�
�
�����
� � � !
(b) � � fi � � ��� � �
�
�
�����
� � � !
(c) � � fi � � � � ���
�
���
���
� �
� !
onde � fi � � � � , � fi �
�
� � , � fi �
�
� � são os lados opostos aos ângulos � fi � �
�
� ,
�7fi �
�
� � e ��fi �
�
� � , respectivamente.
24. Determine a área do triângulo
�
� � , se:
(a) � fi � � 	
� fi
	
	 �)fi
�
�
(b) � fi � 	�� fi 
 	 ��fi � �
(c) � fi � 	 � fi 
 	 ��fi �
�
(d) � fi ��	 � fi � � 	��7fi � �
25. Sejam a reta �flfi � ' � � e � o ângulo formado pela reta e o eixo positivo dos ' . Verifique
que � fi ��� � � ! . Determine a equação da reta que passa pelo ponto indicado e forme com
o eixo dos ' o ângulo dado.
1.8. EXERCÍCIOS 29
(a) � fi � � � �&fi �
�
	 
1!
(b) � fi ���� � �&fi �
�
	 
1!
(c) � fi �
�
� �&fi � '
�
	��
�
!
(d) �7fi � � �&fi � ' � 	�� � !
(e) �7fi � � � �&fi � � 	4� !
(f) �7fi � � � �&fi � �
	
	(�
�
!
(g) �7fi �
�
� � fi �
�
	
�
	
!
(h) �7fi 
 � �&fi � � 	 � !
26. Dada a equação
�
���
� � � � ! ' � � �
���
� � � ! '
�
�
���
� � � � ! �
�
fiffi� , sendo � � � � 
 :
(a) Para que valores de � a equação tem soluções reais?
(b) Para que valores de � a equação admite raízes reais negativas?
27. Resolva as inequações:
(a) � � �$� '5! ����� � � ' ! �
�
�
�
(b) � ��� � ' ! ���
�
	
(c) � � � � � ' ! � �
(d) � � � �,� ' ! � �
�
se '-
 2 � 	 
 3
28. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a
	
� de uma
parede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede. Saben-
do que esta sombra tem �
�
� e que a altura do poste é
�
�
� , determine a inclinação dos
raios solares em relação ao plano horizontal.
29. Um retângulo com lados adjacentes medindo � � �$� � ! e ��� � � � ! com � ����� �
�
tem períme-
tro igual a
�
� Calcule a área do retângulo.
30. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos
�
, � e � . O
comandante, quando o navio está em
�
, observa um farol � e calcula o ângulo � �
�
� fi
	
�
�
. Após navegar � milhas até � , verifica o ângulo � � � � fi
�
�
�
. Quantas milhas separa
o farol do ponto � ?
30 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capítulo 2
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
2.1 Definições e Exemplos
Neste capítulo estudaremos uma das noções fundamentais da Matemática, o conceito de fun-
ção. Uma função de uma variável real é uma regra que descreve como uma quantidade é
determinada por outra quantidade, de maneira única. Existem várias alternativas para definir
formalmente uma função. Escolhemos a seguinte:
Definição 2.1. Sejam
�
	
��� � . Uma função � definida em
�
e com valores em � é uma regra que
associa a cada elemento ')
�
um único elemento �ff
 � .
As notações usuais são: ���
�
��� � tal que � fi�� � ' ! ou
���
�
��� �
')���	� � '5! 0
O número ' é chamado variável independente da função e � variável dependente da função.
Exemplo 2.1.
[1] A seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água de uma represa, representa uma
função:
Dia � 2 3 4 5 6 7
�
�
* �
�
�
	
� � 
�
� 870 870 950 497 510
De fato, a tabela representa uma função, pois a cada dia fica associada uma única quantidade de
vazão. Note que, possivelmente, não existe uma fórmula matemática para expressar a função
do exemplo, mas, a definição de função é satisfeita.
[2] Foi feita uma pesquisa de preços (em R$) de produtos da cesta básica em três supermercados
31
32 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
de um determinado bairro, obtendo-se a seguinte tabela:
Produto Sup. A Sup. B Sup. C
�
�
0 �
�
0 �
�
0 
�
�
� 0 � � � 0 � �
�
0 �
	
�
0
�
� �
0 
�
0 �
�
�
0
�
	
�
0���
�
0
	
�
	
0
�
	
0 �
�
0 � 
� ��0 �
�
	
0 � � ��0
�
�
�
0
	
�
0 �
� �
0 
Esta tabela não representa uma função, pois a cada produto corresponde mais de um preço.
[3] A área de qualquer círculo é função de seu raio.
Se o raio do círculo é denotado por � , então,
�
� � ! fi 
 � � . Um círculo de raio igual a 
�� 0 � 0 ,
tem área
�
� 
1!flfi
�
 
�� 0 � ; um círculo de raio igual a
	
�,��� 0
�
0 , tem área
�
�
	
�,� ! fi � �,�,�,� 
�� 0 � .
( � 0 � 0 =unidades de comprimento) e ( � 0 ��0 =unidades de área).
[4] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilin-
dro circular reto de � � ( � fi metros) de altura, com um hemisfério em cada extremidade. O
volume do tanque é descrito em função do raio � .
r
Figura 2.1: Tanque de raio � .
O volume do cilindro é � � � 
 � � e o dos dois hemisférios é
� �
�
	
�
� ; logo, o volume total é:
�
� � ! fi
� �
�
� �
�
�1! 
	
�
�
0
Por exemplo, se o raio for � fi � � , o volume é
�
�
�
! fi
�
�
	
�
� .
[5] Dois satélites
artificiais estão circulando ao redor do Equador em uma órbita de raio igual a
��0
�
	��
�
�	�
�
� . O comprimento � que separa os satélites, se eles tiverem uma separação angular
de � (em radianos), é ��fi � � , onde � é o raio.
2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 33
s
θ
Figura 2.2: Satélites em órbita.
Logo, podemos descrever o comprimento � em função da separação angular:
� � � ! fi � ��0
�
	 �
�
�
�
! ��0
[6] Lei de Boyle: O volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional à pressão a que
ela está submetida, isto é, o produto da pressão pelo volume é constante, se a temperatura do
gás é constante. Denotamos a pressão por � , o volume por
�
e a temperatura constante por � ;
então, �
�
�
fi � . Podemos escrever a pressão em função do volume:
� fi � �
�
! fi
�
�7	 ou o volume em função da pressão:
�
fi � � � ! fi
�
�
0
[7] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: (Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias
ou veias). Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos tem
formato cilíndrico não elástico.
R
Figura 2.3: Vaso de raio � .
Denotemos por � o raio e � o comprimento. Devido a fricção nas paredes do vaso, a velocidade
� do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso e decresce se a distância
�
do eixo à
parede cresce e é zero na parede. A relação entre a velocidade da circulação e
�
é dada por:
�
�
�
!+fi
��� �
�
�
�
�
!
� ���
	
onde � é a viscocidade do sangue e � a diferença entre a pressão de entrada e a da saída do
sangue no vaso. Experimentalmente, para o sangue humano numa veia: ��fi � 0 �,�
�
�
, � fi
�
,
� fi
�
�
�
�
�
�
e �&fi �
�
�
�
� , logo:
�
�
�
!+fi
� �
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
0 
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
* �
�
�
0
34 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
[8] Temos � �,�,� metros de arame para fazer um curral de formato retangular. Podemos escrever
a área do curral em função de um dos lados. De fato, se ' e � são os lados do curral, seu
perímetro é
�
� '
�
� ! fi
�
�,�,� e a área do retângulo é
�
fi ' � ; logo:
�
� '5! fi ' � 
 �,� �7'5! fi 
 �,� '��7'
�
0
[9] Fisiologistas desenvolveram uma fórmula para determinar a superfície corporal de animais
em função de seu peso. Se denotamos por � a superfície corporal, então:
� �
! fi
���
�
�
	
onde
é o peso em quilos do animal e
�
� � é uma constante que depende do animal. Experi-
mentalmente, é conhecido que
�
fi � 0
� � para humanos e
�
fi � 0
� � � para primatas. Por exemplo,
um homem de
�
� quilos tem uma superfície corporal aproximada de:
� �
�
� !$fiffi� 0
� �
�
�
�
�
�
�
fi
�
0
�
�
�
�
	
�
�
�
�
uma criança de
�
� quilos tem uma superfície corporal aproximada de:
� �
�
� !+fi � 0
� �
�
�
�
�
�
�
fi � 0
� �
� �
�
�
�
0
� �
! fi � 0
� �
�
�
�
�
20 � 0 � �
�
�
�
�
�
�
�
fi
� 0
� �
� �
�
�
�
54 � 0 � �
�
�
�
 �
�
�
fi
�
0 
�
�
�
�
�
70 � 0 � �
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
0
�
�
�
	
�
�
�
86 � 0 � �
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
0
�
�
	
�
�
�
�
90 � 0 � �
�
�
�
� �
�
�
fi
�
0
�
� �
�
�
�
�
120 � 0 � �
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
0 �
�
�
�
�
�
�
[10] Considere
�
fi � e � a regra que associa a cada número real '&
�
, o seu cubo, isto é:
� fi � � ' ! fi '�� 0
Por exemplo, ao número � � associamos o número � � � � !�fi � � � ! � fi � � ; ao número
�
associa-
mos o número � �
�
!$fi �
�
! ��fi
� ; ao número
�
�
associamos o número � �
�
�
!$fi
�
�
�
, ao número
�
�
� � associamos o número � � �
�
���
! fi � �
�
���
!
� , etc.
' � � '5! fi '
�
-1 � � � ! � fi � �
2 �
�
!
�
fi
�
�
�
�
�
�
!
�
fi
�
�
�
� �
�
�
�
� �
� �
�
���
!
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
���
�
� �
�
� ���
�
�
���
!
�
� �
�
� ���
�
�
���
!
�
�
2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 35
[11] Seja
�
fi 2 � 	
�
�
! e � a regra que associa a cada número real ')� � sua raiz quadrada, isto é:
��fi � � '5!$fi
�
' 0 Por exemplo, ao número � associamos o número � � � !$fi
�
� fi � ; ao número �
�
associamos o número � � �
�
! fi � �
�
fi � � e ao número � � não podemos associar nenhum número
real, pois,
�
� � não é um número real.
' � � ' ! fi
�
'
0 �
2
�
�
4
�
-4 indefinido
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
���
�
�
� �
	
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
���
!
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
���
!
�
[12] Seja
�
fi � e � a seguinte função :
� � ' ! fi
ff
'
� se ')�
�
'�� se ')�
�
0
Ao número � � associamos o número � � � � !�fi � � � !
�
fi
� ; ao número
�
associamos o número
� �
�
! fi
�
� fi
� ; ao número
�
�
associamos o número � �
�
�
! fi �
�
�
!
�
fi
�
, etc.
' � -1 -3 2 �
	
� 
� � ' ! � � �
�
!
�
fi
�
� �
	
!
�
fi � �
�
!
�
fi
�
	
�
[13] Seja
�
fi � e � a seguinte função :
� � '5! fi
ff
� se '-
�
�
� se ' *
�
0
Por exemplo, ao número � � associamos o número � � � � ! fi � ; ao número
�
associamos o núme-
ro � �
�
! fi
� ; ao número
�
�
associamos o número � �
�
�
! fi �
� , pois
�
�
é irracional; � � 
 !$fi � � ;
�
�
�
�
�
fi
� .
' � -1 2 �
�
	
�
� � ' !
� � �
�
�
�
�
�
�
Nos exemplos [3], [4], [5], [6],[7], [8], [9], [10], [11] e [12] as funções são definidas por equações
(que fornecem � quando são atribuidos valores a ' ). No exemplo [13], a função não é dada
por uma equação, mas, a definição de função é satisfeita. Em geral, nem todas as funções são
necessariamente, definidas de maneira explícita. Por exemplo:
[14] Se, durante o verão de 2006, no Rio de Janeiro, registrássemos a temperatura máxima
ocorrida em cada dia, obteríamos uma função. De fato, a cada dia, está associado uma única
36 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
temperatura máxima, isto é, a temperatura é função do dia. Embora não exista uma fórmula
explícita para expressar a função do exemplo, a definição de função é satisfeita.
Em geral, a maioria das funções usadas nas aplicações são dadas por fórmulas ou equações.
Mas é preciso ter um pouco de cuidado, pois nem toda equação de duas variáveis define uma
função. Por exemplo, a equação � � fi ' não define uma função, pois para '�fi � temos dois
valores para � , a saber: ��fi � � ; mas � � fi ' dá origem a duas funções: ��fi � �(� '5! fi
�
' e
�)fi �
�
� ' !�fi �
�
' 0 Podemos imaginar uma função como uma máquina que utiliza uma certa
matéria prima (input) para elaborar algum produto final (output) e o conjunto dos números
reais como um depósito de matérias primas. Fica evidente que é fundamental determinar,
exatamente, neste depósito, qual matéria prima faz funcionar nossa máquina; caso contrário,
com certeza, a estragaremos; esta analogia nos leva às seguintes definições:
x f(x)
Figura 2.4:
Definição 2.2.
1. O conjunto de todos os ')
�� que satisfazem a definição de função é chamado domínio da função
�
e é denotado por 	 � � � � ! 0
2. O conjunto de todos os ��
 � tais que � fi � � ' ! , onde ' 
 	 � � � � ! é chamado imagem da
função � e é denotado por � � � � ! .
É claro que 	 � � � � ! � � , � � � � ! � � , e que 	 � � � � ! é o conjunto dos valores da variável in-
dependente para os quais � é definida; � � � � ! é o conjunto dos valores da variável dependente
calculados a partir dos elementos do domínio. Duas funções � e � são ditas idênticas se tem o
mesmo domínio 	 e � � '5!$fi � � ' ! , para todo '7
 	 ; por exemplo as funções � � ' !$fiffi' � 	 ' � � e
� � '5! fi '�� 	 ' 
�� são diferentes pois seus domínios são diferentes. Antes de ver alguns exem-
plos, voltamos a insistir que para estudar qualquer função, devemos sempre determinar os
conjuntos 	 � � � � ! e � � � � ! 0
Exemplo 2.2.
[1] A área de um círculo de raio � é
�
� � ! fi 
��
� ; � sendo o raio, temos: �fl��� ; logo,
	
�
�
�
�
! fi��
�
�
�
! fi � � 	
�
�
! 0
[2] Considere a função ��fi � � ' !$fi '�� ; é claro que não existem restrições para o número real ' ;
logo, temos que:
	
�
�
� � ! fi �
e � fi '�� ��� , para todo '-
�� ; então � � � � ! �&2 � 	 � � ! , então:
�
�
� � ! fi 2 � 	
�
�
! 0
2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 37
[3] Considere a função � fi � � ' ! fi
�
' . Uma raiz quadrada existe somente se '-��� ; então:
	
�
�
� � ! fi 2 � 	
�
�
! 0
Como todo número real '-��� possui raiz quadrada:
�
�
� � ! fi 2 � 	
�
�
! 0
[4] Considere a função ��fi � � ' !�fi
�
'
�
�
� . Como no caso anterior,
�
'
�
�
� existe somente se
'�� �
�
��� ; resolvendo a inequação temos:
	
�
�
� � ! fi � �
�
	(�
�
3fl�72
�
	
�
�
! e, novamente, temos: � � � � !$fi 2 � 	 � � ! 0
[5] Considere a função �flfi � � '5! fi
�
'
; é claro que � é definida se e somente se ' �fi � ; logo temos
que:
	
�
�
� � ! fi ��� %/� . fi � �
�
	4� ! �7� � 	
�
�
!��
por outro lado, uma fração é nula se e somente se o numerador é nulo; então
�
�
� � ! fi � � %/� .10
[6] Considere a função � fi � � ' ! fi
�
'
�
�
�
; como no caso anterior o denominador da fração não
pode ser nulo; logo '�� � � �fi � ; então, ' �fi � � e:
	
�
�
� � ! fi ��� % �
�
	
�
. � �
�
� � ! fi � � %/� .10
[7] Considere a função � fi � � ' ! fi �
�
' ; como a raiz cúbica de um número positivo ou negativo
é positiva ou negativa,
	
�
�
� � ! fi��
�
� � ! fi � 0
[8] Considere a função � fi � � '5! fi
�
'
�
�
'
�
�
� . A função é definida se '�� � e '���� � � �
simultaneamente. Resolvendo as inequações, obtemos ')� � ; logo,
	
�
�
� � ! fi 2
�
	
�
�
! e � � � � ! fi � � 	 � � ! 0
Agora que determinamos nos exemplos os domínios e imagens das funções, podemos avaliar,
sem perigo, estas funções.
[9] Se � � '5! fi
�
' , então � � 
1! fi
�
 , � � 
 ! fi
�
 e � � ' � � � ! fi
�
'
�
��� , pois ' � ��� é sempre
positivo.
[10] Se � � '5! fi
�
'
, calculamos �
�
�
�
�
fi � , se � �fi � e � � '
�
�
� ! fi
�
'
�
�
�
.
38 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
2.2 Gráficos de Funções
A representação geométrica de uma função de uma variável real é dada por seu gráfico no
plano coordenado ' � .
Definição 2.3. O gráfico de uma função � fi � � ' ! é o seguinte subconjunto do plano:
�
� � ! fi&% � ' 	 � � ' ! ! * '7
 	
�
�
� � !�.
Geometricamente
�
� � ! é, em geral, uma curva no plano. Nos exemplos [1], [13] e [14] da seção
2.1,
�
� � ! não é uma curva. Nos casos em que
�
� � ! é uma curva, intuitivamente podemos
pensar que os conjuntos 	 � � � � ! e � � � � ! representam a “largura” e “altura” máxima da curva,
respectivamente. Inicialmente, a construção dos gráficos será realizada fazendo uma tabela,
onde as entradas da tabela são os elementos do domínio e as saídas, as respectivas imagens.
Este processo é demorado e ineficiente e será abandonado nos capítulos seguintes, quando
serão dadas técnicas mais eficientes para fazer o gráfico. É importante não confundir a função
com seu gráfico, pois o gráfico é um subconjunto do plano.
Exemplo 2.3.
[1] Esboce o gráfico da função dada pela seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água
de uma represa:
Dia � � * � � �
�
	
� �
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
 � 
 �
� � �
�
�
�
�
O gráfico desta função não representa uma curva. A primeira coluna da tabela representa a
abscissa e a segunda coluna as respectivas ordenadas; logo, obtemos:
1 2 3 4 5 6 7
200
400
600
800
1000
Figura 2.5: Gráfico da vazão semanal de água da represa.
2.2. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 39
[2] Esboce o gráfico da função � � ' ! fi ' � . Note que 	 � � � � !+fi � e � � � � !�fi 2 � 	 � ! . Fazendo a
tabela:
' � � ' ! fi '
�
� �
�
�
* �
�
*
�
�
�
�
*
	
�
* �
�
�
*
�
�
* �
�
� �
�
�
�
�
	
�
' � �&� para todo ' 
 � , os pontos de abscissas ' e � ' tem a mesma ordenada �-fi ' � . Logo,
o gráfico de � fica situado no primeiro e segundo quadrante. Observando a tabela, conclui-se
que se o valor de � ' � aumenta, os valores da correspondente ordenada aumentam mais rapi-
damente. Se os valores de � ' � aproximam-se a zero, os valores correspondentes da ordenada
aproximam-se mais rapidamente de zero.
-1 -0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 2.6: Gráfico de � � ' ! fi ' � .
[3] Esboce o gráfico da função � � ' ! fi ' � . Note que 	 � � � � ! fi�� � � � ! fi � . Fazendo a tabela:
' � � ' ! fi '
�
� �
�
�
* � �
�
* � �
�
�
*
	
�
�
*
�
�
�
�
*
�
�
�
*
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Se ')��� , então ����� e se ')��� , então ����� . Logo, o gráfico está situado no primeiro e terceiro
quadrantes. Observando a tabela, vemos que quando '�� � e ' cresce, os valores correspon-
dentes da ordenada � também crescem e mais rapidamente. Quando ' � � e ' decresce, os
valores correspondentes da ordenada � decrescem e mais rapidamente. O gráfico de � é:
40 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
Figura 2.7: Gráfico de � � ' ! fi '�� .
[4] Esboce o gráfico da função � � ' ! fi �� . Note que 	 � � � � ! fi � � � � ! fi � � %/� . . Fazendo a
tabela:
' � � ' ! fi
�
'
�
�
*
�
�,� �
�
�,�
�
�
* � � �
�
�
*
	
�
	
�
�
*
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
*
�
�
	
�
�
*
	
Se ')��� , então ����� e se '-��� , então ����� . Logo, o gráfico está situado no primeiro e terceiro
quadrantes. Observando a tabela, vemos que quando ' � � e ' cresce, os valores correspon-
dentes da ordenada � aproximam-se de zero e à medida que ' aproxima-se de zero, os valores
correspondentes da ordenada � aumentam muito. Quando ' � � e ' cresce, os valores corres-
pondentes da ordenada � decrescem e à medida que ' decresce, os valores correspondentes da
ordenada � aproximam-se de zero. O gráfico de � é:
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 2.8: Gráfico de � � ' ! fi � * ' .
2.2. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 41
[5] Esboce o gráfico da seguinte função : � � '5! fi
��
�
��
'��7'�� se ')� �
�
' se � �
�
� '-�
�
�
'��
�
' se ')� � �
�
0
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Figura 2.9: Gráfico de � � ' ! do exemplo [5].
[6] Determine a função � cujo gráfico é:
-1 1 2 3 5
2
Figura 2.10:
Claramente, � � ' ! fi � se ' � � e ' �
	
. Determinemos os segmentos de reta que ligam os
pontos �
� 	4� ! e �
�
	
�
! , �
�
	
�
! e �
	
	4� ! , respectivamente. A equação da reta que passa por � � 	4� ! e
�
�
	
�
! é � fi
�
� '��
�
! . A equação da reta que passa por �
�
	
�
! e �
	
	4� ! é �flfi �
�
� 'ff�
	
! ; então:
� � '5! fi
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� se '-� �
�
� '��
�
! se � � '-�
�
�
�
� 'ff�
	
! se
�
� '-�
	
� se
	
� '
0
Observação 2.1.
Os gráficos de � � ' ! �	� , � � ' � � ! , � � � ' ! e � � � '5! ( � 
&� ) podem ser obtidos diretamente do
gráfico de � � ' ! . De fato. O gráfico de � � '5!�fi � � ' ��� ! pode ser obtido a partir do gráfi-
42 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
co de � transladando-o ao longo do eixo dos ' em � unidades para a esquerda se � � � , ou
transladando-o ao longo do eixo dos ' em � unidades para a direita se � ��� .
O gráfico de � � ' !$fi � � ' ! � � , � 
�� pode ser obtido do gráfico de � transladando-o ao longo do
eixo dos � em � unidades para cima se � ��� ou � unidades para baixo se � ��� .
O gráfico de � � '5!flfi � � � '5! , � � � pode ser obtido "esticando-se"o gráfico de � verticalmente
pelo fator � . O gráfico de � � ' ! fi � � � ' ! , � � � pode ser obtido "comprimindo-se"o gráfico de �
horizontalmente pelo fator � .
O gráfico de � � ' ! fi � � � ' ! , � � � � � pode ser obtido "comprimindo-se"o gráfico de � verti-
calmente pelo fator � . O gráfico de � � '5! fi � � � ' ! , � � � � � pode ser obtido "esticando-se"o
gráfico de � horizontalmente pelo fator � .
O gráfico de � � ' ! fi � � � '5! pode ser obtido pela reflexão do gráfico de � em torno do eixo dos
' . O gráfico de � � ' ! fi � � � '5! pode ser obtido pela reflexão do gráfico de � em torno do eixo
dos � . Em cada caso é conveniente especificar os domínios e imagens.
Exemplo 2.4.
[1] Na esquerda, os gráficos de � fi � � '5!�fi ' (azul), de � fi � � �
�
' !�fi �
�
' (vermelho) e
� fi
�
� � '
���
!$fi
�
� '
� �
! (verde).
[2] Na direita, os gráficos de � fi � � ' ! fi ' � (azul), de � fi � � ' ��� ! fi � ' ��� ! � (vermelho) e
� fi
�
� � '��
�
!$fi
�
� '��
�
! � (verde):
-2 -1 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
1
2
3
4
5
y
Figura 2.11: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.
[3] Os gráficos de �flfi � � ' ! fi ' � (azul), de � fi � � ' � � ! fi � ' ��� ! � (vermelho) e � fi � � �
	
' !$fi
�
�
�
'�� (verde):
-2 -1 1 2 x
-4
-2
2
4
6
y
Figura 2.12: Gráficos do exemplo [3].
2.3. FUNÇÃO MODULAR OU VALOR ABSOLUTO 43
A seguir daremos vários exemplos de funções, com seus respectivos domínios, imagens e grá-
ficos. A idéia é formar um "catálogo"das funções mais usadas, as quais serão utilizadas nos
exemplos e exercícios.
Exemplos de Funções
2.3 Função Modular ou Valor Absoluto
Esta função é definida por:
� fi � � ' ! fi � ' �
Note que 	 � � � � ! fi&� e � � � � ! fi 2 � 	 � � ! , pois o valor absoluto de um número real é sempre
não negativo. O gráfico é constituido de duas semi-retas de coeficientes angulares � e � � ,
respectivamente, que se intersectam em � � 	4� ! 0
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
1
2
y
Figura 2.13: Gráfico de � � '5! fi � ' � .
Observe que os gráficos de � � � ' ! � e de � � � ' � ! podem ser obtidos do gráfico de � � ' ! . De fato,
� � '5!flfi � � � '5! � é obtido refletindo através do eixo dos ' , no primeiro e segundo quadrantes a
porção do gráfico de � que esteja no terceiro e quarto quadrantes. Como exercício, diga como
pode ser obtido o gráfico de � � � ' � ! .
Exemplo 2.5.
Esboce os gráficos de:
[1] � � ' !$fi�� '�� � � �
�
.
[2] � � ' ! fi�� ' � � .
Seja � � '5! fi � ' � ; logo, � � ' ! fi � � ' � � ! �
�
; então, o gráfico de � é obtido a partir do gráfico
da função � transladando-o ao longo do eixo dos ' em � unidade para a direita e
�
unidades
para cima. O gráfico é constituido de dois segmentos de retas de coeficientes angulares � e � � ,
passando por (1,2) e (0,3), respectivamente.
Por outro lado � � ' ! fi � � '��(! .
44 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
-1 -0.5 0.5 1
0.05
0.1
0.15
0.2
Figura 2.14: Gráficos de � e � , respectivamente.
2.4 Funções Polinomiais
2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim
Esta função é definida por:
�flfi � � '5! fi
�
'
�
�
onde � 	���
�� . Note que 	 � � � � ! fi � e � � � � ! fi � . Usando a definição de distância entre
pontos do plano não é difícil provar que dados três pontos no gráfico de � , estes são colineares;
o gráfico de � é a reta de coeficiente angular � passando por � � 	��#! . E, reciprocamente, dados
dois pontos que determinem uma reta não vertical existe uma função afim cujo gráfico é a reta.
(Verifique!). Note que:
�
fi
� �
�
! � � �
�
!
�
�
�
	
para todo � 	
�
)� , � �fi
�
. Logo, � � � ! fi&� , � � � !�fi � � � , � �
�
! fi
�
�
�
� fi � �
�
!
�
� ; em geral,
� �
�
� �
! fi � �
�
!
�
� , para todo
�
�� . Logo, � � � ! 	�� � � ! 	�� �
�
!�0 0 	 � � � ! 	"0 0 formam uma progressão
aritmética de razão � . A propriedade que caracteriza as funcões polinomiais de primeiro grau
é que � � ' � � ! � � � ' ! depende apenas de � , isto é a acréscimos iguais dados a ' correspondem
acréscimos iguais para � . É esta característica que deve ser utilizada nas aplicações. Quando
�
fi � , a função é chamada constante e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo dos ' que passa
pelo ponto � � 	��"! .
Exemplo 2.6.
Usando as observações 2.1, temos:
[1] À esquerda, os gráficos de � � '5! fi ' � � (negro), e
�
�
� � ' ! fi
'
� �
�
(azul) e
�
� � ' ! fi
�
'
�
�
(vermelho), respectivamente.
[2] À direita, os gráficos de � � ' ! fi ' ��� (negro), e � �
'
�
�fffi
'
�
��� (azul) e � � �
�
'5! fi
�
�
�
'
(vermelho), respectivamente:
2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS 45
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
Figura 2.15:
Quando ��fi � , obtemos um tipo importante de função, chamada função linear. Portanto, a
função linear é definida por:
� � ' ! fi
�
'
e é modelo matemático para resolver problemas que envolvem proporcionalidade. Seu gráfico
é uma reta de coeficiente angular � passando pela origem.
Proposição 2.1. Seja � uma função linear:
1. Para todo ' �(	�'
�
�� , temos que: � � '�� � '
�
! fi � � '���!
�
� � '
�
! .
2. Como � � � ! fi � , � �
�
! fi � �
�
!
�
� �
�
! fi
�
� ; em geral, � � � ' ! fi � � � ' ! para todo ' 
�� e
� 
 � .
3. Quando � fi � , temos:
� � '5! fi ' 	
que é chamada função identidade. Seu gráfico é uma reta de coeficiente angular � .
Exemplo 2.7.
[1] Suponha que os seguintes dados foram coletados num experimento. Se a teoria subjacente
à experiência indica que os dados tem uma correlação afim, ache tal função afim.
' �
�
� 0
	
��� 0
� �
0 
�
��0 �
�
	
��0 �
� �
	
 0 � �
�
 0�� � � 0 
	
�
0
�
� �
�
0
�
Seja �flfi � � ' ! fi �+' � � . Pelas propriedades das funções afins:
��� 0 
 fi � �
�
0 
1!+fi
�
0 
 �
�
�
�
	
 0 � fi � � �
�
� 0
	
! fi
�
� 0
	
�
�
� 0
Resolvendo o sistema, obtemos: � fi
	
e � fi ��
 ; logo, � � '5! fi
	
'ff� 
 .
46 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-10 -5 5 10 x
-20
-10
10
20
y
Figura 2.16: A reta �flfi
	
'�� 
 .
Note como o gráfico de uma função afim é uma reta, podemos tomar qualquer par de pontos e
obtemos a mesma função; por exemplo:
	
�
0
�
fi � �
�
��0 �1!$fi
�
��0 � �
�
�
� �
�
0
�
fi � �
�
	
��0 �1!+fi
�
	
��0 � �
�
� 0
[2] Sabemos que a pressão da água do mar é função da profundidade. Denotemos por � a
pressão e � a profundidade relativa ao nível do mar. Experimentalmente verifica-se que a
pressão da água ao nível do mar é de � � � � , ( � � � fi atmosfera) e que acréscimos iguais na
profundidade correspondem a acréscimos iguais na pressão. Logo, ao passar de um ponto do
mar para outro situado a � � ( � fi metro) de profundidade, haverá um aumento da pressão
de aproximadamente � � � � . Passando do nível do mar a uma profundidade de � � , a pressão
aumentará �
�
� 0
� . A pressão da água, em atmosferas, é dada pela função polinomial do
primeiro grau:
�&fi � ��� ! fi � 0
�
�
� �
0
20 40 60 80 100 x
2
4
6
8
10
y
Figura 2.17: Gráfico de � fi � ��� ! .
A pressão da água a uma profundidade de � �,� � é � fi � � � �,� ! fiffi� 0 �
�
�
�,�
� �
fi
� �
� �
� . Se a
pressão da água é de 
 � � � � , a profundidade é 
 � fi � 0 �
�
�
� � ; logo, � fi � � � � .
[3] Sabe-se que � �,� � ( � =gramas) de soja contem
	
 � de proteínas e � �,� � de lentilhas contem
�
� � de proteínas. Um adulto médio num, clima moderado, necessita de
�
� � de proteínas
diárias em sua alimentação. Uma pessoa deseja prover estas
�
� � de proteínas somente com
2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS 47
soja e/ou lentilhas. Se ' é a quantidade de soja e � a quantidade de lentilhas diárias ( ' e �
medidas em unidades de � �,� � ), qual é a relação entre ' e � ?
A quantidade de proteína na soja é
	
 ' e a quantidade de proteína nas lentilhas é
�
� � por dia
(ambas medida em gramas). O total de proteínas diário é
�
� ; logo, temos a equação de primeiro
grau:
	
 '
�
�
� � fi
�
� fi��	� � ' ! fi �
	
 '
�
�
�
�
�
�
�
0
0.5 1.0 1.5 2.0 x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
y
Figura 2.18: Gráfico de
	
 '
�
�
� � fi
�
� .
' 	 �ff��� . Os pontos do gráfico são as possíveis combinações de soja e lentilhas para fornecer
�
�
gramas de proteínas diárias.
[4] (Lei de Hooke): Se um peso de ' unidades for pendurado em uma mola esta se alonga em
um valor � que é diretamente proporcional a ' , isto é,
� � ' ! fi
�
' 0
A constante
�
depende da rigidez da mola (quanto mais rígida for a mola, menor será o valor
de
�
).
2.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática
Esta função é definida por:
� fi � � ' ! fiffi�$'
�
�
�
'
���
onde �
	
� 	 � 
�� � � �fi � . Claramente 	 � � � � ! fi � .
Para todo � 
�� , � � ' ��� ! � � � '5! é uma função afim em ' . A � � � � ! e o gráfico de � dependem
essencialmente do discriminante 
 da equação do
�
�
grau �$' � � ��' � � fi � e do coeficiente � do
termo principal. Não é difícil verificar que o gráfico da função � � ' ! fi �+' � é uma parábola de
foco � � 	 � * � ��! e diretriz � fi � � * � � . Fazendo uma translação adequada dos eixos coordenados
verifica-se que o gráfico da função � � ' ! fi �+' � � ��' ��� é uma parábola cujo eixo de simetria é
paralelo ao eixo dos � , tem foco � � �"*
�
� 	/� � �
� �
� � �
�
! * � � ! e diretriz ��fi � � � � � � � � � ! * � � .
O vértice da parábola � fiffi�+' � � ��' ��� é o ponto onde a parábola intersecta seu eixo e é dado
48 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
por � fi � � �"*
�
��	(� 
 * � � ! . Se � � � , então � é o ponto da parábola de menor altura, pois o
ponto mais próximo da diretriz é o vértice. Se �7�&� , então � é o ponto da parábola de maior
altura. Não é difícil ver que se � � é a abscissa do vértice da parábola � fi � � ' ! , então � � � � � '5! fi
� �
�
� �ff' ! para todo ')
�� . Usando completamento dos quadrados: � � ' ! fi ��� ' � � � ! � ��� , onde
�
fi � �
�
� ! .
Gráficos da Função Quadrática
Figura 2.19: Gráficos para �ff��� , 
 ��� , 
 fi � ou 
 ��� , respectivamente .
Figura 2.20: Gráficos para �ff��� , 
 ��� , 
 fi � ou 
 ��� , respectivamente .
Exemplo 2.8.
[1] A área de uma esfera é função quadrática de seu raio. De fato, � � �1! fi � 
 � � .
[2] (Lei do fluxo laminar de Poiseuille): Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias ou
veias. É uma função quadrática em
�
:
�
�
�
!+fi
� � �
�
�
�
�
!
� ���
0
Para o sangue humano numa veia: � fi � 0 �,�
�
�
, � fi
�
, � fi �
�
�
�
�
�
e � fi �
�
�
�
� , logo:
�
�
�
!+fi
� �
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
0 
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
* �
�
�
0
[3] A trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezando a resitência do ar, é dada por
uma função polinomial do segundo grau. A partir de seu deslocamento horizontal (ao longo
do eixo dos ' ), obtemos sua altura � . Por exemplo, um objeto é lançado no ar. Se sua altura,
2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS 49
em metros, � segundos após o lançamento é dada por � fi � � �4! fi
�
� � �
�
� � � , qual é a altura
máxima atingida pelo objeto e em que instante ele a atinge?
Determinemos o vértice da parábola �flfi
�
� � �
�
� ��� , 
 fi �1�,� , �flfi � � � ��� e � fi
�
� ; � fi � � 	 � � ! .
Logo, a altura máxima é de � � � , atingida � segundo após o lançamento.
0.5 1.0 1.5 2.0
2
4
6
8
10
Figura 2.21: A parábola do exemplo [3].
[4] Pelas observações 2.1, os gráficos de �flfi � � ' ! fi ' � (azul), � fi � � �
� '
	
�
fi
�
� '��
�
(vermelha)
e � fi � �
�
' ! fi � '�� (verde), são:
-2 -1 0 1 2
1
2
3
4
Figura 2.22: As parábolas do exemplo [4].
2.4.3 Função Polinomial de Grau n
A função polinomial de grau n é definida por:
� fi � � ' ! fiffi�
�
'
�
�
�
� �
� '
� �
�
�
0 0 0 0 0 0
�
�
�
Onde � � 	�� � � � 	 0 0 0 0 0 0 0 	4� � 
�� ; � � �fi � ; 	 � � � � ! fiffi� , mas a � � � � ! e o gráfico de � dependem es-
sencialmente do grau do polinômio e de � � . Esta função é, claramente, a generalização natural
das funções anteriores. Como exemplo, vejamos as funções: � � ' ! fi&' � ��' e � � '5! fi
�
� '
�
� � ;
�
�
� � !$fi � e � � � � !$fi 2 � 	 � � ! . Seus respectivos gráficos são:
50 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1-1
-0.5
0.5
1-1
1
Figura 2.23: Gráficos de � e � , respectivamente.
2.4.4 Funções Pares e Ímpares
Definição 2.4.
1. Uma função � é dita par se, para todo ')
 	 � � � � ! então � ')
 	 � � � � ! e
� � � '5! fi � � ' !
2. Uma função � é dita ímpar se, para todo ')
 	 � � � � ! então � ')
 	 � � � � ! e
� � � '5! fi � � � ' !
Pelas definições de função par e de função ímpar é fácil ver que o gráfico de uma função par
é simétrico em relação ao eixo dos � e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à
origem.
Exemplo 2.9.
[1] Seja � fi�� � ' ! fi '�� �
�
'
�
.
	
�
�
� � ! fi ��� %/� . , a primeira parte das definições é verificada e:
� � � ' ! fi � � ' !
�
�
�
� � '5!
�
fi '
�
�
�
'
�
fi � � ' !��
logo, � é função par.
[2] Seja � fi�� � ' ! fi '
�
�7' � .
como 	 � � � � ! fi � a primeira parte das definições é verificada e:
� � � ' ! fi � � '5!
�
��� � '
�
! fi � � '
�
!
�
'
�
fi � � � '5!��
logo, � é função ímpar.
2.4. FUNÇÕES POLINOMIAIS 51
1-1
1
2
3
4
5
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Figura 2.24: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.
[3] Seja � fi � � ' ! fi '
�
, ��
 � tal que ��� � .
A função é par se � é par e é ímpar se � é ímpar. Para '�
 � � 	 � ! , tem-se: ' � � '�� � '
�
� '
�
�
'
�
� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , isto é, quanto maior o valor de � , menor o valor da função. Consequentemente,
o gráfico de � fi '
�
, está abaixo do gráfico de � fi '
�
, que também está abaixo do gráfico de
� fi '
� , e assim sucessivamente. Para valores de ' próximos de zero, as potências menores do-
minam e quanto maior o expoente � , os gráficos ficam cada vez mais “planos” (quase paralelos
ao eixo dos ' ). Para ' 
 � � 	 � � ! , tem-se: ' � � ' � � '
�
� '
�
� '
�
� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ou seja para
valores grandes de ' , as potências de maior grau dominam as de menor grau.
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
1
1-1
1
-1
Figura 2.25: Gráficos de � fi�� � ' ! fi '
�
para �-fi
�
	 ��	 � e �-fi � 	
	
	 
 , respectivamente.
Algumas vezes, para esboçar o gráfico de uma função é conveniente verificar se a função é par
ou ímpar, pois a simetria presente nos gráficos destas funções facilitará o desenho. Note que
existem muitas funções que não são pares e nem ímpares.
Por exemplo, seja � � ' ! fi ' � � ' ; como 	 � � � � ! fi � e � � � ' ! fi ' � � ' ; logo, � � � ' ! �fi � � ' ! e
� � � '5! �fi � � � ' ! ; então, � não é função par nem ímpar.
Achar os ' tais que � � ' ! � � é equivalente a determinar os elementos do 	 � � � � ! tal que os
pontos do gráfico de � , estão acima da reta �-fi � . Achar os ' tais que � � ' ! � � é equivalente
a determinar os elementos do 	 � � � � ! tal que os pontos do gráfico de � , estão abaixo da reta
� fiffi� .
52 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Exemplo 2.10.
[1] Se � � '5! fi '�� , então, � � ' ! � � é equivalente a determinar os elementos do 	 � � � � ! tal que
os pontos do gráfico de � , estão acima da reta �flfi � .
[2] � � ' ! fi ' � � '�� � ! ; então, � � ' ! � � é equivalente a determinar os elementos do 	 � � � � ! tal
que os pontos do gráfico de � , estão abaixo da reta � fi � .
-1 1
1
Figura 2.26: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.
Podemos afirmar que o gráfico de uma função é, em geral, uma curva no plano coordenado; a
recíproca nem sempre é verdadeira, isto é, nem toda curva no plano coordenado (ou conjunto
do plano) é o gráfico de alguma função. Geometricamente uma curva no plano coordenado é
o gráfico de uma função se toda reta paralela ao eixo dos � intersecta a curva no máximo num
ponto (por que?). Por exemplo, a seguinte curva não representa uma função:
Figura 2.27:
[3] O conjunto
�
fi % � ' 	�� ! 
 � �+* '��
�
� � fi
�
. não é o gráfico de uma função. De fato, temos
� fi �
�
�
�7'
�
; logo, para todo '-
 � � � 	 � ! existe mais de um � tal que � ' 	�� ! 
�
.
2.5. INTERSEÇÃO DE GRÁFICOS 53
-1 1
-1
1
Figura 2.28: O conjunto
�
.
2.5 Interseção de Gráficos
Sejam � fi � � '5! e � fi � � ' ! tais que seus gráficos se intersectam no ponto � ; então, as coordena-
das de � são: �&fi � '��(	 � � '�� ! ! fi � ' �(	 � � ' �#! ! , logo � � '�� ! fi � � '�� ! ; equivalentemente, ' � é solução
do sistema:
ff
� fi � � ' !
� fi � � ' ! 0
Exemplo 2.11.
[1] Achar os pontos de interseção dos gráficos de � � '5! fi ' e � � '5! fi ' � . Resolvemos o sistema:
ff
� fi '
� fi '�� 	
donde ' � ��'�fi ' � 'ff� � ! , logo ' � 'ff� � ! fi � e '�fi � ou '�fi � . Os pontos são � � 	4� ! e � � 	4� ! .
-1 1
1
Figura 2.29:
[2] Achar os pontos de interseção dos gráficos de � � ' !�fi ' � � ' e � � ' ! fi '
�
�
'
� . Resolvemos
o sistema:
ff
� fi '
�
�7'
� fi '
�
�
'
�
	
donde '
�
�
'
�
fi '
�
�7' , logo '
�
�
'�fi ' � '
�
���
!$fi � e '�fiffi� ou '�fi � � . Os pontos são � � 	4� ! e
� �
�
	4� ! .
54 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-1 1
0.4
Figura 2.30:
2.6 Álgebra de Funções
A seguir, veremos como construir novas funções a partir de outras já conhecidas.
Definição 2.5. Sejam � fi�� � ' ! e � fi � � ' ! funções.
1. Adição e subtração de funções:
� � � ��!#� ' !$fi � � ' ! � � � '5!
2. Multiplicação de funções:
� � ����!#� ' !$fi � � ' ! � � � '5!
3. Divisão de funções:
�
�
���
� ' ! fi
� � '5!
� � '5!
	 se � � '5! �fi �
Em particular, se
�
7� , temos que �
�
� � !#� ' ! fi
�
� � � ' ! 0 Antes de apresentar exemplos destas
definições, determinemos os respectivos domínios.
	
�
�
� � � � ! fi 	
�
�
� � ��� ! fi 	
�
�
� � !�� 	
�
�
� � ! 	
	
�
�
�
�
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�
fi � 	
�
�
� � !�� 	
�
�
� � ! ! � %(')
 	
�
�
� � ! * � � '5!+fiffi� .10
Geometricamente o gráfico da soma, diferença, produto ou quociente de � e � tem, em cada
ponto uma ordenada que é respectivamente, a soma, diferença, produto ou quociente das or-
denadas de � e � nos pontos correspondentes. A aplicação destas definições é, em geral, muito
simples, como observaremos nos exemplos.
2.6. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES 55
Exemplo 2.12.
[1] A adição e a subtração de funções afins são funções afins. De fato, se � � ' ! fi � � ' � � � e
� � '5!$fi
�
�
'
�
�
�
; então:
� � � � !#� '5!$fi �
�
� �
�
�
! '
�
� � � � �
�
! 0
Por exemplo, se � � ' ! fi
�
' �
� , � � ' !$fi �
	
'
�
�
; então, � � � � !#� ' ! fi � ��' e � � � ��!#� ' ! fi 
 ' �
	
.
-2 -1 1 2
-10
-5
5
Figura 2.31: Gráficos de � , � , � � � e �ff� � .
[2] A adição e a subtração de funções polinomiais quadráticas são, em geral, funções polinomi-
ais quadráticas. De fato, se � � ' ! fi&� ��' � � � � ' �
� � e � � ' ! fi&�
�
'
�
�
�
�
'
�
�
�
tais que � � �fi&�
�
;
então:
� � � � !#� '5!$fi � � � � �
�
! '
�
�
� � � � �
�
! '
���
� �
�
�
0
Por exemplo, se � � ' ! fi ' � �
�
'
��� , � � '5! fi
�
'
�
�
' ��� ; então, � � � � !#� ' ! fi
	
'
�
� ' �
	
e
� ��� � !#� '5!$fi � '�� �
	
'
�
 .
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
10
Figura 2.32: Gráficos de � , � , � � � e �ff� � .
[3] Sejam � � ' ! fi
�
'
�
�
� e � � '5! fi '�� ��� . Logo, � � � � !#� ' !+fi � � ' ! � � � '5!$fi
�
'
�
�
�
��� '��
���
! ,
e � � � � !#� '5!$fi �
�
'
�
�
�
! � � '
�
���
! ; os domínios são:
	
�
�
� � � � ! fi � �
�
	(�
�
3fl�72
�
	
�
�
! fi 	
�
�
� � ����! 0
56 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
�
�
�
� � ' ! fi
� � '5!
� � '5!
fi
�
'
�
�
�
'
�
���
; o domínio é 	 � � �
�
�
� fi � �
�
	(�
�
! �72
�
	
�
�
! 0
2.6.1 Funções Racionais
Sejam � � ' ! e � � ' ! polinômios de coeficientes reais. Podemos definir a seguinte função, cha-
mada racional:
� � ' ! fi
��� ' !
� � ' !
Da definição, temos que 	 � � � � ! fi � � %('ffi
���* � � '5!�fi � . ; em outras palavras, o domínio
de uma função racional é o conjunto dos números reais menos as raízes do polinômio que
aparece no denominador. Note que as funções polinomiais são um caso particular das funções
racionais; basta considerar � � ' ! fi � para todo '-
�� .
Exemplo 2.13.
[1] A função � � '5!�fi
�
'
,
�
�� é modelo matemático de problemas que envolvem quantidades
inversamente proporcionais. Por exemplo, a lei de Boyle.
[2] Seja � � ' !$fi
'��
���
'
�
�
'
�
�
�,'
�
�7'ff� 
.
Fatorando � � '5! fi&'
�
�
'��
�
�,'
�
� '�� 
 fi � '
�
�
�
!#� '
�
�
'
�
1! , tem-se: � � ' ! fi � se ' fi � � ;
logo, 	 � � � � ! fi ��� % � � 	 � . .
[3] Seja � � ' !$fi
'
���
'
�
� �,'
�
��'
�
�
�
.
Fatorando � � ' ! fi '
�
� �,' ��� '
�
�
��fi � ' ���
�
!#� '
�
� � ! , tem-se: � � ' ! fi � se '7fi � , '7fi
�
ou
'�fi �
�
; logo, 	 � � � � ! fi ��� % �
�
	
�
	
�
. .
[4] Seja � � ' !$fi
'
�
�
�
'
�
�
�,'
�
�
	 .
Fatorando
� � '5! fi '
�
�
�,'��
�
	
fi � '��
� �
!#� '��
�
	
! , tem-se: � � ' ! não possui raízes reais; logo
	
�
�
� � ! fi � .
2.7 Composta de Funções
Definição 2.6. Sejam � e � funções tais que � � � � ! � 	 � � � � ! . A composta das funções � e � é
denotada por ��� � e definida por:
�
��� � !
�
'5! fi � � � � '5! !
Observe que a definição faz sentido pois � � '5!�
 	 � � � � ! . Por outro lado:
	
�
�
� ��� � ! fi&%(')
 	
�
�
� � ! * � � '5! 
 	
�
�
� � !�.10
Esta definição produz, a partir de funções conhecidas, novas funções, como veremos mais adi-
ante. A definição de composta de funções é de fácil manejo, como veremos nos exemplos.
2.7. COMPOSTA DE FUNÇÕES 57
Exemplo 2.14.
[1] A composta de funções afins é uma função afim.
De fato, sejam � � '5! fi � ��' � � � e � � ' ! fi �
�
'
�
�
�
; então, � � � � !#� '5!+fi � � � �
�
! '
�
�
�
� �
�
�
�
e � � � � !#� ' ! fi � � �
�
'
�
�
���
�
�
� � . Por exemplo, se � � ' ! fi �
�
'-�
� e � � '5! fi ' � 
 , então,
� � � � !#� ' ! fi �
�
'
�
� e � � � � !#� '5!$fi �
�
'ff�
� � .
-6 4
-6 4
Figura 2.33: Gráficos de � , � , ��� � e � � � .
[2] Sejam � � '5!flfi
�
'
�
�
� e � � '5! fi ' � � ; calcule � � � 	 � � ��	�� � � , � � � � � e � � � � � � �
respectivamente.
�
�
� � !$fi 2 � 	
�
�
! e 	 � � � ��! fi � . � � � � !#� ' ! fi � � � � ' ! ! fi � �
�
'
�
�
�
! fi
�
'
�
�
� ��� . Logo,
	
�
�
� ��� � ! fi � �
�
	(�
�
3 �72
�
	
�
�
! 0
�
�
� ��! fi � e 	 � � � � ! fi � � � 	(� � 3ff� 2 � 	 � � ! ; logo, não podemos calcular � � � a menos que
consideremos um domínio menor para � de modo que � � � � ! � 	 � � � � ! . De fato: � � � ��!#� ' !�fi
� � � � '5! !$fi � � '
���
! fi
�
� '
���
!
�
�
�
fi
�
'
�
�
�
' . Temos:
	
�
�
� � � � !$fi � �
�
	(�
�
3 �72 � 	
�
�
! 0
� � � � !#� '5! fi � � � � ' ! ! fi � �
�
'
�
�
�
! fi
�
�
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'
�
�
�
!
�
�
�
fi
�
'
�
�
�
. Logo,
	
�
�
� � � � ! fi � �
�
	(� �
�
3 � 2 �
�
	
�
�
! 0
� � � ��� � !#� '5!$fi � � � � � � ' ! ! ! fi � � � � '
���
! ! fi � � '
�
�
! fi '
�
	
.
	
�
�
� ��� ��� � ! fi � 0
� � � � � � � � !#� '5! fi � � � � � � � � ' ! ! ! ! fi
�
'
�
� � .
	
�
�
� � � � � � � � ! fi � �
�
	(�
�
3fl��2
�
	
�
�
! 0
Dos exemplos anteriores podemos concluir que, em geral:
� � � � !#� '5! �fi � ��� � !#� ' !
58 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
[3] Suponha que uma mancha de poluente que contamina uma lagoa tem a forma de um disco
de raio � (em � � ) e sua área
�
(em � � � ) é função do raio. Se o raio cresce em função do tempo
� (em ��� � ) pela lei � fi � � �4! fi � � � � � � 0 
1! � � , determine a área da mancha em função do tempo.
A área é
�
� � ! fi 
�� � ; devemos calcular
�
� � ! , por outro lado
�
� � ! fi �
�
�	� !#� �4! fi
�
� � � �4! ! ; logo,
�
� � ! fi
�
� � � �4! ! fi
�
�
�
� �
�
� 0 
1! fi 
 �
�
� �
�
� 0 
1! �
�
�
� 0
[4] A função � � ' ! fi
�
�
'
�
�
'
�
���
pode ser escrita como a composta de duas outras funções.
De fato, � � ' !$fi � ��� � !#� '5! , onde � � '5! fi '
�
�
' �
� � e � � '5! fi
�
�
'
.
-2 -1 1 2
1
2
Figura 2.34: Gráficos de � (azul), � (vermelho) e � .
[5] Esboce o gráfico de �fffi � '�� � � � . A função � � ' ! fiffi'�� � � pode ser escrita como a composta
das funções � � ' ! fi ' � � � e � � ' !flfi � ' � ; logo, � fi � � � . Pelas observações 2.1, o gráfico de
�
� '5! fi � � � '5! � é
-1 1
-1
1
Figura 2.35: Gráfico de � � '5! fi � � � '5! � .
[6] Determine � � � ' ! , se:
i) � � � ' ! fi
�
�
�7'
e � � � �$fi � � � � � , �-fi � 	 � 	
�
	
	
	"0 0 0 0 0 .
ii) � � � ' !$fi ' � e � � � �+fi � � � � � , �-fi � 	 � 	
�
	
	
	"0 0 0 0 0 .
i) Se � � � '5! fi
�
�
��'
, então:
2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 59
� � � '5! fi � �
�
� �
�
!#� ' !$fi �
�
� �
�
� '5! ! fi �
�
�
�
�
�7'
! fi
�
�
�
�
�
� �
fi
�
�7'
	
�
�
'
	
�
�
� '5! fi � �
�
� � � !#� ' !$fi �
�
�
�
�7'
	
�
�
'
!$fi
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
fi
	
�
�
'
� �
	
'
	
�
�
� '5! fi � �
�
� �
�
!#� ' !$fi �
�
�
	
�
�
'
� �
	
'
!$fi
� �
	
'
�� � '
0
Observando as expressões anteriores podemos afirmar que:
�
�
� ' !$fi
� �
���
! � � '
� �
�
�
! ��� �
� �
! '
0
ii) Se � � � ' ! fi '�� , então:
� �/� ' ! fi � �
�
� �
�
!#� '5!$fi �
�
� '��/!$fi '
�
�
�
� ' ! fi �
�
� � �/� '5! !$fi �
�
� '
�
! fi '��
�
�
� ' ! fi �
�
� �
�
� '5! !$fi �
�
� '��(! fi '
�
�
�
�
� ' ! fi �
�
� �
�
� '5! !$fi �
�
� '
�
�
! fi '
�
� 0
Note que: � fi
�
��fi
�
��� � , � fi
�
�
fi
�
�
� � , � �-fi
�
�
fi
�
�
� � e
	
�
fi
�
�
fi
�
�
� � . Observando as
expressões anteriores podemos afirmar que:
�
�
� '5! fi '
�
���
�
0
2.8 Inversa de uma Função
Observe as seguintes tabelas:
� � fi ��� ��!
�
�
�
�
�
�
	
�
	 	
�
	
�
 �
�
� � �
� � fi � � � !
�
 �
�
� �
	
�
�
	
	
	
�
�
�
�
� � �
A primeira tabela foi obtida num estudo sobre a população de baleias corcundas num certo
setor costeiro utilizado como ponto de reprodução pela espécie. O tamanho da população de
baleias é medido anualmente, durante � anos. O número � de baleias é função do ano � em
que é realizada a medição: � fi ��� � ! . Suponha que, em certo instante, os biológos mudam o
ponto de vista e ficam interessados no tempo estimado para que a população de baleias atinja
um certo número de indivíduos � , ou seja, desejam obter � em função de � : � fi � � �fl! . Tal
função é chamada de inversa de � fi ��� ��! . Veja a segunda tabela.
60 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1 2 3 4 5 6
10
20
30
40
50
10 20 30 40
1
2
3
4
5
6
Figura 2.36: Gráfico da � fi ��� ��! e �flfiffi� � � ! , respectivamente.
Definição 2.7. A função � é dita função inversa de � se:
1. � � � � !$fi 	 � � � � ! e � � � � ! fi 	 � � � � ! .
2. Para todo ')
 	 � � � � ! 	 � � � ��!#� ' !$fi ' e para todo '-
 	 � � � � ! 	 � ��� � !#� '5! fi ' . Em tal caso �
é dita invertível.
Exemplo 2.15.
[1] � � '5! fi '�� � , � � � ')� � e � � ' ! fi ' � ��	 ��
fl� '-� �
	
são inversas.
De fato, 	 � � � � ! fi�� � � � ! fi 2 � � 	 � 3 , 	 � � � � !+fi�� � � � ! fi 2 ��
 	(�
	
3 e:
� � � ��!#� ' !$fi � � � � ' ! !+fi � � '
�
� ! fi ' 	 � ��� � !#� ' ! fi � � � � ' ! !+fi � � '�� � ! fi ' 0
[2] � � '5! fi
�
' , '-��� e � � ' ! fi ' � , '-��� são inversas.
De fato, 	 � � � � ! fi�� � � � ! fi 2 � 	 � � ! , 	 � � � ��! fi�� � � � ! fi 2 � 	 � � ! e,
� � � � !#� ' !+fi � � � � '5! !$fi�� � '
�
! fi ' 	 � ��� � !#� ' ! fi � � � � ' ! ! fi � �
�
' !$fi ' 0
Seja � uma função invertível. Denotemos por �
�
� sua inversa. Dizer que �
�
� é a função inversa
de � é equivalente dizer que � � �
�
� e �
�
�
� � são a função identidade. Em outras palavras, � é
bijetora, ou seja, a função � é invertível se, e somente se para todo ' �#	
'
�
 	
�
�
� � ! , temos; se
' � �fi '
�
, então � � '�� !
�fi � � '
�
! . Se � é invertível então �
�
� é invertível e � �
�
�
!
�
�
fi � . Note que
�
�
�
� ' ! �fi � � � '5! !
�
� . O gráfico de �
�
� é simétrico ao gráfico de � em relação à reta �flfi ' .
2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 61
Figura 2.37: Gráficos de � e �
�
� .
2.8.1 Método para Determinar a Inversa
Escreva a equação � fi � � '5! que define a função � . Resolva a equação ��fi � � ' ! , para ' em
função de � para obter '�fi �
�
�
��� ! e, a seguir, permute ' por � . A equação obtida define �
�
� .
Note que, a rigor, a função �
�
� toma valores nos �ff
 � � � � ! . É possível determinar geometrica-
mente se uma função possui ou não função inversa. Para isto, desenhe qualquer reta paralela
ao eixo dos ' ; se a reta intersecta o gráfico da função no máximo num ponto, então a função
possui inversa.
Figura 2.38: Função sem inversa.
Exemplo 2.16.
[1] Funcionamento de um termômetro: O volume de uma quantidade de mercúrio é função
da sua temperartura. Usando a função inversa, determinamos a temperatura através de seu
volume.
[2] A inversa de uma função afim não constante é afim. De fato, se ��fi � � '5!+fi � ' � � ; então,
�
�
�
����!$fi
�
�
��� � �#! . Permutando ' por � , � fi��
�
�
� '5! fi
�
�
� 'ff� �"! .
62 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Figura 2.39: Uma função afim e sua inversa.
[3] Seja � � ' ! fi '
�
, �&
 � . Sabemos que se � é par a função é par e se � é ímpar a função é
ímpar. Logo � possui inversa para '-��� se � é par:
-1 1
-1
1
Figura 2.40: Desenho para � ímpar.
� possui inversa paraa todo '7
 � se � é ímpar. A inversa para ambas é �
�
�
����!+fi
�
�
� . Permu-
tando ' por � , �
�
�
� ' !$fi
�
�
' .
1
1
Figura 2.41: Desenho para � par.
[4] Seja � � '5! fi
�$'
�
�
�
'
�
� , �
�
� �
�
�fi � ; fazendo: � fi
�$'
�
�
�
'
�
� e resolvendo a equação em relação a
' , temos,
'�fi
�
� � �
� �
�
�
�
2.8. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 63
logo �
�
�
����! fi
�
�fl� �
� �
�
�
se � �fi
�
�
ou, equivalentemente,
�
�
�
� ' !$fi
�
'�� �
� �
�
'
se ' �fi
�
�
, que é a inversa de � .
[5] Uma bola de borracha está sendo inflada e seu volume
�
é função do tempo � (em ��� � )
sendo
�
� � ! fi � � �
�
1!
�
�
� . Quanto tempo demora a bola até atingir o volume de ��
 � � � ?
Devemos determinar a função inversa de
�
. Como
�
fi � �
�
 então � fi
�
� 
�
e
� fi
�
�
�
�
�
!$fi
�
� 
�
e � fi
�
�
�
� ��
1!$fi
�
�
���
� 0
[6] É comum, em diferentes Ciências da Natureza, utilizar duas escalas para medir temperatu-
ras, Fahrenheit e Celsius.
i) Determine a função � que relaciona a temperatura � em graus Celsius à temperatura ' em
graus Fahrenheit, sabendo que seu gráfico é uma reta.
ii) Determine �
�
� .
i) Se o gráfico é uma reta a função deve ser do tipo: � fi � � '5! fi � ' � � . Por outro lado, sabemos
que: �)fi � �
	
�
! fi � , pois a água se congela a � graus Celsius. �7fi � �
�
�
�
! fi
�
�,� , pois a água
ferve a � �,� graus Celsius. Portanto:
�
fi
� �
�
�
�
! � � �
	
�
!
�
�
�
�
	
�
fi
�
e � fi �
�
� �
�
�
logo � � '5! fi
 � '��
	
�
!
�
.
ii) Seja � fi
�
� '-�
	
�
! ; então, ' fi
� �
�
	
�
e �
�
�
� '5! fi
� '
�
	
�
. Logo, estas são as regras de
conversão entre temperaturas dadas em graus Celsius e graus Fahrenheit.
Figura 2.42: Gráfico do exemplo [6].
[7] Calcule a inversa de uma função polinomial de segundo grau.
64 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Seja � � ' !fffi � '�� � � ' � � 	
� �fi � ; observando o gráfico de � temos que fazer �
�
�
�
� ' (ou
�
�
�
�
� ' ) para obter a inversa. Resolvendo �fffi � ' � � � ' �fi� ou � '�� � � ' � � � � � !+fi � , temos
que: '�fi
� � �
�
�
�
� �1�
� �
�1� �
�
�
. Então:
�
�
�
�
��� ! fi
� �
�
�
�
�
� �1�
� �
�1� �
�
�
se ����� e �
�
�
�
����! fi
� ���
�
�
�
� �1�
� �
�1� �
�
�
se �ff��� 0
Analogamente se �
�
�
�
� ' , ou equivalentemente:
�
�
�
�
� '5! fi
� �
�
�
�
�
� �1�
� �
�1� '
�
�
se ����� e �
�
�
�
� ' ! fi
� �+�
�
�
�
� �1�
� �
�1� '
�
�
se ����� 0
Funções Elementares
A seguir apresentamos uma classe importante de funções que tem um papel fundamental nas
aplicações que serão tratadas nos capítulos posteriores.
2.9 Função Exponencial
A função exponencial está associada a fenômenos de crescimento ou decrescimento, como por
exemplo, crescimento populacional e desintegração radioativa.
Exemplo 2.17.
Suponha que após 7 meses de observação foram obtidos os seguintes dados de uma população
de formigas:
M Q V
� �
 �,�,�,�
�
�
 � �,�,� 9000
	
�
�
�
 �1� 9540
�
�
�
�
� 
�
10112
� �
�
	
�
� 10719
�
�
�,�
�
	 	
11362
�
�
�
�
� � �
12044
M é o mês, Q é a quantidade de formigas em cada mês da observação e V é a variação mensal
da população. Dividindo a quantidade de formigas de um mês em relação ao mês anterior,
obtemos um fator constante � 0 � � , o que mostra que a população de formigas cresce, aproxima-
damente, �
�
ao mês. Temos:
se '�fiffi� 	 então � 
 �,�,�,�flfi � 
 �,�,�,�
�
�
�
0 � �1!
�
�
se '�fi � 	 então � 
 � �,�,�flfi � 
 �,�,�,�
�
�
�
0 � �1!
�
�
se '�fi
�
	 então � � � 
 �1�flfi � 
 �,�,�,�
�
�
�
0 � �1!
�
�
se '�fi
	
	 então �
�
�
� 
�
fi
�
 �,�,�,�
�
�
�
0 � �1!
�
0
2.9. FUNÇÃO EXPONENCIAL 65
Em geral, decorridos ' meses após a primeira observação, a população de formigas é dada por:
� � ' ! fi
�
 �,�,�,�
�
�
�
0 � �1!
�
0
1 2 3 4 5 6 7
50000
100000
150000
200000
Figura 2.43: Gráfico de � � ' ! fi � 
 �,�,�,�
�
�
�
0 � �1!
�
.
Definição 2.8. Seja �ff
�� tal que � ��� �fi � . A função exponencial de base � é denotada e definida
por:
� fi � � ' ! fiffi�
�
	
�
�
� � !flfi � , � � � � !flfi � � 	 � � ! , � � � !flfi � , � � � !flfi � e seu gráfico depende de ser � � � ou
� ���ff�
� .
Se � 
 � , então �
�
fi �
�
�
�
0"0"0
�
�
	 n vezes. Se � 
 � e � � � , então �
� �
fi
�
�
�
. Se '�
�
,
então '�fi
�
, onde
� e � 
��� %/� . , e:
�
�
fi �
�
�
fi
�
�
�
�
0
Se '&*
�
, isto é, ' é um número irracional como 
 ,
�
	
, que sentido tem a expresão � � e �
�
� ?
A resposta rigorosa a esta pergunta será respondida em níveis de estudos mais elevados que o
destas notas introdutórias. Por enquanto, vejamos uma idéia intuitiva:
Exemplo 2.18.
Considere
�
�
� ; o número irracional
�
	
é aproximadamente
�
	
�
fi
�
0
�
	
�
� 
 �
�
�
�
 �
�
0"0(0 Por outro
lado, os seguintes números são racionais: � 0
�
, � 0
�
	
, � 0
�
	
�
, � 0
�
	
�
� 
 fi , etc. Logo, pela observação
anterior sabemos calcular
�
���
� ,
�
���
�
� ,
�
���
�
�
� ,
�
���
�
�
�
�
�
	50"0"0 e podemos obter um valor aproximado
para
�
�
� . Observe a tabela:
'
�
�
1.7 3.249009
1.73 3.317278
1.732 3.321880
1.73205 3.321995
...
...
�
	
�
�
�
66 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Proposição 2.2. Seja � � ' ! fi �
�
, ��
�� tal que � � � �fi �
1. � � '�� � '
�
! fi � � '�� ! � � '
�
! . Isto é:
�
�
�
�
�
	
fi �
�
�
�
�
	
	
para todo ' �#	
'
�
�� .
2. � � ��' !$fi
�
� � '5!
�
�
fi
�
� � �"!
�
�
. Isto é:
�
�
�
fi � �
�
!
�
fi � �
�
!
�
	
para todo ' 	
��
�� 0
Toda progreção geométrica (P.G.) é uma função exponencial quando ' 
 � . De fato, seja a
progressão aritmética de razão � : ' 	 ' � � 	 ' �
�
�
	 '
�
	
�
	 '
�
	
�
	"0 0 0 0 0 0 0 0 ; então, � � ' � � ! fiffi�
�
� � ' ! ,
� � '
�
�
�
! fi � � � '
���
!
���
! fi �
�
� � '
���
! fi � �
�
� � ' ! ; em geral, � � ' � � � ! fi �
�
�
� � ' ! ; logo
obtemos uma progressão geométrica de razão �
�
.
Pelas propriedades anteriores, cada vez que a abscissa aumenta uma unidade a ordenada é
multiplicada por � e cada vez que a abscissa diminui uma unidade a ordenada é multiplicada
por �
�
. Se � � � , então, a distância da curva ao eixo dos ' cresce quando ' cresce e decresce
quando ' decresce. Se ��� � ocorre o contrário. Um caso particular e importante de função
exponencial é quando � é a constante de Euler ���
�
	
�
� �
�
� � . Gráficos para � ���ff� � :
-1 1 x
1
y
Figura 2.44: �flfi �
�
(verde), �flfi �� (azul) e �flfi �
�
(vermelho).
Gráficos para �ff� � :
2.10. APLICAÇÕES 67
-1 1 x
1
y
Figura 2.45: � fi
�
(verde), � fi � (azul) e �flfi � (vermelho).
2.10 Aplicações
As funções exponenciais ou compostas de exponenciais tem um importante papel em Matemá-
tica Aplicada. A seguir, apresentamos algumas destas aplicações.
2.10.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos
Se uma quantia inicial
�
� em dinheiro for investida a uma taxa de juros compostos de �
�
, �
vezes ao ano, o montante do investimento, após � anos será dado por:
�
fi
�
�
�
� �
�
�����
�
0
Por exemplo, suponha que � �,�,� reais são investidos a uma taxa de juros compostos de
�
�
ao
ano, o montante acumulado após 
 anos, se os juros forem capitalizados semestralmente é de
�
fi
�
�,�,�
�
� �
� 0 �
�
�
�
�
� 	
logo
�
�
fi
�
�
�
� 0 
 � reais.
2.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial
Uma quantidade que cresce de acordo com a lei � � �4! fi � � ���
�
; � � 	
�
��� é dita que experimenta
um crescimento exponencial com valor inicial � � � ! fi � � . Este modelo se aplica em diversas
situações.
Exemplo 2.19.
[1] Projeta-se que em � anos, a população de um estado será de � � �4!�fi � � �
�
�
�
�
�
milhões de
habitantes. Qual é a população atual? Qual será a população em 20 anos, se a população
continuar crescendo nesta proporção?
A população atual é � � � !$fi � � milhões e:
� �
�
� !$fi
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
��0 �
� � milhões.
68 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
[2] Biólogos determinaram que em condições ideais uma colônia de bactérias cresce exponen-
cialmente. Se, inicialmente existem
	
�,�,� bactérias e após
	
� minutos estão presentes � �,�,� ,
quantas bactérias estarão presentes após uma hora?
Note que � � � ! fi
	
�,�,�
� �
�
, pois � � � ! fi
	
�,�,� ; por outro lado � �,�,� fi � �
	
� ! fi
	
�,�,�
�
�
�
� e � �
�
�
fi
	
.
Logo,
� � � � !$fi
	
�,�,�
�
�
�
�
fi
	
�,�,�
�
�
�
�
�
�
�
fi
	
�,�,�
�
� fi
�
�
�,�,� bactérias.
-20 20 40 60
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60
5000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
Figura 2.46: Gráficos de [1] e [2], respectivamente.
Uma quantidade que decresce de acordo com a lei � � � !$fi � � �
�
�
�
; � � 	
�
��� é dita que experi-
menta um decrescimento exponencial com valor inicial � � � ! fi � � .
[3] Em Farmacologia, sabe-se que a concentração de penicilina e outras drogas tem um decres-
cimento exponencial, em relação ao tempo da aplicação da droga.
O modelo utilizado é � � �4!fffi � � �
�
�
�
, onde
�
� � é uma constante que depende da droga.
Outras aplicações serão vistas nos próximos parágrafos.
2.10.3 Função Logística
O modelo exponencial é interessante, pois é simples e serve como base para outros modelos
mais complexos que estudam situações mais gerais. Por outro lado, crescimentos exponenciais
não acontecem na natureza, pelo menos por tempo ilimitado. No entanto, durante breves inter-
valos de tempo populações crescem com este modelo. Observa-se que os níveis de natalidade
de uma população diminui quando a população aumenta. Os motivos podem ser variados,
como fatores sociais, econômicos ou suprimento limitado de alimentos e de espaço. A popu-
lação eventualmente se estabilizaria num nível compatível com o que o meio ambiente pode
sustentar, sem a extinção da espécie. Um ótimo modelo para o estudo deste tipo de situação é
a função logística, definida por:
� � �4! fi
�
� �
�
�
�
�
	
onde
�
	
��	 e � são constantes positivas. Este modelo também é usado no estudo da propaga-
ção de epidemias, da propagação de doenças infecciosas e na propagação de boatos ou notícias.
2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 69
Exemplo 2.20.
[1] Uma população de moscas drosófilas num ambiente limitado é dada por:
� �/� �4! fi
�1�,�
� �
	
�
�
�
�
�
�
�
	
onde � denota o número de dias transcorridos. Qual é a população inicial? Qual é a população
no � �
�
dia?
Note que inicialmente, temos � � � � !�fi � � moscas; � � � � � !�fi
�
	 	
0
	 	
; aproximadamente
�
	 	
moscas.
[2] Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram após � dias, num
certo bairro, é dada por:
�
�
� �4! fi
�
�,�,�,�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
0
Quantas pessoas ficaram doentes após o primeiro dia? Quantas pessoas ficaram doentes após
�
 dias?
Note que inicialmente, temos �
�
�
�
! fi
�
�
�
0
�
�
; aproximadamente �
�
� doentes e �
�
�
�
1!+fi 
 � �
�
0 � ;
aproximadamente 
 � � � doentes.
5 10 15 20 25 30
100
200
300
400
10 20 30 40 50
10000
8000
6000
4000
2000
Figura 2.47: Gráficos de � � e �
�
, respectivamente.
2.11 Função Logarítmica
Como qualquer reta paralela ao eixo dos ' intersecta o gráfico da função exponencial �flfi �
�
no
máximo num ponto, ela possui uma inversa denominada função logarítmica de base � , que é
denotada por:
� � '5! fi �
�
�
�
� '5!
e definida por:
� fi �
�
�
�
� '5!�� � �
	
fi '
onde ��
�� é tal que �ff��� �fi � . Note que 	 � � � � ! fi � � 	 � � ! , � � � � !$fi � , � � � !+fi � , � � � !+fi � e
seu gráfico depende de ser ��� � ou �fl����� � . Gráficos para � ���ff� � :
70 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1 2 x
-1
1
y
Figura 2.48: �flfi �
�
(verde), �flfi �
�
(azul) e �flfi �� (vermelho).
Gráficos para �ff� � :
1 x
y
Figura 2.49: � fi
�
(verde), �flfi
	
(azul) e � fi � (vermelho).
Usando novamente o fato de � fi � � � � � ' ! ser a inversa da exponencial temos as seguintes
identidades: � � � � � �
�
! fi ' , para todo '-
�� e �
�
�
���
� � �
fi ' para todo '-
 � � 	 � � ! .
Proposição 2.3. Seja �flfi � � � � � ' ! , ��
�� e tal que � ��� �fi � :
1. � � ' � �"'
�
! fi � � '
�
!
�
� � '
�
! , para todo ' � 	 '
�
 � � 	
�
�
! , isto é:
�
�
�
�
� ' � �"'
�
!$fi �
�
�
�
� '�� !
�
�
�
�
�
� '
�
! 	 para todo '��(	�'
�
 � � 	
�
�
! 0
2. � � � � � '
�
! fi � � �
�
�
�
� ' ! 0
3. � � � � �
'
�
'
�
��fi �
�
�
�
� ' � ! � �
�
�
�
� '
�
! 0
4. � � � � � �"! fi
�
�
�
�
�
� ��!
0
5. � � � � � '5! fi
�
�
�
�
� ' !
�
�
�
�
� ��!
0
6. �
�
fiffi�
�
�
�
���
� � �
0
Um caso particular e importante de função logarítmica é quando � é a constante de Euler, o
número � �
�
	
�
� �
�
� � . Em tal caso a notação usual é � fi � � '5! fi � � � � � ' ! fi � �$� ' ! , chamado
logaritmo natural de ' . Veja o capítulo V.
2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 71
1 x
y
Figura 2.50: Gráfico de � � ' ! fi � �$� '5! .
A relação entre �
�
e �
�
é:
�
�
fi �
�
�
� � � �
�
�
fi
�
�
�
onde
�
fi � �$� � ! .
Exemplo 2.21.
[1] Determine o domínio da função � � ' ! fi � �$� � �$� ' ! ! .
Note que � �$� � ! é definido se �)��� ; logo, para que � � '5! fi � �$� � �$� ' ! ! esteja definido é necessário
que � �$� ' ! ��� ; logo ')� � e 	 � � � � ! fi � � 	 � � ! .
2 4 6 8 10
-1.0
-0.5
0.5
Figura 2.51: Gráfico de � � ' ! fi � �$� � �$� ' ! ! .
[2] Determine a inversa da função � � '5! fi � �
�
�
� 
 �
�
�
�
. Fazendo �)fi � �
�
� � 
 �
�
!
�
fi
	
�
�
�
�
e
aplicando logaritmo de base � fi
	
a ambos os lados: � � �
�
��� ! fi
�
'
�
� e '�fi
�
�
�
�
����! � �
�
ou,
�
�
�
��� ! fi
�
�
�
�
��� ! � �
�
0
Equivalentemente, �
�
�
� ' !$fi
�
�
�
�
� ' ! � �
�
, ( ')��� ) que é a inversa da função dada.
[3] Uma floresta possui, aproximadamente,
�
�1�,�,�
�
� de madeira comercializável, a qual au-
menta na razão de
	
0 
�
ao ano. Outra floresta possui, aproximadamente, � � �,�,� � � de madeira
comercializável com a mesma razão de crescimento da primeira.
72 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
(a) Quantos anos devem trascorrer para que a primeira floresta tenha a mesma quantidade de
madeira da segunda?
(b) Quantos ano são necessários para que ambas as florestas tripliquem a quantidade de ma-
deira?
Denotemos por � � �4!�fi
�
�1�,�,�
�
�
0 �
	
�
e � � �4!�fi � � �,�,�
�
�
0 �
	
�
as funções exponenciais que
modelam cada floresta. Então:
(a) Devemos ter � � �4!�fi � � �,�,� ; logo,
�
�1�,�,�
�
�
0 �
	
�
fi �
�
�,�,� , então � 0 �
	
�
fi
�
. Aplicando
logaritmo natural a ambos os lados:
� fi
� �$�
�
!
� �$�
�
0 �
	
1!
�
fi
�
� 0
�
� anos 0
(b) Devemos ter � � � � ! fi
�
�
�,�,� e � � � � ! fi � � �1�,�,� , então � 0 �
	
�
�
fi
	
e � 0 �
	
�
�
fi
	
. . Aplicando
logaritmo natural a ambos os lados: :
� fi �
�
fi � �+fi
� �$�
	
!
� �$�
�
0 �
	
1!
�
fi
	
�
0 �
	
anos 0
2.11.1 Desintegração Radioativa
Considere uma amostra de material que contém uma certa quantidade de isótopo radioativo.
Foi experimentalmente observado que uma fração constante desse material radioativo decairá
espontaneamente (em outro elemento ou em outro isótopo do mesmo elemento) durante uma
unidade de tempo. A meia-vida de um isótopo radioativo é o tempo necessário para a meta-
de dele decair. Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos, a do Tório-234 é de
24.5 dias, aproximadamente. Esta é a chave do método para a determinação da idade de obje-
tos orgânicos utilizando Carbono-14. Este isótopo é acumulado durante toda a vida e começa
a decair com a morte. Como a meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos aproximadamente,
quantidades mensuráveis de Carbono-14 estão presentes muitos anos após a morte do objeto
orgânico. Por exemplo, um osso após 5700 anos possui a metade da quantidade de Carbono-
14 que existia quando estava vivo; após 11000 anos possui uma quarta parte da quantidade
de Carbono-14 que existia quando estava vivo; após 16000 anos possui uma oitava parte de
Carbono-14 que existia quando estava vivo. Para determinar a função que representa o exem-
plo, consideramos 5730 anos como unidade. Seja � � a quantidade inicial de Carbono-14; então
a quantidade � de Carbono-14 após � unidades de tempo é calculada por:
� � � ! fi �
�
�
�
�
�
�
�
�
���
0
Em geral, se a meia-vida de um isótopo radioativo é � anos, então a quantidade de isótopo
após � unidades de tempo é determinada por:
� � � ! fi �
�
�
�
�
�
�
�
	
onde � � é a quantidade inicial.
2.11. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 73
Escrevamos a função que representa o decaimento radioativo do Carbono-14 utilizando a fun-
ção exponencial: � � �4!�fi �
�
. Devemos deteminar
�
tal que � � �
�
� �
�
�
�
���
fi �
�
�
�
�
. Aplicando
logaritmo a ambos os lados:
�
fi �
� �$�
�
!
�
	
�
fi � � 0 �,�,�
�
�
�
� e:
� � �4! fi �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
0
5000 10000 15000
1
Figura 2.52: Gráfico de � fi � � � ! .
Exemplo 2.22.
[1] Se uma amostra de carvão vegetal achada contem 63 % de Carbono-14, em relação a uma
amostra atual de igual massa, determine a idade da amostra achada.
�
�
�
� 0 �
	
fi � � �4! fi �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
; aplicando logaritmo a ambos os lados:
� fi �
� �$� � 0 �
	
!
� 0 �,�,�
�
�
�
�
�
fi
	
�
� � 0 �
	
	
que é igual, aproximadamente, a 3800 anos.
[2] O elemento radioativo polônio-210 tem uma meia-vida de 140 dias aproximadamente. Sa-
bendo que uma amostra pesa
�
� miligramas inicialmente, quanto restará após duas semanas?
� � �4! fi
�
�
�
�
�
�
; como a meia-vida do polônio-210 é de 140 dias, então, � � � �1� !)fi � � ; logo,
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
� e
�
fi
� �$�
�
!
�
�1�
�
fi
� 0 �,� � � 
� ; portanto,
� � � !$fi
�
�
�
�
�
�
� �
���
�
�
�
e � � � � ! fi � � 0 � � miligramas.
[3] A população de uma cidade é de 20000 habitantes, de acordo com um censo realizado em
1990 e 25000 habitantes de acordo de um censo realizado em 1995. Sabendo que a população
tem um crescimento exponencial, pergunta-se:
(a) qual era a população no ano de 1980?
(b) quando a cidade atingirá uma população de 40000 habitantes?
74 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
(a) � � � ! fi
�
�,�,�,�
� �
�
; por outro lado,
�
 �,�,� fi � � 
1!+fi
�
�,�,�,�
�
�
� e
�
fi
�
� ���
�
�
�
fi
� 0 � � ���
�
� ; logo,
� � � ! fi
�
�,�,�,�
�
�
�
� � �
�
� �
�
e � � � � � !$fi �
�
�
�,� habitantes.
(b) Se � � �4! fi �1�,�,�,� , então � fi � 
 0 
	
� ; aproximadamente, 15 anos.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
10 000
20 000
30 000
40 000
Figura 2.53: Gráfico da evolução da população.
[4] Se a população de uma certa espécie de peixes num ambiente limitado é dada por:
��� � ! fi
 �,�,�,�
� ���
� �
�
�
�
	
onde � denota o número de semanas transcorridas, quanto tempo será necessário para a popu-
lação atingir
�
�,�,�,� peixes?
Devemos determinar �flfi �
�
�
����! , onde � fi � � �4! ; logo, � fi �
�
�
��� ! fi � �
�
�
� � �
 �,�,�,� � �
� . Então,
para � fi
�
�,�,�,� , temos � fi � �
�
	
�
�
	
�
�
fi
��0
� � semanas.
0 2 4 6 8 10 12 14
50 000
30 000
10 000
0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000
2
4
6
8
10
Figura 2.54: Gráficos de � e �
�
� , respectivamente.
2.12 Funções Trigonométricas
Fenômenos de natureza cíclica ou periódicos
são associados às funções trigonométricas. Por
exemplo, o batimento cardíaco, as ondas de rádio, o ritmo oscilatório dos braços durante uma
2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 75
corrida, o movimento periódico dos planetas e a vibração de átomos em cristais.
Definição 2.9. Uma função � é periódica de período � , � � � , quando para todo ' 
 	 � � � � ! , ' � � 
	
�
�
� � ! e � � '5! fi � � ' � � ! .
O gráfico de uma função periódica de período � se repete em cada intervalo de comprimento � .
Veja os exercícios.
2.12.1 Função Seno e Função Co-seno
As funções trigonométricas podem ser estendidas para todos os números reais de modo que
sejam preservadas todas as suas propriedades básicas. Veja a seção1.7. A forma de estender
é a seguinte: considere um círculo centrado na origem de raio � e fixe o ponto
�
fi �
�
	4� ! em
tal círculo; considere como sentido positivo, o sentido anti-horário; analogamente, o sentido
negativo é o sentido horário.
Para cada ' 
�� assosiamos um ponto � de modo que:
Se �7� '��
�
 , partimos de
�
e percorremos o círculo no sentido positivo até obter um arco
cujo comprimento seja ' . O ponto onde o arco termina é � .
Se �
�
 � ' � � , partimos de
�
e percorremos o círculo no sentido negativo até obter um
arco cujo comprimento seja � ' � . O ponto onde o arco termina é � . Assim a cada número real
corresponde um ponto � .
Se ' �
�
 será necessario dar mais uma volta no círculo, no sentido positivo, para atingir a
extremidade � do arco. Idem para '�� �
�
 . Assim a cada número da forma ' �
�
�
 (
�
 � )
corresponderá um ponto do círculo. Veja seção 1.7.
Definição 2.10.
1. Função Seno A ordenada de � :
� � '5! fi �
�
�$� ' ! 0
2. Função Co-seno A abscissa de � :
� � ' ! fi
���
� � '5! 0
Por exemplo � � �$�
�
�,�
	
! indica que estamos calculando o seno de
�
�,�
	
radianos. Veja a seção
1.7. Nas duas funções temos que 	 � � � � ! fi � e � � � � ! fi 2 � � 	 � 3 ; seno é uma função ímpar e
co-seno é uma função par; ambas são periódicas de período
�
 .
76 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
x
-1
1
y
Figura 2.55: Gráfico do Seno.
Observe que se � � '5!�fi � � �$� ' ! , então ��� ' �
�
��fi
���
� � '5! ; logo, o gráfico do co-seno é uma
translação de
�
do gráfico do seno.
x
-1
1
y
Figura 2.56: Gráfico do Co-seno.
2.12.2 Função Tangente e Função Secante
Definição 2.11. Se ��� � � '5! �fi � , definimos:
1. Função Tangente :
� � '5! fi ��� � ' ! fi
�
�
�$� ' !
���
� � '5!
2. Função Secante :
� � '5! fi �
�
�
� ' ! fi
�
���
� � ' !
Veja a seção 1.7. Nas duas funções temos que 	 � � � � !�fi %(' 
 �+* ' �fi
�
�
� 
 	 � inteiro . ,
�
�
� ��� ! fi � e � � � � � � ! fi � � � 	(� � 3�� 2 � 	 � � ! ; tangente é uma função ímpar e secante é uma
função par; ambas são periódicas de períodos 
 e
�
 , respectivamente. Seus gráficos são:
2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 77
-4 -2 2 4 x
-4
-2
2
4
y
Figura 2.57: Gráfico da Tangente.
-4 -2 2 4 x
-4
-2
0
2
4
y
Figura 2.58: Gráfico da Secante.
2.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante
Definição 2.12. Se � � �$� ' ! �fiffi� , definimos:
1. Função Co-tangente :
� � ' ! fi
���
��� � ' !+fi
���
� � ' !
�
�
�$� ' !
2. Função Co-secante :
� � ' ! fi
���
�
�
�
� ' !$fi
�
�
�
�$� ' !
Veja seção 1.7. Nas duas funções temos que 	 � � � � !$fi %('�
��+* ' �fi � 
 	 � inteiro . . � � � ��� ����!+fi
� e � � � ��� � � � ! fi � � � 	(� � 3 �72 � 	 � � ! ; co-tangente e co-secante são funções ímpares; ambas são
periódicas de períodos 
 e
�
 , respectivamente.
78 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-6 -4 -2 0 2 4 6 x
-4
-2
2
4
y
Figura 2.59: Gráfico da Co-tangente.
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Figura 2.60: Gráfico da Co-secante.
Observe os gráficos de seno e co-secante, co-seno e secante:
1 2 3 4 5 6 x
-2
-1
1
2
y
1 2 3 4 5 6 x
-2
-1
1
2
y
Figura 2.61:
Tangente e co-tangente:
2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 79
0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x
-2
-1
1
2
y
Figura 2.62:
Exemplo 2.23.
[1] O fluxo de ar através da traquéia é uma função periódica do tempo ' e se dá em ambos os
sentidos dos pulmões (inspiração e expiração). O fluxo pode ser representado pela função:
� � ' ! fi
�
�
�
�$���)' ! 	
onde
�
é o fluxo máximo durante a expiração e inspiração; � é o período respiratório; �&fi � ��
e
	
é o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo. A função � � ' ! é, certamente,
uma aproximação, pois
	
varia de indivíduo a indivíduo. Mas, estudos experimentais mostram
que é uma "boa"aproximação da realidade.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1
1
2
Figura 2.63: Gráfico para
�
fi
� e
	
fi
�
� ,
�
fi
�
e
	
fi
�
�
� .
[2] O ritmo oscilatório dos braços durante uma corrida pode ser representado por:
�flfi � � '5! fi
�
�
�
�
�
�
	
�
'��
	
�
� �
fi
�
�
�
�
�
�
 '
	
�
	
onde � é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical e ' é o tempo medido
em segundos. O período é �� segundos por ciclo, isto é, uma oscilação completa, obtida quando
o braço descreve o ciclo para frente e para trás, é concluida em �� segundos.
80 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1 2 3 4
-0.3
0.3
Figura 2.64: Gráfico de � � '5! fi � � � � �$� � �
�
�
! para '-
 2 � 	�� 3 .
[3] O movimento harmônico simples descreve a posição das oscilações regulares em torno de
uma posição de equilíbrio e que variam suavemente, como um pêndulo que oscila continua-
mente na vertical sem nehum tipo de restrição, como por exemplo, a fricção. Estas posições são
muito bem descritas pelas funções:
� � � ! fi
�
�
�
�$��� �
�
�"! ou � � �4!$fi
�
���
� ��� �
�
�"! 	
onde
�
	��-
 � e � � � . O período é o tempo
�
�
necessário para uma oscilação completa e
a frequência
�
�
é o número de oscilações por unidade de tempo. O movimento harmônico
amortecido descreve fenômenos de oscilação onde são impostas restrições, como por exemplo,
um pêndulo que oscila com fricção. Tal tipo de movimento é descrito por:
� � ' ! fi
�
� � �
�
�
�$� ��' ! ��	������ 0
1 2 3 4
-0.4
-0.8
0.4
0.8
Figura 2.65: Gráfico para � � ' ! fi �
� � �
�
�
�$� ��' ! .
[4] Se � é uma função periódica de período � , então a função definida por � � ' ! fi � �
�
'
�
�
! é
periódica de período
�
�
, se
�
��� .
De fato:
� � '
�
�
�
� fi � �
�
� '
�
�
�
�
�
�
� fi � �
�
'
�
�
�
� ! fi�� �
�
'
�
�
! fi � � '5! 0
Por exemplo, as funções � � '5! fi � � �$�
�
'5! e � � ' ! fi ��� � �
�
' ! são periódicas de período
�
� .
2.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 81
Determinemos o período da função � � '5!�fi � � � �
�
'
�
	
�
. Seja � � ' !�fi � � �$�
�
'5! que é periódica
de período 
 ; � � ' !$fi � � � �
�
'
�
	
� fi �
�
� �
�
� '
�
�
� � fi � � '
�
�
� ; logo, a função � é periódica
de período 
 .
-4 -2 2 4
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 2.66: Gráfico de � (vermelho) e de � (verde).
[5] Esbocemos o gráfico de � � '5! fi � � � �$� ' ! � .
Como 	 � � � � ! fi � , � � � � ! fi 2 � 	 � 3 , � é uma função par e periódica de período
�
 ; então, basta
estudar � � ' ! no primeiro quadrante. � � �$� ' ! ��� se � ��'-� 
 .
-6 -4 -2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 2.67: Gráfico de � � '5! fi � � � �$� ' ! � .
[6] Esbocemos o gráfico de � � '5! fi
�
�
����� � �
.
Como 	 � � � � ! fi � e � � � � � �$� ' !fl� � , então, � � � � ! fi
�
�
�
	
�
�
, � é uma função periódica de
período
�
 ; logo, basta estudar � � ' ! no primeiro quadrante. � � � ! fi � , � �
�
��fi
�
:
-10 -5 5 10
1
2
Figura 2.68: Gráfico de � � '5! fi
�
�
����� � �
.
[7] Esboce os gráficos de: � � ' ! fi ' � � � �$� ' ! e � � ' !+fi ' � � �$� '5! .
82 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
	
�
�
� � !-fi �
�
� � ! fi � ; a função � não é periódica. Por outro lado, � é ímpar; � � � !-fi � ,
� �
�
 ! fi
�
 ,
�
� e 	 � � � � !+fi�� � � ��!$fi � ; a função � não é periódica. Por outro lado, � é par,
� �
�
 !$fi � ,
�
� e
� �
�
�
�
���
! 
�
! fi � �
�
!
�
�
�
�
���
! 
�
se
�
� . Utilizando a observação 2.1, temos que os respectivos gráficos são:
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
Figura 2.69: Gráficos de � e � , respectivamente.
[8] Também pela observação 2.1, temos que os gráficos das funções � fi � � �$� '5! (azul), �ffifi
�
�
���
	
'
�
� (vermelho) e � fi � � ���
'
�
� (negro) são:
-3-6 3 6
-1
1
Figura 2.70: Gráfico do exemplo [8]..
2.13 Funções Trigonométricas Inversas
É claro que a função �)fi � � �$� ' ! não possui uma inversa, pois para cada � existem infinitos '
que satisfazem a relação � fi � � �$� ' ! . Geometricamente, qualquer reta paralela ao eixo dos ' de
equação � fi � com �ff
 2 � � 	 � 3 , intersecta o gráfico da função infinitas vezes. Para evitar esta
situação, restringimos o domínio de � � �$� ' ! para obter uma nova função que não apresentará
este problema. A rigor estas duas funções são diferentes, pois tem domínios diferentes. Isto
será feito para cada função trigonométrica.
2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 83
2.13.1 Função Arco seno
Definamos a função :
��� � �
� 	
�
�
��� 2 �
�
	
�
3
tal que � � ' ! fi � � �$� '5! . Esta nova função possui inversa chamada função arco seno.
�
�
�
��2 �
�
	
�
3 � � � �
�
	
�
�
é denotada por �flfi �
�
�
� ' ! fi � �
�
�
�
�$� ' ! e definida por:
�flfiffi� �
�
�
�
�$� ' ! � � �
�
�$��� ! fi '
Para representar graficamente a função �
�
�
� '5! fi � �
�
�
�
�$� '5! , usamos a simetria de � e �
�
� em
relação a � fi ' . O gráfico é:
-1 1
-1.5
1.5
Figura 2.71: Gráfico de � � '5! fi � � � � � �$� '5! .
O domínio usado para definir a função arco-seno, poderia ser substituido por qualquer dos
intervalos seguintes: �
�
	
	
�
�
	 �
	
�
	
 
�
�
	 0 0 0 , etc.; esta observação também será válida para as
outras funções trigonométricas.
Exemplo 2.24.
[1] Calcule � � � � � ���
�
�
�
� .
Devemos resolver a equação � fi � � � � � � �
�
�
�
� , que é equivalente a calcular � � �$����! fi
�
�
�
. A
solução desta equação é � fi
�
; então � � � � � �
�
�
�
�
�
fi
�
� .
[2] Calcule � � � � � ��� � � ���
�
	
�
� � .
Observe primeiramente que
�
	
�
*
 2 �
�
	
�
3 ; então, não podemos escrever
� �
�
�
�
��� �
�
���
�
	
�
� � fi
�
	
�
0
84 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Mas � � ���
�
	
�
� fi �
�
���
�
�
�
� fi �
�
���
�
� e
�
�2 �
� 	
� 3 ; então,
� �
�
�
�
�����
�
���
�
	
�
� ��fi � �
�
�
�
��� �
�
���
�
� � fi
�
	
pois � � � e � � � � � � são inversas.
[3] Verifique que ��� � � � � � � � �$� ' ! ! fi
�
�
��'
�
, � ' � � � .
Se �flfi � � � � � �$� ' ! , então � � �$��� ! fi ' , ��
 � �
�
	
�
�
; de � � � � ��� ! ����� � � ��� ! fi � , segue que
���
���,��� ! fi
�
� �
�
� �,��� ! fi
�
�7'�� ; logo, ��� � ����! fi
�
�
�7'
�
, pois ��
 � �
� 	
�
�
e
���
� � � �
�
�
�
�$� ' ! ! fi
�
�
�7'
�
0
2.13.2 Função Arco co-seno
Como no caso anterior, definamos a função : � �+2 � 	 
 3�� � 2 � � 	 � 3 tal que � � ' ! fi ��� � � ' ! ; esta
nova função possui inversa chamada função arco co-seno.
�
�
�
�
2 �
�
	
�
3 � � 2 � 	 
 3 é denotada por y= �
�
�
� '5! fi � �
� ���
� � ' ! e definida por:
� fi � �
� ���
� � ' ! � �
���
� ��� ! fi '
Para representar graficamente a função �
�
�
� ' ! fi � �
� ���
� � ' ! , usamos a simetria de � e �
�
� em
relação a � fi ' .
-1 1
1.5
Figura 2.72: Gráfico de � � ' ! fi � � � ��� � � ' ! .
O domínio usado para definir a função arco co-seno poderia ser substituido por qualquer dos
intervalos seguintes: 2 
 	
�
 3 	 2
�
 	
	
 3 	 0 0 0 , etc.
Exemplo 2.25.
[1] Calcule � � � ��� � � � � ! .
Devemos resolver a equação �ffifi � � � ��� � � � � ! , que é equivalente a calcular ��� � ��� !�fi � � . A
solução desta equação é � fi 
 ; logo � � � ��� � � � � ! fi 
 .
[2] Calcule � � � ��� ���
�
�
�
� .
2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 85
Devemos resolver a equação � fi � � � ��� ���
�
�
� �
, que é equivalente a calcular ��� � ����! fi
�
�
�
. A
solução desta equação é � fi
�
; logo, � � � ��� � �
�
�
� �
fi
�
.
[3] Determine o domínio da função � � ' ! fi � � � ��� � �
�
'
'
� �
� .
A função � � � ��� � � � ! é definido se, e somente se � 
�2 � � 	 � 3 , logo para que � � � ��� � �
�
'
'
���
� esteja
definido é necessário que
�
'
'
���
 2 �
�
	
�
3 . Então: � � �
�
'
'
���
�
� ; resolvendo as inequações
temos que '-� � e ')� �
�
	 ; logo, 	 � � � � ! fi � �
�
	
	
�
�
.
[4] Verifique que � � � � � �$� ' ! � � � � ��� � � ' ! fi �
�
.
Como ��� �
�
�
� �
�
fi �
�
�$��� ! . Logo, ��� �
�
�
� � �
�
�
�
�$� ' !
�
fi �
�
�
�
� �
�
�
�
�$� ' !
�
fi ' ; logo temos que
� �
� ���
� � '5! fi
�
��� �
�
�
�
�$� ' ! ; então, � � � � � �$� ' ! � � � � ��� � � ' !$fi
�
0
2.13.3 Função Arco tangente
Como antes, definamos a função : � �
�
�
�
�
	
�
�
�
� � � tal que � � ' ! fi ��� � ' ! . Esta nova função
possui inversa chamada função arco tangente.
�
�
�
�1� � �
�
�
�
�
	
�
�
�
é denotada por �flfi �
�
�
� ' ! fi � �
�
��� � '5! e definida por:
�flfiffi� �
�
��� � ' ! � � ��� ����!$fi '
Para representar graficamente a função �
�
�
� ' ! fi � �
�
��� � '5! , usamos a simetria de � e �
�
� em
relação a � fi ' .
-4 -2 2 4 x
-2
-1
1
2
y
Figura 2.73: Gráfico de � � '5! fi � � � ��� � ' ! .
O domínio usado para definir a função arco-tangente, poderia ser substituido por qualquer dos
intervalos seguintes: � �
�
	
� �
�
�,	 �
� �
�
	
�
�
�
�1	50 0 0 , etc.
86 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Exemplo 2.26.
[1] Calcule � � � ��� � �
�
	
! .
Devemos resolver a equação � fi � � � ��� � �
�
	
! , que é equivalente a calcular ��� ��� !flfi �
�
	
. A
solução desta equação é � fi �
	 ; logo, � � � ��� � �
�
	
! fi �
	 .
[2] Calcule � � ��� � � � ��� �
�
	
	
� � .
Resolvamos a equação
� fi � � � ��� �
�
	
	
� , que é equivalente a calcular ��� ��� ! fi
�
	
	 . A solução
desta equação é �flfi
�
; logo:
�
�
�
�
� �
�
���
�
�
	
	
� �
fi �
�
�
�
�
�
fi
�
�
0
[3] Se � � ' ! fiffi� � � ��� � ' ! , verifique que : � � '5! � � ��� ! fi ���
'
�
�
�
�7'
�
� .
Sejam � fi � �
'
�
�
�
�7'
�
! fi � �
�
��� �
'
�
�
�
�7'
�
� , � fi � � ' ! e � fi � ����! ; pelas definições temos:
��� �
�
!+fi
'
�
�
�
�7' �
	 ��� � � !+fi ' 	 ��� ��� !$fi � 0
Logo, ��� � � !$fi
��� � � !
�
��� ��� !
�
� ��� � � ! ��� ����!
fi ��� � �
�
��! ; então, � fi � � � .
2.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante
Analogamente aos casos anteriores, as outras inversas são denotadas e definidas, respectiva-
mente por:
Arco co-tangente:
�
�
�
� '5! fi � �
� ���
��� � ' !$fi
�
��� �
�
��� � ' ! 0
Note que 	 � � � �
�
�
! fi � e � � � �
�
�
! fi � � 	 
 ! .
Arco secante:
�
�
�
� ' ! fiffi� �
�
�
�
�
� ' ! fi � �
� ���
���
�
'
�10
Note que 	 � � � �
�
�
! fi � �
�
	(�
�
3fl�72
�
	
�
�
! e � � � �
�
�
! fi � � 	
�
�
� ���
�
�
	 
�
.
Arco co-secante:
�
�
�
� ' !$fi � �
� ���
�
�
�
� '5!$fi � �
�
�
�
�
�
�
'
�
0
Note que 	 � � � �
�
�
! fi � �
�
	(�
�
3fl�72
�
	
�
�
! e � � � �
�
�
! fi
�
�
�
�
	4�
�
�
�
� 	
�
�
�
.
2.13. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 87
Novamente para representar graficamente a função �
�
� , usamos a simetria de � e �
�
� em
relação a � fi ' .
-4 -2 2 4 x
1
2
3
y
-2 0 2 4 x
1
2
3
y
Figura 2.74: Gráficos de � � ' ! fiffi� � � ��� ��� � '5! e � � ' ! fi � � � � � � � '5! , respectivamente.
-4 -2 2 4 x
1
-1
y
Figura 2.75: Gráfico de � � '5! fi � � � ��� � � � � ' ! .
Exemplo 2.27.
[1] Calcule � � � ��� ��� � � ! .
Devemos resolver a equação ��fi � � � ��� � � ! , que é equivalente a calcular ��� ��� ! fi � . A solução
desta equação é �flfi
�
; � � � ��� ��� � � !�fi
�
��� �
�
��� �
�
!+fi
�
�
�
fi
�
.
[2] Calcule � � � � � � �
�
! .
Como � � � � � � �
�
! fi � �
� ���
�
�
�
�
�
, devemos resolver a equação ��fi&� � � ��� �
�
�
�
�
, que é equivalente a
calcular ��� � ��� ! fi
�
�
. A solução desta equação é �flfi
	 ; logo, � � � � � � �
�
!$fi
	 .
[3] Calcule � � � ��� � � � �
�
�
	
	
� .
Como � � � ��� � � � �
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equivalente a calcular � � �$��� ! fi
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	 ; logo:
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��fi
	
0
88 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
2.14 Funções Hiperbólicas
As funções hiperbólicas são definidas como combinações de funções exponenciais e estão rela-
cionadas com a hipérbole, da mesma maneira que as funções trigonométricas estão relaciona-
das com o círculo. As funções seno e co-seno hiperbólico são denotadas e definidas respectiva-
mente como:
Seno hiperbólico: � � '5! fi � � � � � '5! fi
�
�
�
�
� �
� 0
Co-seno hiperbólico: � � '5! fi ��� � � � ' ! fi
�
�
�
�
� �
� 0
Note que 	 � � � � � � � !fffi 	 � � � ��� � � !�fi � � � � � � � !fffi � e � � � ��� � � !fffi 2 � 	 � � ! ; seus gráficos
respectivos são:
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
Figura 2.76: Gráficos de � � ' ! fi � � � � � ' ! e � � '5! fi ��� � � � '5! , respectivamente.
Usando as definições, é fácil verificar que ��� � � �1� '5! � � � � � �,� '5!fffi � , “análoga” à identidade
trigonométrica ��� � � � ' ! � � � � � � '5! fi � . A diferença é que se fizermos ��fi ��� � � � '5! e � fi � � � � � ' ! ,
temos ���+� � � fi � , que é a equação de uma hipérbole no plano � � , o que “justifica”, de alguma
forma, o nome de hiperbólico.
As outras funções hiperbólicas são denotadas e definidas, respectivamente, como:
Tangente hiperbólica: � � '5! fi ��� � � ' !+fi
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
0
Co-tangente hiperbólica: � � ' ! fi ��� ��� � � '5!+fi
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
0
Secante hiperbólica: � � '5! fi � � � � � '5! fi
�
�
�
�
�
� �
0
Co-secante hiperbólica: � � '5! fi ��� � � � � � ' !$fi
�
�
�
�
�
� �
0
Note que 	 � � � ��� � ! fi 	 � � � � � � � !�fi � , 	 � � � ��� ��� � ! fi�	 � � � ��� � � � � ! fi � � � ��� � � � � ! fi �&�
%/� . , � � � ��� � !�fi � � � 	 � ! 	 � � � � � � � ! fi � � 	 � 3 e � � � ��� ��� � ! fi � � � 	(� � ! � � � 	 � ! ; seus respectivos
gráficos são:
2.14. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 89
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 2.77:
-3 -2 -1 1 2 3
1
0.5
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 2.78:
As função hiperbólicas tem importantes aplicações.
Exemplo 2.28.
[1] A velocidade de uma onda marinha de comprimento � , onde o solo marinho está a uma
profundidade de � metros é descrita por:
�
�
�
! fi
�
�
���
�
�
�
!#	
onde � é a constante gravitacional,
�
fi
� �
�
e
fi
�
�
. O desenho descreve a velocidade de uma
onda de � �,� metros de comprimento; note que a velocidade aumenta quando a profundidade
aumenta:
90 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
0 50 100 150 200 250
2
4
6
8
10
12
Figura 2.79:
[2] No estudo das linhas de transmissão de energia elétrica, a configuração de equilíbrio de
um cabo homogêneo e flexível sob a ação de seu peso e suspenso por dois pontos tem por
expressão:
�flfiffi�
���
�
�
�
'
�
�,	
onde � é uma constante positiva. O gráfico desta curva é chamado catenária.
-2 -1 21
1
2
3
Figura 2.80: Desenhos para � fi �
�
, �flfi � , �flfi �
�
e � fi
�
.
2.15 Exercícios
1. Exprima como função de ' :
(a) a área de um triângulo de base ' se sua altura é o dobro de sua base.
(b) o volume de uma esfera de raio ' .
(c) o volume de um cone circular reto de raio ' se sua altura é o triplo do raio da base.
(d) o volume e a área de um cilindro circular reto de raio ' sendo sua altura igual a �
�
�do raio da base.
2. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
2.15. EXERCÍCIOS 91
(a) � � '5! fi '
�
(b) � � '5! fi
�
�
'
�
�7'
(c) � � '5! fi �
���
�
(d) � � '5! fi �
���
�
�
(e) � � '5! fi �
�
� 	
� �
(f) � � '5! fi
�
�
�
�
'
(g) � � '5! fi
�
'
�
� � '
�
	
(h) � � '5! fi
�
'ff�
�
'
(i) � � '5! fi
�
�
���
�
�
�
�
(j) � � '5! fi � � � �$� '5! �
(k) � � '5! fi
�
�
	
�
�
�
���
�
(l) � � '5! fi �
�
� ���
�
� � �
�
�
�
(m) � � ' ! fi ��
���
�
�
�
���
�
(n) � � ' ! fi
�
�
� � 	
�
(o) � � ' ! fi
�
���
�
�
���
�
(p) � � ' ! fi
�
�
�
�
	
� 	
� �
3. Seja � � ' !$fi � ' � �
�
' ; determine 	 � � � � ! ; calcule � � � ! 	 ��� � �
�
� e verifique que � � � ��� ! fi � � ��� .
4. Determine o domínio de � � ' ! fi
���
�
�
�
�
�
e calcule � � �
� �
e
� � � '5! �
�
�
.
5. Simplifique a seguinte expressão:
�
� � � �
�
� � �
��� �
	�' �fi � , se:
(a) � � '5! fi '�� 	�� fi �
(b) � � '5! fi '
� 	�� fi �
�
(c) � � '5! fi ' � � ' 	
�flfi � �
(d) � � '5! fi �
�
	
�flfi
�
(e) � � '5! fi
�
'
���
	
� fi
�
(f) � � '5! fi �
� 	
	 � fi
�
(g) � � '5! fi '�� � ' 	�� fi
�
(h) � � '5! fi �
�
�
	 � fi
	
(i) � � ' ! fi
�
�
'
� �
	 � fi
�
(j) � � ' ! fi �
���
	 � fi �
6. Repita o exercício anterior para um � qualquer e compare os resultados obtidos.
7. Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções:
(a) � fi '�� ���
(b) � fi � '�� � ! �
(c) � fi � ' � � ! �
(d) � fi '�� � �
(e) � fi ' � ' �
(f) � fi �
���
�
(g) � fi
�
� �7'
�
(h) � fi
�
'��
� �
�
	
�7'
(i) �flfi �
���
�
�
(j) �flfi � '�� � � � � '��
�
�
(k) �flfi
�
�
�
�
� �
(l) �flfi � � '�� � ' �
(m) � fi ' � se '�� � e �)fi
�
� � ' �
�
!
� se
�
� ' .
(n) �flfi '�� � � se '-��� e � fi ' se � � ' .
8. Verifique se as seguintes funções são constantes:
(a) � � '5! fi �
�
�
���
�
� (b) � � ' ! fi
�
�
�
�
�
�
�
�
�
9. Esboce os gráficos no mesmo desenho:
92 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
(a) � fi � ' � 	 � fi � ' ��� � 	 � fi � '�� � �
(b) � fi � ' � 	 � fi
�
� ' � 	 � fi
�
�
�
�
(c) �flfi ��� � � ' ! 	 � fi ��� � �
�
'5! 	 � fi
���
� � � ' !
(d) �flfi � � �$� '5! 	 � fi � � � �
�
�
� 	 �flfi �
�
� �
�
�
�
10. Determine � � � , �ff� � , � ��� e � * � , se:
(a) � � ' ! fi
�
' 	 � � ' !$fi '��
�
�
(b) � � ' ! fi
	
'ff�
�
	 � � ' !$fi � '
�
�
�
(c) � � ' ! fi
�
'
���
	 � � '5!$fi ' � �
�
(d) � � ' ! fi
�
'
���
	 � � '5!$fi
�
'
�
	
(e) � � ' ! fi '
�
	 � � '5! fi �
�
� !
�
(f) � � ' ! fi �
� 	 � � ' !+fi '��
(g) � � ' ! fi '�� � ' � 	 � � ' !+fi � �
� 	
!
�
(h) � � ' ! fi �
� 	
	 � � ' !$fi ' �
11. Seja ��fi � � � . Calcule � se:
(a) � � ' ! fi '�� � � 	 � � ' !$fi ' � �
(b) � � ' ! fi �
' � ��	 � � ' !+fi ' � �
(c) � � ' ! fi � '�� �
	
'
�
 � 	 � � '5! fi � ' �
(d) � � ' ! fi � � �$� '5! 	 � � ' !$fi ' �
12. Seja � � ' ! fi �+' � � . Para que valores de � e � vale: � � � � !#� ' ! fi � '��
	
?
13. Se � � ' ! fi
�
'�� � e � � ' ! fi �
�
�
, determine o domínio de ��� � e esboce o gráfico de ��� � .
14. Verifique que � � � � ! � 	 � � � � ! e determine ��� � se:
(a) � � ' ! fi ' �
�
	 � � ' ! fi
	
'
���
(b) � � ' ! fi '�� �
�
	 � � ' !$fi
�
'
(c) � � ' ! fi '�� �
	
	 � � ' !$fi
�
� �
���
�
(d) � � ' ! fi
�
'��
	
	 � � '5!$fi � '��
�
	
'
���
(e) � � ' ! fi ' ��� 	 � � '5!$fi �
���
�
(f) � � ' ! fi
�
�
� �
	 � � ' !+fi
�
� �
���
�
15. Escreva � � '5! como composta de duas outras funções:
(a) � � '5!$fi � '�� ��� !
�
(b) � � '5!$fi � '�� � �1!
�
�
(c) � � ' ! fi �
�
	
'
�
(d) � � ' ! fi ��� � � �$� '5! !
(e) � � '5! fi �
�
�
(f) � � '5! fi � �$� �
�
	
!
16. Determine � � , se � � � '5! fi ' �
	
e � � � � fi � � � � � , �-fiffi� 	 � 	
�
	"0 0 0 0 0 0 .
17. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) � fi '
�
�
'
�
�7'��
(b) � fi
�
�
� 'ff�
�
!
�
(c) � fi
���
�
�
�
�
(d) � fi � � �$�
	
'5!
(e) �flfi ���
�
�
�
�
(f) �flfi � � � � �
	
' !
18. Ache o domínio das seguintes funções:
2.15. EXERCÍCIOS 93
(a) � � '5! fi � �
�
�
���
� � �
(b) � � '5! fi
�
� �$� '5!
(c) � � '5! fi � � ��� �
� 	
�
(d) � � '5! fi �
����� � �
� 	
(e) � � '5! fi ��� � �� �
(f) � � '5! fi � � � � � �$� ' � !
(g) � � ' ! fi � � � ��� ��� �
�
�
� �
�
(h) � � ' ! fi � � � ��� � '�� �
�
!
(i) � � ' ! fi � � � � � �$� �
�
' !
(j) � � ' ! fi �
�
� �
�
�
�
�$� '5!
(k) � � ' ! fi � � � � � � ' � !
(l) � � ' ! fi � � � � � ' � ' � �
�
!#� ' � �
	
! !
19. Determine a inversa das seguintes funções:
(a) � � '5! fi ��
(b) � � '5! fi
�
�
�
�
� �
(c) � � '5! fi '
�
	
'-���
(d) � � '5! fi '����
�
' 	 ')�
�
(e) � � '5! fi
�
�
�
�
� �
(f) � � '5! fi '�� � �,' �
	
	�'-�
�
(g) � � '5! fi
�
�
�
	
� �
(h) � � '5! fi
�
�
�
�
���
�
(i) � � ' ! fi
�
	
� 	
� �
	�'-���
(j) � � ' ! fi �
�
�
�
�
�
�
�
(k) � � ' ! fi � � � � � � � ' !
(l) � � ' ! fi �
�
�
�
�
�
�
�
� �
���
�
�
20. Sejam � � ' !$fi � �7' e � � ' !+fi
�
�
�
���
�
. Verifique que: � e � são as inversas de � e � respectiva-
mente.
21. Verifique:
(a) Se � e � são funções ímpares então � � e
�
� são funções pares.
(b) Se � e � são funções ímpares então � � � são funções ímpares.
(c) �
�
� � � '5!
�
� � � '5!
�
é função par e �
�
� � � ' !
� � � � ' !
�
é função ímpar para toda função � .
Então toda função pode ser escrita como soma de uma função par e de uma função
ímpar.
22. Sejam � � ' ! fi �
�
� �
�
�
�
� �
�
e � � '5! fi �
�
� �
�
���
� �
�
, ����� 	�� �fi � . Verifique que:
(a) � � ' � ��! fi � � ' ! � ��� ! � � � ' ! � ����!
(b) � � ' � � ! fi � � ' ! � ����! � � ����! � � '5!
(c) Analise o caso � fi � .
23. Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais:
(a) � � '5! fi �
�
	 �flfi
�
	
� fi
�
�
(b) � � '5! fi �
�
	 �flfi
�
� 	
� fi
�
�
(c) � � ' ! fi �
� �
	
�flfi
�
	�� fi
	
(d) � � ' ! fi �
�
�
�
	 �flfi
�
	
� fi
�
�
24. (a) Se � � ' ! fi � �
�
�
� �
���
�
�
, verifique que: � � � ! � � � �#!$fi �
�
�
�
�
���
�
�
�
.
(b) Se � � ' ! fi
�
�
, verifique que: � � ' �
	
! � � � '��
�
! fi
�
 � � '��
�
! .
25. Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:
94 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
(a) � fi � �$� � ' ! 	 ')���
(b) � fi � �$� � ' � !
(c) � fi
�
��� � �
�
(d) � fi ' � �$� '5!
(e) �flfi�� � �$� '5! �
(f) �flfi � �$� ' � !
26. Verifique que: � � � ��� � ' ! ��� � � ��� ��� ! fi � � � ��� ��� ��� ! ��� � � ��� ��� � ' ! .
27. Se � � ' ! fi � � � ��� � � � � � � � ' ! ! , calcule:
(a) � � � ! , se � fi � � e � fi � .
(b) � � � ! 	�� � � � ! 	�� � � �,� ! , se �flfi � �,� .
28. Verifique que � � ' ! fi � � � � � '5! , � � '5!flfi ��� � � ' ! , � � ' !flfi ��� ��� � � ' ! e � � '5!flfi ��� � � � � � ' ! são
funções ímpares e
�
� ' !$fi
���
�
�
� '5! , � � ' ! fi � � � � � ' ! são funções pares.
29. As inversas das funções hiperbólicas são definidas por:
(a) �flfiffi� � � � � � � � ' ! se, e somente se, � � � � ��� ! fi ' .
(b) �flfiffi� � � ��� � � � ' ! se, e somente se, ��� � � ����! fi ' .
(c) �flfiffi� � � ��� � � '5! se, e somente se, ��� � ��� ! fi ' .
(d) �flfiffi� � � ��� ��� � � ' ! se, e somente se, ��� ��� � ��� !$fi ' .
(e) � fi � � � � � � � � ' ! se, e somente se, � � � � ����! fi ' .
(f) �flfiffi� � � ��� � � � � � ' ! se, e somente se, ��� � � � � ��� !$fi ' .
Verifique que:
(a) � � � � � � � � ' !$fi � �
�
'
�
�
'
�
� �
�
, ')
��
(b) � � � ��� � � � '5!$fi � ��� ' �
�
'
�
�
�
� , ')� �
(c) � � � ��� � � ' !+fi � ���
�
�
� �
�
� �
� , � ' � � �
(d) � � � ��� ��� � � '5!+fi � �
�
�
�
� �
���
�
�
, � ' � � �
(e) � � � � � � � � ' !+fi � ��� ���
�
�
� �
	
�
� , ')
 � � 	 � 3
(f) � � � ��� ��� � � '5!+fi � � � �
�
�
�
�
	
� �
�
�
�
� , ' �fiffi�
(g) Esboce o gráfico de cada uma destas funções.
30. Se � � ' ! fi
�
� �
���
�
, determine 	 � � � � ! e calcule:
2.15. EXERCÍCIOS 95
(a) � � � � � � � � !#� ' � ��� !
(b) � � � � � � !#� � ' ��� ! �/!
(c) � � � � ! � �
�
� � �
(d) � � � � !
� �
� �
Determine em cada caso as condições para as compostas.
31. Quando uma função polinomial do primeiro grau verifica: � � ' � � '
�
!+fi � � '���!
�
� � '
�
!
�
Esta propriedade vale ou não para:
(a) � � '5! fi '��
(b) � � '5! fi
�
'��
(c) � � '5! fi
�
'
���
(d) � � '5! fi
	
'
(e) � � ' ! fi ' �
32. Verifique:
(a) ��� � � ' � � ! fi
���
�
� � ���
���
�
�
	
�
�
�
���
�
� � �
���
�
�
	
�
(b) ��� � � �
�
�
! fi
�
���
�
�
�
�
� � �
�
(c) � � � � � � � �
�
'
�
�
�
! fi � � �
���
�
�
� '5!
(d) � � � ��� � � �
�
'
�
� �
! fiffi� � � �
�
�
�
� � ' � !
33. Defina a funcão: � � ' ! fi 2 2 '
3 3 , onde 2 2 '
3 3 denota o maior número inteiro � tal que � � ' .
Por exemplo 2 2 
 3 3 fi
	
, 2 2 � �
�
3 3 fi �
� e � � '5! fi � , se ' 
 2 � 	 � ! . Calcule 	 � � � � ! , � � � � ! e
esboce o gráfico de � .
34. Esboce os gráficos de:
(a) � � '5! fi 2 2 ' 3 3�� 2 2 � ' 3 3
(b) � � '5! fi 2 2 ' ��� 3 3
(c) � � ' ! fi 2 2 '�� � 3 3
(d) � � ' ! fi '���2 2 ' 3 3
35. Escreva de forma mais simples as seguintes funções:
� � ! � � '5! fi �
�
�
�
� � �$� '5! ! 	 '-��� � �"! � � ' ! fi ���
�
�
�
' !
�
�
! � � ' ! fi �
�
�
�
� ' !
�����
�
�
� '5!
36. Determine os vértices das seguintes parábolas:
(a) � fi � '�� � � '��
	
(b) � fi '�� � � ' � �
�
(c) �flfi
�
'�� � '��
�
(d) �flfi 'ff�7'�� � �
37. Determine a função afim tal que � � � !�fi
�
e � �
�
!�fi � � e a função quadrática tal que
� �
�
!$fi �
� , � �
�
!$fi �
�
e � �
	
! fi
� .
38. Verifique que � � �$� � � � ��� � � '5! ! fi
�
�
� '
�
, � ' � � � .
96 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
39. Verifique que � � � ��� � � � ' ! fi 
��7� � � ��� � � ' ! .
40. Determine o domínio da função � � '5! fi � � � � � �$�
	
'
���
! .
41. Seja � � ' ! fi
�
�
�
�
�
	
� �
�
� �
�
� '
� �
! ! . Determine 	 � � � � ! e calcule � � �1! .
42. Se � � � � � �
�
�
�"! fi � e � � � � � �"! fi � , determine � .
43. Verifique que a função � � '5! fi '���2 2 '
3 3 é periódica de período � .
44. Verifique que se � é uma função periódica de periódo � , então também é periódica de
período � � , ��
� .
45. A função :
� � ' ! fi
ff
� se '-
�
�
� se ' *
�
	
é periódica para algum período?
46. Prove que a função afim tem como gráfico uma reta não vertical.
47. Prove que a função polinomial de segundo grau tem como gráfico uma parábola com
eixo paralelo ao eixo dos � .
48. Prove que se � é uma função periódica de periódo � , então:
(a) � � ' � ��! é periódica de periódo � , para todo ��
�� .
(b) � � �$'5! é periódica de periódo
�
�
, para todo �ff
���� %/� . .
49. Para pequenas variações de temperatura, o modelo para a dilatação de uma barra de
metal homogênea submetida à mudanças de temperatura é ��� � � fi � � � � � � � � ! , onde �
é o comprimento da barra quando a temperatura é � , � � é o comprimento inicial da barra
na temperatura � � e � é uma constante que depende do tipo de metal.
(a) Verifique se � é função linear de � .
(b) Supondo que a barra, inicialmente mede � �,� � � a uma temperatura de � �
�
� e que
para o metal com que foi feita �flfi � �
�
�
, esboce o gráfico que expresse o comprimento da
barra em função da temperatura.
2.15. EXERCÍCIOS 97
50. O custo em � 0 � 0 (unidades monetárias) para remover '
�
dos detritos tóxicos despejados
num aterro é dado por:
� � ' !$fi
� 0
�
'
�
�,� �7'
	
para � � ' � � �,� .
(a) Determine o custo referente à remoção de �1�
�
, � �
�
e � �
�
dos detritos. Esboce o
gráfico de ��fi � � ' ! .
(b) Que porcentual de detritos pode ser removido por � � 0 �,�,��� 0 �
�
51. Para calcular a dosagem de medicamentos que pode ser prescrita para crianças de � a � �
anos é utilizada a função
�
� �4! fi
�
�
�
���
�
	
onde � é a dose para adultos em � � e � é a idade em anos. Determine a dose que pode ser
indicada para uma criança de � anos se a dose adulta é de �1�,� � � .
52. Num sítio arqueológico foram encontrados ossos que contem
�
�
�
da quantidade original
de � � � . Faça uma estimativa da idade dos ossos.
[54] A meia-vida do fósforo-32 é de 14.2 dias. Sabendo que � �,� � desta substância estão
presentes no início, obtenha uma fórmula para a quantidade presente após � anos. Que
quantidade de fósforo-32 restará após
�
dias?
53. Em ciências naturais, meia-vida é o tempo necessário para que uma quantidade atinja
a metade de seu valor inicial. O processo de eliminação de uma substância pelo orga-
nismo dos mamíferos é análogo ao de decaimento radioativo; logo, utiliza-se o modelo
de decrescimento exponencial. Se
	
�
�
de uma droga aplicada num paciente é eliminada
após �
�
horas, qual é a meia-vida da droga?
54. Sabendo que a população de um certo país foi estimada em 23 milhões em 1990 e de 27
milhões em 1995, e supondo que a população tem um crescimento exponencial, determi-
ne quando a população atingirá 46 milhões.
55. Suponha que � �,�,�,��� 0 � 0 são investidos a uma taxa de juros compostos de �
�
ao ano. De-
termine o montante acumulado após 
 anos se os juros forem capitalizados mensalmente,
semestralmente e mensalmente.
56. Numa epidemia de gripe, o número de pessoas num bairro que pegaram gripe após �
dias é dado por :
� � �4! fi
� �,�,�,�
� ���
� � �
�
�
�
�
�
�
0
(a) Quantas pessoas foram infectadas após � dia; após � � dias?
(b) Em quantos dias 
 �,�,�,� pessoas ficaram com gripe?
98 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
57. Utilizando exemplos determine o comportamento do gráfico da função logística se vari-
amos
�
, � e � .
58. A magnitude de um terremoto na escala Richter é dada por
� �
�
! fi
�
	
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
	
onde � é a energia liberada pelo terremoto em Jules e � � fi � �
�
�
���
.
Note que � � � � � 0 � , onde � 0 � é para o maior terremoto registrado.
(a) O terremoto de São Francisco nos EEUU em 1906 liberou aproximadamente
 0 � 
�
�
�
�
�
�
. Qual foi sua magnitude?
(b) Se o terremoto de Koebe no Japão teve uma magnitude de
�
0
� , quanta energia liberou?
Capítulo 3
LIMITE E CONTINUIDADE
3.1 Limites
O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite.
Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independente de seu significado
geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites.
Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma
função � fi�� � ' ! nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu
domínio. Por exemplo, seja
� � ' ! fi
�
'�� �7'��
�
'ff�
�
fi
�
�
'
� �
!#� '��
�
!
'��
�
0
É claro que 	 � � � � ! fi ��� % � . . Estudaremos a função nos valores de ' que ficam próximos de
� , mas sem atingir � . Para todo '�
 	 � � � � ! temos que � � ' !�fi
�
'
� � . Vamos construir uma
tabela de valores de ' aproximando-se de � , pela esquerda ( ' � � ) e pela direita ( ' � � ) e os
correspondentes valores de � � '5! :
' �
�
� � ' !
�
�
� 0 
�
� 0
�
�
0��
� 0
�
�
0 �
� 0 �
�
0
�
� 0 � �
�
0 �
�
� 0 � � �
�
0 � �
�
� 0 � � � �
�
0 � � �
�
� 0 � � � � �
�
0 � � � �
�
� 0 � � � � � �
�
0 � � � � �
�
')�
�
� � '5!
�
�
0
�
��0��
�
0 
 �
�
0
�
	
0��
�
0 � �
0
� �
�
0 �,� �
	
0 �
� �
�
0 �,�,� �
	
0 �,�
� �
�
0 �,�,�,� �
	
0 �,�,�
� �
�
0 �,�,�,�,� �
	
0 �,�,�,�
� �
�
0 �,�,�,�,�,� �
	
0 �,�,�,�,�
� �
Observando as tabelas, podemos verificar que: “à medida que ' vai se aproximando de � , os
valores de � � '5! vão aproximando-se de
	
”. A noção de proximidade pode ficar mais precisa
utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer ' 	 � 
 � é � � � ' � .
Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se � '�� � � aproxima-se de zero, então
99
100 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
� � � ' ! �
	
� também se aproxima de zero; em outras palavras: para que � � � '5! �
	
� seja pequeno é
necessário que � '�� � � também seja pequeno. O número
	
é chamado limite de � � '5! quando '
está próximo de � . No exemplo, temos � � � '5! �
	
�,fi
�
� ' �
�
� ; logo, a distância de � � ' ! a
	
é igual
a duas vezes a distância de ' a � . É claro que quando ' aproxima-se de � , � '�� � � aproxima-se
de zero e consequentemente � � � ' !$�
	
� também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos
tornar � � ' ! tão perto de
	
quanto desejarmos, bastando para tal considerar ' suficientemente
próximo de � . Por exemplo, se desejarmos que � � � ' ! �
	
� seja igual a � 	
�
, basta considerar
� '7�
�
�+fi � 	
� ; agora, se desejarmos que � � � ' ! �
	
� � � 	4�
�
, basta considerar � '7� � � � � 	4� � .
De um modo geral, considerando qualquer número real positivo � (letra grega epsilon), tão
pequeno quanto se deseje e definindo o número real
�
(letra grega delta),
�
fi
�
�
, teremos que
a distância de � � '5! a
	
é menor que � , desde que a distância de ' a � seja menor que
�
. Então
para todo número real positivo � existe outro número real positivo
�
, que depende de � , tal que
se ����� '�� � � �
�
, então � � � ' ! �
	
��fi
�
� '��
�
� �
�
�
fi�� . Note que todos os intervalos abertos
que contém � intersectam � � % � . de forma não vazia.
3
1
Figura 3.1:
Definição 3.1. Sejam � �
�
� � uma função e � 
7� tais que para todo intervalo aberto � , contendo
� , tem-se � � �
�
��% �/.6! �fi � . O número real � é o limite de � � ' ! quando ' aproxima-se de � quando
para todo número ��� � , existe
�
�&� (
�
dependendo de � ), tal que, se ' 
�
e � � � '�� � �5�
�
então
� � � ' ! � � � ��� . A notação é: ���
�
�	�
�
� � ' ! fi��
A definição é equivalente a dizer:
Para todo � ��� , existe
�
��� tal que se ')
 � � �
�
	��
�
�
! �
�
�
�7% �/.
�
, então � � '5!�
 � �)�
�1	�� � � ! .
b- bb δδ
L
L+
L- ε
ε
Figura 3.2:
3.1. LIMITES 101
Exemplo 3.1.
Verifique que
���
�
�	�
�
'
�
fi
�
� .
Pela definição temos que, dado � ��� , devemos obter um
�
��� tal que se ��� � 'ff� � � �
�
então
� '�� �
�
� �$� � . Mas � '���� � � � fi � ' �fi� � � ' � � � e desejamos que este produto fique menor que
� para ' suficientemente próximo de � . Intuitivamente, se ' está próximo de � , � ' � � � estará
próximo de � e � '�� � � ficará próximo de zero. Logo � '�� � � � ' � � � ficará próximo de zero; estamos,
pois em condições de tornar � 'ff� � � � � � � desde que ' fique suficientemente próximo de � . A
primeira coisa a fazer é limitar o fator � ' � � � . Há várias maneiras de fazer isto. Por exemplo,
se
	
� '-� 
 , teremos � � ��' � � � � ou � ' � � � � � ; logo, � ' � � �1fi�� ' � � � � � � � 'fl��� � � � ���
e � '�� � � � ' � � �
� � � '�� � � . Portanto, dado �fl� � , considerando
�
o menor entre os números � e
�
� , teremos que, se � � � 'ff� � � �
�
, então � 'ff� � � � � ��� . É recomendável fazer uma tabela, como
no exemplo anterior.
Observe que o limite de uma função �flfi � � '5! num ponto � , depende apenas dos valores que �
assume nas proximidades de � , ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro � .
Proposição 3.1. Unicidade do limite Se
���
�
�	�
�
� � ' ! fi � � e
���
�
�	�
�
� � ' !$fi��
�
; ( � �(	��
�
�� ), então
� �$fi �
�
0
Em outras palavras se o limite existe (é um número real), ele é único. Para a prova veja o
apêndice.
Corolário 3.1. Se as funções � � ' ! e � � ' ! são tais que � � '5! fi � � '5! exceto num ponto � , então:
���
�
�	�
�
� � ' ! fi
���
�
�	�
�
� � ' ! 	
desde que exista um dos limites.
Esta propriedade nos permite "simplificar"antes de calcular o limite, como no primeiro exem-
plo.
Exemplo 3.2.
[1] Sejam � � '5! fi
�
'
�
�7'ff�
�
'��
�
e � � ' ! fi
�
'
��� .
Logo, � � ' ! fi � � '5! se ' �fi � ; então,
���
�
�	�
�
� � ' ! fi
���
�
�	�
�
� � ' ! , como já foi verificado.
[2]
� �
�
�	�
�
�
�
���
�
'
� não existe.
Se
���
�
�	�
�
�
�
�
�
�
'
�
existisse, então para valores de ' muito muito próximos de zero, a função � � �
�
�
'
�
deveria se aproximar de um valor fixo, que seria o limite. Mas isto não ocorre. De fato, consi-
derendo '�fi
�
�
�
�
� �
! 
�� , ( ��
� ), ' ficará próximo de zero se � for muito grande. Mas,
�
�
���
�
'
� fi �
�
���
�
�
�
���
! 
�
� fi �
�
��� � 
�
�
� fi
���
� � � 
 ! fi � �
�
!
�
	
102 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
e a função ficará oscilando entre � (se � é par) e � � (se � é ímpar). Logo, o limite de � não pode
existir.
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 3.3: Gráfico de � � �$� �
�
! .
[3] Se � 	
� 	 � 
�� , então:
� �
�
�	� �
�
�
'
�
�"! fi
�
� �
� 0
De fato, devemos verificar que, para todo número �)� � , existe outro número
�
� � , tal que:
� �
�
'
�
�#!$� �
�
� �
�#! �5� � se � '�� � � �
�
0 Mas, � � � ' � �"!$� � � � � �"! � fi � � � � '�� � � ; logo basta
tomar
�
fi
�
�
�
�
, se � �fiffi� . Se � fi � , todo
�
��� serve. logo, por exemplo:
���
�
�	�
�
�
�
'
�
	
! fi
�
���
�
	
fi
	
 0
[4] Seja
� � '5! fi
ff
'
�
 se ' �fi �
�
 se '�fi � 0
Calcule
���
�
�	�
�
� � ' ! .
Observemos que � � � !+fi
�
 , mas o valor do limite da função quando ' tende a � não depende
do valor da função no ponto � , pois � � '5! fi ' � 
 se ' �fi � ; logo:
� �
�
�	�
�
� � ' ! fi
���
�
�	�
�
� '
�
1! fi � 0
Proposição 3.2. Se
���
�
�	� �
� � '5! e
���
�
�	� �
� � '5! , existem, então para todo �$	 � 
�� :
1.
� �
�
�	� �
� � � � '5!
�
� � � '5!
�
fi	�
���
�
�	� �
� � '5!
�
�
� �
�
�	� �
� � ' ! 0
2.
� �
�
�	� �
� � � ' ! � � '5!
�
fi �
� �
�
�	� �
� � ' !
�
�
���
�
�	� �
� � '5!
�
0
3.
� �
�
�	� �
� � ' !
� � ' !
fi
���
�
�	� �
� � '5!
���
�
�	� �
� � '5!
, se
���
�
�	� �
� � '5! �fi � 0
3.1. LIMITES 103
4.
� �
�
�	� �
� � � ' !
�
�
fi �
���
�
�	� �
� � ' !
�
�
, se ��
 � .
5.
� �
�
�	� �
�
�
� � ' ! fi
�
�
���
�
�	� �
� � ' ! , se
���
�
�	� �
� � '5! � � e � é qualquer natural, ou
���
�
�	� �
� � '5! positivo,
negativo ou nulo e � é um natural ímpar.
6.
� �
�
�	� �
� � � � � '5!
�
fi � � �
���
�
�	� �
� � '5!
�
	 se
���
�
�	� �
� � '5!���� 0
7. Se
���
�
�	� �
�
� '5! fi
� �
�
�	� �
� � ' ! fi � e existe
�
� � tal que � � '5! � � � '5! � � �
' ! , para ��� � 'ff� ���
�
�
,
então
���
�
�	� �
� � ' ! fi � .
Provas no apêndice.
Segue diretamente da proposição 10.3:
(a) Se � � '5! é uma função polinomial, então:
���
�
�	� �
��� ' ! fi ��� � ! 0
(b) Se � � ' ! fi
� � '5!
� � ' !
é uma função racional e �ff
 	 � � � � ! , então:
���
�
�	� �
� � ' ! fi � � ��! 0
Exemplo 3.3.
Calcule os seguintes limites:
[1]
� �
�
�	�
�
� '
�
�
'
�
�
�
'
�
�
'
�
�
	
'
���
! . Neste caso � � '5! fi '
�
�
'
�
�
�
'��
�
'
�
�
	
'
� � ; logo:
���
�
�	�
�
� '
�
�
'
�
�
�
'
�
�
'
�
�
	
'
���
! fi
���
�
�	�
�
��� ' ! fi ���
�
! fi � 0
[2]
� �
�
�	�
�
'�� 
'
�
�
� . Como
� �
�
�	�
�
� '
�
�
�
! fi
�
� �fiffi� , podemos aplicar a proposição 10.3; então,
���
�
�	�
�
'�� 
'
�
�
�
fi
���
�
�	�
�
� 'ff� 
1!
���
�
�	�
�
� '
�
�
�
!
fi �
�
�
�
0
[3]
���
�
�	�
�
'�� �
�
'��
�
. Como
���
�
�	�
�
� 'fl�
�
! fi � , não podemos aplicar a proposição 10.3; mas fatorando o
numerador:
'�� �
�
'ff�
�
fi
� '��
�
! � '
� �
!
'��
�
fi '
� �
	
para todo ' �fi � . Logo:
���
�
�	�
�
'
�
�
�
'��
�
fi
���
�
�	�
�
� '
���
! fi
�
0
104 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
[4] Determine o valor de � tal que
� �
�
�	� �
�
	
' �
�
�$'
�
�
�
	
'
�
�
'��
�
exista.
Note que '�� � ' �
�
fi � '
�
�
! � ' �
�
! . Dividindo
	
'��
�
�+'
�
�
�
	
por ' �
�
; obtemos,
	
' �
�
�+'
�
�
�
	
fi � '
�
�
! �
	
'
�
� � �1!
�
�
�
 �-��! ; logo, para que a divisão seja exata devemos
ter �flfi � 
 ; logo,
	
'��
�
�+'
�
�
�
	
fi
	
� '��
�
 '
�
�1!$fi
	
� '
�
�
! � '
�
	
! :
���
�
�	� �
�
	
'��
�
�+'
�
�
�
	
'
�
�
'��
�
fi
	
� �
�
�	� �
�
'
�
	
'ff�
�
fi �
�
0
[5]
���
�
�	�
�
�
'
� �
�
�
'
.
Como
� �
�
�	�
�
' fi � , não podemos aplicar diretamente a proposição 10.3; mas racionalizando o
numerador:
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� ��� �
�
�
� ��� �
fi
�
�
�
� ��� �
. Logo:
���
�
�	�
�
�
'
���
�
�
'
fi
���
�
�	�
�
�
�
'
��� ���
fi
�
�
0
-1 1 2 3 4
0.25
0.5
0.75
1
Figura 3.4: Gráfico de � � '5! fi
�
�
� �
�
�
�
, perto da origem.
[6]
���
�
�	�
�
�
�
'��
�
�
�
'��
�
.
Para calcular este limite façamos a mudança de variáveis '�fi � �
�
; então:
�
�
'��
�
�
�
'��
�
fi
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
���
! � � �
�
!
� � �
�
! � �
�
�
�
�
�
�
� �
!
0
Se ' � � , então � � � ; logo:
���
�
�	�
�
�
�
'ff�
�
�
�
'ff�
�
fi
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
���
�
�
�
�
�
�
�
���
fi
�
0
[7]
���
�
�	�
�
� '
�
�
�
���
�
'
� ��fi � .
3.1. LIMITES 105
De fato, � � � � � ��� �� � � � , para todo ' 
ffi� �ffi%/� . ; logo � ' � � ' � � � ��� �� � � ' � , para todo
' 
���� %/� . . Como
���
�
�	�
�
'
�
fi
� �
�
�	�
�
� � '
�
! fi � ; pela proposição 10.3, temos:
���
�
�	�
�
� '
�
�
�
���
�
'
� � fiffi� 0
-0.2 -0.1 0.1 0.2
0.01
-0.01
Figura 3.5: Gráfico de � � ' ! fi '�� � � �
�
�
�
�
, perto da origem.
[8] Seja � � '5! uma função tal que � � � ' ! � � ' � ; então,
���
�
�	�
�
� � ' ! fi � .
De fato. Pela proposição 10.3, ítem 7, temos:
���
�
�	�
�
� � � ' ! �1fi � , o que implica,
���
�
�	�
�
� � ' ! fi � .
[9] Verifique que
� �
�
�	� �
'
�
� �
�
'�� �
fi � �
� �
� , �ff
�� .
Se � 
 � , então:
�
�
� �
�
��� �
fi '
� �
�
�
�+'
� �
�
�
0 0 0 0 0
�
�
� �
� , ' �fi � ; denotando por � � '5! fi '
� �
�
�
�+'
� �
�
�
0 0 0 0 0
�
�
� �
� , temos:
� �
�
�	� �
'
�
���
�
'ff���
fi
���
�
�	� �
� � ' ! fi � � � !$fi � �
� �
�
0
Se ��
� e � ��� , fazendo �-fi � � 	 � 
 � , temos:
'
�
���
�
'����
fi
�
���
�
�
���
'�� �
fi �
�
'
�
�
�
�
'
�
���
�
'����
�
�
pelo caso anterior, temos:
���
�
�	� �
'
�
���
�
'ff���
fi �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fi � �
� �
�
0
Se ��
�
, �-fi
�
�
;
	
�
 ��	
�
�fi � . Fazendo '�fi �
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e �flfiffi�
�
, então '
�
fi �
�
e �
�
fiffi�
�
; logo:
'
�
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�
'��7�
fi
�
�
� �
�
�
�
� �
�
fi
�
�
� �
�
� � �
� � �
�
�
� �
�
�
do segundo caso:
���
�
�	� �
'
�
���
�
'����
fi
���
�
	
�
�
�
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�
� � �
� � �
�
�
� �
�
fi
�
�
�
�
�
�
���
�
fi � �
� �
�
0
106 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
3.2 Limites Laterais
Sejam � uma função definida em um domínio 	 (que pode ser um intervalo ou uma reunião
de intervalos).
Definição 3.2.
1. Seja ��
�� tal que existem ��
�� e � �
	��"! � 	 � � � � ! . O número real � é o limite à direita de � � ' ! ,
quando ' se aproxima de � pela direita se para todo � ��� , existe
�
��� tal que � � � '5! � � � � � , se
��� ')���
�
�
. Notação:
���
�
�	� �
�
� � ' ! fi �
2. Seja � 
 � tal que existem � 
�� e � � 	4��! � 	 � � � � ! . O número real � é o limite à esquerda
de � � '5! , quando ' se aproxima de � pela esquerda se para todo � � � , existe
�
� � tal que
� � � '5! � � � ��� , se � �
�
� ' ��� . Notação:
���
�
�	� ���
� � '5! fi��
.
.
a
+
L
.
.
-
a
L
Figura 3.6: Limite à direita e à esquerda, respectivamente.
Exemplo 3.4.
[1] Calcule
���
�
�	�
�
�
� � ' ! e
���
�
�	�
�
�
� � ' ! , se:
� � '5! fi
�
�
�
�
�
'��
��� se '-�
�
�
se '�fi
�
� '
�
�
� se '-�
�
0
Para calcular estes limites observemos que ' �
�
� significa que ' fica perto de
�
, para valores
de ' maiores que
�
e ' �
�
�
significa que ' fica perto de
�
, para valores de ' menores que
�
.
Assim:
���
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
���
�
�	�
�
� '
�
���
! fi 
 e
� �
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
� �
�
�	�
�
� � '
�
�
�1!$fi 
 0
3.2. LIMITES LATERAIS 107
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
8
Figura 3.7: Gráfico de � , perto de
�
.
[2] Calcule
���
�
�	�
�
�
� � ' ! e
���
�
�	�
�
�
� � ' ! , se:
� � '5! fi
�
�
�
� ' �
'
se ' �fiffi�
� se '�fiffi� 0
Novamente, para calcular estes limites observemos que ' � � � significa que ' fica perto de � ,
para valores ' maiores que � e ' � �
�
significa que ' fica perto de � , para valores ' menores
que � . Primeiramente, escrevamos a função da seguinte maneira:
� � ' ! fi
ff
� se ' ���
�
� se ' ��� 0
Assim
���
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
� �
�
�	�
�
�
fi
� e
���
�
�	�
�
�
� � '5! fi
���
�
�	�
�
� �
�
!$fi �
� .
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Figura 3.8: Gráfico de � .
[3] Calcule
���
�
�	�
�
�
� � ' ! e
���
�
�	�
�
�
� � ' ! , se:
� � ' ! fi
ff
'�� se ')� �
	
' se ')� �
Calculando diretamente
���
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
���
�
�	�
�
�
	
'5!$fi
	
e
���
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
� �
�
�	�
�
'
�
fi
� .
108 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
-2 -1 1 2 3
2
4
6
8
Figura 3.9: Gráfico de � , perto de � .
[4] (Contração de Lorentz): Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimento de
um objeto é função de sua velocidade:
���
�
! fi��
�
�
�
�
�
�
�
�
	
onde � � é o comprimento do objeto em repouso e � é a velocidade da luz. A velocidade da luz
é de aproximadamente
	
�
�
�
�
�
�
* � . Da teoria da relatividade é conhecido que nenhum objeto
pode ir além da velocidade da luz; logo � � �
�
:
���
�
� � � �
���
�
!$fiffi� 0
Isto significa que para um observador parado o objeto desaparece.
Teorema 3.2. Seja � � '5! uma função com domínio 	 nas condições das definições. Então
� �
�
�	� �
� � ' ! fi �
se e somente se os limites laterais existem e
���
�
�	� �
�
� � '5! fi
� �
�
�	� �
�
� � ' !$fi�� .
Para a prova, veja o apêndice.
Teste para determinar quando não existe um limite
Se ���
�
�	� �
�
� � '5! �fi
���
�
�	� �
�
� � ' !
ou se um dos limites laterais não existe, então
���
�
�	� �
� � '5! não existe.
Exemplo 3.5.
[1] Calcule
���
�
�	�
�
� � ' ! , se:
� � '5! fi
�
�
�
�
�
'
�
��� se '-�
�
�
se '�fi
�
� '
�
�
� se '-�
�
0
3.2. LIMITES LATERAIS 109
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo1]
das páginas anteriores temos
���
�
�	�
�
�
� � '5! fi 
 e
���
�
�	�
�
�
� � '5! fi 
 . Pelo teorema, temos que
� �
�
�	�
�
� � ' ! fi
 .
[2] Calcule
���
�
�	�
�
� � ' ! , se:
� � '5! fi
ff �
�
�
�
se ' �fi �
� se '�fi � 0
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes.
� �
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
� �
�
�	�
�
�
fi
� e
�
�
�
� � � � � � �
�
���
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
� �
�
�	�
�
� �
�
! fi �
�
0
Pelo teorema, temos que
���
�
�	�
�
� � '5! não existe.
[3] Calcule
���
�
�	�
�
� � ' ! , se:
� � '5! fi
ff
'
� se '-� �
	
' se '-� � 0
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo
[3] da página anterior, temos
���
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
	
e
� �
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
�
0
Logo,
���
�
�	�
�
� � '5! não existe.
[4] A função degrau unitário é definida como:
�
�
� ' !$fi
ff
� se ')� �
� se ')� � 	
onde � 
�� . Logo,
���
�
�	� �
�
�
�
� '5! fi � e
� �
�
�	� �
�
�
�
� ' ! fi
� ; logo,
���
�
�	� �
�
�
� ' ! não existe.
[5] Calcule
���
�
�	�
�
2 2 '
3 3 . Veja o exercício 33 do capítulo anterior.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
Figura 3.10: Gráfico de � � '5! fi 2 2 ' 3 3 .
Se
�
 � ,
���
�
�	�
�
�
2 2 ' 3 3 fi
�
�
� e
� �
�
�	�
�
�
2 2 '
3 3 fi
�
; logo,
���
�
�	�
�
2 2 ' 3 3 não existe. Se
�
�� � � , então
� �
�
�	�
�
2 2 ' 3 3 existe. (Por que?).
110 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
3.3 Limites no Infinito
Definição 3.3.
1. Seja � � � ��	 � � !���� � . Diz-se que
���
�
�	�
���
� � ' ! fi � quando para todo � � � , existe
�
�ffi� tal
que � � � '5! � � � � � se '-�
�
0
2. Seja � � � � � 	��"!�� � � . Diz-se que
� �
�
�	� �
�
� � '5! fi � quando para todo ��� � , existe � � � tal
que � � � '5! � � � � � se '-� � �ff0
Exemplo 3.6.
[1] Verifique que
���
�
�	�
���
�
'
fi � .
De fato, pois para todo � � � existe
�
�
�
�
� � , tal que se ' �
�
, então �
�
�
�
�
� � e
�
�
�
'
� �
�
�
fi
�
�
�
'
�
�
��� .
[2] Verifique que
���
�
�	� �
�
�
'
fiffi� .
De fato, pois para todo � ��� existe � �
�
�
��� , tal que se ')� � � , então
�
�
�
* '
�
�
fi �
�
'
��� .
Observe que ' � � � implica ')��� e ' � � � implica '-��� .
Proposição 3.3. Para todo número natural � e para ��
���� %/� . , tem-se:
1.
���
�
�	�
���
�
'
�
fiffi� .
2.
���
�
�	� �
�
�
'
�
fiffi� 0
1. Devemos provar que para todo � � � existe
�
� � tal que
�
�
�
�
�
�
�
� � se ' �
�
. De fato,
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
�
�
�
�
�
�
��� se
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� , ou seja, se ')�
�
�
�
�
�
�
�
�
; logo basta considerar
�
fi
�
�
�
�
�
�
�
�
. A prova de
2 é análoga a do item 1.
Figura 3.11: Gráficos de � � ' ! fi
�
'
�
para diferentes � .
3.3. LIMITES NO INFINITO 111
Proposição 3.4. Se
���
�
�	� �
�
� � ' ! e
���
�
�	� �
�
� � ' ! existem, então, para todo �$	 � 
�� :
�
0
� �
�
�	� �
�
� � � � ' !
�
��� � ' ! � fi	�
���
�
�	� �
�
� � ' !
�
�
���
�
�	� �
�
� � '5! 	
�
0
� �
�
�	� �
�
� � � ' ! � � '5! � fi��
���
�
�	� �
�
� � '5! ���
� �
�
�	� �
�
� � ' ! � 	
	
0
� �
�
�	� �
�
� � ' !
� � ' !
fi
���
�
�	� �
�
� � '5!
���
�
�	� �
�
� � '5!
	 se
���
�
�	� �
�
� � '5! �fi � 0
As provas são análogas às das propriedades dos limites num ponto.
Exemplo 3.7.
[1] Calcule
���
�
�	�
���
�
	
'
�
�
 � .
Aplicando diretamente a proposição anterior:
���
�
�	�
���
�
	
'
�
�
�
fi
���
�
�	�
���
�
	
'
�
�
�
���
�
�	�
���
 fi �
�
 fi 
 0
5
Figura 3.12: Gráfico de � quando ' � � � .
[2] Calcule
���
�
�	�
���
'
�
.
Aplicando diretamente a proposição anterior :
���
�
�	�
���
'
�
fi�
���
�
�	�
���
�
'
�
fiffi� 0
3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais
Proposição 3.5. Seja
� � '5! fi
� � '5!
� � '5!
	
onde � � ' ! fi&� � '
�
�
�
� �
� '
� �
�
�
0 0 0 0 0
�
�
� e � � ' ! fi �
�
'
�
�
�
�
�
� '
�
�
�
�
0 0 0 0 0
�
�
� são polinômios
de coeficientes reais de graus � e � , respectivamente, isto é � � �fiffi� e �
�
�fi � . Então:
���
�
�	� �
�
� � '5!
� � '5!
fi
�
�
�
�
�
�
�
se �-fi �
� se ��� �
112 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
De fato:
� � '5!
� � ' !
fi
�
�
'
�
�
�
� �
� '
� �
�
�
0 0 0 0 0 0 0 0
�
�
�
�
�
'
�
�
�
�
�
�4'
�
�
�
�
0 0 0 0 0 0 0 0
�
�
�
fi
'
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 0 0 0 0 0 0 0
�
�
�
�
�
�
'
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
0 0 0 0 0 0 0 0
�
�
�
� � �
0
Aplicando limite e as propriedades da proposição 3.4, obtemos o resultado. Para �7� �
, veja o
próximo parágrafo.
Exemplo 3.8.
[1] Calcule
���
�
�	�
���
' �
���
'
�
�
6'
�
�
'
�
�
.
Como ��� � , temos:
���
�
�	�
���
'
�
���
'
�
�
6'
�
�
'
�
�
fi � 0
[2] Calcule
���
�
�	� �
�
�
'
�
	
	
'
�
�
.
Como �-fi � , temos:
���
�
�	� �
�
�
'
�
	
	
'
�
�
fi
�
	
0
[3] Calcule
���
�
�	�
���
'
���
�
'
�
� 
.
Neste problema, a função não é racional, mas utilizaremos a mesma idéia dos exercícios ante-
riores. Reescrevendo a expressão temos:
'
� �
�
'
�
� 
fi
'
���
�
'
�
�
�
�
�
�
	
�
fi
'
� �
'
�
�
�
�
�
	
fi
� �
�
�
�
�
�
�
�
	
�
então:
���
�
�	�
���
'
���
�
'
�
� 
fi
���
�
�	�
���
� �
�
�
�
�
� �
�
	
fi
�
0
[4] Calcule
���
�
�	� �
�
'
���
�
'
�
� 
.
Aparentemente este limite é análogo ao do exemplo [3]; mas devemos ter cuidado, pois, ' �
�
� , significa que ')��� ; logo, consideramos � '
�
fi � ' :
� �
�
�	� �
�
'
� �
�
'
�
� 
fi
���
�
� �	�
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
fi �
�
0
[5] Fractal de Koch A seguinte curva é chamada de Koch e é obtida a partir da linha poligonal
constituída pelos lados de um triângulo equilátero de lado unitário. A cada passo substitui-se
o terço médio de cada segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam um
triângulo equilátero com o terço médio que foi retirado, conforme os desenhos abaixo:
3.4. LIMITES INFINITOS 113
Figura 3.13:
Denote por
�
� a área comprendida pela linha poligonal após � passos; logo,
�
�
fi
�
�
� ,
�
� fi
�
	
	 ,
�
�
fi
�
�
�
	
�
� ,
�
�
fi
� �
�
	
�
�
	 ,
�
�
fi
�
�
�
�
	
�
� �
� , em geral:
�
�
fi
�
	
�
�
� �
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
se ����� ; então,
�
� fi
���
�
� �
���
�
�
fi
�
�
	
. Fica como exercício interpretar o limite.
3.4 Limites Infinitos
Seja � uma função definida num domínio 	 , que pode ser um intervalo ou uma reunião de
intervalos. Seja � um ponto que não pertence necessariamente a 	 , mas tal que nas proximi-
dades de � existam pontos de 	 ; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem �
intersecta 	 de forma não vazia.
Definição 3.4.
1. Diz-se que
���
�
�	� �
� � '5! fi
�
� , quando para todo
�
��� , existe
�
��� tal que � � ' ! �
�
, se '-
 	 e
�fl� � 'ff� ��� �
�
.
2. Diz-se que
� �
�
�	� �
� � ' !$fi �
� , quando para todo � ��� , existe
�
��� tal que � � ' !�� � � , se ')
 	
e �fl� � '������ �
�
.
Exemplo 3.9.
[1]
� �
�
�	�
�
�
� '��
�
!
�
fi
�
� .
Como
�
� 'ff�
�
!
�
�
�
, se � ' � � ! � �
�
� , isto é, se � ' � � � �
�
�
�
, então para todo
�
� � , existe
�
fi
�
�
�
� � tal que � � '5!��
�
se � � � '�� � � �
�
0
[2]
� �
�
�	�
�
�
'
�
fi
�
� .
114 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
Como
�
'
�
� � se � ' � �
�
�
�
, então para todo � � � , existe
�
fi
�
�
�
� � tal que � � ' ! � � se
� � � ' � �
�
.
Analogamente podemos definir limites laterais infinitos. Assim:
Diz-se que
���
�
�	� ���
� � '5!�fi
�
� , quando para todo
�
� � , existe
�
� � tal que � � ' ! �
�
se
� �
�
� '-����0
Diz-se que
���
�
�	� �
�
� � '5! fi �
� , quando para todo � � � , existe
�
� � tal que � � ' !�� � � se
�ff� '-���
�
�
.
Proposição 3.6. Para todo número natural � , temos:
1.
���
�
�	�
�
�
�
'
�
fi
�
� .
2.
� �
�
�	�
�
�
�
'
�
fi
ff
�
� se � é par
�
� se � é ímpar
Proposição 3.7. Sejam � � ' ! e � � '5! funções tais que
���
�
�	� �
� � ' ! �fi � e
���
�
�	� �
� � '5!$fi � . Então
1.
� �
�
�	� �
� � ' !
� � ' !
fi
�
� se
� � '5!
� � '5!
��� para valores de ' próximos de � .
2.
� �
�
�	� �
� � ' !
� � ' !
fi �
� se
� � '5!
� � '5!
��� para valores de ' próximos de � .
As provas das proposições são deixadas como exercícios.
Exemplo 3.10.
[1] Calcule
���
�
�	�
�
	
'��
�
� '��
�
!
�
.
Como
���
�
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�
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'��
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� e
���
�
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�
� 'ff�
�
!
�
fiffi� , observando que se '-� �
�
, mas ' �fi � , então �
���
�
� ���
�
�
	
���
e aplicando o teorema, logo:
���
�
�	�
�
	
'��
�
� '��
�
!
�
fi
�
� .
[2] Calcule
���
�
�	�
�
�
'�� 
� '��
�
!
�
.
Como
���
�
�	�
�
�
�
'ff� 
 ! fi �
� e
� �
�
�	�
�
� 'ff�
�
!
�
fi � , observando que se ' � �
�
, mas ' �fi
�
, então
�
���
�
� ���
�
�
	
��� e aplicando o teorema, temos:
� �
�
�	�
�
�
'ff� 
� '��
�
!
�
fi �
� .
Analogamente podemos definir outros tipos de limites. Como exercício, defina os seguintes
limites:
���
�
�	�
���
� � '5! fi
�
�
	
���
�
�	�
���
� � '5! fi �
� e
���
�
�	� �
�
� � '5! fi
�
�
	
� �
�
�	� �
�
� � ' ! fi �
� .
3.4. LIMITES INFINITOS 115
Corolário 3.3. Para funções racionais, temos:
���
�
�	� �
�
� � ' !
� � ' !
fi
��
�
�
�
��
�
� se ��� �
�
�
�
�
se �-fi �
� se ��� �
0
Exemplo 3.11.
[1]
� �
�
�	�
���
� '
�
�
	
'
�
�
'
���
� . Como
� �
�
�	�
���
�
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'
�
�
�
'
�
�
�
'
�
� fi
� ; temos,
���
�
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���
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'
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'
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���
�
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'
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� .
[2]
� �
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�	� �
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� '
�
�
	
'
�
�
'
���
� . Como
� �
�
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'
�
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'
�
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�
'
�
� fi
� ; temos,
���
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���
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'
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'
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'
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� .
[3]
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'
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'
�
���
�
. Como
���
�
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'
�
�
�
'
� �
fi
� ; temos,
���
�
�	� �
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� '
�
�
'
�
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� fi
���
�
�	� �
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'
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'
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'
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��fi
���
�
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�
'
�
fi
�
� .
[4]
� �
�
�	�
���
�
'
�
� �
'
�
�
6'
�
�
�
�
.
Como ��� � , pelo corolário anterior:
���
�
�	�
���
�
'
�
���
'
�
�
6'
�
�
�
� fi
�
�
0
[5] Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partícula é função de sua velocidade:
� �
�
! fi
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
onde � � é a massa da partícula em repouso e � é a velocidade da luz. Logo,
� �
�
� � � �
� �
�
! fi
�
�
�
em outras palavras, se a velocidade de uma partícula aumenta, sua massa aumenta em ralação
a sua massa inicial � � .
[6] Considere o fractal de Koch e denote por � � o perímetro da linha poligonal após � passos;
logo:
�
�
fi
	
	 � ��fi ��	 �
�
fi
�
�
	
�
em geral,
�
�
fi
	
�
�
	
�
�
, se � � � ; então, � � fi
� �
�
� �
���
�
�
fi
�
� . Fica como exercício interpretar
o limite.
116 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
3.5 Símbolos de Indeterminação
Nas operações com limites, muitas vezes aparecem os símbolos:
�
�
�
	
�
�/� 	
�
�
	
�
�
	 �
�
	
�
�
	
�
�
chamados símbolos de indeterminação. Quando aparece um destes símbolos no cálculo de
um limite, nada se pode dizer sobre este limite. Ele poderá existir ou não, dependendo da
expressão da qual se está calculando o limite.
Exemplo 3.12.
[1] Se � � ' ! fi � �
�
� '��
�
!
�
e � � ' !+fi
�
� 'ff�
�
!
�
, onde � e � são definidas em ��� % � . , então,
���
�
�	�
�
� � '5! fi
���
�
�	�
�
� � '5! fi
�
�
	
mas
���
�
�	�
�
� � � ' ! � � � ' ! � fi
� .
[2] Se � � ' !�fi � � �$�
�
'��
�
�
�
�
� 'ff�
�
!
�
e � � ' ! fi
�
� '��
�
!
�
, onde � e � são definidas em �ffi� % � . ,
então,
���
�
�	�
�
� � '5! fi
���
�
�	�
�
� � '5!$fi
�
� , mas
���
�
�	�
�
� � � ' ! � � � '5! � não existe.
[3] Se � � '5!flfi
�
'
e � � '5!�fi � �$� '5! , onde � e � são definidas para ' � � , então,
���
�
�	�
���
� � '5! fi �
e
� �
�
�	�
���
� � ' !+fi
�
� , mas
���
�
�	�
���
� � � '5! ��� � � ' ! ��fi � . De fato, � �$� '5! � ' para todo ' � � ; então
� �$� ' ! fi � �$�
�
'
�
'5! fi
�
� �$�
�
'5! �
�
�
' para ' � � ; logo, �fl�
�
��� � �
�
�
�
�
�
. Aplicando limite a
ambas partes e usando o item [7] da proposição 10.3, válida também para limites no infinito,
temos o resultado.
[4] Se � � ' ! fi
�
'
�
e � � ' !$fi ' � � � �$�
�
'
! , onde � e � são definidas em � ��%/� . , então,
���
�
�	�
�
� � ' ! fi
�
�
e
���
�
�	�
�
� � ' !$fi � , mas
���
�
�	�
�
� � � ' ! ��� � � ' ! � , não existe.
3.6 Limites Fundamentais
[1] Primeiro limite fundamental:
� �
�
�	�
�
�
�
�$� ' !
'
fi
�
Antes de provar este limite faremos uma tabela, usando o fato de que � � ' !fffi
�
� � � � �
�
é uma
função par:
' �fiffi� � � ' !
�
�
� 0
�
�
�
�
� � 0 
 � 0 � 
� �
� � 0
�
� 0 � �
	 	
� � 0
�
� 0 � �
�
	
��� 0 �
�
� 0 � � � �
�
��� 0 �,�
�
� 0 � � � � �
3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 117
Prova: Considere o seguinte desenho:
O Q S
T
P
Θ
Figura 3.14:
Denotemos por
�
� e
�
�
as áreas dos triângulos � � � e � �
	
respectivamente e por
�
a área do
setor circular � � � . Claramente
�
� �
�
�
�
�
0 Por outro lado, se � � �fl� �
�
,
�
��fi
�
�
�
�
�$� � !
���
� � � ! 	
�
�
fi
�
�
�
�
�$� � ! �
�
�
� � ! e
�
fi
�
�
��0
Então, da desigualdade acima: � � �$� � ! ��� � � � !�� � � � � �$� � ! � � � � � ! ; e, como � � �$� � !�� � se
��
 � � 	
�
�
! , temos ��� � � � !��
�
�
������� �
� �
�
�
� � ! , ou ��� � � � !�� �
� � � � �
�
� �
�
�
� � ! se � � ��� �
�
. Co-
mo
���
�
� �
�
�
���
� � � ! fi
���
�
� �
�
�
�
�
�
� � !flfi
� , segue que
���
�
� �
�
�
�
� � � � �
�
fi
� . Por ser �
� � � � �
�
uma função par:
���
�
� �
�
�
�
�
�$� � !
�
fi
� ; logo,
� �
�
� �
�
�
�
�$� � !
�
fi
� .
1
Figura 3.15: Gráfico da função � � '5! fi �
� � � � �
�
se ' �fi � e � � � ! fi � .
[2] Segundo limite fundamental:
���
�
�	� �
�
�
� �
�
'
�
�
118 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
Façamos uma tabela usando a função � � ' ! fi � � �
�
'
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')��� � � ' !
�
�
�
�
0 
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�
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0
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� �
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0
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�
�
�
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0
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� � �
')��� � � '5!
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0
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0
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0
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�
�
�
�
0
�
� �
�
�
-4 -2 2 4
1
2
3
4
5
6
Figura 3.16: Gráfico de � � '5! fi � � �
�
'
�
�
para ' �fi � .
É possível provar que:
� �
�
�	� �
�
�
� �
�
'
�
�
fi
�
	
onde � �
�
0
�
� �
�
�
0 0 0 é o número de Euler. A prova direta desta propriedade poderá ser encon-
trada na bibliografia intermediária ou avançada.
[3] Terceiro limite fundamental. Seja ��
�� 	 ����� 	�� �fi � , então:
���
�
�	�
�
�
�
�
�
�
'
�
fi � �$� � !
Em particular, � é a única base da exponencial tal que:
���
�
�	�
�
�
�
�
�
�
'
� fi � �$�
�
! fi
�
Veja o próximo exemplo, item [7].
Exemplo 3.13.
[1] Calcule
���
�
�	�
�
��� � ' !
'
.
���
�
�	�
�
��� � '5!
'
fi
���
�
�	�
�
�
�
�
�$� ' !
'
���
� � '5!
�
fi
���
�
�	�
�
�
�
�
�$� ' !
'
�
���
�
�	�
�
�
�
���
� � '5!
�
fi
�
0
3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 119
[2] Calcule
���
�
�	�
�
�
�
�$�
�
' !
�
�
�$�
	
' !
.
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�
�	�
�
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�$�
�
' !
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�$�
	
' !
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�$�
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' !
�
'
!
� �
�
�	�
�
�
	
'
�
�
�$�
	
' !
! fi
�
	
0
[3] Calcule
���
�
�	�
�
�
� �
'
�
�
� . Seja '�fi � � ; se ' � � então � � � � ; logo:
���
�
�	�
�
�
� �
'��
�
�
fi
���
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
fi
�
0
[4] Calcule
���
�
�	� �
�
�
� �
�
'
�
�
, onde � é um número real.
Seja
�
�
fi � , então:
���
�
�	� �
�
�
� �
�
'
�
�
fi
�
���
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
fi
�
�
0
[5] Calcule
���
�
�	� �
�
�
� �
�
'
�
�
�
�
, onde � é um número real.
Seja ' � � fi � , então:
���
�
�	� �
�
�
� �
�
'
�
�
�
�
fi
���
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
fi
�
0
[6] Sabemos que se uma quantia
�
� é investida a uma taxa � de juros compostos, capitalizados
� vezes ao ano, o saldo
�
� �4! , após � anos é dado por
�
� � !�fi
�
�
�
� �
�
�
!
�
�
. Se os juros forem
capitalizados continuamente, o saldo deverá ser:
�
� � !$fi
���
�
�
�
���
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
fi
�
�
� �
�
�
�
���
� �
� �
�
�
�
�
�
�
fi
�
�
�
�
�
0
[7] Calcule
���
�
�	� �
�
�
'
�
�
'ff�
�
�
�
�
�
, onde � é um número real.
���
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���
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'��
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�
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�	� �
�
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� �
	
'��
�
�
�
fi
�
�
0
[8] Verifique que
���
�
�	�
�
�
�
�
�
'
fi � �$� � ! .
Seja � fi �
�
�
� ; então � �$� �
�
! fi � �$� �
� �
! ; logo ' � �$� � !$fi �
�$� � � � ! e '�fi
� �$� �
���
!
� �$� ��!
. Quando ' � �
temos que � � � e:
���
�
�	�
�
�
�
�
�
'
fi
� �
�
�
�
�
�
� �$� �
���
!
� �$� ��!
fi � �$� � !
���
�
�
�
�
�
�
�
� �$� �
� �
!
fi � �$� � !
���
�
�
�
�
�
� �$� �
� �
�4!
�
�
!
fi � �$� � ! 0
[9] Calcule
���
�
�	�
�
�
�
� �
�
'
, onde ��	
����� e ��	�� �fi � .
���
�
�	�
�
�
�
���
�
'
fi
� �
�
�	�
�
�
�
�
� � �
���
�
'
fi
���
�
�	�
�
�
�
�
�
�
'
�
�
�
�
�
'
� fi � �$� ��! � � �$� �"! fi � ���
�
�
� 0
[10] Se
�
�
�
�
� �
�
fi
�
�
�
e
���
�
�	�
���
�
� �
�
'
!
� �
fi � , determine � �$� ��! .
Primeiramente, note que � fi �
�
	
; então, � �$� ��! fi �fl� . Por outro lado
�
�
�
�
���
�
fi
	 �
�
���
� ; logo,
	 �
�
� �
�
fi
�
�
�
, donde
�
� �
�
fi
�
�
e �flfi
�
. Portanto, � �$� � ! fi � � .
120 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
3.7 Assíntotas
Definição 3.5. A reta �)fi � é uma assíntota horizontal ao gráfico da função �)fi � � '5! se pelo menos
uma das seguintes afirmações é verdadeira:
� �
�
�	�
���
� � ' ! fiffi� ou
� �
�
�	� �
�
� � ' ! fi �/0
Exemplo 3.14.
[1] Esboce o gráfico da função logística:
� � �4! fi
�
� �
�
�
�
� onde
�
	 �ff	
� 
�� 0
	
�
�
� � ! fi � e a curva passa por � � 	 	
�����
! . Por outro lado
���
�
�
�
���
��� � ! fi
�
; logo, �)fi
�
é uma
assíntota horizontal.
� �
�
�
� �
�
��� � !$fi � ; logo, �7fi � é uma assíntota horizontal. No caso em que
� fi � � �4! descreve o crescimento de uma população, o valor
�
é dito valor limite da população
e corresponde ao número máximo de indivíduos que um ecossistema pode suportar.
x
y
Figura 3.17: Gráfico da função logística.
[2] A função � � ' ! fi � � � � � ' ! possui uma assíntota horizontal � fi � .
Definição 3.6. A reta '�fiffi� é uma assíntota vertical ao gráfico da função �flfi � � ' ! se pelo menos uma
das seguintes afirmações é verdadeira:
���
�
�	� �
�
� � ' !$fi��
� ou
���
�
�	� � �
� � ' ! fi �
�
0
Em geral, se o 	 � � � � ! fi � , então o gráfico de � não possui assíntotas verticais.
3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais
Seja � � ' !�fi
� � ' !
� � '5!
tal que � *
 	 � � � � ! , isto é, � � � !�fi � ; então, � � '5! fi � ' � ��!
�
� �/� ' ! , � � �
e � �/� � ! �fi � ; analogamente � � ' ! fi � ')����!
�
� � � '5! , � � � e � � � ��!	�fi � . Se � � � , fazendo
�
fi � �
� , temos � � ' ! fi
�
� 'ff��� !
�
� �(� ' ! , onde � �/� ' ! fi
� � � ' !
�
�
� ' !
é uma função definida em � .
Então
���
�
�	� ���
� � � '5! �1fi
� .
3.7. ASSÍNTOTAS 121
a
a
Figura 3.18: Gráficos de � ao redor do ponto � , para
�
ímpar e
�
par e � �(� ��! ��� .
a
a
Figura 3.19: Gráficos de � ao redor do ponto � , para
�
ímpar e
�
par e � �(� ��! ��� .
Logo, a função possui uma assíntota vertical em cada raiz do polinômio � � ' ! .
Exemplo 3.15.
[1] Esboce o gráfico de �flfi
'
'
�
�
�
.
	
�
�
� � ! fi � � % �
�
	
�
. e a curva passa por � � 	4� ! . Por outro lado � � ' ! fi
� �/� ' !
'��
�
, onde � �/� ' ! fi
'
'
� �
;
�
fi
� e � �/� � !�� � ; então,
� �
�
�	�
�
�
� � '5! fi
�
� ,
���
�
�	�
�
�
� � '5! fi �
� , Analogamente: � � ' ! fi
�
�
� �
� �/� ' ! , onde � �/� '5! fi
'
'��
�
;
�
fi
� e � �/� � � ! ��� , então:
���
�
�	� �
�
�
� � ' ! fi
�
� e
���
�
�	� �
�
�
� � ' ! fi �
� ;
logo, '�fi � e '�fi � � são assíntotas verticais. Por outro lado,
���
�
�	� �
�
� � ' ! fi � ; logo, � fiffi� é uma
assíntota horizontal.
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
Figura 3.20: gráfico de � fi
�
�
	
�
�
.
[2] Esboce o gráfico de �flfi
'
�
'
�
�
�
.
122 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
	
�
�
� � ! fi � ��% �
�
	
�
. e a curva passa por � � 	4� ! . Por outro lado � � '5! fi
� � � '5!
'ff�
�
, onde � �/� ' ! fi
'��
'
� �
;
�
fi
� e � �/� � !ff� � ; então,
���
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
�
� ,
���
�
�	�
�
�
� � '5! fi �
� . Analogamente: � � ' ! fi
�
'
� �
� �/� ' ! , onde � �/� ' ! fi
'��
'��
�
;
�
fi
� e � �(� � � ! ��� ; então,
���
�
�	� �
�
�
� � '5! fi �
� e
���
�
�	� �
�
�
� � '5! fi
�
� ;
logo '�fi � e ' fi � � são assíntotas verticais. Por outro lado,
���
�
�	� �
�
� � '5! fi
� ; logo, ��fi � é uma
assíntota horizontal.
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
Figura 3.21: gráfico de � fi
�
	
�
	
�
�
.
3.8 Continuidade de Funções
A noção de continuidade em Matemática é a que utilizamos no dia a dia, isto é, onde não há
interrupção ou, então, onde não existem partes separadas umas das outras. Nos parágrafos
anteriores, estudamos o comportamento de uma função � fi � � ' ! para valores de ' próximos
de um ponto � . Pode acontecer que o limite de � � '5! quando ' tende a � exista, mas que � não
seja definida em � ; ou ainda, pode acontecer que o limite seja diferente de � � � ! . Estudaremos,
agora, uma classe especial de funções, onde se verifica que:
���
�
�	� �
� � ' ! fi � � ��! 0
Definição 3.7. Seja � uma função e ��
 	 � � � � ! , onde 	 � � � � ! é um intervalo aberto ou uma reunião
de intervalos abertos. � é dita contínua em � , se:
1.
� �
�
�	� �
� � ' ! existe.
2.
� �
�
�	� �
� � ' ! fi � � � ! .
Se � não verifica qualquer das condições da definição, � é dita descontínua em � .
Exemplo 3.16.
[1] Considere:
� � '5! fi
�
�
�
'�� �
�
'ff�
�
se ' �fi �
� se '�fi � 0
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 123
Note que 	 � � � � !$fi � , mas � não é contínua em � . De fato,
� �
�
�	�
�
� � '5! fi
���
�
�	�
�
� '
� �
! fi
�
�fi � �
�
! .
Veja o desenho:
1
2
Figura 3.22:
Observe que se redefinirmos a função, fazendo � � � !�fi
�
, a função será contínua em todos os
pontos de � . Verifique este fato.
[2] Seja:
�
�
� '5! fi
ff
� se ')� �
� se ')� � 0
A função degrau unitário � fi � � � ' ! não é contínua em � , pois não existe
���
�
�	� �
�
�
� ' ! .
c
1
Figura 3.23: Função degrau unitário.
Intuitivamente, a continuidade de uma função em um ponto indica que o gráfico da função
não apresenta saltos nesse ponto (veja o desenho anterior).
[3] � � '5! fi
'
�
�
�
'ff�
�
é uma função contínua em todo ponto de seu domínio.
De fato � � '5! fi ' � � se ' �fi � e
���
�
�	� �
�
� � '5! fi '
�
���
fi � � '
�
! .
[4] O potencial � de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos ' é dado por:
124 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
� � ' ! fi
ff
�
��
�
�
'
�
�
�
�
�7'
�
se '-���
�
�� �
�
'
�
�
�
�
�
'�� se '-��� 0
��	��7��� ; � é contínua em � .
De fato, como
���
�
�	�
�
�
� � '5! fi
���
�
�	�
�
�
� � '5! fi
�
�� � ,
� �
�
�	�
�
� � ' ! existe e
���
�
�	�
�
� � ' !+fi � � � ! . Então, � é
contínua em � .
[5] Seja
� � '5! fi
��
�
��
�
'��
�
se ' � � �
�
'
�
� se ' 
�2 � � 	 � 3
 '
�
�
se ' � � 0
Ache
�
e � tais que � seja uma função contínua em � .
Os pontos problemáticos
do domínio de � são ' fi � � e 'ffifi � . Utilizando a definição, � é
contínua se:
�
�
�
���
�
�	� �
�
�
� � ' ! fi
���
�
�	� �
�
�
� � '5!
���
�
�	�
�
�
� � ' ! fi
���
�
�	�
�
�
� � ' ! 	
que é equivalente ao sistema:
ff
�
� � fi �
�
�
� fi
�
�
�
logo,
�
fi
� e � fi � . Então:
� � '5! fi
��
�
��
�
'��
�
se ')� � �
�
'
�
� se � � � ')� �
 '
�
�
se ')� � 0
-3 -2 -1 1 2 3
-10
-5
5
10
15
20
Figura 3.24:
A continuidade também pode ser expressa em função de � e
�
. De fato,
� �
�
�	� �
� � ' ! fi � � ��! sig-
nifica que: para todo � � � existe
�
� � tal que, se ' 
 	 � � � � ! e � '�� �����
�
, então
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 125
� � � ' ! � � � ��! ��� � . Em outras palavras, � é contínua em � quando para todo � � � , existe
�
��� tal que � � '5!�
 � � � ��! � �1	 � � ��! � � ! desde que ')
�� � �
�
	4�
�
�
! � 	
�
�
� � ! .
Proposição 3.8. Sejam � e � funções contínuas no ponto � . Então:
1. � � � � � são contínuas em � , para todo �$	 � 
�� .
2. � � é contínua em � .
3.
�
�
é contínua em � , se ��
 	 � � �
�
�
� .
As provas destas propriedades decorrem imediatamente das definições.
Definição 3.8. Uma função � é dita contínua em
�
�&� se � é contínua em cada ponto de
�
. Se � é
contínua em
�
e � �
�
, então, � é contínua em � .
Exemplo 3.17.
[1] Os polinômios são funções contínuas em � , pois são expressos por somas e produtos de
funções contínuas em � .
[2] As funções racionais são funções contínuas no seu domínio.
[3] As funções � � '5! fi � � �$� ' ! e � � '5! fi ��� � � ' ! são contínuas em � .
[4] As funções exponenciais são funções contínuas em � .
[5] As funções logarítmicas são funções contínuas em � � 	 � � ! .
[6] A seguinte função é contínua em � :
� � '5! fi
�
�
�
' �
�
���
�
'
� se ' �fiffi�
� se '�fiffi� 0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 3.25: Gráfico de [6]
[7] A função � � ' ! fi 2 2 '
3 3 é descontínua para cada '-
� . Veja exercício 33 do capítulo anterior.
126 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
-1-2-3 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 3.26: Gráfico de � � '5! fi 2 2 ' 3 3 .
[8] A função � � '5!+fi
� �$� ' !
�
� �
�
��� � ' !
'
�
�
�
é contínua em � � 	 � ! �7� � 	 � � ! . De fato, � �$� ' ! é contínua
em � � 	 � � ! e � � � ��� � ' ! é contínua em � , logo � �$� ' ! � � � � ��� � ' ! é contínua em � � 	 � � ! ; o polinô-
mio ' � � � possui raízes reais ')fi � � e � � *
�� � 	 � � ! , então � é contínua em � � 	 � ! � � � 	 � � ! ,
que é o domínio de � .
1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
Figura 3.27:
Proposição 3.9. Sejam � e � funções tais que
� �
�
�	� �
� � ' ! fiffi� e � é contínua no ponto � . Então:
���
�
�	� �
�
��� �
�
� '5! fi �
�
���
�
�	� �
� � '5!
�
A prova segue das definições.
Exemplo 3.18.
Como aplicação direta desta propriedade temos:
[1] A função � � ' !+fi �
�
é contínua em � ; logo, se existe
���
�
�	� �
� � '5! , então:
���
�
�	� �
�
�
� � �
fi
�
���
�
�	� �
� � '5!
0
[2] As funções � � ' ! fi � � �$� ' ! e � � ' ! fi ��� � � ' ! são funções contínuas em � ; logo, se existe���
�
�	� �
� � ' ! , então:
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 127
���
�
�	� �
�
�
��� � � ' ! � fi �
�
���
���
�
�	� �
� � '5! � �
� �
�
�	� �
���
� � � � '5! � fi
���
���
���
�
�	� �
� � ' ! � 0
[3] A função � � ' !$fi � �$� ' ! é contínua em � � 	 � � ! ; logo, se
���
�
�	� �
� � ' !�
 � � 	
�
�
! , então:
���
�
�	� �
� � � � � '5! � fi � � �
� �
�
�	� �
� � ' ! � 0
[4]
� �
�
�	�
�
� ���
'
�
�
'��
���
'
�
���
� fi � ���
���
�
�	�
�
'
�
�
'��
���
'
�
� �
� fi � ���
	
� �
.
[5]
���
�
�	���
	
� �����
�
�$� ' ! � fi � ���
���
�
�	���
	
�
�
�$� '5! � fi � ��� �
�
���
� � � fi � �$�
�
! fiffi� .
[6]
� �
�
�	�
�
�
�
	
�
�
� �
�
fi
�
� �
�
�	�
�
� 'ff�
�
!
fi
�
�
fi
� .
[7]
� �
�
�	�
�
���
�
�
'
�
�
�
�
�$� ' !
�
�
fi
���
� � 
 !$fi �
� .
Teorema 3.4. Sejam � e � funções tais que � � � esteja bem definida. Se � é contínua no ponto � e � é
contínua em � � ��! , então ��� � é contínua em � .
Prova: � � � � ! � 	 � � � � ! . Como � é contínua em � fi � � ��! , para todo � � � existe
�
� � � tal que
se � 
 � � � � ! e � �ff��� � �
�
� , então � � ����! � � � �#! �$� � . Por outro lado � é contínua em � ; logo,
existe
�
�
� � tal que se '7
 	 � � � � ! e � '�� �����
�
�
, então � � � ' ! � � � ��! � fi � � � '5! � � ���
�
� . Logo,
se '-
 	 � � � � !��7� � �
�
�
	4�
�
�
�
! , � � � � � ' ! ! � � � � � ��! ! ����� .
Exemplo 3.19.
[1] A função � � ' !+fi � ' � �
�
'
� �
� é uma função contínua em � , pois � é a composta das seguintes
funções: � � '5! fi '�� �
�
'
��� e � � ' !+fi � ' � ; ambas funções são contínuas em � . (Verifique !).
[2] A função � � '5! fi �
�
	
�
�
�
�
� é contínua. (Verifique !).
[3] A função � � '5! fi � � � �
'
�
�7'
�
'
�
�
�
� é contínua. (Verifique !).
O teorema seguinte estabelece que com hipóteses adequadas, uma função � , definida num
intervalo fechado 2 ��	���3 , assume todos os valores entre � � ��! e � � �"! ; em outras palavras, para
que � passe de � � � ! a � � �#! tem que passar por todos os valores intermediários. A definição
anterior de continuidade foi feita considerando como domínios intervalos abertos ou reunião
de intervalos abertos; então necessitamos da seguinte definição:
Definição 3.9. Seja ���
2 �
	���3 � � ; � é contínua em 2 ��	��43 se:
1. � é contínua em � ��	��"! .
2.
���
�
�	� �
�
� � '5! existe e
���
�
�	� �
�
� � ' ! fi � � ��! .
3.
���
�
�	�
�
�
� � ' ! existe e
� �
�
�	�
�
�
� � '5! fi � � �"! .
128 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
As condições 2 e 3, são chamadas continuidades laterais, à direita e à esquerda, respectivamen-
te.
Teorema 3.5. (do Valor Intermediário)
Se � � 2 ��	���3 � � é uma função contínua em 2 ��	���3 e � � ��! �
�
� � � �#! ou � � �"! �
�
��� � � ! , então existe
�
�� ��	��#! tal que � � � ! fi
�
.
Para a prova, veja [TA], [RC] ou [WR].
Exemplo 3.20.
Seja � ��2 � � 	 � 3 � � tal que � � ' ! fi '���� ��� � � 
 '5! � � ; então � assume o valor
	
�
. De fato � é
contínua e � fi � � � � ! �
	
�
� � �
�
! fi
	
; logo, do teorema, temos que existe � 
 � � � 	 � ! tal que
� �
�
! fi
	
�
.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura 3.28:
Corolário 3.6. Seja � � 2 ��	��43 � � uma função contínua em 2 ��	��43 . Se � � ��! e � � �"! tem sinais opostos,
ou seja � � ��! � � �#!���� , então existe � 
 � ��	��"! tal que � � � ! fi � .
a
cc
c b
Figura 3.29:
Este resultado pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um polinômio de grau ímpar.
De fato, seja � � ' ! fi '
�
�
� � '
� �
�
�
0 0 0 0 0 0 0
�
�
� �
� '
�
�
� uma função polinomial de grau � ímpar,
�
�
�� . Para os ' �fiffi� , escrevemos:
� � ' ! fi '
�
�
� �
�
�
'
�
0 0 0 0 0 0 0
�
�
�
'
�
�,0
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 129
Como
� �
�
�	� �
�
�
� �
� �
'
�
0 0 0 0 0 0 0
�
�
�
'
�
� fi
� ; então,
� �
�
�	�
���
� � '5! fi
�
� e
���
�
�	� �
�
� � ' !$fi �
�
	 pois, � é
ímpar. Logo, existem ' � ��'
�
tais que � � ' � ! � � e � � '
�
! � � . � é contínua no intervalo 2 ' � 	 '
�
3 ;
pelo corolário, existe � 
 � ' �(	 '
�
! tal que � � � !�fi&� . Se � é par, a conclusão é falsa. O polinômio
� � ' !$fi '��
��� não possui raízes reais.
Exemplo 3.21.
[1] A equação ' � � � ' �
�
fiffi� possui
	
raízes reais distintas.
De fato, a função � � ' !�fi '�� � � ' �
�
é contínua em � ; logo, é contínua em qualquer intervalo
fechado. Como � � �
	
! � � �
�
! fi �
�
� , existe � � 
 � �
	
	(�
�
! tal que � � � � ! fi � . Como � � � ! � � � ! fi
�
�
, existe �
�
 � � 	
�
! tal que � � �
�
! fi � . Como � � � ! � �
�
!$fi �
�
, existe �
�
 �
�
	
�
! tal que � � �
�
! fi � .
-1-2 1 2
2
Figura 3.30: Exemplo [1]
[2] A equação
�
�
� �$� '
�
� �
!
�
' � �
�
�
�
�
�
� �
! �
�
�
�
fi � possui pelo menos � raízes reais distintas
no intervalo 2 � � 	
�
3 .
De fato, a função é contínua em 2 � � 	
�
3 e � � � � ! � � � 0
�
	
, � � � � 0 
1! � � 0 �
�
�
, � � � !-fi � � 0 � 
 ,
� � � 0 
1!
�
� 0
�
	
e � �
�
!
�
�
�
0 
�
; logo: � � � � ! � � � � 0 
1! � � , existe � � 
 � � � 	(� � 0 
1! tal que � � � ��!+fi � .
Se � � � � 0 
1! � � � !�� � , existe �
�
 � � � 0 
 	4� ! tal que � � �
�
! fi � . Se � � � ! � � � 0 
1!ff� � ; então, existe
�
�
 � � 	4� 0 
1! tal que � � �
�
! fi � . Se � � � 0 
1! � �
�
! ��� ; então, existe � � 
 � � 0 
 	
�
! tal que � � � � ! fi � .
-1 1 2
Figura 3.31: Exemplo [2]
[3] A função � � ' ! fi � �
�
'�� ��� �
�
��� � '5! , atinge o valor
�
�
no intervalo 2 � 	 � 3 .
Considere a função � � ' !$fi � � ' ! �
�
�
; � é função contínua no intervalo 2 � 	 � 3 e
� � � ! � �
�
! fi �
�
�
�
�
130 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
logo, existe � � 
 � � 	 � ! tal que � � � �#! fi � , isto é, � � � � ! fi
�
� .
1
0.5
Figura 3.32:
O seguinte algoritmo serve para determinar aproximadamente as raízes de uma equação, uti-
lizando o corolário:
i) Seja � contínua em 2 ��	���3 . Se � � ��! � � �"!�� � , então, existe pelo menos um � 
 � ��	��#! tal que
� �
�
! fi � .
ii) Considere � � fi
�
�
�
� ; se � � � � ! fi � , achamos a raiz. Caso contrário, � � ��! � � � � ! � � ou
� �
�
� ! � � �"! ��� .
iii) Se � � � ! � � � � !ff� � , então, � � ' !flfi � tem solução em 2 ��	 � � 3 . Considere �
�
fi
�
�
�
�
�
; se
� �
�
�
! fi � , achamos a raiz. Caso contrário � � � ! � � �
�
!���� ou � � �
�
! � �
�
�
!���� .
iv) Se � � �
�
! � �
�
�
!)� � , então, � � '5!�fi � tem solução em 2 �
�
	
�
�
3 ; seja �
�
fi
�
�
�
�
�
�
, se
� �
�
�
! fi � , achamos a raiz. Caso contrário � � �
�
! � �
�
�
!���� ou � � �
�
! � �
�
��! ��� .
Continuando obtemos � � tal que � � � � ! � � � � � ! � é menor que a metade do comprimento do
último intervalo.
Exemplo 3.22.
No exemplo [1] temos � � ' ! fi ' � � � ' �
�
.
i) � � � ! � �
�
! � � ; seja � ��fi �
�
, como � � � � ! �fi � e � � � � ! � �
�
! �&� , então, procuramos a solução
no intervalo 2 � �(	
�
3 ; seja �
�
fi
�
�
�
�
�
fi
�
� .
ii) Como � � �
�
! �fi � e � � � ��! � � �
�
!�� � , então, procuramos a solução no intervalo 2 � �(	 �
�
3 ;
seja �
�
fi
�
�
�
�
�
�
fi
�
	
�
. Assim, continuando podemos, por exemplo, obter � � � fi
�
�
� ��
�
�
	
�
�
�
fi
�
0 �
�
�
� � no intervalo 2 � 0 �
�
 � ��	
�
0 �
�
�
�
3 e tal que � � � � � ! fi � � 0 �,�,�,� �
�
� .
3.9 Exercícios
1. Calcule os seguintes limites usando tabelas:
3.9. EXERCÍCIOS 131
(a)
���
�
�	�
�
�
	
'ff�
�
!
(b)
���
�
�	�
�
�
	
'ff�
�
!
(c)
���
�
�	�
�
'ff�
�
�
'��
�
(d)
���
�
�	�
�
6'
�
�
�
'
�
	
(e)
���
�
�	�
�
�
'
�
���
(f)
� �
�
�	�
�
' � �
�
'��
�
 'ff� �
'��
�
(g)
� �
�
�	�
�
�
'
�
�
�
�
�
�,�,�
�
(h)
� �
�
�	�
�
��� � � ' !
'
(i)
� �
�
�	�
�
� '
�
�
! �
'
(j)
���
�
�	�
�
�
�
�
'
�
���
(k)
���
�
�	�
�
	
�
�
�
'
�
�
'
�
�
(l)
���
�
�	�
�
� '�� �
�
!
'ff�
�
2. Determine
�
tal que:
(a)
���
�
�	�
�
�
	
�
'
�
� 
�
'
�
	
�
�
�
! fi
	
�
(b)
� �
�
�	�
�
� '
�
� 
 '
�
�1! fi �
(c)
���
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3. Verifique se são corretas as seguintes afirmações:
(a)
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(b)
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4. Calcule os seguintes limites:
(a)
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(b)
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(s)
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132 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
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5. Calcule os seguintes limites laterais:
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2 2 ' 3 3
6. Verifique se os seguintes limites existem:
(a)
���
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'
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(b)
���
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(c)
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(j)
���
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'
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3 3
7. Calcule os seguintes limites no infinito:
(a)
���
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'
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6'
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(b)
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(c)
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(d)
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(e)
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(f)
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(h)
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(n)
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(s)
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3.9. EXERCÍCIOS 133
(t)
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(x)
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8. Calcule os seguintes limites infinitos:
(a)
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'
���
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'
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'
���
(b)
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(c)
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(b)
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(j)
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10. Calcule os seguintes limites:
(a)
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(b)
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(c)
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(d)
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134 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
(e)
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(f)
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(q)
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11. Calcule
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(d) � � ' ! fi�� ' � � 	 � fi
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(e) � � ' ! fi
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(f) � � ' ! fi ' � � �7' ! 	 � fi �
(g) � � ' ! fi ��� � � '5! 	 � fi 
(h) � � ' ! fi � '��
	
! � 	 � fi
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(i) � � ' ! fi � �$� ' ! 	 � fi �
(j) � � ' ! fi � �
�
	 � fi �
12. Se � � � ' ! � � ��� ! � � � 'ff� ��� � , para todo ' 	 �ff
�� , verifique que:
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�	� �
� � '5! � � � ��!
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fi � .
13. Verifique que
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' ! fi
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0
14. No problema 51 do capítulo II, foi visto que o custo para remover '
�
de resíduos tóxicos
num aterro é dado por � � ' ! fi
� 0
�
'
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�,� �7'
, � ��'-� � �,� .
(a) Calcule
���
�
�	�
�
� �
�
� � ' ! .
(b) Interprete o resultado obtido.
15. Suponha que
�
�,�,� reais são investidos a uma taxa de juros anual de �
�
e os juros são
capitalizados continuamente.
(a) Qual é o saldo ao final de � � anos? E de 
 � anos?
3.9. EXERCÍCIOS 135
(b) Que quantia deveria ser investida hoje a uma taxa anual de
�
�
de juros capitalizados
continuamente, de modo a se transformar, daqui a 20 anos, em
�
�,�,�,� reais?
16. Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo bair-
ro, após � dias é dado por � � �4! fi
�
�,�,�,�,�
� � �
� � �,�
�
�
�
�
�
� .
(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
(b) Esboce o gráfico de � .
17. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) � fi
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�
�
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(b) � fi
'
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(c) � fi
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(d) �flfi
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(f) �flfi
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! � '
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18. Use a continuidade da função para calcular os seguintes limites:
(a)
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(b)
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(c)
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19. Verifique se as seguintes funções são contínuas:
� � ! � � ' ! fiffi� � � �
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! � � ' ! fi
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'�� � �
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se ' �fi
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� se '�fi
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Esboce os gráficos correspondentes.
136 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
20. Seja � � ' ! fi '�� � ' . Verifique que:
� ��! � � � ' ! � � �
�
! ���
�
��� '��
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� se �fl� '-�
	
� �"! � é contínua em
�
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21. Determine o valor de � para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
� ��! � � '5! fi
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�
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'�����'
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se ' �fi �
� se '�fi �
, no ponto '�fi � .
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, no ponto '�fi
	
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, no ponto '�fi � � .
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, no ponto '�fi � .
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� se '�fi �
, no ponto '�fi � .
� � ! � � ' ! fi
ff
� �7'
�
'
� se � �
��� � '�� se '-� �
, no ponto '�fi � .
22. Verifique se as seguintes funções são contínuas.
� ��! � � '5! fi
�
�
�
�
�
�$� '5!
'
' �fi �
� '�fi �
� �"! � � ' ! fi
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� � �
�
�
�
���
� � �
� �
� � ! � � ' ! fi
�
�
�
2 2 '
�
	
3 3 '-���
� '
���
!
�
�
�
'
'-���
23. Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
3.9. EXERCÍCIOS 137
(a) � � '5! fi � � � ��� �
���
� � ' !
�
�
�
�$� ' !
'
�
�
'
�
���
�
(b) � � '5! fi ��� � � � �$�
'
�
�
�
'
�
! !
(c) � � '5! fi
'
�
�
'
�
�7' �
� �
�
�
�
� '
�
� �
!
(d) � � ' ! fi
�
�
� � � '��/!
�
� �$� '��
���
!
'
�
� �
�
��� � '5!
(e) � � ' ! fi
�
�
	
�
�
�
� � � � �
�
�
� '
�
�
�1!#�
�
�
� �
!
(f) � � ' ! fi
���
� � 2 2 ' 3 3 !
2 2 '
3 3
24. Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real:
(a) ' � � '�� � �,'�� � 
 fiffi�
(b) ��� � � '5! � '�fi �
(c) � � �$� '5! �7' ��� fi �
(d)
�
�
�
'�� fiffi�
(e) '
�
��' �
�
'
�
fiffi�
(f) ' � � '
�
���
fi �
25. Seja � � ' !$fi � �7' � � �
�
�
'
�
, ' �fi � . Como escolher o valor de � � � ! , para que a função � seja
contínua em '�fi � ?
26. Sendo � � ' ! fi � � � ��� �
�
'��
�
� , ' �fi
�
, é possível escolher o valor de � �
�
! tal que a função �
seja contínua em '�fi
�
?
27. Determine � � � ! de modo que as seguintes funções sejam contínuas em '�fi � :
(a) � � ' ! fi
�
�
���
� � '5!
'
�
; (b) � � '5! fi ' � �$� ' � � ! �7' � �$� 'ff� � ! ;
c) � � ' ! fi ' ��� ��� � '5! .
28. A função sinal de ' é definida por: � � �$� ' ! fi
��
�
��
� se ')� �
� se '�fi �
�
� se ')� � 0
Verifique se � � '5! fi � � �$� ' ! e � � ' !$fi ' � � �$� ' ! são funções contínuas.
29. Dê um exemplo de duas funções descontínuas cuja soma seja contínua.
30. Verifique que a equação '�fi ��� � ' ! tem uma infinidade de raízes reais.
31. Seja � � ' ! fi
'
�
�
� �
�
�$� 
�' !
�
	
. A função � atinge o valor
�
	 no intervalo 2 �
�
	
�
3 ? Justifique
sua resposta.
138 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
32. Uma esfera oca de raio � está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A
intensidade de um campo elétrico � � '5! num ponto � localizado a ' unidades do centro
da esfera é determinada pela função:
�
� '5! fi
��
�
�
�
��
� se � � ')� �
�
	
'
�
se '�fi �
'
�
� se ')� � 0
Verifique se a função � fi � � '5! é contínua. Esboce o gráfico de � .
33. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o
surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente
ligada e, é definida por:
� � �4! fi
ff
� se � ���
� se � ���
(a) Discuta a contínuidade de � � � ! fi � � ��� � � ! e de � � � !$fi � � � � �$� 
 � ! ! . Esboce os respec-
tivos gráficos em 2 ��
 	 
 3 .
(b) A função � � �4! fi � � � � � ! ( � ��� ) é chamada rampa e representa o crescimento gradual
na voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de � e esboce seu
gráfico para � fi � 	
�
	
	
.
(c) Verifique que � � � � ! fi � � � � � ! .
(d) Se � � � !$fi
ff
� � �4! se � � ��� �
� � �4! se ��� �
, verifique que � � �4! fi � � � � � � �4! ! � � � ! � � � � �4! � � � ! .
34. A aceleração devida a gravidade
�
varia com a altitude em relação à superfície terreste.
�
é função de � (a distância ao centro da terra) e, é dada por:
�
� � ! fi
ff
���
�
�
� se �fl� �
���
�
	
se �fl� � 	
onde � é o raio da terra, � a massa da terra e � a constante gravitacional. Verifique se
�
é contínua. Esboce o gráfico de
�
.
35. Seja ���
2 � 	 � 3 ��� 2 � 	 � 3 contínua. Verifique que existe ' � 
�2 � 	 � 3 tal que � � ' � ! fi ' � .
36. Sejam � 	 � � 2 ��	��43 ��� � contínuas tais que � � � ! � � � � ! e � � �"! � � � �"! . Verifique que existe
'
�
 2 ��	��43 tal que � � ' � ! fi � � ' � ! .
3.9. EXERCÍCIOS 139
37. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, � minutos após a introdução de
uma toxina é dada pela função:
� � �4! fi
ff
� �
�
�
se � ��
�
�
�
�
�
�
se 
 � � 0
Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em algum momento entre � fi �
e � fi
�
.
38. Verifique que a função ��� �&� � � definida por � � ' !$fi
�
�
�
� �
�
�$� 
�'5!
�
	
assume o valor
�
�
.
140 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
Capítulo 4
DERIVADA
4.1 Introdução
Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve a
variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Inicialmente apresentaremos
a definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posteriormente, definiremos
funções
deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao seu significado geométrico.
4.2 Reta Tangente
Seja:
��� 	 ��� �
uma função definida num domínio 	 que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de
intervalos abertos, ou ainda, 	 tal que para todo intervalo aberto � que contenha ' � , se tenha:
� � � 	 � %('
�
.6! �fi�� .
Considere � fi � ' � 	 � � ' � ! ! e � � fi � ' � 	 � � ' � ! ! ( � fi � 	
�
	
	
0 0 0 0 0 0 ) pontos no gráfico de � , � �fi � � ;
seja � � a reta secante que passa por � e � � ; seu coeficiente angular é:
�
��fi
� � '���! � � � '
�
!
'
�
��'
�
0
Fixemos o ponto � e movamos � � sobre o gráfico de � em direção a � , até um ponto �
�
fi
� '
�
	 � � '
�
! ! tal que �
�
�fi � ; seja �
�
a reta secante que passa por � e �
�
; seu coeficiente angular
é:
�
�
fi
� � '
�
! � � � '
�
!
'
�
��'
�
0
Suponha que os pontos � � ( � fi � 	
�
	
	
0 0 0 0 0 0 ) vão se aproximando sucessivamente do ponto �
(mas sem atingir � ), ao longo do gráfico de � ; repetindo o processo obtemos � � 	 �
�
	 �
�
	"0 0 0 , retas
secantes de coeficientes angulares � �(	 �
�
	
�
�
	"0 0 0 , respectivamente. É possível provar, rigoro-
samente, que quando os pontos � � vão se aproximando cada vez mais de � , os � � respectivos,
variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos por � �
�
.
141
142 CAPÍTULO 4. DERIVADA
P
x x x x x
Q
Q
Q Q
r
r
r
r
f(x)
n
1
2
3
n 3 2 10
n
3
2
1
Figura 4.1:
Definição 4.1. A reta passando pelo ponto � e tendo coeficiente angular � �
�
, é chamada reta tangente
ao gráfico de � no ponto � ' � 	 � � ' � ! ! .
Se
�
�
�
fi
� �
�
�	� �
�
� � '5! � � � '
�
!
'ff�7'
�
existe, fazendo a mudança � fi '�� ' � , temos:
�
�
�
fi
� �
�
�
�
�
� � '
�
�
� ! � � � '
�
!
�
0
Como ' � é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico de � para qualquer ponto � ' 	 � � ' ! ! :
�
�
fi
� �
�
�
�
�
� � '
�
� ! � � � ' !
�
Assim, � � só depende ' .
Definição 4.2. Se � for contínua em ' � , então, a equação da reta tangente ao gráfico de � no ponto
� '
�
	 � � '
�
! ! é:
� � � � '
�
!$fi
�
�
�
� '��7'
�
!
se o limite existe,
Exemplo 4.1.
[1] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � ' ! fi � �7' � , no ponto � � 	
	
! .
4.2. RETA TANGENTE 143
Denotemos por � � o coeficiente angular da reta tangente à parábola � fi	� �7' � passando pelo
ponto � � 	 � � � ! !flfi � � 	
	
! . Seja � fi � � 	
	
! e � fi � ' � 	�� � '��� ! pontos da parábola; o coeficiente
angular da reta secante à parábola passando por � e � é:
�����
fi
� � '
�
! � � �
�
!
'
�
�
�
fi � � '
�
���
! 0
Q
1
P
x0
Figura 4.2:
Do desenho, é intuitivo que se � aproxima-se de � ( ' � aproxima-se de � ), os coeficientes angu-
lares de ambas as retas ficarão iguais; logo:
�
�+fi
���
�
�
�
�
�
�����
fi �
�
0
A equação da reta tangente ao gráfico de � , no ponto � � 	
	
! é � �
	
fi �
�
� 'ff�
�
! ou, equivalen-
temente, � �
�
'�fi 
 .
-1 1 2
1
2
3
4
Figura 4.3: Reta tangente a � fi � ��'ff� , no ponto � � 	
	
! .
[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � ' ! fi
�
'
, no ponto � �
�
	
�
! .
Seja � �
	
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função � fi
�
'
passando pelo ponto
�
�
�
	
�
! . Seja � fi �
�
�
	
�
! e � fi
�
'
�
	
�
'
�
�
pontos da curva; o coeficiente angular da reta secante à
144 CAPÍTULO 4. DERIVADA
curva passando por � e � é:
� ���
fi
� � '
�
! � � �
�
�
�
'
�
�
�
�
fi �
�
'
�
0
1/2 0
P
Q
x
Figura 4.4:
Novamente do desenho, é intuitivo que se � aproxima-se de � � ' � aproxima-se de
�
�
� os coe-
ficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:
�
�
	
fi
���
�
�
�
�
�
	
�����
fi � ��0
A equação da reta tangente ao gráfico de � , no ponto � �
�
	
�
! é � �
�
fi � � � '��
�
�
! ou, equivalen-
temente, � � � '�fi � .
0.5
4
Figura 4.5: Reta tangente a � fi �
�
, no ponto � �
�
	
�
! .
[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � ' !�fi ' � � ' � � , no ponto � � 	 � ! .
Utilizemos agora diretamente a definição:
� �
�
�
�
�
� �
� �
�4! � � �
�
!
�
fi
���
�
�
�
�
� � � �
�
	
�
�
�
!
�
fi
���
�
�
�
�
� �
�
�
	
�
�
�
!$fi
�
0
4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 145
Logo � ��fi
�
. A equação da reta tangente ao gráfico de � , no ponto � � 	 � ! é � �
�
'�fi �
� .
-2 -1 1 2
1
2
3
Figura 4.6:
Da definição segue que a equação da reta normal ao gráfico de � no ponto � ' � 	 � � ' � ! ! é:
� � � � '
�
! fi �
�
�
�
�
� '��7'
�
� 	 se � �
�
�fi �
4.3 Funções Deriváveis
Definição 4.3. Seja ��� 	 � � � uma função definida num domínio 	 que pode ser um intervalo aberto
ou uma reunião de intervalos abertos ou ainda, 	 tal que para todo intervalo aberto � que contenha ' � ,
se tenha: � �7� 	 � %(' � .6! �fi�� . � é derivável ou diferenciável no ponto ' � quando existe o seguinte
limite:
�
�
� '
�
!$fi
���
�
�	� �
�
� � ' ! � � � '
�
!
'��7'
�
Fazendo a mudança � fi '��7' � , temos:
�
�
� '
�
! fi
���
�
�
�
�
� � '
�
�
� ! � � � '
�
!
�
0
�
�
� '
�
! é chamada a derivada de � no ponto ' � . Como ' � é um ponto arbitrário, podemos
calcular a derivada de � para qualquer ponto ')
 	 � � � � ! ;
�
�
� ' ! fi
���
�
�
�
�
� � '
�
�4! � � � '5!
�
Assim �
�
é função de ' e �
�
� '
�
! 
�� .
Definição 4.4. Uma função � é derivável (ou diferenciável) em
�
�ffi� , se é derivável ou diferenciável
em cada ponto '-
�
.
Outras notações para a derivada de � fi �5� ' ! são:
�
�
�
'
ou 	 � � .
146 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Exemplo 4.2.
[1] Calcule �
�
�
�
�
! e �
�
�
�
! , se � � ' ! fi '�� .
�
�
� ' ! fi
���
�
�
�
�
� � '
�
�4! � � � '5!
�
fi
� �
�
�
�
�
� '
�
� ! � ��' �
�
fi
���
�
�
�
�
�
�
'
�
�4! fi
�
' 0
Logo, �
�
�
�
�
! fi
�
�
e �
�
�
�
! fi � .
[2] Calcule �
�
�
�
�
! se � � ' ! fi
�
�
�7'
�
.
�
�
� ' !$fi
� �
�
�
�
�
�
�
� � '
�
�4!
�
�
�
�
��'
�
�
fi
���
�
�
�
�
�
�
'
�
�
�
�
��� '
�
� !
�
�
�
�
� '
�
fi �
'
�
�
�7'
�
0
Logo, �
�
�
�
�
! fi �
�
	
	 .
[3] Calcule �
�
�
�
! se � � ' ! fi � ��' � .
�
�
� ' ! fi
���
�
�
�
�
� � '
�
� ! � � � '5!
�
fi
� �
�
�
�
�
�
�5� �
�
�
' !
�
fi
���
�
�
�
�
� � �
�
�
' !$fi �
�
' 0
Logo, �
�
�
�
!$fi �
�
.
[4] Calcule �
�
�
�
�
! se � � ' ! fi
�
'
.
�
�
� '5! fi
���
�
�
�
�
� � '
�
� ! � � � ' !
�
fi
���
�
�
�
�
�
'
�
�
�
�
'
�
fi
���
�
�
�
�
�
�
'
�
�
' �
fi �
�
'
�
0
Logo, �
�
�
�
�
! fi � � .
Interpretação Geométrica
A função � �
� 	 � %(' � .6! � � � , definida por
�
� ' ! fi
� � '5! � � � '
�
!
'�� '
�
	
representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de � passando
pelos pontos � ' � 	 � � ' � ! ! e � ' 	 � � '5! ! . Logo, quando � é derivável no ponto ' � , a reta de coefici-
ente angular �
�
� '
�
! e passando pelo ponto � ' � 	 � � ' � ! ! é a reta tangente ao gráfico de � no ponto
� '
�
	 � � '
�
! ! . Se � admite derivada no ponto ' � , então, a equação da reta tangente ao gráfico de
� no ponto � ' � 	 � � ' � ! ! é:
�fl� � � '
�
! fi �
�
� '
�
! � '��7'
�
!
A equação da reta normal ao gráfico de � no ponto � ' � 	 � � ' � ! ! é:
� � � � '
�
! fi �
�
�
�
� '
�
!
� '��7'
�
! 	 se �
�
� '
�
! �fiffi�
4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 147
Figura 4.7: As retas tangente e normal ao gráfico de � fi � � ' ! .
Exemplo 4.3.
[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de � � ' ! fi ' � ��� , no
ponto de abscissa ' � fi � .
Se ' � fi � então � � ' � ! fi
�
; logo, a reta tangente passa pelo ponto � � 	
�
! e seu coeficiente angular
é �
�
�
�
! . Temos:
�
�
� '5! fi
���
�
�
�
�
� � '
�
�4! � � � ' !
�
fi
���
�
�
�
�
� '
�
� ! �
� �
� � '��
���
!
�
fi
�
' 0
�
�
�
�
! fi
�
e as respectivas equações são: � �
�
'�fiffi� e
�
�
�
'�� 
 fi � .
-1 1
1
2
3
Figura 4.8: As retas tangente e normal ao gráfico de � fi � � ' ! .
[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � ' ! fi
�
' que seja paralela à reta
�
'�� � �
�
fi � .
Para determinar a equação de uma reta, necessitamos de um ponto � ' � 	�� � ! e do coeficiente
angular �
�
� '
�
! . Neste problema, temos que determinar um ponto. Sejam � � a reta tangente,
� a reta dada, � � e � os correspondentes coeficientes angulares; como � � e � são paralelas,
então � � fi � ; mas � fi
�
e � � fi �
�
� '
�
! , onde ' � é a abscissa do ponto procurado; como
�
�
� '
�
! fi
�
�
�
'
�
, resolvendo a equação �
�
� '
�
! fi
�
, obtemos ' � fi
�
�
�
e � �
�
�
�
!�fi
�
�
; a equação é
�
� '��
�
�
���
fi � .
148 CAPÍTULO 4. DERIVADA
1 2
1
Figura 4.9: Reta tangente ao gráfico de � � ' ! fi
�
' paralela à reta
�
'�� � �
�
fi � .
[3] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de � � ' ! fi
'
�
	
�
� que sejam perpen-
diculares à reta � � '�fi � .
Sejam � � a reta tangente, � a reta dada, � � e � os correspondentes coeficientes angulares; como
�
� e � são perpendiculares, então � � � fi � � ; mas � fi � � e � � fi �
�
� '
�
! , onde ' � é a abscissa do
ponto procurado; resolvendo a equação �
�
� '
�
! fi
� , temos �
�
� '
�
! fi&'
�
� e ' � fi � � ; as equações
são:
	
� �
	
'
�
 fi � e
	
�fl�
	
'
���
fi � .
Figura 4.10:
Teorema 4.1. Se � é derivável em ' � então f é contínua em ' � .
Para a prova veja o apêndice.
Exemplo 4.4.
Seja � � '5! fi � ' � . � é contínua em todo � ; em particular em ' � fi � . Mas a derivada de � em �
não existe; de fato:
�
�
� � !$fi
���
�
�	�
�
� � ' ! � � � � !
'
fi
���
�
�	�
�
� ' �
'
0
Calculemos os limites laterais:
4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 149
��
�
�
�
�
�
�
�
��
���
�
�	�
�
�
� ' �
'
fi
���
�
�	�
�
�
'
'
� fi
�
���
�
�	�
�
�
� ' �
'
fi
���
�
�	�
�
� �
'
'
��fi �
�
0
Logo, �
�
� � ! não existe. Para ')
�� � %/� . , �
�
� '5! existe e:
�
�
� '5! fi
ff
� se ')���
�
� se '-��� 0
Do teorema segue que não existe a derivada de � no ponto ' � se � é descontínua no ponto ' � .
Também não existe a derivada de � no ponto ' � nos eguintes casos:
i) Se existe "quina"no gráfico da função contínua no ponto de abscissa ' � , como no ponto ' � fi �
do exemplo anterior.
ii) Se � é contínua em ' � e se possui reta tangente vertical passando pelo ponto de abscissa ' � .
Neste caso,
���
�
�	� �
�
� �
�
� '5! �1fi
� .
Figura 4.11: Funções não deriváveis.
Exemplo 4.5.
[1] Seja � � '5! fi
�
�
�
'�� �
�
�$�
�
'
! se ' �fi �
� se '�fi � 0
�
�
� � ! fi
���
�
�	�
�
� � '5! � � � � !
'ff���
fi
���
�
�	�
�
� ' �
�
�$�
�
'
! ! fiffi� �
logo, a derivada em � existe; então, � é contínua em � .
[2] � � '5! fi �
�
' é contínua em todo � e não é diferenciável em '�fiffi� . De fato:
�
�
� � !$fi
���
�
�	�
�
� � ' ! � � � � !
'�� �
fi
���
�
�	�
�
�
�
� '
�
fi
�
�
0
150 CAPÍTULO 4. DERIVADA
-2 -1 1 2
-1
1
Figura 4.12: Gráfico do exemplo [2].
4.4 Regras de Derivação
[1] Se � � '5! fi � , então �
�
� ' ! fi � .
[2] Se � � '5! fi � ' � � � � 	���
�� e � �fi � , então �
�
� ' ! fi
� .
De fato, a função é contínua e seu gráfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto;
logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente,
� � '
�
�4! � � � '5!
�
fi
�
�
�
fi
�
0
[3] Se � � '5! fi '
�
; ��
�� , então �
�
� ' ! fi � '
� �
� .
De fato: � � ' � � ! � � � ' !$fi '
�
�
� � � '
� �
�
�
�5�
� ��� �
�
�
�
'
� �
� � 0 0 0 0 0
�
�
� �
�"! ! �7'
�
e:
�
�
� ' ! fi
���
�
�
�
�
� � '
�
� ! � � � ' !
�
fi
� �
�
�
�
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� '
�
� !
�
� '
�
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fi
���
�
�
�
�
�
�
� '
� �
�
�
�
�
� ��� �
�
�
�
'
� �
� � 0 0 0 0 0
�
�
� �
�
� �
�
fi � '
� �
�
0
Proposição 4.1. Sejam ��fi � � ' ! e � fi � � '5! funções deriváveis; então:
1. Regra da soma: As funções � � � são deriváveis e
� � �
�
!
�
� ' ! fi �
�
� '5!��
�
�
� '5!
2. Regra do produto: A função � � � é derivável e
� � �
�
!
�
� '5! fi �
�
� '5! �
�
� '5!
�
� � '5! �
�
�
� '5!
3. Regra do quociente: A função
�
�
é derivável, e
�
�
�
�
�
� '5! fi
�
�
� '5! �
�
� '5! � � � ' ! �
�
�
� '5!
�
�
� '5! !
�
se � � ' ! �fi �
4.4. REGRAS DE DERIVAÇÃO 151
Veja as provas no apêndice.
Da regra do produto temos: �
�
� � '5! !
�
fi
�
�
�
� '5! , para toda constante
�
. Da regra do quociente,
temos: se � � '5! fi '
�
	�' �fi � , com ����� , então �
�
� '5! fi � '
� �
� .
Exemplo 4.6.
[1] Calcule �
�
� ' ! , sendo � � ' ! fi
'
�
�
	
'
���
'
�
; ' �fi � .
Note que: � � ' !$fi '
�
�
�
	
'
�
�
�
'
�
�
, temos:
�
�
� ' ! fi � '
�
�
�
	
'
�
�
�
'
�
�
!
�
fi � '
�
�
�
�
�
'
�
�
� 
6'
�
�
0
[2] Calcule �
�
� ' ! sendo � � '5! fi � ' � �
�
'
���
! �
�
'��
�
	
! .
Aplicando diretamente as regras:
�
�
� ' ! fi � � '
�
�
�
'
���
! !
�
�
�
'
�
�
	
!
�
� '
�
�
�
'
���
! � �
�
'
�
�
	
! !
�
e �
�
� '5! fi
�
� '
�
�
�
�
'��
�
� '
�
� .
[3] Calcule �
�
� ' ! , sendo � � ' ! fi
'��
�
'
'
�
���
.
�
�
� ' ! fi �
'��
�
'
'
�
���
�
�
fi
� '��
�
' !
�
� '
�
���
! ��� '��
�
'5!#� '
�
���
!
�
� '
�
���
!
�
�
logo, �
�
� '5! fi
� '
�
�
�
'
�
�
�
'
���
� '
�
���
!
�
fi
�
�7'��
� '
�
�7'
���
!
�
.
[4] Determine as equações das retas tangentes aos gráficos de:
(a) � � '5! fi ' � �
	
' que passa pelo ponto �
	
	(� � ! .
(b) � � ' ! fi ' � �7' , paralelas à reta � �
�
'�fi � .
(a) O ponto dado não pertence ao gráfico de � . Por outro lado a equação da reta tangente ao
gráfico de � no ponto � ' � 	 � � ' � ! ! é � � '5! fi � � ' � ! � �
�
� '
�
! � '7��'
�
! , onde �
�
� '
�
! fi
�
'
�
�
	
e
� � '
�
! fi '��
�
�
	
'
� . O ponto �
	
	(� � ! pertence à reta tangente, logo, obtemos:
� � fi �5�
	
!$fi '
�
�
�
	
'
�
�
�
�
'
�
�
	
!#�
	
�7'
�
! fi � '
�
�
�
� '
�
� � 0
Resolvendo a equação, obtemos: ' � fi � e ' � fi 
 . Então, as equações obtidas são � � ' ��� fi �
e � �
�
'
�
�
 fi � .
(b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto ' � é �
�
� '
�
! fi
	
'
�
�
�
� e deve ser igual ao
coeficiente angular da reta dada; então
	
' �
�
�
�
fi
�
; logo, ' � fi � � . As equações das retas
tangentes são � �
�
'
�
�
fiffi� e � �
�
'��
�
fi � .
152 CAPÍTULO 4. DERIVADA
3
-4
-1 1
Figura 4.13: Gráficos do exemplo [4].
4.5 Derivada da Função Composta
Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: � � ' !�fi � '
�
�
'
�
� �
!
�
� � �
com as regras
dadas. Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessivamente a regra
da soma ou escrever como produto de � �,�,� polinômios e usar a regra do produto. Como
ambas as possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função. Seja � � '5! fi ' �
� � �
e � � '5! fi '
�
�
'
�
��� ; é claro que � � '5! fi � � � � !#� ' ! . Logo, se soubermos derivar a composta
de funções o problema estará resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma função
composta ��� � em termos das derivadas de � e � , que são mais simples.
Teorema 4.2. Regra da Cadeia
Sejam � e � funções, tais que � � � esteja bem definida. Se � é derivável em ' e � é derivável em � � ' ! ,
então ��� � é derivável em ' e:
� ��� � !
�
� '5! fi �
�
� � � ' ! ! � �
�
� '5!
Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se � fi � � '5! e ' fi � � � ! , nas hipóteses do
teorema, temos que:
�
�
�
�
fi
�
�
�
'
�
'
�
�
Para a prova, veja o apêndice.
Aplicação: Seja � � ' !$fi � � � '5! !
�
, onde ��
� . Então: �
�
� '5! fi � � � � '5! !
� �
�
�
�
� ' ! .
Exemplo 4.7.
[1] Calcule �
�
� ' ! se � � ' !$fi � '
�
�
'
�
���
!
�
� � �
.
Neste caso � � '5! fi '
�
�
'
�
��� ; logo, �
�
� ' ! fi � '
�
�
� '
�
e �-fi � �,�,� ; então:
�
�
� ' !$fi � � � � ' ! !
�
� � �
!
�
fi
�
�,�,� � � � '5! !
� � �
�
�
� '5! fi
�
�,�,� � '
�
�
'
�
� �
!
� � �
� � '
�
�
� '
�
! 0
[2] Calcule
�
�
�
�
se � fi � � ' !$fi ' � � ' ��� e '�fi ' � � !$fi � � � � .
4.5. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 153
Pela regra da cadeia:
�
�
�
�
fi
�
�
�
'
�
'
�
�
fi
�
�5�
	
'
�
���
!$fi � � � �
�
���
!
�
�
�
� 0
[3] Seja � uma função derivável e � � ' !+fi � � 'ff� � � ! . Calcule �
�
�
�
! se �
�
�
�
!$fi 
 .
Observemos que � � '5! fi � � � � !#� ' ! , onde � � '5!�fi ' � � � ; pela regra da cadeia: �
�
� ' ! fi
�
�
� � � ' ! ! �
�
� '5! , e �
�
� '5!7fi
�
' . Logo, �
�
� ' !7fi �
�
� '��
� �
!
�
' . Calculando a última expressão
em '�fi � , temos que: �
�
�
�
!+fi
�
�
�
�
�
! fi
�
� .
[4] Se � fi � � � ��� �
	
e ��fi
�
'�� �
� , calcule
�
�
�
'
.
Pela regra da cadeia:
�
�
�
'
fi
�
�
�
�
�
�
�
'
fi � ' �
	
�
�
�
�
�5! fi � ' �
	
�
�
'
�
�
�
!
�
�
�
�
�
'
�
�
�
! !
fi � �
�
�
'
�
�
�
'
�
�
' !��
ou, fazemos a composta das funções:
� fi �
�
�
�
�
�
	
fi �
�
'
�
�
�
!
�
�
�
�
'
�
�
�
!
�
�
	
e �
�
fi � �
�
�
'
�
�
�
'
�
�
' ! 0
[5] Determine �
�
�
�
! se � � ' ! fi � � � � � � '5! ! ! , � � � !$fi � e �
�
�
�
! fi
�
.
Pela regra da Cadeia: �
�
� ' ! fi
�
�
� ' !
�
�
�
�
� ' ! !
�
�
�
�
�
�
� ' ! ! ! ; logo, �
�
�
�
!+fi
� .
Teorema 4.3. Função Inversa
Seja � uma função definida num intervalo aberto � . Se � é derivável em � e �
�
� ' ! �fi � para todo '7
 � ,
então � possui inversa �
�
� derivável e:
� �
�
�
!
�
� ' !$fi
�
�
�
� �
�
�
� ' ! !
Para a prova da primeira parte veja a bibliografia avançada. A fórmula pode ser obtida dire-
tamente da regra da cadeia. De fato, � � � �
�
�
!#� ' ! fi ' para todo ' 
 � . Derivando ambos os
lados, temos que:
� � � �
�
�
!
�
� ' ! fi �
�
� �
�
�
� ' ! ! � � �
�
�
!
�
� ' !$fi
�
0
Exemplo 4.8.
[1] Seja � � ' ! fi ' � 	�' � � ; logo sua inversa é �
�
�
� ' ! fi
�
' e �
�
� ' ! fi
�
' �fi � se ' �fi � ; logo,
�
�
� �
�
�
� '5! ! fi
�
�
' . Aplicando o teorema:
� �
�
�
!
�
� ' ! fi
�
�
�
'
	�' �fi ��0
[2] Seja � � ' ! fi '�� ; logo sua inversa é �
�
�
� '5! fi
�
�
' e �
�
� '5! fi
	
'
�
�fi � se ' �fi � ; �
�
� �
�
�
� ' ! !�fi
	
�
�
'
�
. Aplicando o teorema:
� �
�
�
!
�
� ' ! fi
�
	
�
� '
�
	 ' �fi � 0
154 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[3] Se ��
 � , então: � �
�
'5!
�
fi
'
�
�
�
�
�
, para todos os valores de ' tais que �
�
' seja definida.
De fato, seja � � ' !�fiffi'
�
; para � par, ' � � e para � ímpar, ' não tem restrições; a inversa de � é
�
�
�
� '5! fi
�
�
' e �
�
� ' !$fi � '
� �
� ; �
�
� ' ! �fiffi� se ' �fiffi� . Aplicando o teorema, temos:
�
�
�
'��
�
fi � �
�
�
� '5! !
�
fi
�
�
�
� �
�
�
� ' ! !
fi
'
�
�
�
�
�
0
Em geral, pela regra da cadeia, se � fi � � ' ! é uma função derivável e � � '5! fi � � � ' ! !
�
, � 
�
;
então, �
�
� '5! fi	��� � � '5! !
���
�
�
�
� ' ! .
[4] Calcule �
�
� '5! , se � � '5! fi
�
'
�
��� . Escrevemos � fi � � � , onde � � '5! fi
�
' e � � '5! fi '�� � � ;
logo, �
�
� '5! fi
�
�
�
'
e �
�
� ' ! fi
�
' ; então: �
�
� ' !$fi �
�
�
�
� '5! !
�
�
� ' !$fi
'
�
'
�
� �
.
[5] Determine �
�
� � ! , se � � ' ! fi � � ' ! �
�
�
� ' !
��� , � � � !$fi � e �
�
� � ! fi
� . Pela regra da cadeia:
�
�
� '5! fi
�
�
� ' ! � �
�
�
� '5! !
�
�
�
�
� ���
� ' ! !
�
�
logo, �
�
� � !$fi
� .
4.6 Derivadas das Funções Elementares
4.6.1 Função Exponencial
Seja ��
�� tal que �fl��� �fi � e � � ' ! fiffi�
�
Então,
�
�
� '5! fi � �$� � ! �
�
De fato, �
�
� '5! fi
���
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
fi �
�
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fi � �$�
��! �
�
. Em particular, se �flfi � , temos :
�
�
�
!
�
fi
�
�
Seja � fi � � ' ! uma função derivável e considere a função: � � ' ! fi �
� � � �
Então:
�
�
� ' ! fi � �$� ��! �
� � � �
�
�
� ' !
De fato, �
� � � �
fi
�
� � � �
�
� � � �
; usando a regra da cadeia para � � ' !�fi �
�
e � � '5! fi � � '5! � �$� ��! , temos
que � � '5!$fi � � � � !#� '5! ; então �
�
� ' !+fi
�
�
e �
�
� � � '5! ! fi
�
� � � �
�
��� � �
fiffi�
� � � �
e �
�
� ' ! fi
�
�
� ' ! � �$� ��! ; logo,
em particular,
�
�
� � � �
!
�
fi
�
� � � �
�
�
� '5!
O crescimento ou decrescimento exponencial, expresso pela função
� � � ! fi �
�
�
�
�
	 �
�
�fi � !
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 155
tem a propriedade �
�
� � ! fi
�
� � �4! , isto é, a sua derivada é proporcional à função. Aliás, isto
é o que caracteriza a função exponencial. Nos desenhos, a função exponencial em azul e sua
derivada em vermelho; para � ���ff� � e �ff� � , respectivamente:
Figura 4.14:
Exemplo 4.9.
[1] Seja � fi �
�
�
.
Fazendo � � ' ! fi
�
' , temos �
�
fi �
�
� � � �
!
�
fi
�
� � � �
�
�
� ' ! fi
���
�
�
�
�
.
[2] Seja � fi
�
�
�
�
�
� .
Fazendo � � ' ! fi �
�
, temos �
�
fi � � �$�
�
!
�
�
�
�
�
�
�
�
� ' ! fi � �$�
�
!
�
�
�
�
�
�
�
�
	
.
[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função �flfi �
� �
	
no ponto de abscissa � .
Derivando �
�
fi �
�
'
�
� �
	
; �
�
�
�
!7fi �
�
�
�
� e �5� � !�fi �
�
� ; logo, a equação da reta tangente
passando pelo ponto � � 	��5� � ! ! , é � �
�
'
�
�
�
�
	
�
�
�
fi � .
4.6.2 Função Logarítmica
Seja � 
 � tal que � � � �fi � e � � '5! fi � � � � � ' ! . Usando o teorema da função inversa para
�
�
�
fi � e � � ' ! fiffi�
�
, temos que:
�
�
� ' !$fi
�
�
�
�
�
�
!
'
De fato, �
�
� ' ! fi
�
���
�
�
�
�
� � � �
fi
�
�
�
� � � �
fi
�
�
�
�
� � �
�
. Em particular, se �flfi � :
� � �$� '5! !
�
fi
�
'
Usemos a regra da cadeia para calcular a derivada de � � '5! fi � � � � � � � ' ! ! onde � � ' ! ��� é uma
função derivável. Em tal caso:
�
�
� '5! fi
�
�
�
�
�
�
!
�
�
� '5!
�
� '5!
156 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Em particular, se � fi � :
� � �$�
�
� ' ! ! !
�
fi
�
�
� ' !
�
� '5!
1 1
Figura 4.15: Função logarítmica em azul e sua derivada em vermelho; para ��� � � � e �-� � ,
respectivamente.
4.6.3 Aplicações
Para todo � 
 � , se � � ' ! fi '
�
, '�� � ; então, �
�
� '5! fi � '
�
!
�
fi � '
���
� . De fato, seja � fi � � '5! .
Aplicando logaritmo à expressão � fi � � '5! fi '
�
: temos, � �$����! fi � �$� � � ' ! ! fi � � �$� ' ! . Derivando,
temos
� � �$��� ! !
�
fi
�
�
� '5!
� � ' !
fi
�
�
�
�
ou seja,
�
�
�
fi
�
'
; logo,
�
�
fi �
�
�
'
�
fi
� '
�
'
fi	� '
���
�
0
Em geral, se � � ' ! fi � � � ' ! !
�
, onde � � '5! ��� e � 
�� , temos:
�
�
� '5! fi	�ff�
�
� '5! !
���
�
�
�
� ' ! 0
Seja � fi � � � '5! !
� � � �
, onde � � '5! ��� . Aplicando logaritmo à expressão � fi � � � ' ! !
� � � �
; temos que,
� �$����! fi
�
� ' ! � �$� � � ' ! ! . Derivando, temos:
�
�
�
fi
�
�
� '5! � �$� � � ' ! !
�
�
�
� ' !
�
� ' !
� � ' !
	 e �
�
� ' ! fi � � '5!
�
�
�
� '5! � �$� � � ' ! !
�
�
�
� ' !
�
� ' !
� � '5!
�
0
Então, se � fi � � � ' ! !
� � � �
:
�
�
fi � � � '5! !
� � � �
�
�
�
� ' ! � �$� � � '5! !
�
�
�
� '5!
�
� '5!
� � ' !
�
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 157
Exemplo 4.10.
[1] Calcule a derivada de �flfi
	
�
'
�
'
�
�
�
� �
�
'
�
, '-��� .
Aqui �7fi �
�
, �7fi ��
 e �7fi �� , respectivamente; logo: �
�
fi
�
�
'
�
�
	
� 
6'
�
�
�
�
�
'
�
�
� .
[2] Calcule a derivada de �flfi �
'
�
�
�
� '
�
�
'
���
!
� .
Aplicando logaritmo à função e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
� �$����! fi � �$�
�
' !
�
� �$�
�
�
�
! � � � �$� '
�
�
'
���
! fi
� �$� '5!
�
�
�
'ff� � � �$� '
�
�
'
���
! 0
Derivando: 	
�
	
fi
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 	
�
�
� �
,logo:
�
�
fi �5� ' ! �
�
�
'
�
�
�
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�
�
'
�
�
�
�
'
�
�
'
�
�
'
�
�
'
���
� 0
[3] Calcule a derivada de �flfi '
�
	 ')��� .
Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
� �$����!$fi ' � �$� ' ! . Derivando:
�
�
�
fi � �$� '5!
��� e,
�
�
fi � � '5! � � �$� ' !
���
!$fi � � �$� ' !
���
! '
�
0
[4] Calcule a derivada de �flfi '
�
�
	 '-��� .
Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:
� �$����!$fi � �$� ' !
�
' . Derivando:
�
�
�
fi
� �$� '5!
�
�
'
�
�
�
'
, logo:
�
�
fi �5� ' ! �
� �$� '5!
�
�
'
�
�
�
'
� fi��
� �$� '5!
�
�
�
�
'
�5'
�
�
0
[5] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de � � '5! fi '
�
	
, ( ' ��� ) no ponto de abscissa
'
�
fi
� .
Aplicando logaritmo a ambos os lados de ��fi '
�
	
, temos que: � �$��� !flfi ' � � �$� '5! ; derivando,
obtemos �
�
fi ���
�
' � �$� ' !
�
'5! fi '
�
	
� �
�
�
� �$� ' !
���
! ; �
�
�
�
! fi
� e a equação da reta tangente é
� �7'�fi � .
1
1
Figura 4.16: Gráfico de � � ' ! fi '
�
	
.
158 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[6] Seja � � ' !$fi � �$� ' ! . Sabendo que �
�
�
�
!$fi
� , verifique que:
���
�
�
�
�
� �
� �
!
�
�
fi
� .
�
�
�
�
! fi
���
�
�
�
�
� � �
���
! � � �
�
!
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fi
���
�
�
�
�
� �$� �
� �
!
�
fi
� �
�
�
�
�
� �$� � �
� �
!
�
�
! fi � � �
���
�
�
�
�
� �
���
!
�
�
� �
então, � fi � �
�
���
�
�
�
�
� �
���
!
�
�
�
; logo:
���
�
�
�
�
� �
� �
!
�
�
fi
� .
Tabela
Sejam � � ' ! , � � ' ! funções diferenciáveis e
�
uma constante. Se:
[1] � fi
�
, então �
�
fi � .
[2] � fi ' , então �
�
fi
� .
[3] � fi
�
�
� ' ! , então �
�
fi
�
�
�
� '5! .
[4] � fi � � ' !�� � � ' ! , então �
�
fi �
�
� '5! �
�
�
� ' ! .
[5] � fi � � ' ! � � � ' ! , então �
�
fi �
�
� ' ! �
�
� ' !
�
� � '5! �
�
�
� '5! .
[6] � fi
� � ' !
�
� '5!
	
�
� ' ! �fi � , então �
�
fi
�
�
� '5! �
�
� '5! � � � ' ! �
�
�
� '5!
�
�
� '5! !
�
.
[7] � fi �
�
� � �
, então �
�
fi �
�
� � �
� � �$� � ! � �
�
� ' ! .
[8] � fi �
�
� � �
, então �
�
fi �
�
� '5!
�
�
� � �
[9] � fi � � � � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
�
�
�
�
�
!
�
�
� ' !
� � ' !
.
[10] � fi � �$� � �
'5! ! , então �
�
fi
�
�
� ' !
� � ' !
.
[11] � fi � � � ' ! !
�
, � 
�� , então �
�
fi	�ff� � � '5! !
���
�
�
�
� ' ! .
[12] Seja � fi � � � '5! !
� � � �
, onde � � ' ! ��� , então �
�
fi � � � ' ! !
� � � �
�
�
�
� '5! � �$� � � ' ! !
�
�
�
� ' !
�
� ' !
� � '5!
�
0
4.6.4 Funções Trigonométricas
Se �flfi � � �$� '5! , então � � �$� ' � � ! � � � �$� ' ! fi
�
�
�
�$� �5!
���
� � '
�
� ! , onde ��fi
�
�
. Logo:
�
�
� '5! fi
� �
�
�
�
�
�
�
�$� '
�
� ! � �
�
�$� ' !
�
fi
� �
�
� �
�
�
�
�$� � !
���
� � '
�
� !
�
fi
���
�
� �
�
�
�
�$� �5!
�
���
� � '
�
� ! fi
���
� � '5!
onde, para calcular o último limite usamos um limite fundamental. Se � fi ��� � � ' ! , sabendo que
���
� � '5! fi �
�
�$�
�
�
�7' ! e utilizando a regra da cadeia com � � ' ! fi
�
� ' , temos:
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 159
�
�
fi
���
� � � � ' ! ! �
�
� '5! fi �
���
� �
� �7'���fi � �
�
�$� '5! 0
Se �flfi ��� � '5! , sabendo que ��� � ' ! fi
�
�
�$� ' !
���
� � ' !
e utilizando a regra do quociente, temos:
�
�
fi
���
� �1� ' !
�
�
�
� �,� ' !
���
�
�
� '5!
fi �
�
�
�
� ' ! 0
Se �flfi � � �$� '5! , então �
�
fi
���
� � ' ! .
Se �flfi ��� � � ' ! , então �
�
fi � �
�
�$� ' !
Se �flfi ��� � '5! , então �
�
fi �
�
�
�
� '5!
Se � fi ��� ��� � '5! , então �
�
fi �
���
�
�
�
� � ' !
Se � fi � � � � ' ! , então �
�
fi ��� � '5! �
�
�
� ' !
Se � fi ��� � � � � '5! , então �
�
fi �
���
��� � ' !
���
�
�
�
� ' ! .
Tabela
Sejam � � ' ! , � � '5! funções diferenciáveis e
�
uma constante. Se:
[13] Se � fi � � �$� � � '5! ! , então �
�
fi
���
� � � � '5! ! �
�
� '5! .
[14] Se � fi ��� � � � � ' ! ! , então �
�
fi � �
�
�$� � � ' ! ! �
�
� '5! .
[15] Se � fi ��� � � � '5! ! , então �
�
fi �
�
�
�
� � � ' ! ! �
�
� ' ! .
[16] Se � fi ��� ��� � � � ' ! ! , então �
�
fi �
���
�
�
�
�
� � � '5! ! �
�
� '5! .
[17] Se � fi � � � � � � '5! ! , então �
�
fi ��� � � � ' ! ! �
�
�
� � � ' ! ! � �
�
� ' ! .
[18] Se � fi ��� � � � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
���
��� � � � '5! !
���
�
�
�
� � � ' ! ! �
�
� ' ! .
Exemplo 4.11.
[1] Se � fi � � �$� � '5! , � 
�� .
Fazendo � � ' ! fi � ' , temos �
�
� ' ! fi	� ; utilizando a tabela, temos que �
�
fi	�
���
� � � '5! .
Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo.
[2] Seja � fi � � �
�
� � ' ! , onde � 	�� 
���� %/� . .
Fazendo � fi � � �
�
� � ' !7fi � �
�
�$� � ' ! !
�
, derivando como uma potência e usando o exercício
anterior, temos:
�
�
fi � � �
�
�
� �
�
� � '5!
���
� � � '5! 0
Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo.
[3] Seja � fi ��� � � � �$� ' ! ! .
Fazendo � � ' ! fi � � �$� ' ! , temos �
�
� ' ! fi
���
� � ' ! ; logo, temos que �
�
fi
���
� � ' ! �
�
�
�
� �
�
�$� ' ! ! .
[4] Determine as retas tangentes ao gráfico de � fi � � �$� ' ! que tenham o coeficiente angular
igual a �
�
.
160 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Sabemos que se � � ' ! fi � � �$� ' ! , então �
�
� '5! fi
���
� � '5! ; logo, devemos resolver a equação �
�
� '5! fi
�
� , ou seja, ��� � � ' ! fi �
�
, que tem soluções '�fi��
	
�
�
�
 , onde
�
� . As equações são:
� �fl�
	
'
�
�
� �
�
�
! 
��
	
�
	
fiffi� 	 se '�fi
	
�
�
�
 	
�
� e
� �fl�
	
'
�
� �
�
�
�
! 
�
	
�
	
fiffi� 	 se '�fi �
	
�
�
�
 	
�
��0
-3 3
1
Figura 4.17: Desenho para
�
fi � .
[5] Determine os pontos onde o gráfico da função � fi ' �
�
�
�
�$� ' ! possui reta tangente hori-
zontal.
Devemos resolver a equação �
�
fi � ou, equivalentamente, ��� � � '5! fi �
�
�
; logo, os pontos tem
abscissas '�fi��
�
	
�
�
�
 ,
�
�� .
Figura 4.18: Desenho para
�
fi � .
4.6.5 Funções Trigonométricas Inversas
Seja ��fi&� � � � � �$� ' ! . A função arco seno, definida para ' 
 2 � � 	 � 3 é a função inversa da função
� � ' ! fi �
�
�$� ' ! , se �
�
��'-�
�
. �
�
� ' !�fi
���
� � '5! �fi � se ' 
 � �
�
	
�
! . Usando a fórmula do
teorema da função inversa, temos: se �flfi �
�
�
� ' ! fiffi� �
�
�
�
�$� ' ! , ou seja, � � �$����! fi ' , então:
� �
�
�
!
�
� ' ! fi
�
�
�
� �
�
�
� ' ! !
fi
�
���
� � � �
�
�
�
�$� ' ! !
fi
�
���
� ��� !
0
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 161
Mas, ��� � ��� ! fi
�
�
� �
�
�
�
����! , pois ��
 � �
�
	
�
! . Então:
�
�
fi
�
�
�
� �
�
�
�
����!
fi
�
�
�
�7'
�
	 se '-
 � � � 	 � ! 0
Seja �flfiffi� � � ��� � � ' ! . Como � � ��� � � ' !$fi
� ��� �
�
�
�
�$� '5! , temos: �
�
fi � � � �
�
�
�
�$� ' ! !
�
; logo,
�
�
fi �
�
�
�
�7'
�
	 se '-
 � � � 	 � ! 0
Tabela
Sejam � � ' ! , � � '5! funções diferenciáveis e
�
uma constante. Se:
[19] Se � fi � � � � � �$� � � ' ! ! , então �
�
fi
�
�
� '5!
�
�
� �
�
� ' !
.
[20] Se � fi � � � ��� � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
�
�
� ' !
�
�
� �
�
� '5!
.
[21] Se � fi � � � ��� � � � '5! ! , então �
�
fi
�
�
� '5!
� �
�
�
� ' !
.
[22] Se � fi � � � ��� ��� � � � ' ! ! , então �
�
fi �
�
�
� '5!
� �
�
�
� '5!
.
[23] Se � fi � � � � � � � � � '5! ! , então �
�
fi
�
�
� ' !
� � � '5! �
�
�
�
� '5! �
�
	 � � � ' ! � �
� .
[24] Se � fi � � � ��� � � � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
�
�
� ' !
� � � '5! �
�
�
�
� '5! �
�
	 � � � ' ! ���
� .
4.6.6 Funções Hiperbólicas
As derivadas das funções hiperbólicas são calculadas diretamente, pois todas elas envolvem
exponenciais. Por exemplo, seja �flfi � � � � � ' ! fi �
�
�
�
�
�
�
� �
! ; derivando, temos: �
�
fi
���
�
�
� '5! 0
Tabela
Seja � � '5! derivável. Usando a regra da cadeia, temos:
[25] Se � fi � � � � � � � ' ! ! , então �
�
fi
���
�
�
� � � '5! ! �
�
� '5! .
[26] Se � fi ��� � � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
�
�
�
� � � '5! ! �
�
� '5! .
[27] Se � fi ��� � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
�
� �
�
� � � ' ! ! �
�
� ' ! .
[28] Se � fi ��� ��� � � � � '5! ! , então �
�
fi �
���
�
�
� �
�
� � � '5! ! �
�
� '5! .
162 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[29] Se � fi � � � � � � � '5! ! , então �
�
fi � ���
�
� � � ' ! ! �
�
� �
� � � ' ! ! �
�
� '5! .
[30] Se � fi ��� � � � � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
���
���
�
� � � '5! !
���
�
�
� �
� � � ' ! ! �
�
� '5! .
Exemplo 4.12.
Calcule as derivadas �
�
, sendo:
[1] � fi �
���
� � �
.
Fazendo � � ' ! fi ��� � '5! , temos � fi �
�
� � �
; usando a tabela: �
�
fi �
�
� '5!
�
�
� � �
e �
�
fi �
�
�
� � '5!
�
���
� � �
.
[2] � fi � �$� � �$� ' ! ! .
Fazendo � � ' ! fi � �$� '5! , temos � fi � �$� � � '5! ! ; logo: �
�
fi
�
�
� '5!
� � ' !
fi
�
' � �$� '5!
.
[3] � fi ' ��� ���
�
'
� . Então �
�
fi
���
� �
�
'
�
�
' �
���
� �
�
'
� �
�
.
Fazendo � � ' !�fi
�
'
, temos que ��� �
�
�
'
�
fi
���
� � � � '5! ! ; como
�
���
�
�
�
'
� �
�
fi
�
'
�
�
�
�
�
�
'
�
, temos �
�
fi
���
� �
�
'
�
�
�
'
�
�
���
�
'
� .
[4] � fi ��� � � � � �$� '5! ! .
Fazendo � � ' ! fi � � �$� ' ! , temos � fi ��� � � � � ' ! ! ; usando a tabela:
�
�
fi � �
�
� ' ! �
�
�$� � � ' ! ! fi �
���
� � ' ! �
�
�$� �
�
�$� '5! ! 0
[5] � fi � � � ��� ��� �
	
'
�
! .
Fazendo � � ' ! fi
	
'
� , temos � fi � � � ��� ��� � � � ' ! ! ; usando a tabela:
�
�
fi �
�
�
� ' !
� �
�
�
� '5!
fi �
�6'
� �
� '
�
0
[6] � fi � � � ��� � �
�
! .
Fazendo � � ' ! fi �
�
, temos �flfi � � � ��� � � � ' ! ! ; usando a tabela:
�
�
fi
�
�
� ' !
� �
�
�
� '5!
fi �
�
� �
'
�
0
[7] � fi � � �$� � �$� ' ! ! .
Fazendo � � ' ! fi � �$� '5! , temos � fi � � �$� � � '5! ! ; usando a tabela:
�
�
fi �
�
� ' !
���
� � � � ' ! !�fi
���
� � � �$� ' ! !
'
0
[8] � fi � �$� � � � �,� '5! ! .
Fazendo � � ' ! fi � � � �,� '5! , temos � fi � �$� � � ' ! ! ; usando a tabela:
�
�
fi
�
�
� '5!
� � ' !
fi
�
���
��� � '5!#0
4.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 163
[9] � fi � �$� ��� � �
'��
�
'
! ! .
Fazendo � � ' ! fi ��� � �
���
�
�
! , temos � fi � �$� � � ' ! ! ; usando a tabela:
�
�
fi
�
�
� '5!
� � ' !
fi �
�
'
�
��� �
'ff�
�
'
! 0
[10] �flfi � � � � � � � � �$� '5! ! .
Fazendo � � ' ! fi � �$� '5! , temos � fi � � � � � � � � � '5! ! ; usando a tabela:
�
�
fi
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
	
� � ���
�
se ')� �
�
�
�
�
��� � �
�
�
�
	
� � � �
�
se � � ')� �
�
�
0
[11] Calcule a área do triângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta tangente à
curva �flfi
�
'
no ponto '�fi
�
.
A reta tangente à curva � fi � � ' !7fi '
�
� no ponto ' fi
�
é: � �
�
�
fi �
�
�
�
! � '��
�
! . Como
�
�
�
�
! fi �
�
�
, a equação da reta tangente é: � � � ' �fi�)fi � . Se '�fi � , então � fi � ; se � fi � ,
então ')fi � . A altura do triângulo é igual a � e a base é igual a � . Logo, a área do triângulo é:
�
fi
�
� 0 ��0
1
1
Figura 4.19:
[12] Uma partícula move-se ao longo da curva ��fi � �
�
' � . Quando ' fi
	
a partícula escapa
pela tangente à curva. Determine a equação da reta de escape.
A equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa
	
é ��� � �
	
! fi �
�
�
	
! � '��
	
! , onde
� � ' !$fi
�
�
�
'
� ; logo, �
�
� '5! fi � � ' e �
�
�
	
! fi �
�
�
; a equação é: � ���
�
'ff�
�
� fi � 0
164 CAPÍTULO 4. DERIVADA
3
Figura 4.20:
4.7 Derivação Implícita
Seja � � ' 	�� ! fi � uma equação nas variáveis ' e � .
Definição 4.5. A função �flfi � � ' ! é definida implicitamente pela equação � � ' 	�� ! fi � , quando
�
� ' 	 � � '5! !$fi � 0
Em outras palavras, quando �flfi � � '5! satisfaz à equação � � ' 	�� !$fi � .
Exemplo 4.13.
[1] Seja a equação � � ' 	�� ! fi � , onde � � ' 	�� ! fi ' � � � � � ; a função � fi � � ' ! fi � ��' � é definida
implicitamente pela equação � � ' 	���!$fi � , pois � � ' 	 � � ' ! ! fi ' � � � � �7'��/! � � fi � .
[2] Seja a equação � � ' 	�� ! fi � , onde � � ' 	�� ! fi �
�
�
' �
� ; a função � fi � � ' ! fi �
�
�
�7' é definida
implicitamente pela equação � � ' 	���!$fi � , pois � � ' 	 � � ' ! ! fi � �
�
�
�7'5!
�
�
'��
�
fiffi� .
[3] Seja a equação � � ' 	�� ! fi � , onde � � ' 	�� ! fi 'ff� � � � �
�
 ; esta equação define implicitamente
uma família de funções; por exemplo � � ' ! fi
�
�
 �7'
�
, � � '5! fi �
�
�
 �7'
�
; em geral,
� fi �
�
� ' ! fi
��
�
��
�
�
 ��'
�
se � 
fl� '-� �
�
�
�
 ��'
�
se 
 � '-� � 	
para cada � 
 � ��
 	 
1! .
[4] Seja � � ' 	�� ! fi � , onde � � ' 	���! fi � � �
	
����' �
�
; então, as funções � � '5! fi
	
�
�
� '
�
	
�
�
são
definidas implicitamente pela equação � � ' 	�� ! fi � , pois:
�
� ' 	 � � ' ! !+fi
�
� ' 	
	
�
�
� '
�
	
�
�
! fi � 0
Observemos que nada garante que uma função definida implicitamente seja contínua, deri-
vável, etc. Na verdade, nem sempre uma equação � � ' 	���! fi � define implicitamente alguma
função. Por exemplo, considere a seguinte equação:
'
�
�
�
�
'
�
��� � ' �
�
!
�
� �$� '
�
� !
�
�
�
�$� ' ! fiffi� 0
4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 165
4.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita
Podemos calcular a derivada de uma função definida implicitamente sem necessidade de expli-
citá-la. Para isto usaremos novamente a regra da cadeia. Suponha que � � ' 	�� ! fi � define im-
plicitamente uma função derivável � fi � � ' ! . Através de exemplos mostraremos que podemos
calcular �
�
sem conhecer � .
Exemplo 4.14.
Seja �flfi � � ' ! uma função derivável definida implicitamente pela equação ' � � � � fi � .
[1] Calcule �
�
.
[2] Verifique que a função � � ' ! fi
�
�
� '
�
é definida implicitamente por 'ff� � � � fi � e calcule
�
�
.
Como � fi � � ' ! , temos '�� � � � � � ' ! ! � fi � . Derivando em relação a ' ambos os lados da igualdade
e usando a regra da cadeia, obtemos:
� '
�
!
�
�
� � � � � ' ! !
�
!
�
fi �
�
!
�
fi �
�
'
�
�
� � ' ! �
�
� '5! fi � fi � '
�
� � ' ! �
�
� ' !$fi � 0
Então, �
�
� '5! fi �
'
� � '5!
fi �
'
�
. Logo,
�
�
fi �
'
�
0
É imediato que a função � � ' !+fi
�
�
� '
�
é definida implicitamente pela equação ' � � � � fi � e
�
�
� ' ! fi �
'
�
�
�7'
�
fi �
'
�
.
Método de Cálculo
Dada uma equação que define � implicitamente como uma função derivável de ' , calcula-se �
�
do seguinte modo:
Deriva-se ambos os lados da equação em relação a ' , termo a termo. Ao fazê -lo, tenha em
mente que � é uma função de ' e use a regra da cadeia, quando necessário, para derivar as
expressões nas quais figure � .
O resultado será uma equação onde figura não somente ' e � , mas também �
�
. Expresse �
�
em
função de ' e � . Tal processo é chamado explicitar �
�
.
Exemplo 4.15.
Calcule �
�
se � fi � � '5! é uma função derivável, definida implicitamente pelas equações dadas:
[1] '�� �
	
'
�
�
�
�
� � fi � '
��� .
Note que ' � �
	
'����
�
�
�
�
fi � '
� � é igual a ' � �
	
'�� � � � ' ! !
�
�
� � � '5! !
�
fi � '
� � ; derivando
ambos os lados da equação, obtemos: � ' �/!
�
���
	
'
�
� � � '5! !
�
!
�
�
� � � � ' ! ! � !
�
fi � � '
���
!
�
; então,
	
'
�
� � ' � � � ' ! !
�
�
�
�
'
�
�
�
� ' ! � � � '5! !
�
�
	
�
�
� ' ! � � � ' ! !
�
fi � 0
Logo,
	
'
�
� � ' �
�
�
�
�
'
�
�
�
� �
�
	
�
�
�
�
fi � . Expressando �
�
em função de ' e � :
166 CAPÍTULO 4. DERIVADA
�
�
fi
�
��' �
�
�
' �
�
�
�
�
�
� � '
�
� !
0
[2] ' � � ' � � ' � � �$��� ! fi � � � �$� ' ! . Derivando ambos os lados
�
'
�
�
�
' �
�
�
�
�
�$����!
�
'
���
� ����! �
�
fi
�
�
�
�
�$� '5!
�
�
���
� � ' ! . Expressando �
�
em função de ' e � :
�
�
fi
�
���
� � '5! �
�
'ff� � � �
�
�$��� !
'
�
'
���
� ��� ! � �
�
�$� ' !
0
[3] � � �$� ' � � ! fi �fl� ��� � � ' ! . Derivando ambos os lados � � � �
�
!
���
� � '
�
� ! fi
�
� �
�
���
� � '5!#� �fl� �
�
�$� ' ! .
Expressando �
�
em função de ' e � :
�
�
fi
� � �
�
�$� ' !
�����
� � '
�
� !
�
�
���
� � '5! �
���
� � '
�
� !
0
O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pela
forma implícita é derivável. Mas, para os exemplos e exercícios, sempre consideraremos esta
exigência satisfeita.
[4] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definida por:
�
�
fi '
�
� '
�
�
! 	
no ponto � �
�
�
	
�
�
�
	
�
� .
Derivando a equação implicitamente:
�
� �
�
fi ' �
	
'
�
� ! 0
Expressando �
�
em função de ' e � : �
�
fi
	
'��
�
� '
�
�
; lembrando que ' fi � �
�
, �
�
fi �
�
� ' ! e
�
�
�
	
�
fi �
�
�
�
�
�
fi � , temos que �
�
�
�
�
�
�
fi �
�
�
�
é o coeficiente angular da reta tangente no
ponto
�
�
�
�
	
�
�
�
	
�
�
e a equação desta reta é �
�
� �
���
� '��
�
fi � .
-2 1
-1
1
Figura 4.21:
4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 167
[5] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função
implícita definida por: � 'ff� � �fl�"! ���fl� � ' � ' ��� ! !$fi � ' �fl� no ponto �
�
� 	
�
� � .
Derivando a equação implicitamente
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
'
�
�
	
'5! fi � � � ' �
�
�
� '
�
�
	
'
�
�
	
�
�
! 0
Lembrando que ')fi
�
�
, �
�
fi �
�
� ' ! e ��fi
�
�
,temos que �
�
�
�
� ! fi
�
é o coeficiente angular da reta
tangente no ponto �
�
�
	
�
�
� e a equação desta reta é
�
� � � '
���
fi � . A equação da reta normal é
� �
�
�
'��
	
fi � .
-1 1
-1
1
Figura 4.22:
[6] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função
implícita definida por:
'
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
	
em qualquer ponto; ( � e � constantes não nulas).
Derivando a equação implicitamente:
�
'
�
�
�
�
� �
�
�
�
fi ��0
Expressando �
�
em função de ' e � : �
�
fi �
� � '
�
�
�
; lembrando que '�fi ' � , �
�
fi �
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� ' ! e � � fi � � ' � ! ,
se � � �fi � , temos: �
�
� '
�
! fi �
� � '
�
�
�
�
�
, que é o coeficiente angular da reta tangente no ponto � ' � 	�� � !
e a equação desta reta é: � � � � fi � �
� � '
�
�
�
�
�
��� 'ff�7'
�
! . Ou, equivalentemente,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
'
�
�
�
�
'�fi
�
168 CAPÍTULO 4. DERIVADA
A equação da reta normal é:
� � �
�
fi
�
� � �
�
�
�
'
�
�
� 'ff�7'
�
!
se ' � �fi � .
Estas são as equações da reta tangente e da reta normal num ponto qualquer � ' � 	�� � ! da elipse.
Em particular se � fi �-fi � , temos todas as retas tangentes e normais num ponto qualquer
� '
�
	��
�
! de um círculo de raio � .
Figura 4.23: A elipse e suas tangentes.
[7] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico da função
implícita definida por:
'��
�
�
�
�fl�
�
�
fi
�
	
em qualquer ponto; ( � e � são constantes não nulas).
Derivando a equação implicitamente:
�
'
�
�
�
�
� �
�
�
�
fi ��0
Explicitando �
�
: �
�
fi
�
�
'
�
�
�
e lembrando que '&fi ' � , �
�
fi �
�
� '5! e � � fi � � ' � ! , se � � �fi � , te-
mos �
�
� '
�
! fi
� ��'
�
�
�
�
�
, que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto
� '
�
	��
�
! e a equação desta reta é:
�
�
�
�
�
�
� �
�
'
�
�
�
�
'�fi �
�
A equação da reta normal é:
� � �
�
fi � �
�
�
�
�
�
�
'
�
�$� '��7'
�
!
4.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 169
se ' � �fiffi� . Estas são as equações da reta tangente e da reta normal a uma hipérbole num ponto
� '
�
	��
�
! arbitrário.
Figura 4.24: A hipérbole e suas tangentes.
[8] Ache a equação da reta tangente ao gráfico das funções implícitas definidas por:
i) ' � � � � fi � ' � , no ponto �
	
	
	
! . (Folium de Descartes).
ii)
�
� '��
�
�fl�"! � fi
�
 � '�� � �fl�(! , no ponto �
	
	
�
! . (Lemniscata de Bernoulli).
i) Derivando a equação implicitamente:
�
�
fi
�
� ��'
�
�
�
�
�
'
0
No ponto �
	
	
	
! , �
�
fi �
� e a equação da reta tangente é ' � � fi � .
ii) Derivando a equação implicitamente:
�
�
fi �
' � �
�
�
� ' �
�
� � �
!
� �
�
�
� '
�
�
� �
�
!
0
No ponto �
	
	
�
! , �
�
fi �
�
�
	 e a equação da reta tangente é �
	
�
�
� ')� �1��fi � . Desenhos do
Folium de Descartes e da Lemniscata de Bernoulli, repectivamente:
-2 2 4 6
-2
2
4
6
-2 2 4
-1
1
2
Figura 4.25: Folium de Descartes e Lemniscata de Bernoulli, respectivamente.
170 CAPÍTULO 4. DERIVADA
4.8 Famílias de Curvas Ortogonais
As famílias de curvas ortogonais são muito utilizadas em diferentes áreas. Na Física, por exem-
plo, as linhas de força de um campo eletrostático são ortogonais às linhas de potencial constante
e as curvas isotérmicas (de igual temperatura) são ortogonais ao fluxo do calor.
Definição 4.6. Duas curvas são ditas ortogonais num ponto de interseção se suas retas tangentes nesse
ponto são perpendiculares. Uma família de curvas é ortogonal a outra família de curvas se cada curva de
uma família é ortogonal a todas as curvas da outra família.
Exemplo 4.16.
[1] A família de parábolas � � fi � �+' é ortogonal à família de elipses
�
'
�
�
�
�
fiffi�
� .
Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam � � os
coeficientes angulares correspondentes à família de parábolas e �
�
os coeficientes angulares
correspondentes à família de elipses. Logo,
�
�+fi
�
�
�
fi
�
�
'
e �
�
fi �
�
'
�
e � � � �
�
fi �
� .
Figura 4.26:
[2] A família de círculos ' � � � � fi �+' é ortogonal à família de círculos ' � � � � fiffi�
� .
Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeficientes angulares. Sejam � � os
coeficientes angulares correspondentes à família ' � � � �flfi �+' e �
�
os coeficientes angulares
correspondentes à família ' � � � � fi � � . Logo,
�
�+fi
� �
�
'
�
�
fi
� � �7'��
�
' �
e �
�
fi
�
'
� �
�
�
fi
�
' �
'
�
� �
�
e � � � �
�
fi �
� .
4.9. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 171
Figura 4.27:
4.9 Derivadas de Ordem Superior
Definição 4.7. Seja � uma função derivável. Se a derivada �
�
é uma função derivável, então sua deri-
vada é chamada derivada segunda de � e é denotada por � �
�
!
�
fi �
� �
. Se �
� �
é uma função derivável, então
sua derivada é chamada derivada terceira de � e é denotada por � �
� �
!
�
fi �
� � �
. Em geral, se a derivada de
ordem � ��� � ! de � é uma função derivável, sua derivada é chamada derivada � -ésima de � e é denotada
por � �
��� �
�
�
!
�
fi �
��� �
.
Notações: �
�
�
�
fi � , �
�
fi �
�
�
�
, �
� �
fi �
�
�
�
, �
� � �
fi �
�
�
�
, etc.
Exemplo 4.17.
[1] Sendo � � '5! fi '
�
�
�
'
�
�
'��
� , calcule �
���
�
.
�
�
� ' ! fi � '
�
�
� '��
� �
�
�
�
�
� ' ! fi
�
�
'��
� �
�
'
�
�
�
�
� '5! fi
�
� '
� �
�
�
�
�
�
� '5! fi
�
�
�
�
�
�
� ' ! fiffi� 0
Logo, �
��� �
� '5! fi � , se ����
 .
24
Figura 4.28: Gráficos de �flfi � � '5! (verde) e suas derivadas.
Em geral, se � é uma função polinomial de grau � , então, �
���
�
� ' ! fi �
�
�
� e �
� � �
� '5! fi � para
� � .
172 CAPÍTULO 4. DERIVADA
[2] Sendo � � '5! fi
�
'
, calcule �
��� �
.
�
�
� ' ! fi � '
�
�
�
�
�
�
� ' ! fi
�
'
�
�
�
�
�
�
� '5! fi ��� '
�
�
�
�
�
�
� '5! fi
�
� '
�
�
�
�
�
�
� ' ! fi �
�
�
� '
�
�
�
�
�
�
� ' ! fi
�
�
� '
�
� .
Logo, �
��� �
� '5! fi � �
�
!
�
���
�
���
�
, para todo ��
 � .
[3] Sendo � � '5! fi �
�
	 , calcule �
��� �
.
�
�
� ' ! fi
�
�
	
�
�
�
�
�
� ' ! fi
�
�
	
�
�
�
�
�
� '5! fi
�
�
	
�
�
�
�
�
� '5! fi
�
�
	
�
�
�
�
�
�
� ' ! fi
�
�
	
� �
�
�
�
�
� ' ! fi
�
�
	
�
�
Logo, �
��� �
� '5! fi
�
�
	
�
�
, para todo ��
 � .
[4] Sendo � � '5! fi � � �$� ' ! , calcule �
��� �
.
�
�
� ' ! fi
���
� � '5! fi �
�
�$� '
�
�
�
!
�
�
�
�
� ' ! fi � �
�
�$� ' ! fi �
�
�$� '
�
�
�
�
!
�
�
�
�
� ' ! fi �
���
� � ' ! fi �
�
�$� '
�
� �
�
!
�
�
�
�
� ' !$fi �
�
�$� ' ! fi �
�
�$� '
�
�
�
�
!
�
�
�
�
� ' !$fi
���
� � ' !$fi �
�
�$� '
�
�
�
�
!
�
�
�
�
� ' !$fi � �
�
�$� ' ! fi �
�
�$� '
�
�
�
�
! 0
Logo, �
��� �
� '5! fi �
�
�
�
'
�
� 
�
�
, para todo ��
 � .
[5] Seja � fi � � ' � ��'�� ��� '�� � �$� '5! , �
	 �/	 � 
�� . Verifique que ' � �
�
�
�
� '����
� �
�
' �
�
fi ' .
Derivando: �
�
fi
�
'
�
�
�
' � �$� '5!
�
�
��'
��� , �
� �
fi
�
�
�
	
� �
�
�
� �$� '5! e �
�
�
�
fi
�
�
'
; então:
'
�
�
�
'
�7'
�
�
�
�
�
	
� �
�
�
� �$� '5! !
�
' �
�
'
�
�
�
' � �$� '5!
�
�
��'
� �
! fi ' 0
[6] Se �flfi �
�
�
�
'
�
� ! satisfaz à equação
	
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
� � fi '
�
�
, determine o valor das
constantes
�
e � .
Calculando as derivadas:
�
�
fi
�
�
�
�
'
�
�
�
� ! 	 �
� �
fi
�
�
�
�
'
�
�
�
�
� ! e �
�
�
�
fi
�
�
�
�
'
�
	
�
�
�fl!��
logo a equação fica: � �
�
�
�
'
�
�
�
� ! fi '
�
�
da qual obtemos
�
fi �
� e � fi 
 .
[7] Calcule �
�
�
�
� �1! , se � � '5! fi ' � �
�
'5! , �
�
�
	
! fi � , �
� �
�
	
! fi
� e �
�
�
�
�
	
! fi
�
.
�
�
� ' !$fi � �
�
'5!
�
�
'
�
�
�
�
�
' ! 	 �
� �
� ' ! fi
�
�
�
'
�
	
�
�
�
�
' !
�
�
' �
� �
�
�
' ! !
�
�
�
�
� '5! fi
�
�
�
'
�
� �
	
�
�
�
�
' !
�
	
�
' �
� �
�
�
'5!
�
' �
�
�
�
�
�
' ! !��
4.10. APROXIMAÇÃO LINEAR 173
logo, �
�
�
�
� �1! fi
�
�
�
.
Em geral, nada garante que quando calculamos sucessivamente as derivadas de uma função,
estas sejam funções deriváveis.
[7] Seja � � '5! fi ' � � ' � . Então,
�
�
� ' ! fi
ff
	
' � se ' ���
�
	
' � se ' � �
0
Logo �
�
� ' ! fi
	
' � ' � , para todo ' 
 � ; analogamente temos que �
� �
� '5! fi � � ' � para todo ' 
-� ;
mas �
� �
não é derivável no ponto ' � fiffi� . Verifique.
4.10 Aproximação Linear
É intuitivo pensar que uma função derivável restrita a um pequeno intervalo contido em seu
domínio "comporta-se"como uma função polinomial do primeiro grau.
Por exemplo, consideremos ��fi � � '5! fi ' � . Estudando � num pequeno intervalo contendo
'�fi
� , por exemplo � fi 2 � 0 � � 	 � 0 � � 3 , obtemos:
' � � ' !
� 0 � � � 0 �
�
�
�
� 0 � � � � 0 � �
�
�,�
�
� �
�
0 �,�
� �
0 �,�,�
�
�,�
�
�
0 �
� �
0 �
�
�
�
A reta tangente ao gráfico de � no ponto '-fi � é dada por ��fi
�
'��
� ; seu coeficiente angular
é
�
. Determinemos os coeficientes angulares das retas passando pelos pontos � � 0 � � � 	 � � � 0 � � �1! ! ,
�
�
	 � �
�
! ! e � � 0 �,� � 	 � � � 0 �,� � ! ! , � � 	 � � � ! ! , respectivamente:
�
��fi
� �
�
! � � � � 0 � � �1!
�
��� 0 � � �
fi
�
0 � � � � e �
�
fi
� �
�
0 �,�
�
! � � �
�
!
�
0 �,�
�
�
�
fi
�
0 �,�
�
� 0
1
1
Figura 4.29:
174 CAPÍTULO 4. DERIVADA
�
� e �
�
são valores bastante próximos de
�
. Observe que se � '�� � � � � ( ' perto de � ), então
� � ' ! fi '�� fica próxima de �flfi
�
'ff�
� . De fato:
���
�
�	�
�
� � � ' ! � � �1fi
���
�
�	�
�
� '
�
�
�
'
���
�1fi � 0
Isto nos leva a estabelecer a seguinte definição:
Definição 4.8. Seja ��fi � � ' ! uma função derivável em ' � . A aproximação linear de � em torno de ' �
é denotada por � � ' ! e definida por:
� � ' ! fi � � '
�
!
�
�
�
� '
�
! � 'ff��'
�
!
se ' 
 � ' � � �1	 ' � � �6! , � � � pequeno.
A função � � ' ! também é chamada linearização de � ao redor do ponto ' � . A proximidade
de � � ' ! e � � ' ! nos permitirá fazer algumas aplicações. A notação para � � ' ! próxima a � � '5! é
� � ' !
�
� � '5! .
O erro da aproximação é � � ' ! fi � � ' ! � � � ' ! e satisfaz à seguinte condição:
� �
�
�	� �
�
�
�
�
� ' !
'��7'
�
�
�
fi
���
�
�	� �
�
�
�
� � ' ! � � � '
�
!
'��7'
�
� �
�
� '
�
!
�
�
fi � 0
Exemplo 4.18.
[1] Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos
resolver os seguintes problemas:
i) Se � � '5! fi
�
�
� �
�
' !
� representa a temperatura num arame, calcule a temperatura � � � 0 � � ! .
ii) Se � � �4! fi �
�
�
�
�
representa o crescimento de uma população de bactérias, calcule a população
de bactérias para � fi
�
� 0 �
�
�
.
iii) Calcule, aproximadamente � � 0 �,� � ! � �
�
�
�
�
�
0 �,�
�
!
�
�
	
.
i) Vamos determinar � � ' !$fi � � � ! � �
�
� � ! ' . Derivando: �
�
� '5! fi �
�
�
� �
�
' !
�
; então:
�
�
� �
�
' !
�
�
� � '5! fi
�
�
�
' 	 no intervalo � � � 	 �6! 	
tal que � ��� (pequeno). Como � 0 � � 
 � � �1	 � ! , temos, � � � 0 � � ! � � � � 0 � � !$fiffi� 0 �
�
graus.
ii) Vamos determinar � � '5!$fi � �
�
� !
�
�
�
�
�
� ! � '��
�
� ! , com � �
�
� !
�
�1�
	
0��
�
. Derivando, obtemos:
�
�
� � ! fi � 0
	
�
�
�
�
�
; então:
�
�
�
�
�
�
�1�
	
0��
�
� �
�
�
0 �
�
� �$�
�
� ! 	 no intervalo �
�
� �
�1	
�
�
�
�6! 	
tal que � ��� (pequeno). Como
�
� 0 �
�
�
 �
�
� � � 	
�
�
�
� ! , se � fi
�
� 0 �
�
�
, então,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1�
	
0��
�
���
�
�
0 �
�
�
� 0 �
�
�
fi �1� ��0
�
�
0
4.10. APROXIMAÇÃO LINEAR 175
iii) Considere a função � � '5!$fiffi' � �
�
�
� '
�
�
	
e ' fi � 0 �,� � . Então, para ' � fi � , temos � � � !+fi
�
,
�
�
� ' ! fi
�
'
�
�
�
�
�
�
' e �
�
�
�
! fi
�
�
�
; logo,
� � '5! fi � �
�
!
�
�
�
�
�
! � '��
�
! fi
�
	
�
�
	
'��
�
! 	
para todo ' próximo de � . Em particular, para '�fi � 0 �,� � ,
�
�
0 �,�
�
!
�
�
�
�
�
�
�
0 �,�
�
!
�
�
	
�
�
	
�
�
	 �
�
�
0 �,�
�
!$�
�
!
�
�
0 �,� �
	 	
0
1
20 1
Figura 4.30: Gráficos de i), ii) e iii), respectivamente:
[2] Considere a função logística ��� � ! fi
�
� �
�
�
�
� . Determine sua aproximação linear no ponto
�
� :
Derivando: �
�
� � ! fi
�
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
!
�
; logo,
� � �4! fi�� � �
�
! � �
�
�
�
�
�
� ��� � � �
�
! �1	
onde, � � � � !$fi
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
!
�
.
-2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.31: Desenhos para � � fi � e � � fi � , respectivamente.
[3] Calcule o valor aproximado do volume de uma esfera, construida de uma folha de aço de
� 0 � 
�
� de espessura sendo seu raio interno igual a
�
�
� .
O volume de uma esfera é
�
� �1! fi
�
	
 �
� . Seja � � fi
�
; então, a linearização do volume é:
�
� � !
�
�
�
	
�
�
	
� � � ! 
 0
176 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Logo,
�
�
�
0 � 
1!
�
� �
0���� 
�
�
� . O verdadeiro volume da esfera é
�
fi
� �
0��
�
�
�
� . Note que o
erro cometido é: � �
�
0 � 
1!�fi
�
� � �
�
0 � 
1!$fiffi� 0 � �
	 	
 
 �
	
�
�
� .
4.11 Velocidade e Aceleração
Da Física elementar sabemos que a velocidade percorrida por um móvel em linha reta é dada
pelo quociente da distância percorrida pelo tempo transcorrido. Usaremos a definição de deri-
vada para determinar a velocidade instantânea de um móvel que se move ao longo de qualquer
trajetória derivável.
Suponha que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função �ffifi � � �4! . Se 2 ��	���3 é um
pequeno intervalo contido no domínio de � , a velocidade média da partícula no intervalo 2 ��	���3
é:
�
�
�
fi
distância
tempo
fi
� � �"! � � � ��!
�+� �
0
a b c
v
ab v
ac
Figura 4.32:
�
�
� é o coeficiente angular da reta passando por � ��	 � � � ! ! e � � 	 � � �"! ! . � � � não dá informação
sobre a velocidade da partícula no tempo � fi � � . Se estamos interessados na velocidade ins-
tantânea em � fi � � , consideremos o intervalo 2 � � 	 � � � � 3 	 � � � ; então, � � fi
� � �
�
� �
! � � � �
�
!
�
.
Analogamente para � ��� .
Definição 4.9. A velocidade instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função
derivável ��fi � � �4! em �$fi � � , é:
�
� �
�
!$fi �
�
� � !
�
�
��� �
�
De forma análoga definimos a aceleração média: � � � fi
�
� �"! �
�
� ��!
�+� �
.
4.11. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 177
Definição 4.10. A aceleração instantânea de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função
duas vezes derivável ��fi � � �4! em � fi � � , é:
� � �
�
! fi
�
�
� �4!
�
�
��� �
�
fi �
� �
� � !
�
�
��� �
�
O movimento harmônico simples � fi � � � ! é caracterizado por � � � !7fi �
�
� � �4! (
�
� � ) e o
movimento harmônico amortecido por � � �4! fi
�
�
� � !
�
� � �4! (
�
	
�� ).
Exemplo 4.19.
[1] Uma partícula move-se ao longo da curva � � � !+fi � � � 
 � � �
�
� �
	
. Calcule a aceleração no
instante em que a velocidade é zero.
Se � � �4! fi � � � 
 � � �
�
� �
	
, então � � � ! fi
	
� � �
�
� �
�
�
; se � � � !$fi � temos que � fi
�
	 ou � fi � . A
aceleração no instante � é � � �4! fi � � � � � ; logo � �
�
	
! fi � ou � � � ! fi � � .
[2] Uma sonda é lançada para cima verticalmente, sendo a distância acima do solo no instante
� dada por � � � ! fi �5� � �,�,� � � ! .
i) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo.
ii) Qual é a altura máxima que a sonda atinge?
i) A sonda atinge o solo quando � � �4! fi � � � �,�,� � �4! fi � ou seja quando �$fi � ou � fi � �,�,� ; a sonda
atinge o solo após � �,�,� � � � e a velocidade é � � � !+fi �
�
� � !+fi
�
�,�,� �
�
� e � � � �,�,� ! fi � � �,�,� � * � � � .
O sinal negativo é porque a sonda está caindo.
ii) Se � � � !$fi � , então � fi 
 �,� e � � 
 �,� ! fi
�
 �,�,�,�
� .
[3] Um ponto move-se ao longo do gráfico de � fi ' � � � de tal modo que sua abscissa '
varia com uma velocidade constante de
	
�
�
* �
�
� . Qual é a velocidade da ordenada � quando
'�fi �
�
� ?
Sejam '&fi ' � �4! e � fi �5� � ! a abscissa e a ordenada no instante � , respectivamente. Seja � � o
instante tal que ' � � � ! fi � . Queremos calcular a velocidade de � no instante � � ; em outras
palavras, queremos calcular
�
�
�
�
para � fi � � . Usando a regra da cadeia:
�
�
�
�
fi
�
�
�
'
�
'
�
�
fi
�
'
�
'
�
�
0
O ponto tem velocidade constante igual a
	
; logo,
�
'
�
�
fi
	
e
�
�
�
�
fi � ' . Para ' � � � ! fi � temos que
�
�
�
�
fi
�
�
�
�
* �
�
� .
[4] Um homem de � 0 � � � de altura afasta-se de um farol situado a ��0 
 � do solo, com uma
velocidade de � 0 
 � * � � � . Quando ele estiver a � � do farol, com que velocidade sua sombra
estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra?
178 CAPÍTULO 4. DERIVADA
4.5
1.80
x y
Figura 4.33:
Seja � o comprimento da sombra e ' a distância entre o homem e o ponto do solo acima do qual
está o farol. Pela semelhança de triângulos:
��0 
'
�
�
fi
�
0
�
�
; logo, � fi
�
0
�
'
�
0
� ; então:
�
�
�
'
fi
�
	 e
�
�
�
�
fi
�
�
�
'
�
'
�
�
0
Como
�
'
�
�
fi
�
0 
 , temos:
�
�
�
�
fi
�
�
* �
�
� e o comprimento da sombra é �flfi � � .
4.12 A Derivada como Taxa de Variação
A velocidade de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função derivável �)fi � � �4!
no tempo � é � � �4!flfi �
�
� �4! e representa a razão do deslocamento por unidade de variação de
tempo. �
�
� � ! expressa a taxa de variação de � � �4! por unidade de tempo:
�
�
� � !$fi
���
�
�
�
�
� � �
���
! � � � �4!
�
0
Se �flfi � � '5! é função derivável, então �
�
� '5! é a taxa de variação de � em relação a ' .
A interpretação da derivada como taxa de variação se aplica em diversas áreas da ciência. Por
exemplo, se �ffifi � � �4! mede a concentração de glóbulos vermelhos no sangue no instante � ,
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
� mede a taxa de variação média da concentração de glóbulos vermelhos durante o
intervalo de tempo 2 � 	 � � � 3 e �
�
� ��! mede a taxa de variação instantânea de glóbulos vermelhos
no instante � fi � .
Exemplo 4.20.
[1] Uma partícula move-se ao longo do gráfico de � fi ' � ��� , de modo que quando '�fi�� a
abscissa cresce a uma velocidade
de
�
�
�
* �
�
� . Qual é a velocidade de crescimento da ordenada
nesse instante?
Seja '�fi ' � � ! a abscissa no instante � e �flfi '�� ��� ; devemos calcular:
�
�
�
�
fi
�
�
�
'
�
'
�
�
0
4.12. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 179
Temos:
�
�
�
'
fi
	
'
� e
�
'
�
�
fi
�
; logo,
�
�
�
�
�
�
�
�
� fi � '
�
�
�
�
�
� fi
�
�
� . A ordenada cresce a uma razão de
�
�
�
�
�
* �
�
�
[2] Um ponto move-se ao longo da elipse de equação ' � �
�
�fl� fi�� . Determine os pontos da
elipse que satisfazem à equação
�
'
�
�
fi �
�
�
�
�
.
Se '-fi ' � �4! e �fffi �5� � ! são a abscissa e a ordenada do ponto no instante � , derivando implicita-
mente a equação da elipse:
�
'
�
'
�
�
�
� �
�
�
�
�
fi � e usando a condição dada:
�
'
�
'
�
�
�
� �
�
�
�
�
fi
�
� '��
�
� �
�
'
�
�
fi � �
logo, '�fi
�
� . Da equação da elipse obtemos: � fi � � e os pontos são: �
�
	
�
! e � �
�
	(�
�
! .
[3] O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico cujo diâmetro cresce à razão de
�
�
�
�
*6� �
� e
sua altura cresce à razão de � � *6� � � ( � =metros). Determine a taxa de variação do volume do
tronco quando o diâmetro é
	
�
� e sua altura é 
 � � .
Seja � fi � � � ! o raio no instante � e � fi � � � ! a altura no instante � . O volume é
�
� �4! fi 
 �
�
� ;
devemos calcular
�
�
�
�
; derivando implicitamente:
�
�
�
�
fi 
 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
o raio é a metade do diâmetro: � fi
	
�
, � fi 
 �,�,� ; logo,
�
�
�
�
�
fi
�
�
e
�
�
�
�
fi
�
�,� ; então:
�
�
�
�
fi
�
�
�,� 
�
�
�
*6� �
�
0
[4] Uma partícula move-se ao longo da curva de equação � fi
�
' . Quando a partícula passa
pelo ponto � ��	
�
! , sua abscissa cresce à razão de
	
�
�
* �
�
� . Com que velocidade está variando a
distância da partícula à origem nesse instante?
Sejam ' fi ' � �4! e �7fi �#� �4! a ordenada e a abcissa no instante � e
� fi '��
�
� � o quadrado da
distância da origem ao ponto � ' 	���! . Derivando implicitamente ambos os lados:
��
�
�
�
fi
�
'
�
'
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
logo,
�
�
�
fi
�
�
'
�
�
�
�
�
'
�
�
, pois �flfi
�
' . Logo
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
�
�
�
�
�
�
* �
�
� .
[5] Um reservatório de água está sendo esvaziado. A quantidade de água no reservatório, em
litros, � horas após o escoamento ter começado é dada por
�
� � ! fi 
 � �
�
� � �4! � . Calcule:
i) A taxa de variação do volume da água, após � horas de escoamento.
ii) A quantidade de água que sai do reservatório, nas primeiras 
 horas de escoamento.
i) A taxa de variação é
�
�
�
�
fi �
�
�,� �
�
� � �4! ; calculando em � fi � , temos que:
�
�
�
�
fi �
�
�
�,� � *
� . O sinal negativo é porque o volume da água está diminuindo com o tempo,
já que o reservatório está sendo esvaziado.
180 CAPÍTULO 4. DERIVADA
ii)
�
� � ! �
�
� 
1! fi
	
�
�
 � litros.
[6] De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de
	
�
�
� * �
�
� . Se o raio da base do funil
é de �
�
�
� e a altura é de
�
�
�
� , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo,
quando o nível estiver a �
�
� do tôpo.
Sejam � o raio do círculo que forma o nível da água e � a altura no tempo � , respectivamente.
� fi � � � ! , � fi � � �4! e
�
fi
�� �
�
	 é o volume do cone de raio � e altura � .
h
r 24
12
Figura 4.34:
Pela semelhança de triângulos, temos:
�
�
�
fi
�
�
� ; então
�
� fi
� e
�
fi
�
�
�
�
� .
�
�
�
�
fi
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
�
�
�
�
�
�
�
0
Mas,
�
�
�
�
fi �
	
, pois o volume está diminuindo e � fi
�
�ff� ��fi
� � ; resolvendo a equação
�
�
�
�
fi �
	
, obtemos:
�
�
�
�
fi �
�
�
�
�
�
* �
�
� .
[7] Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de � � � * � � � , enquanto
os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com área
constante de � �,� � � � . Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o comprimen-
to do lado que aumenta é de
�
�
�
� ? Quais são as dimensões do retângulo, quando o perímetro
deixar de diminuir?
i) Seja ' o lado que aumenta e � o lado que diminui no tempo � ; logo '�fi ' � � ! e � fi �5� � ! ; o
perímetro é � fi
�
� '
�
��! e a área é
�
fi '
�flfi
�
�,� . Derivando estas expressões em � , temos:
�
�
�
�
fi
�
�
�
'
�
�
�
�
�
�
�
�
e '
�
�
�
�
�
�
�
'
�
�
fi � 0
Se ')fi
�
� , então ��fi�
 ; como
�
'
�
�
fi � , da última equação, temos que
�
�
�
�
fi �
�
'
�
'
�
�
fi �
� ; logo:
�
�
�
�
fi �
�
�
* �
�
� .
ii) O perímetro deixa de diminuir quando
�
�
�
�
fi � , o que é equivalente a
�
'
�
�
fi �
�
�
�
�
; mas
�
'
�
�
fi � ; então, �,' � �4! � � �5� � ! fi � ; logo, ' � �4!�fi �5� � ! ; e o retângulo é um quadrado de área
4.12. A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 181
�
�,� fi ' � ; ou seja, um quadrado de � � � � de lado.
[8] Uma escada de � � � de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a extremidade
inferior da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de � 0 
 � * � � � , com que velocidade
o topo da escada percorrerá a parede, quando a extremidade inferior estiver a � � do solo?
x
y 10
Figura 4.35:
Sejam 'ffifi ' � �4! e � fi � � �4! os lados do triângulo formado pela parede, a escada e o solo, no
instante � . Pelo teorema de Pitágoras ' � � �fl� fi � �,� ; derivando implicitamente:
'
�
'
�
�
�
�
�
�
�
�
fiffi� 0
Devemos calcular
�
�
�
�
. Como �flfi � , então '�fi
�
�
�,� �
	
� fi
� e
�
'
�
�
fiffi� 0 
 ; logo,
�
�
�
�
fi �
�
'
�
�
�
'
�
�
fi �
�
	
�
a escada está deslizando a uma velocidade de �
�
�
* �
�
� .
[9] A dilatação de um disco de cobre aquecido é tal que o raio cresce com a velocidade de � 0 � �
�
�
* �
�
� . Com que velocidade cresce a área do disco quando o raio tem
�
�
� ?
Sejam ' fi ' � �4! o raio e � fi � � �4! a área do disco no instante � , respectivamente. Então � fi 
�' � .
Derivando:
�
�
�
�
fi
�
 '
�
'
�
�
�
para ' fi
�
e
�
'
�
�
fi � 0 �
� , tem-se:
�
�
�
�
fi � 0 � � 
�
�
�
* �
�
� . A área do disco cresce com uma
velocidade de � 0 � � 
 � � �(* � � � .
[10] A lei de Boyle para gases confinados a uma temperatura constante � é �
�
fi � , onde
�
é
o volume e � a pressão. Se em certo instante o volume é de � �,� � � � , a pressão é de � 
 �
�
*
�
�
� e
a pressão cresce à razão de
�
�
�
*
�
�
�6*
���
� , com que taxa está variando o volume nesse instante?
Sejam
�
fi
�
� �4! o volume e � fi � � �4! a pressão no instante � , respectivamente. Escrevamos o
volume como função da pressão:
�
� � !$fi
�
�
.
Usando a regra da cadeia:
�
�
�
�
fi �
�
�
�
�
�
�
�
fi �
�
�
�
�
�
�
�
182 CAPÍTULO 4. DERIVADA
para
�
fi � �,� , � fi � 
 � e
�
�
�
�
fi
�
� , temos:
� �
�
�
fi �
�
�
�
�
�
*
���
� . O volume decresce à razão de
�
�
�
�
� *
���
� .
[11] (Sistema de Lotka-Volterra) No estudo de ecossistemas, modelos de presa-predador são
utilizados para estudar a interação entre as espécies. Se uma população de lobos siberianos é
dada por � fi ��� � ! e uma população de cervos por
�
fi
�
� � ! , a interação das duas espécies
pode ser medida pelo sistema:
�
�
�
�
�
�
�
��
� �
�
�
fi �
�
� �
�
�
�
�
�
�
fi �
�
�
�
� �
� 	
onde � , � , � e
�
são constantes positivas. Determine
�
e � que levem as populações a ficar
estáveis para �flfi � 0 � 
 , � fi � 0 �,� � , � fi � 0 � 
 e
�
fi � 0 �,�,�
� .
As populações ficam estáveis quando suas taxas de crescimento são nulas; então devemos re-
solver o sistema:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fiffi�
�
� �
�
� fi
�
� � � � ��! fiffi�
�
�
�
�
fi �
�
�
�
�
�
� fi �-� �
� �
�
�
!$fi � 	
com
�
	 � �fiffi� ; a solução é � fi
�
�
e
�
fi
�
� ; logo, para os valores das constantes dados � fi 
 � e
�
fi 
 �,� . As populações ficam em equilíbrio quando tem 
 � lobos e 
 �,� cervos.
[12] Se uma barra é feita de material homogêneo, então sua densidade é uniforme e é dada pela
massa por unidade de comprimento, medida em quilogramas/metros. Se a barra não é homo-
gênea, mas se sua massa é dada por � fi � � ' ! do início ao ponto ' da barra, então, a massa
entre os pontos '�� e '
�
é dada por � � '
�
! � � � ' � ! e sua densidade média é dada por
�
� �
	
���
�
� �
�
�
�
	
� �
�
.
A densidade linear da barra é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento e é dada
por:
� fi
�
�
�
'
0
Sabendo que uma barra de comprimento � � tem massa dada por � fi � � '5! fi ' � � ' � � ,
determine a densidade no centro da barra.
� fi
�
�
�
'
�
�
�
�
�
�
�
fi �
	
'
�
���
!
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
0
�
�
� *
�
0
4.13 Exercícios
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abs-
cissa dada:
4.13. EXERCÍCIOS 183
(a) � fi � �7' � 	 '�fi
	
(b) � fi ' � � 
 ' � � 	 '�fi �
(c) � fi ' � � � �$� '5! 	 '�fi �
(d) � fi ' � � � '�� ��� � '�� � 	 '�fi
	
(e) � fi '
�
�
' � �7' 	 '�fiffi�
(f) � fi
	
'
�
�
�
�$� ' ! 	 '�fi �
(g) � fi '
�
�6	 '�fi �
�
(h) � fi
�
'
�
'
�
�
	 '�fi
�
(i) � fi
�
'
�
�
�
' 	 '�fi
�
(j) � fi
' �
���
'
�
�
�
	 '�fi �
(k) �flfi � �$� ' � ! 	 '�fi �
(l) �flfi ��� � ' � � ! 	 '�fi � �
(m) �flfi � � �$� � ' ��� ! 
 ! 	 '�fi �
(n) �flfi
�
�
�
�
	 '�fi �
(o) �flfi
'
'
�
���
	 '�fi
�
(p) �flfi
�
�
'
�
� �
	 '�fi
�
(q) �flfi
'
�
�
�
'
�
���
	 '�fi �
�
(r) �flfi
�
'
�
� '
�
���
!
	 '�fi
�
2. Calcule a constante � para que a reta � � �6' � � fiffi� seja tangente à curva � fi '
�
� .
3. Determine as equações das retas tangentes à curva � fi ' � , nos pontos de abscissa '�fi �
	
.
4. Determine o ponto onde a curva �)fi ' � tem tangente paralela à reta tangente à mesma
curva no ponto de abscissa '�fi � . Determine a equação da reta tangente nesse ponto.
5. Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de
abscissas dadas:
(a) � fi ��� � � ' � ��� ! 	 '�fi �
(b) � fi �
�
�
�
	 '�fi �
�
(c) � fi ��� � �
'
�
! 	 '�fi �
(d) � fi � � � ��� � �
�
'5! 	 '�fi �
(e) �flfi
'
�
���
'
�
���
	 '�fi
�
(f) �flfi � � �$� �
�
! 	 '�fi � �$� 
 !
(g) �flfi
�
�
� '��
� �
! 	 '�fi
�
(h) �flfi � � ' � �
	
'
���
! � �$� '5! 	 '�fi
�
6. Determine os pontos da curva �flfi
	
' �
� �
� '
�
�
	
'
� � onde as retas tangentes passando
por esses pontos intersectam a origem.
7. Sabendo que as curvas ��fi � ' � e �7fi � '
�
� tem retas tangentes paralelas com abscissa
comum, determine-as.
8. Seja � uma função derivável e � � ' !+fi � � � �
�
! . Calcule �
�
� � ! se �
�
�
�
!$fi
�
.
9. Seja � uma função derivável e � � ' !+fi ' � � ' �"! . Calcule �
�
� ' ! .
(a) Seja � uma função derivável e � � ' !+fi �
�
� �
	
'
� �
! . Calcule �
�
� � ! se � � � ! fi
�
e �
�
�
�
!$fi
	
.
(b) Seja � � ' !flfi � � � � '5! ! em que � e � são funções deriváveis. Se � �
	
! fi � , �
�
�
	
!flfi � e
�
�
� �1!$fi
�
, determine �
�
�
	
! .
10. Determine �
�
� ' ! se � � ' ! 	 � � '5! e � � ' ! são funções deriváveis e:
184 CAPÍTULO 4. DERIVADA
(a) � � ' ! fi � � ' ! � � ' ! � � ' !
(b) � � ' ! fi
� � '5! � � '5!
�
� '5!
(c) � � ' ! fi
� � '5!
�
� ' ! � � ' !
(d) � � ' ! fi
�
� � ' !
�
� ' ! � � ' !
11. Use [10] para calcular �
�
� '5! se:
(a) � � ' ! fi � '�� � ' ��� ! � ' � � ' ! � ' ��� ! �
(b) � � ' ! fi � '
�
�
' �
���
! �
(c) � � ' ! fi �
'
�
�
	
'
���
�$� '
�
�
�
!
(d) � � ' ! fi �
' �
� �
'
�
�
	
�$� '
�
�
�
'
�
���
!
12. Usando a regra da cadeia, determine �
�
, sendo:
(a) � fi �
	
'
�
1!
�
�
(b) � fi � � '�� �
	
'��
�
!
�
(c) � fi � � �
	
'5! �
(d) � fi �
	
'
�
�
� !
�
(e) � fi
�
'
�
�
	
'
�
� � '
�
�
(f) � fi � '�� ��� ! �1� ' � �
�
'5! �
(g) � fi � � � � � � ' � � �1! �/!
(h) �flfi
�
	
'ff� �1!
�
�
� '
�
	
!
�
�
(i) �flfi �
	
'ff�
�
�
'
� �
!
�
(j) �flfi
�
' � '
���
!
(k) �flfi
� '
�
�
�
	
'
�
�
�
�
'
�
�
!
�
�
� '
�
�
'
�
�
!
�
�
� '
�
�
!
13. Calcule as derivadas das funções:
(a) � fi 
���
�
(b) � fi � � �
�
� �
�
� �
!
�
(c) � fi � � �
�
� '
�
!
(d) � fi ' � � � � � ' ! ��'
(e) � fi � �$�
'
'
���
!
(f) � fi � �$� ��� � � � ' ! !
(g) � fi � �$� � �
�
!
(h) �flfi � �$� � � � � � � ' ! !
(i) �flfi � � �$� �
�
!
(j) �flfi �
�
�
�
�$� � �$� � '5! ! !
14. Usando a derivada de logaritmo, calcule �
�
:
(a) � fi
�
'
�
�
�
(b) � fi �
'
�
�
'
�
�
�
�
(c) � fi '
���
�
(d) � fi
	
�
� � � �
(e) � fi
�
�
� ' � �
�
!
�
�
'
� �
(f) � fi � '��/!
�
(g) � fi '
�
	
(h) � fi '
�
�
(i) �flfi
�
�
�
�$� '5!
�
�
(j) �flfi '
�
�
(k) �flfi � ��� � � ' ! � �
� � � � �
(l) �flfi
�
� �$� '5!
�
�
��� � �
15. Calcule �
�
:
4.13. EXERCÍCIOS 185
(a) � fi
�
�
� ���
�
� ' !
(b) � fi
�
�
�
���
�
�
� ' !
(c) � fi
�
���
� �
�
' !
(d) � fi � � � �
'
	
�
(e) � fi ' ��� ��� �
�
' !
(f) � fi�� � � ��� �
�
�
�
�
� ! �
(g) �flfi � � � � �
�
' � !
(h) �flfi ��� �
�
�
�7'
�
!
(i) � fi � ��� � � � �
�
'5! �
���
��� � '5! �
�
(j) �flfi ��� � �,�
�
' !
(k) �flfi
�
�
�$�
�
' !
� �����
� �
�
'5!
(l) �flfi �
�
�
�
�$� �
�
!
(m) � fi � � ���
�
'
�
�
(n) � fi ��� � � � � � '��/! !
(o) � fi � � � � �
�
'
�
�
(p) � fi ��� ��� � � � � � '�� ! !
(q) � fi � � � � � � �$� ' ! !
(r) � fi � �$� � � � � � '5! !
16. Verifique que as derivadas das funções hiperbólicas inversas, são:
(a) Se � fi � � � � � � � � � � ' ! ! , então �
�
fi
�
�
� ' !
�
� �
�
�
� '5!
.
(b) Se � fi � � � ��� � � � � � ' ! ! , então �
�
fi
�
�
� ' !
�
�
�
� ' ! �
�
	 � � � '5! � �
� .
(c) Se � fi � � � ��� � � � � '5! ! , então �
�
fi
�
�
� ' !
�
� �
�
� ' !
	 � � � ' ! ���
� .
(d) Se � fi � � � ��� ��� � � � � ' ! ! , então �
�
fi
�
�
� '5!
�
� �
�
� ' !
	 � � � ' ! ���
� .
(e) Se � fi � � � � � � � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
�
�
� ' !
� � '5!
�
�
� �
�
� ' !
	
� � � � '5! �
� .
(f) Se � fi � � � ��� � � � � � � � ' ! ! , então �
�
fi �
�
�
� ' !
� � � ' ! �
�
�
�
� ' !
���
	 � � ' ! �fi � .
17. Calcule �
�
:
(a) � fi � � � ��� �
�
'
�
(b) � fi � � � � � � �$� ' ! � �
(c) � fi � � � ��� � ' � !
(d) � fi � � � ��� ���
�
�
'
�
(e) � fi � � � ��� �
'��
�
'
���
�
(f) � fi � � � � �
'
�
(g) � fi ��� � � �1�
	
' ! � �
�
� �,�
	
' !
(h) �flfi ��� � � � � ' � �
	
!
�
!
(i) �flfi � � � � � � �$� ' ! !
(j) �flfi ' � � � ��� � � � '5! �
�
'
�
�
�
(k) �flfiffi� � � ��� �
�
'��
�
�
(l) �flfiffi� � � ��� ��� � � ' � !
(m) �flfi
�
�
� � � �
���
�
�
� '
�
! �
�
(n) �flfi ��� � � � � �
�
�
'
�
���
�
18. Usando derivação implícita, calcule �
�
:
186 CAPÍTULO 4. DERIVADA
(a) '�� � � � fi 
(b) ' � � '�� � � �fl� fi �
(c)
�
'
�
�
� fi
�
�
(d) � � fi
'ff� �
'
�
�
(e)
	
���
� �1� '
�
� ! fi
�
(f) ��� ����!+fi ' �
(g) �
	
fi '
�
�
(h) � �$���fl� � ' ! fi � � �7'��
(i) � ' � ��! � fi � '�� ��! �
(j) � ' � � � � ! � fi � � � ' �
(k) � � �$� ' � ! fi ' ��� � ����!
(l) � �$��� �7'5! fi � �$��� � '5!
(m) �
�
�
���
	
fi 
�
� �$� '5!
(n) � �$����' !$fi �
�
	
(o) � � �
�
'
� fi
�
�
�
(p) ��� � ��� ' � ! fi � � �$���$' � !
(q) ' �fl� �
	
��� ��� !$fi ' �
(r) ' � � � ��� ��� ! � � � � � ��� � ' !$fi �
19. Determine os pontos da curva 'ff� �
�
' �
�
	
�fl��fi
	
nos quais as retas tangentes nesses
pontos sejam perpendiculares à reta ' � � fi � .
20. Em que pontos a curva � � fi
�
'
� é ortogonal à reta �,'��
	
�
���
fi � ?
21. A reta ' fi � intersecta a curva � fi
'
�
	
�
� '
�
	
num ponto � e a curva � fi
�
'��
�
'
num ponto � . Para que valor (ou valores) de � as tangentes a essas curvas em � e � são
paralelas?
22. Determine a equação da reta tangente à curva ' � fi � , � constante, no ponto � ' � 	�� � ! . Ve-
rifique que � ' � 	�� � ! é o ponto médio do segmento de reta determinado pela reta tangente
no ponto e os eixos coordenados.
23. Determine a equação da reta tangente à curva
�
� '
�
�
�
�
�
�
fi
� no ponto � ' � 	�� � ! . Calcule
a distância entre os pontos
�
e � , onde
�
e � são as interseções da reta tangente com os
eixos coordenados.
24. Verifique que as seguintes famílias de curvas são ortogonais:
(a) ' �
�
� fi
�
	 � �
�
'�fiffi�
(b) � � � �
�
�
�
fiffi� 	 �fl� � 'ff� � fi �
(c) � � � 	 ' ��fi � 	 ' � �
	
�
�
� � fi �
(d) � fi � ��� � � � ! 	 � fi � � � �$� � !
(e) �fl� �
'��
�
�7'
fi � 	 � '
�
�
�
�
!
�
� � �
�
'
�
�
�
�
! fiffi�
25. Determine a segunda derivada de:
4.13. EXERCÍCIOS 187
(a) � fi
�
�
'
(b) � fi '
�
�
(c) � fi � � �$� '��(!
(d) � fi ��� �1� '5!
(e) � fi � � � �,� '5! ����� � � ' !
(f) � fi
'
�
� '
���
!
(g) �flfi � � �
�
'
�
�
(h) �flfi
'
�
'
�
�
�
(i) �flfi
�
�
'
(j) �flfi ��� � � � � �$� ' ! !
(k) � fi � �$� � �$� '5! !
(l) � fi � � � ��� � � � �$� ' ! !
(m) � fi � � � �
�
'5!
(n) � fi � � � � � � � '��/!
(o) � fi � � � ��� ��� � � ' � ��� !
26. Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem � dada:
(a) � fi
	
'
�
�
�
' 	 �-fi 
(b) � fi
	
'
�
�
�
' 	 �-fi �
(c) � fi
�
	
�7'
�
	 �-fi
	
(d) � fi
�
'ff�
�
	 � fi �
(e) � fi � �
�
� �
	 �-fi
	
(f) � fi � �$�
�
' ! 	 �-fi �
(g) � fi �
�
���
�
�
'
�
�
	 �-fi 
(h) � fi � � �$� �+' ! 	 � fi
�
	
��
��
(i) � fi � �
�
�
'
�
	 �-fi
	
(j) � fi ' �
�
	 � fi
�
(k) �flfi ' ��� � � � � � � �$� ' ! ! 	 �-fi �
(l) �flfi ' � � � ��� � � ' ! � � �$�
�
�
�7'
�
! 	
� fi 
(m) �flfi ��� � �
�
� '5! 	 � fi
	
(n) �flfiffi� � � � � � � � �
�
! 	 �-fi �
(o) �flfi � �$� � � � � � ' ! ! 	 � fi 
(p) �flfi � � � � � ��� � � � ' ! ! 	 �-fi
	
(q) �flfi '
�
�
�
�$� � �$� '5! ! �
���
� � � �$� '5! !
�
	
� fi
	
(r) �flfi � ���
� �
�
�
�$� '5!
�
� �
�
�$� '5!
�,	 � fi
	
27. Seja � uma função duas vezes derivável e � � ' ! fi � � � �
�
! . Calcule �
� �
� '5! .
28. Se �flfi ' � �
�
, mostre que �
� �
� � � fi �
�
�
�
.
29. Para �flfi ��� � � � '5! e �flfi � � �$� � ' ! , mostre que �
� �
�
�
�
�flfi � .
30. Se �flfi �
� �
���
� �
�
' ! , mostre que �
� �
�
�
�
�
�
 � fi � .
31. Determine � tal que �flfi �
� �
verifique a equação: �
� �
� � � fi � .
32. Seja �flfiffi� �
�
�
�
�
� �
���
'
�
'
�
. Verifique que:
'
�
�
�
�
�
�
 '
�
�
� �
�
�
�
'��7'
�
! �
�
���
�
�
'
�
! � fi �1� '
�
� � '
�
0
33. Calcule �
� �
� '5! se:
188 CAPÍTULO 4. DERIVADA
(a) '
�
�
�
�
fi
�
�
(b) ' � � � ' � � � � fi �
(c) '���� � fi ��� ��� ! �1��� � �fl�(!
(d) � � fi ' � �
�
�7'5!
(e) � � �$����! � � � �$� '5! � � � �$� ' ��! fi '
(f) ��� � ����! � � � �$� ' ! fi '
34. Calcule �
�
�
�
� 
1! , se � � ' ! fi
�
'ff�
�
� � ' ! , � � 
1!$fi � � , �
�
� 
1!$fi
�
	 , �
� �
� 
1!$fi
�
e �
�
�
�
� 
1!$fi
�
� .
35. Calcule �
� �
� �
�
! , se � � '5! fi
�
�
� � � '5! , � � �
�
!$fi �
	
, �
�
� �
�
! fi
	
e �
� �
� �
�
! fi 
36. Determine a linearização no ponto ' � fiffi� , das seguintes funções:
(a) � � �$� ' !
(b) ��� � � '5!
(c) ��� � ' !
(d)
�
'
�
	
(e) �
�
�
�
(f)
�
�
'
� �
(g)
'
'
�
���
(h) � �$� ' � � 
 ' � 
1!
(i) � � ' � �
	
'��
�
! �
37. Calcule aproximadamente:
(a)
�
�
� 0
�
�
�
(b) �
�
�
�
(c) � � �$� � �
�
!
(d) � � 0 �,�
�
! �
�
�
�
�$�
�
0 �,�
�
�
 !
(e) �
�
�
�
0 �
�
!
�
�
�
�
�
�
0 �
�
(f)
�
�
�
� �
�
38. Polinômio de Taylor de ordem � no ponto � � : Seja � uma função � vezes derivável no
ponto ' � . O polinômio de Taylor de ordem � , ( � fi � 	 � 	
�
	 0 0 0 0 ), no ponto ' � é denotado
por � � � '5! e definido por:
�
�
� ' !$fi � � '
�
!
�
�
�
� '
�
! � '��7'
�
!
�
�
� �
� '
�
!
�
� 'ff�7'
�
!
�
�
0 0 0 0 0 0 0 0 0
�
�
��� �
� '
�
!
�
�
� 'ff��'
�
!
�
0
Verifique que o polinômio de Taylor de ordem � , no ponto ' � fi � , das funções:
(a) � � ' ! fi � � �$� '5! é �
�
�
� � � '5! fi
�
�
�
�
�
� �
�
!
�
'
�
�
� �
�
�
�
� �
!
� .
(b) � � ' ! fi �
�
é � � � ' ! fi
�
�
�
�
�
'
�
�
� .
(c) � � ' ! fi �
�
é � � � ' ! fi
�
�
�
�
�
� �
�
!
�
�
�
� 'ff�
�
!
� .
(d) Esboce o gráfico de � , � � � ' ! , �
�
� ' ! e �
�
� ' ! no mesmo sistema de coordenadas.
(e) Compare � � � '5! e � � ' ! . Que conclusões pode tirar? É possível utilizar � � para fazer
aproximações de � ?
4.13. EXERCÍCIOS 189
39. Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta
varia de � � � � para � � 0 �ff� � .
40. Influências externas produzem aceleração numa partícula de tal forma que a equação de
seu movimento é �flfi
�
�
	
�
� , onde � é o deslocamento e � é o tempo.
(a) Quais são as equações da velocidade e da aceleração da partícula num tempo � ?
(b) Quando a partícula para de mover-se?
41. Um estoque de sangue é guardado num freezer no instante ��fi � . Após � horas, sua
temperatura, em graus centígrados, é
	
� �4! fi
	
�
�
� �
���
!
�
�
�
	
� � . Qual é a velocidade de
resfriamento após � � horas?
42. Deve-se drenar uma piscina. Se � é o número de litros de água na piscina � minutos após
o início da drenagem e � � �4! fi
�
�,� �
	
�fl� � !�� , qual é a velocidade de escoamento da água
após � � ��� � ?
43. Um corpo em queda livre tem como equação do movimento: � � � ! fi
� �
	
�
, onde � fi
� 0
�
�
* �
�
� � , � � � ! é a distância, (em metros), percorrida pelo corpo em � segundos, desde o
início da queda. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em queda livre.
44. Uma partícula lançada verticalmente para cima com velocidade de � � * � � � , atinge a al-
tura de � � �4! fi � � � ��0 � � � após � segundos. Qual deve ser a velocidade inicial para que a
partícula atinja � � � antes de iniciar a queda?
45. O lado de um triângulo equilátero mede � � � e cresce à razão de
�
�
�
*
� . Com que velo-
cidade crescerá a área do triângulo?
46. Qual é a variação das diagonais de um cubo se os lados crescem a uma razão de
�
�
�
* �
�
� ?
47. O raio da base de um cone cresce à razão de �ff� � * ��� � e sua altura decresce à razão de
�
�
�
*
���
� . Como variará o volume total do cone quando o raio é � � � e sua altura � � � ?
48. Um balão esférico está sendo inflado. Seu volume cresce à razão de � �,� � � � * � � � . Deter-
mine a razão com que varia o raio no instante em que o diâmetro é de 
 � � � .
49. Mostre que a função logística ��fi � � �4! satisfaz à equação �
�
�
�
fi � � �
�
�
�
	
� . Se ��fi ��� � !
representa o crescimento populacional, quando a população se estabiliza?
50. A redução de oxigênio na água de uma lagoa, devido ao despejo de esgoto, só volta a
níveis normais � dias após o despejo do esgoto. Sabendo que a quantidade de oxigênio
que permanece, após � dias é dada por:
� � � !$fi 
 �,�
�
�
� �
� �
� �
�,�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�,�
	
medido em
�
do nível normal de oxigênio, determine a velocidade com que a quantidade
de oxigênio está sendo reduzida, após � , � � ,
�
� e 
 � dias após o despejo.
190 CAPÍTULO 4. DERIVADA
51. Ao meio dia o barco
�
está � �
�
� a oeste do barco � . O barco
�
navega para o leste a
�
�
�
�
*
� e o barco � navega para o norte a
�
�
�
*
� . Qual é a taxa de variação da distância
entre os barcos às �
	
� e �
�
���
� ?
52. A frequência da vibração da corda de um violino é dada por
��fi
�
�
�
	
�
	
onde � é o comprimento da corda,
	
é a tensão sobre a corda e � é densidade linear de
massa da corda. Determine a taxa de varição de � em relação a � (com
	
e � constantes);
a taxa de varição de � em relação a
	
(com � e � constantes); a taxa de varição de � em
relação a � (com � e
	
constantes) e interprete os resultados.
Capítulo 5
APLICAÇÕES DA DERIVADA
5.1 Variação de Funções
Definição 5.1. Seja � uma função e ' � 
 	 � � � � ! .
1. � possui um ponto de máximo relativo ou de máximo local no ponto ' � , se existe um pequeno
intervalo aberto � que contem ' � tal que:
� � '
�
! � � � ' ! 	 para todo '-
 � � 	 � � � � !
A imagem de ' � , � � ' � ! , é chamada valor máximo local de � .
2. � possui um ponto de mínimo relativo ou de mínimo local no ponto ' � , se existe um pequeno
intervalo aberto � que contem ' � tal que:
� � '5!�� � � '
�
! 	 para todo '-
 � � 	 � � � � !
A imagem de ' � , � � ' � ! , é chamada valor mínimo local de � .
Max
Min
Figura 5.1: Pontos de mínimo e máximo.
Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo é chamado ponto extremo.
191
192 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exemplo 5.1.
[1] Seja � � '5! fi � � �$� ' ! , ' 
�� ; ' � fi �
�
é um ponto de máximo relativo, pois � � �$� ' ! � � para
todo '�
)� e � �
� ! fi
� ; ' � fi � �
�
é um ponto de mínimo relativo, pois � � �$� ' ! � � � , para todo
'-
�� e � � �
� ! fi �
� . Observe que ' � fi � �
�
�
�
 , para todo
�
�� , são também pontos extremos
de � . De fato :
�
�
�$�
	
�
�
�
 ! fi �
���
� �
�
 !$fi � �
�
!
�
� �
0
[2] Seja � � '5! fi '�� , ')
�� ; ' � fi � é um ponto de mínimo relativo, pois ' � ��� para todo '-
�� e
� � � ! fi � . Na verdade ' � fi � é o único ponto extremo de � .
[3] Seja � � ' !�fi � ' � , '�
)� ; ' � fi&� é um ponto de mínimo relativo, pois � ' � � � para todo '7
)�
e � � � ! fi � . Como no exemplo anterior, ' � fi � é o único ponto extremo de � .
[4] Seja � � '5! fi ' , ' 
�� . � não possui pontos de máximo ou mínimo relativos em � . Se � é
restrita ao intervalo � � � 	 �
�
, então � possui o ponto ' � fi � de máximo relativo. Se � é restrita ao
intervalo 2 � 	
�
3 , então � possui o ponto ' � fi
�
de máximo relativo e o ponto ' � fi � de mínimo
relativo. Se � é restrita ao intervalo � � 	 � ! , então � não possui pontos de máximo relativo ou de
mínimo relativo.
Estes exemplos nos indicam a importância dos domínios das funções quando queremos deter-
minar pontos extremos.
Proposição 5.1. Se � é uma função derivável no intervalo � �
	��"! e ' � 
 � ��	��"! é um extremo relativo de
� , então �
�
� '
�
! fi � .
A proposição nos indica que num ponto de máximo ou de mínimo relativo de uma função
� , a reta tangente ao gráfico de � nesses pontos é paralela ao eixo dos ' . Para a prova veja o
apêndice.
Figura 5.2:
A proposição não garante a existência de pontos extremos; por exemplo: � � ' !�fi ' � é uma
função derivável em � e �
�
� ' ! fi
	
'�� ; logo �
�
� � ! fi � , mas ' � fi � não é ponto de máximo nem
de mínimo relativo de � ; de fato, � � � � ! � � � � !�� � � � ! . A proposição nos dá uma condição
necessária para que um ponto seja extremo.
5.1. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES 193
Definição 5.2. Seja � uma função derivável no ponto ' � 
 	 � � � � ! . Se �
�
� '
�
! fi � , ' � é chamado
ponto crítico de � .
Pela proposição anterior, todo ponto extremo é ponto crítico. A recíproca é falsa. (Veja exemplo
anterior).
Exemplo 5.2.
[1] Calcule os pontos críticos de � � ' ! fi � � �$� ' ! . Para calcular os pontos críticos da função � ,
devemos resolver a equação: �
�
� ' ! fi � , ou seja, ��� � � '5! fi � . Então, os pontos '�fi �
�
�
�
 , onde
�
� , são os pontos críticos.
[2] Seja � � '5! fi ' � ; resolvemos �
�
� '5! fi
	
'�� fiffi� ; então '�fiffi� é o único ponto crítico de � .
[3] Seja � � ' ! fi ' � �
	
' ; resolvemos �
�
� '5! fi
	
'�� �
	
fi � ; então, ')fi � e ')fi � � são os pontos
críticos de � .
-1 1
Figura 5.3: Pontos críticos de � � ' ! fi ' � �
	
' .
Na verdade um ponto "candidato"a máximo ou mínimo relativo de uma função derivável �
sempre deve satisfazer à equação:
�
�
� ' ! fiffi�
Mais adiante saberemos
descartar dos pontos críticos, aqueles que não são extremais.
Definição 5.3.
1. O ponto onde uma função atinge o maior valor (se existe) é chamado máximo absoluto da função.
O ponto ' � é de máximo absoluto de � quando para todo ')
 	 � � � � ! , tem-se � � ' � !�� � � ' ! .
2. O ponto onde uma função atinge o menor valor (se existe) é chamado mínimo absoluto da função.
O ponto ' � é de mínimo absoluto de � quando para todo ')
 	 � � � � ! , tem-se � � ' � ! � � � ' ! .
Um ponto de máximo absoluto é um ponto de máximo local. A recíproca é falsa; analogamente
para mínimo absoluto.
194 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
min. abs
max. abs
min. local
max. local
max. local min. local
Figura 5.4: Pontos de máximos e mínimos
Exemplo 5.3.
[1] Seja � � ' !�fi
�
' tal que '7
 2 � 	
�
3 . O ponto ' � fi
�
é um ponto de máximo absoluto de � . De
fato: � � '5! � � �
�
! fi � , para todo ' 
 2 � 	
�
3 e ' � fi � é um ponto de mínimo absoluto de � , pois
� � ' ! � � � � ! fi � , para todo ' 
 2 � 	
�
3 . Se � é definida em � � 	
�
! , � não possui máximos nem
mínimos.
[2] Seja � � ' ! fi '�� tal que 'ffi
&2 � � 	
�
3 . ' � fi � � e ' � fi
�
são pontos de máximos locais, mas
'
�
fi
�
é máximo absoluto de � , pois � � '5! � � �
�
! fi � , para todo ' 
 2 � � 	
�
3 e ' � fi � é um
mínimo absoluto de � , pois � � ' !�� � � � ! fiffi� , para todo '-
 2 � 	
�
3 .
O teorema seguinte, devido a Weierstrass, garante a existência de pontos extremos de uma
função, sem a hipótese de que a função seja derivável. A prova deste teorema será omitida.
Para mais detalhes veja a bibliografia avançada.
Teorema 5.1. (Weierstrass)
Seja ���
2 ��	���3 � � � contínua. Então existem ' � e '
�
em 2 �
	���3 tais que:
� � ' � !�� � � '5!�� � � '
�
! 	 para todo '-
 2 �
	���3 0
No teorema as hipóteses de que o domínio seja um intervalo do tipo 2 ��	��43 e de que a função
seja contínua são condições essenciais. De fato, a função contínua � � ' ! fi ' não possui pontos
de máximo nem de mínimo em qualquer intervalo aberto. A função descontínua � � ' ! fi �
�
se
' �fiffi� e � � � ! fiffi� , não possui ponto de máximo nem de mínimo no intervalo 2 � � 	 � 3 .
Teorema 5.2. (Rolle)
Seja � � 2 �
	���3$��� � contínua, derivável em � �
	��"! e tal que � � ��! fi � � �"! . Então, existe pelo menos um
'
�
 � �
	��"! tal que �
�
� '
�
!$fi � .
Prova: Se � é uma função constante, então para todo ' 
 � ��	��"! , �
�
� '5!�fi � . Se � não é
constante, então, pelo Teorema de Weierstrass, possui pontos extremos. Suponha que ' � é
ponto de máximo; então ' � 
 � �
	��"! , pois, caso contrário, por exemplo se ' � fi � , teríamos:
� � ��!�� � � '
�
! fi � � �"! . Mas pela hipótese, � � ��! fi � � �"! e � seria constante; logo, ' � 
 � �
	��"! .
Analogamente se ' � é ponto de mínimo. Portanto, �
�
� '
�
! fi � .
5.1. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES 195
Figura 5.5: Teorema de Rolle.
Aplicação: Seja � � ' ! fi '
�
� ' �
�
!
�
uma função definida no intervalo 2 � 	 � 3 ; � 	 � 
 � . Verifique-
mos que existe um único ponto que divide o intervalo 2 � 	 � 3 na razão
�
�
. A função é contínua
em 2 � 	 � 3 e derivável em � � 	 � ! ; pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um ' � 
�� � 	 � ! tal que
�
�
� '
�
!�fi � . Por outro lado, �
�
� '5! fi '
�
�
�
� '��
�
!
� �
�
�
�
� '��
�
!
�
� ' ! . �
�
� '
�
! fi&� é equivalente
a � � ' � � � ! � � ' � fi � , donde, ' � fi
�
�
�
�
. O ponto ' � divide o intervalo 2 � 	 � 3 em segmentos
de comprimentos ' � e � ��' � ; logo:
'
�
�
�7'
�
fi
�
�
0
Teorema 5.3. (do Valor Médio)
Seja � � 2 �
	���3 � � � contínua e derivável em � ��	��"! . Então existe pelo menos um ' � 
 � �
	��"! tal que:
�
�
� '
�
! fi
� � �"! � � � ��!
� ���
Em outras palavras, existe um ponto no gráfico de � , onde a reta tangente nesse ponto é paralela
à reta secante que liga � ��	 � � � ! ! e � � 	 � � �"! ! . Para a prova do teorema, veja o apêndice.
ba
f(b)
f(a)
x0
Figura 5.6: Teorema do Valor Médio.
196 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
Sabemos que uma função constante tem derivada nula. O Teorema do Valor Médio nos fornece
a recíproca desta propriedade, como veremos a seguir.
Corolário 5.4.
1. Seja � uma função contínua em 2 ��	��43 e derivável em � ��	��#! . Se �
�
� ' ! fi � para todo ' 
 � ��	��#! ,
então � é constante.
2. Sejam � e � funções contínuas em 2 ��	���3 e deriváveis em � ��	��"! . Se �
�
� ' !�fi �
�
� '5! para todo
')
 � ��	��#! , então � � '5! fi � � ' ! �
�
, onde
�
é uma constante.
1. De fato. Sejam ' �(	�'
�
 2 ��	���3 ; suponha que '�� � '
�
. Pelo Teorema do Valor Médio, temos
que existe ' � 
 � ' � 	 '
�
! tal que �
�
� '
�
!#� '
�
��'
�
!$fi � � '
�
! � � � '
�
! . Como, por hipótese, �
�
� ' !$fi �
para todo ' , então � � ' � ! fi � � '
�
! . Como '�� e '
�
são arbitrários, temos que � é constante.
Para 2, basta considerar � � ' !+fi � � ' ! � � � ' ! e aplicar 1.
Exemplo 5.4.
[1] Suponhamos que um carro percorre uma distância de � � �
�
� em
�
horas. Denotando por
��fi � � �4! a distância percorrida pelo carro após � horas, a velocidade média durante esse período
de tempo é:
� �
�
! � � � � !
�
� �
fi
� �
� �7�
�
fi � �
�
�
*
�
0
Do Teorema do Valor Médio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de �
�
� �
�
!-fi
� �
�
�
*
� pelo menos uma vez nesse período de tempo.
[2] Seja � � ' !$fi � '�� �7' � definida em 2 � 	 � 3 . Determine ' � 
 � � 	 �1! tal que �
�
� '
�
! fi � .
Usamos o Teorema de Rolle ( � é contínua em 2 � 	 � 3 e derivável em � � 	 �1! ); � � � ! fi � � �1!fffi � ;
então, existe ' � 
�� � 	 �1! tal que �
�
� '
�
! fi � ; mas �
�
� ' ! fi
�
�
'��
	
'�� . �
�
� '
�
! fi � é equivalente a
	
'
�
� � �7'
�
! fi � ; logo, ' � fi � ou ' � fi � ; mas, somente � 
 � � 	 �1! .
[3] Seja � � ' ! fi ' � �
�
'��
��� definida em 2 � 	
	
3 . Determinar ' � 
 � � 	
	
! tal que a reta tangente ao
gráfico de � no ponto � ' � 	 � � ' � ! ! seja paralela à secante que liga os pontos � � 	 � � � ! ! e �
	
	 � �
	
! ! .
Usamos o Teorema do Valor Médio ( � é contínua em 2 � 	
	
3 e derivável em � � 	
	
! ); então existe
'
�
 � � 	
	
! , tal que:
�
�
� '
�
! fi
� �
	
! � � � � !
	
���
fi
�
 0
Mas �
�
� ' ! fi
	
'��
�
� ' ; logo, temos
	
'��
�
�
� '
�
fi
�
 ; resolvendo a equação, temos que ' � fi
	
ou ' � fi �
	
; mas, somente
	
�� � 	
	
! .
5.2. FUNÇÕES MONÓTONAS 197
Figura 5.7: .
[4] Verifique que � � � �$� � ! � � � �$� � ! � � � �-� � � ; para todo � 	 � 
�� .
Se �&fi � é evidente. Suponha � � � ; definamos a função � � ' ! fi � � �$� ' ! . Pelo Teorema do
Valor Médio, existe ' � 
 � � 	�� ! tal que �
�
� '
�
!$fi
� � � ! � � � � !
� � �
; logo:
���
� � '
�
! fi
�
�
�$� � ! � �
�
�$� � !
�-� �
�
sabendo que � ��� � � ' � ! � � � , obtemos o resultado.
5.2 Funções Monótonas
Seja �flfi � � ' ! uma função definida num domínio 	 .
Definição 5.4.
1. � é crescente em 	 se para todo ' � 	�'�� 
 	 com ' � � ' �"	 tem-se � � ' � ! � � � '���! .
2. � é decrescente em 	 , se para todo ' � 	 '�� 
 	 com ' � � '�� , tem-se � � ' � ! � � � '�� ! .
3. Em ambos os casos, � é dita monótona.
Figura 5.8: Funções crescente e decrescente, respectivamente.
198 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exemplo 5.5.
[1] Seja � fi�� � ' ! fi
�
'
; 	 fi � � %/� . .
Sejam ' � 	�' � 
 	 tal que ' � � '�� ; então:
�
' �
�
�
'
�
. Logo, � � '�� !�� � � ' � ! e � é monótona
decrescente.
[2] Seja � fi�� � ' ! fi
�
' ; 	 fi 2 � 	 � � ! .
Sejam ' � 	�' � 
 	 tal que ' � � ' � ; então:
�
'
�
�
�
' � . Logo, � � ' � !fl� � � ' � ! e � é monótona
crescente.
[3] Seja � fi�� � ' ! fi '�� ; 	 fi � .
Sejam ' � 	�' � 
 	 tal que ' � � ' � ; então: ' �� � ' �
�
, se �7� ' � e �7� ' � e ' �
�
� '
�
� , se ' � � � e
' � � � . Logo, � � ' � !�� � � '�� ! em 2 � � � ! e � � '�� !�� � � ' � ! em � � � 	4� ! ; � é monótona crescente
em � � 	 � � ! e monótona decrescente em � � � 	4� ! .
O exemplo anterior nos mostra que, em geral, uma função pode ter partes do domínio onde é
crescente e partes onde é decrescente.
Proposição 5.2. Seja � uma função contínua em 2 �
	���3 e derivável em � ��	��#! .
1. Se �
�
� ' ! ��� para todo '-
 � �
	��"! , então � é crescente em 2 �
	���3 .
2. Se �
�
� ' ! ��� para todo '-
 � �
	��"! , então � é decrescente em 2 �
	���3 .
Figura 5.9:
Prova: 1. Sejam ' � 	�' � 
 � ��	��#! tal que ' � � ' � ; como � é contínua em 2 ' � 	 ' � 3 e derivável em
� '
�
	 '�� ! , pelo Teorema do Valor Médio, existe '-
 � ' � 	 '�� ! tal que � � '�� ! � � � ' � ! fi �
�
� '5! � ' � � '
�
! .
Como �
�
� ' ! ��� para todo '-
 � ��	��"! , temos que � � ' � !�� � � ' � ! .
A prova de 2 é análoga.
Exemplo 5.6.
[1] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de � � '5! fi ' � ��� .
Derivando � temos �
�
� ' !$fi
�
' ; logo, �
�
� '5! ��� se, e somente se ' ��� e �
�
� ' ! ��� se, e somente
se '-��� . Logo, � é crescente em � � 	 � � ! e decrescente em � � � 	4� ! ; note que �
�
� � !$fi � .
5.2. FUNÇÕES MONÓTONAS 199
[2] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de � � '5! fi ' � �
	
'
��� .
Derivando � temos �
�
� ' !$fi
	
'��+�
	
fi
	
� '
� �
! � ' �
�
! ; logo, �
�
� '5! fi � se, e somente se '�fi � � .
Logo, � é crescente em � � � 	(� � ! � � � 	 � � ! e decrescente em � � � 	 � ! .
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
Figura 5.10: Gráfico de � � ' ! fi '�� �
	
'
� � .
[3] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de � � '5! fi ' �
�
'
.
Derivando � temos �
�
� ' ! fi
� '
� �
!#� '��
�
!
'
�
; logo, �
�
� ' !$fi � se, e somente se '�fi�� � .
Intervalos � '�� � ! � ' � � ! � � '5!
� � ')�
�
��� decrescente
�
�
� ')��� ��� decrescente
')�
�
��� crescente
' �ffi�
�
��� crescente
� é crescente em � � � 	(� � ! ��� � 	 � � ! e decrescente em � � � 	4� ! �7� � 	 � ! .
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
Figura 5.11: Gráfico de � � ' ! fi ' �
�
'
[4] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de � � '5! fi
'
�
�
�
'��
	
�7'
�
�
 .
Derivando � temos �
�
� ' ! fi '
�
� '�� �
�
' fi ' � '��
�
! � '
� �
! ; logo, �
�
� ' ! fi � se, e somente se
'�fi � , '�fi
�
e '�fi � � .
200 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
Intervalos ' � '��
�
! � '
���
! � � '5!
�
�
� ')��� ��� crescente
� � ')�
�
��� decrescente
')�
�
��� crescente
' � �
�
��� decrescente
� é crescente em � � � 	4� ! �7�
�
	
�
�
! e decrescente em � � 	
�
! � � �
�
	(�
�
! .
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
6
7
Figura 5.12: Gráfico de � � ' ! fi
'
�
�
�
'
�
	
�7'
�
�
[5] A função � � � !�fi � � ���
�
(
�
�fi � ) é crescente se
�
� � e decrescente se
�
� � , o que justifica
seu nome.
[6] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variação da temperatura
	
fi
	
� � ! de um
corpo é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente
�
(constante) e a temperatura
	
fi
	
� � ! , isto é:
�
	
�
�
fi
�
�
�
�
	
� � ! ! 	 �
�
��� ! 0
Se
	
�
�
, então
�
	
�
�
� � , de modo que a temperatura
	
fi
	
� �4! é decrescente. Logo, se a
temperatura do corpo é maior que a do ambiente, o corpo está resfriando.
Se
	
�
�
, então
�
	
�
�
� � , de modo que a temperatura
	
fi
	
� �4! é crescente. Logo, se a
temperatura do corpo é menor que a do ambiente, o corpo está esquentando.
Se
	
fi
�
, então
�
	
�
�
fiffi� , de modo que a temperatura
	
é constante.
[7] Crescimento populacional inibido: Considere uma colônia de coelhos com população inicial
�
� numa ilha sem predadores. Seja � fi ��� � ! a população no instante � . Estudos ecológicos
mostram que a ilha pode suportar uma quantidade máxima de � � indivíduos. Sabemos que
este fenômeno é modelado pela função logística que satisfaz à equação:
�
�
�
�
fi
�
� � � �$� � ! 	 �
�
��� ! 0
Se � � � � , então
�
�
�
�
��� , de modo que a população � fi � � �4! cresce.
5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 201
Se � � � � , então
�
�
�
�
��� , de modo que a população � fi � � �4! decresce.
Se � � fi � , então
�
�
�
�
fiffi� , de modo que a população � fi � � �4! fica estável.
5.3 Determinação de Máximos e Mínimos
Teorema 5.5. Seja � uma função contínua em 2 ��	��43 e derivável em � ��	��#! , exceto possivelmente num
ponto ' � .
1. Se �
�
� ' ! ��� para todo ' � ' � e �
�
� '5! ��� para todo '-� ' � , então ' � é ponto de máximo de � .
f’(x )
< 0> 0
0
0
−
f’(x)
=0
x
f’(x)
+
Figura 5.13: Máximo local.
2. Se �
�
� ' ! ��� para todo ' � ' � e �
�
� '5! ��� para todo '-� ' � , então ' � é ponto de mínimo de � .
f’(x)
− +
> 0
f’(x ) x0
f’(x) < 0
0 =0
Figura 5.14: Mínimo local.
Prova: 1. Se �
�
� ' ! � � para todo ' �&' � e �
�
� '5! �&� para todo ' � ' � , então � é crescente em
� ��	 '
�
! e decrescente em � ' � 	��"! ; logo, � � '5!�� � � ' � ! para todo ' �fi ' � .
A prova de 2. é análoga.
202 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
Do teorema 5.5 segue que num ponto de máximo ou de mínimo de uma função contínua nem
sempre existe derivada.
Exemplo 5.7.
[1] Seja � � ' !�fi � ' � , definida em � ; claramente ' � fi � é um ponto de mínimo de � , mas �
�
� � !
não existe. De fato. Para todo ' �fi � , tem-se:
�
�
� '5! fi
ff
� se ')���
�
� se ')��� 0
[2] � � ' ! fi ' � . O ponto crítico é a solução da equação �
�
� '
�
! fi � ou, equivalentemente,
	
'ff�
�
fi � ;
então, ' � fi&� . Por outro lado, �
�
� '5! fi
	
'�� �ffi� , se '��fi � ; logo, ' � fi � não é ponto de máximo
nem de mínimo de � .
[3] � � '5! fi ' � �
	
'
� � . As soluções da equação �
�
� '
�
! fi � são ' � fi � e ' � fi � � . Do exemplo 2
do parágrafo anterior, �
�
� ' ! ��� , se ')
 � � � 	(� � ! �7� � 	 � � ! e �
�
� '5! ��� , se '-
 � � � 	 � ! :
− − +
−1
+
1
Figura 5.15: Esquematicamente
Então, ' � fi � � é ponto de máximo e ' � fi � é ponto de mínimo de � .
-2 -1 1 2
-1
1
Figura 5.16: Gráfico de � � '5! fi '�� �
	
'
��� .
[4] � � '5! fi � �
�
� '
�
, '-
�� . � não é derivável em � .
De fato, �
�
� '5!$fi �
�
�
�
�
�
se ' �fi � . Por outro lado, �
�
� ' ! ��� se ')� � e �
�
� ' ! ��� se ')� � . Então,
'�fiffi� é ponto de máximo e � � � ! fi � é o valor máximo.
-2 -1 1 2
-0.5
0.5
1.0
Figura 5.17: Gráfico de � � ' ! fi � ��' � � � .
5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 203
Teorema 5.6. Seja � uma função duas vezes derivável e ' � um ponto crítico de � . Se:
1. �
� �
� '
�
! ��� , então ' � é um ponto de mínimo relativo de � .
2. �
� �
� '
�
! ��� , então ' � é um ponto de máximo relativo de � .
Prova: 1. Como �
�
�
'
�
! fi � e:
�fl� �
� �
� '
�
! fi
���
�
�	� �
�
�
�
� '5!
'ff�7'
�
	
então existe
�
� � tal que:
�
�
� � �
��� �
�
��� , para todo 'ffi
 � ' � �
�
	 '
�
�
�
! (veja o apêndice); então,
�
�
� ' !�� � , se ' � ' � e �
�
� '5! � � , se ' � � ' . Pelo teorema 5.5, temos que ' � é um ponto de
mínimo local de � .
2. A prova é análoga.
Dos teoremas 5.5 e 5.6 temos que os candidatos a pontos de máximos e mínimos são não só
pontos críticos, mas também, podem ser os pontos do domínio onde a função não é derivável.
No caso em que o domínio de � é um intervalo do tipo 2 ��	��43 , após determinar os pontos de má-
ximo e de mínimo no intervalo � �
	��"! , devemos calcular os valores da função nos extremos do
intervalo e comparar estes valores com os valores máximos e mínimos obtidos anteriormen-
te nos pontos críticos; o maior valor corresponderá ao máximo absoluto e o menor valor ao
mínimo absoluto da função e os pontos correspondentes serão, respectivamente, os pontos de
máximo e de mínimo absolutos.
No caso em que �
� �
� '
�
!�fi � , o teorema 5.6 não afirma nada; quando acontecer isto, recomen-
damos usar o teorema 5.5.
Exemplo 5.8.
[1] Calcule os pontos extremos de � � ' !7fi �+' � � ��' ��� ; �
	
� 	 � 
 � e � �fi � . Como � é
diferenciav´el em todo ponto, calculemos os pontos críticos de � . �
�
� ' ! fi
�
�+'
�
� e �
�
� ' ! fi � ,
se, e somente, se: '�fi �
�
�
�
que é o ponto crítico de � . �
� �
� ' !$fi
�
� ; então,
�
� �
� '5!���� se �����
�
� �
� '5!���� se ����� 0
Logo, o vértice '�fi �
�
�
�
é um ponto de máximo absoluto de � se ����� e um ponto de mínimo
absoluto se ����� .
[2] Calcule os pontos extremos de � � ' ! fi
'
�
�
�
'
�
�
�
�
se '-
 2 �
�
	
�
3 .
Como � é diferenciav´el em todo ponto, calculemos os pontos críticos de � :
�
�
� '5! fi
'
�
�
	
'�� � � !
�
0
204 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
�
�
� ' ! fi � se, e somente, se: '�fi � , ' fi �
�
�
	 e ' fi
�
�
	 , que são os pontos críticos de � . A
segunda derivada:
�
� �
� ' !$fi
	
'��
�
� 
 '
�
� � !$fi � �
� �
� �
�
�
	
� ��� e �
� �
�
�
�
	
� � � �
logo, ' fi �
�
�
	 e ' fi
�
�
	 são pontos de mínimo relativo de � . Como �
� �
� � !�fi � utilizamos o
teorema 5.5: �
�
� ' ! � � se �
�
�
	
� ' � � e �
�
� ' !fl� � se � � ' �
�
�
	 ; logo, ' fi � é ponto de
máximo relativo de � . Por outro lado � �
�
! fi � � �
�
! fi
�
� , � � � ! fi
�
e ���	�
�
�
	
��fi
���
�
� ; logo,
�
�
e
�
são pontos de máximo absolutos, �
�
�
	 e
�
�
	 são pontos de mínimo absolutos. Veja o
desenho:
-2 -1 1 2
2
4
Figura 5.18: Gráfico de � � ' ! fi
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
[3] Calcule os pontos extremos de � � ' ! fi � 'ff�
	
'
�
�
�
�
�
.
Calculemos os pontos críticos de � :
�
�
� ' ! fi ��� � '
�
	
'
�
�
fi
	
� '��
�
!
�
�
0
Logo, �
�
� ' !�fi � se, e somente se, ' fi
�
, que é o ponto crítico de � . Calculando a segunda
derivada de � :
�
� �
� ' ! fi
	
'�� � fi
	
� 'ff�
�
! 0
Então �
� �
�
�
! fiffi� e o teorema 5.6 não pode ser aplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisar
a mudança do sinal da primeira derivada de � . Como �
�
� ' ! � � , então � é sempre crescente;
logo, no ponto ' fi
�
não muda o sinal da primeira derivada de � ; portanto ' fi
�
não é ponto
de máximo nem de mínimo relativo de � . Veja o desenho:
5.3. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS 205
1 2 3 4
2
4
Figura 5.19: Gráfico de � � ' ! fi � 'ff�
	
'��
�
�
�
�
.
[4] Calcule os pontos extremos de � � ' ! fi '
�
�
�
�
�
�
�
.
Calculemos os pontos críticos de � ; então, �
�
� ' ! fi � '
�
� '-�fi� ! . Logo, �
�
� ' ! fi � se '�fi � ou
' fi � . Calculando a segunda derivada de � : �
� �
� '5! fi
�
�
'�� �
	
�
' fi � ' �
	
' �
�
! . Então
�
� �
� � ! � � ; logo, ' fi � é ponto de mínimo relativo de � . �
� �
� � ! fi � e o teorema não pode ser
aplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisar a mudança do sinal de �
�
. Como �
�
� '5! � �
para todo '-
 2 � � 	 � 3 , então '�fi � não é ponto de máximo nem de mínimo. Veja o desenho:
4
Figura 5.20: Gráfico de � � ' ! fi fi '
�
�
�
�
�
�
�
.
[5] Calcule os pontos extremos de � � ' ! fi � � �$�
�
'5! �
�
�
�
�$� ' ! , � 
7� '-� 
 .
Calculemos os pontos críticos de � em � ��
 	 
 ! . Derivando,
�
�
� '5! fi
�
���
� �
�
'5! �
�
���
� � ' ! fi
�
�
�
���
�
�
� '5! �
���
� � '5! �
�
��fi � �
���
� � '5! �
�
���
���
� � ' !
�
�
�
�,0
Então, os pontos críticos são '�fi � , '�fi �
�
	 e '�fi � �
�
. Calculando a segunda derivada de
� : �
� �
� '5!�fi � � �
�
�$�
�
' !
�
�
�
�
�$� ' ! . �
� �
�
�
�
	
�
� � e �
� �
�
�
	
�
� � ; logo, ' fi �
�
	 é ponto de
máximo relativo e ' fi
�
	 é ponto de mínimo relativo de � . Por outro lado, �
� �
� � !flfi � , e o
teorema não pode ser aplicado; mas, usamos o teorema A para analisar a mudança do sinal de
�
�
. Como �
�
� '5! � � para todo ' pertencente a um intervalo de centro � contido em
�
�
�
	
	 
�
,
como, por exemplo, � �
�
�
	
�
�
�
, então '�fi � não é ponto de máximo nem de mínimo. Por outro
206 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
lado � � � 
 ! fi � ; logo,
�
	 é ponto de mínimo absoluto e �
�
	 é ponto máximo absoluto. Veja
o desenho:
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
Figura 5.21: Gráfico de � � ' ! fi � � �$�
�
'5! �
�
�
�
�$� '5! , ��
7� '-��
 .
5.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções
Seja � fi � � ' ! uma função derivável em 	 , onde 	 é um intervalo aberto ou uma reunião de
intervalos abertos.
Definição 5.5.
1. � é dita côncava para cima em 	 se �
�
� '5! é crescente em 	 .
2. � é dita côncava para baixo em 	 se �
�
� '5! é decrescente em 	 .
Intuitivamente, quando um ponto se desloca ao longo do gráfico de uma função � , da esquerda
para a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido anti-horário, isto significa
que o coeficiente angular dessa reta tangente cresce à medida que ' aumenta. Neste caso a
função tem a concavidade voltada para cima.
Figura 5.22: Função côncava para cima.
Analogamente, quando um ponto se desloca ao longo do gráfico de uma função � , da esquerda
para a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido horário, isto significa que o
coeficiente angular dessa reta tangente decresce à medida que ' aumenta. Neste caso a função
tem a concavidade voltada para baixo.
5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO DE FUNÇÕES 207
Figura 5.23: Função côncava para baixo.
Não confundir concavidade com crescimento ou decrescimento de uma função. No desenho a
seguir, o gráfico de uma função crescente e côncava para cima e o de uma função decrescente e
côncava para cima, respectivamente.
Figura 5.24:
No desenho abaixo, o gráfico de uma função crescente e côncava para baixo e o de uma função
decrescente e côncava para baixo, respectivamente.
Figura 5.25:
Proposição 5.3. Seja �flfi � � ' ! uma função duas vezes derivável em 	 .
1. Se �
� �
� ' ! ��� para todo ')
 	 , então � é côncava para cima em 	 .
2. Se �
� �
� ' ! ��� para todo ')
 	 , então �
é côncava para baixo em 	 .
208 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
A prova segue diretamente das definições.
Exemplo 5.9.
Considere a função � � '5! fi '
�
�7' � .
[1] Determine, onde � é côncava para cima.
[2] Determine, onde � é côncava para baixo.
Calculando a segunda derivada:
�
� �
� ' ! fi
�
� � '
�
�
�
! 0
Logo, �
� �
� ' !�� � se ' 
 � � � 	(� ��
�
! �7�
�
�
�
	
�
�
! e �
� �
� ' !�� � se ' 
 � �
�
�
�
	
�
�
�
! . Então, � é
côncava para cima em � � � 	(�
�
�
�
! �7�
�
�
�
	
�
�
! . � é côncava para baixo em � �
�
�
�
	
�
�
�
! .
-0.5 0.5
-2
1
Figura 5.26: Gráficos de �
�
(vermelho) e �
� �
(azul).
Definição 5.6. Um ponto � ' � 	 � � ' � ! ! do gráfico de uma função � é um ponto de inflexão de � , se existe
um pequeno intervalo � ��	��"! � 	 tal que ' � 
 � �
	��"! e:
1. � é côncava para cima em � �
	 ' � ! e côncava para baixo em � ' � 	��"! , ou
2. � é côncava para baixo em � ��	 ' � ! e côncava para cima em � ' � 	��"! .
Se a função é duas vezes derivável, para obter os pontos ' � , candidatos a pontos de inflexão,
resolvemos a equação:
�
� �
� ' ! fi �
e estudamos o sinal de �
� �
� '5! para ' � ' � e ' � ' � ( ' � solução da equação). �
� �
� '
�
! fi � não
implica em que ' � seja abscissa de um ponto de inflexão; de fato, � � ' ! fi '
�
, �
� �
� ' ! fi
�
�
'�� ;
logo, �
� �
� ' !�fi � se '�fi � e ' fi � é um ponto de mínimo (verifique!). Note que se �
� �
� '
�
!�fi �
e �
�
�
�
� '
�
! �fi � , então, ' � é um ponto de inflexão. Num ponto de inflexão, não necessariamente
existe a segunda derivada da função. De fato, seja � � ' ! fi ' � ' � ; se ' �ffi� temos �
� �
� ' ! fi
�
e se
'�� � temos �
� �
� ' ! fi �
�
; então, � é um ponto de inflexão e �
� �
� � ! não existe. Como exercício
esboce o gráfico de � .
5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO DE FUNÇÕES 209
Exemplo 5.10.
[1] Seja � � ' !+fi '�� ; então: �
� �
� '5!+fi�� ' . Por outro lado, �
� �
� '5! � � se '�� � e �
� �
� ' ! � � se '�� � ;
logo, ' � fi � é ponto de inflexão de � .
[2] Seja � � '5! fi '
�
� '�� ; então: �
� �
� '5! fi
�
� � '�� �
�
! 0
�
� �
� ' ! ��� se '-
 � � � 	(�
�
�
�
� � �
�
�
�
	
�
�
�
�
� �
� ' ! ��� se '-
 � �
�
�
�
	
�
�
�
� 0
Então '�fi
�
�
�
e '�fi �
�
�
�
são os pontos de inflexão de � .
-1.0 -0.5 0.5 1.0
Figura 5.27: Gráfico de � � '5! fi '
�
�7'�� .
[3] Seja � � '5! fi � � �$�
�
' ! �
�
�
�
�$� ' ! , ��
7��'-� 
 ; então:
�
� �
� '5! fi
�
���
�
�$� ' ! �
�
�
�
�$�
�
'5! ��fi �
�
�
�
�$� ' ! � �
���
� � ' ! �
�
�
�
� �
� '5! ��� se '-
 � ��� � � ��� ���
�
�
� 	4� � ��� � �
� ���
���
�
�
� 	 
 �10
�
� �
� '5! ��� se '-
 � ��
 	(� � � � ��� � �
�
�
� �
�
�
� 	4� �
� ���
�
�
�
�
� �
0
Então '�fi � , '�fi � � � � ��� � �
�
�
! e '�fiffi� � � ��� � �
�
�
! são os pontos de inflexão de � .
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
Figura 5.28: Gráfico de � � ' ! fi � � �$�
�
' ! �
�
�
�
�$� '5! , ��
7� ')� 
 .
210 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
5.5 Esboço do Gráfico de Funções
Para obter o esboço do gráfico de uma função, siga os seguintes passos:
a) Determine o 	 � � � � ! .
b) Calcule os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados.
c) Calcule os pontos críticos.
d) Determine se existem pontos de máximo e mínimo.
e) Estude a concavidade e determine os pontos de inflexão.
f) Determine se a curva possui assíntotas.
g) Esboço.
Exemplo 5.11.
Esboce o gráfico das seguinte funções:
[1] � fi � � '5! fi � ' � � � ! � .
a) 	 � � � � ! fi � .
b) Interseções com os eixos coordenados: Se ' fi � , então ��fi � � e se � fi � , então ' � � ; a
curva passa pelos pontos � � 	4� ! , � � � 	4� ! e � � 	(� � ! .
c) Pontos críticos de � : �
�
� '5! fi � ' � '
�
�
�
!
� ; logo, resolvendo a equação �
�
� ' ! fi � , obtemos
'�fiffi� , '�fi � e '�fi � � , que são os pontos críticos de � .
d) Máximos e mínimos relativos de � : �
� �
� '5! fi�� � '�� �
�
! � 
 '�� �
�
! . Logo, �
� �
� � ! ��� e � é ponto
de mínimo relativo de � . �
� �
� �
�
! fi � e o teorema 5.6 não pode ser aplicado; mas, usamos o
teorema 5.5 para analisar a mudança do sinal da primeira derivada de � .
�
�
� ' ! � � para todo '7� � ; então '-fi � � não é ponto extremo de � . �
�
� ' ! � � para todo '7� � ;
então '�fi � não é ponto extremo de � .
e) Estudemos a concavidade de � : �
� �
� ' !�fi � � '
�
�
�
! � 
 '
�
�
�
!�fi � implica em ' fi � � e
'�fi��
�
�
�
.
�
� �
� ' ! ��� se ')
�
fi � �
�
	(�
�
! � � �
�
	
�
! � �
�
	
�
�
! 0
�
� �
� ' ! ��� se ')
 � fi � � � 	(�
�
! � �
�
	
�
! 0
� é côncava para cima em
�
e côncava para baixo em � . As abscissas dos pontos de inflexão
de � são '�fi � � e '�fi �
�
�
�
.
f) A curva não possui assíntotas.
5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES 211
g) Esboço do gráfico: O gráfico de � passa pelos pontos � � 	4� ! , � � � 	4� ! e � � 	(� � ! , onde � � 	(� � ! é
o ponto de mínimo de � .
-1 1
-1
1
Figura 5.29: Gráfico de � fi � ' � � � ! � .
[2] � fi � � '5! fi
�
�
�$� ' !
�
�fi���
� � ' !
, ��
7��'-� 
 .
a) 	 � � � � ! fi 2 ��
 	 
 3 .
b) Interseções com os eixos coordenados: se �flfi � , então � � �$� ' ! fi � o que implica em '�fi�� 
ou '�fi � ; a curva passa pelos pontos � � 	4� ! , � ��
 	4� ! e � 
 	4� ! .
c) Pontos críticos de � em � ��
 	 
 ! : �
�
� '5! fi
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
� � � �
	
; logo, resolvendo a equação �
�
� ' ! fi � ,
obtemos '�fi � � �
�
que são os pontos críticos de � .
d) Máximos e mínimos relativos de � em � ��
 	 
 ! : �
� �
� ' !�fi
�
�
� � � � � ���
�
�
� � ���
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
� . Logo, �
� �
�
�
�
�
! � �
e �
� �
�
�
�
�
�
! ��� ; então '�fi � �
�
é ponto de máximo relativo e '�fi � � �
�
é ponto de mínimo relativo
de � . Por outro lado, � � ��
 ! fi � � 
 ! fi � ; logo, � �
�
é ponto de máximo absoluto e � � �
�
é ponto
de mínimo absoluto de � .
e) Estudemos a concavidade de � em � ��
 	 
 ! : �
� �
� ' !+fi � implica em � � �$� ' !$fi � ou ��� � � ' !+fi � ;
logo, ' � fi � ; '�fi�� 
 . Então,
�
� �
� ' ! ��� se ' 
�� ��
 	4� !
�
� �
� ' ! ��� se ' 
�� � 	 
 ! 0
� é côncava para cima em � ��
 	4� ! e � é côncava para baixo em � � 	 
 ! ; logo, ' fi � é a abscissa
do ponto de inflexão de � .
f) A curva não possui assíntotas.
g) Esboço do gráfico: O gráfico de � passa pelos pontos � � 	4� ! , � ��
 	4� ! , � 
 	4� ! � � �
�
	 � �
�
�
�
! !�fi
�
�
�
�
	
�
�
�
! , que é o ponto de máximo de � ; �
�
�
�
�
	 � �
�
�
�
�
! ! fi � �
�
�
	(�
�
�
�
! , que é o ponto de mínimo
de � ; � � 	4� ! é o ponto de inflexão de � .
212 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
-1-2-3 1 2 3
-0.5
0.5
Figura 5.30: Gráfico de � fi �
����� � �
�
�
�
�
�
� � �
.
[3] � fi � � '5! fi
'
�
� �
'
�
�
�
.
a) 	 � � � � ! fi ��� % � � 	 � . .
b) Interseções com os eixos coordenados: se ' fi � , então ��fi � � ; logo, a curva passa pelo
ponto � � 	(� � ! .
c) Pontos
críticos de � . �
�
� ' ! fi �
�
�
� �
	
�
�
�
	
; logo �
�
� '5! fi � implica em que ' fi � , que é o ponto
crítico de � .
d) Máximos e mínimos relativos de � . �
� �
� '5! fi
�
�
�
	
�
�
� � 	 �
�
�
� . �
� �
� � ! �&� ; logo, � é ponto de máximo
relativo de � .
e) Concavidade de � . �
� �
� ' ! � � se '�
�
�
�
	(�
�
�
ou '�
�
�
	
�
�
, �
� �
� '5! � � se '�
�
�
�
	
�
�
. �
é côncava para baixo em � � � 	 � ! e côncava para cima em � � � 	(� � ! � � � 	 � � ! . � � *
 	 � � � � ! ;
logo, o gráfico de � não possui pontos de inflexão.
f) Assíntotas.
� �
�
�	� �
�
'��
���
'
�
�
�
fi
� . Logo, �flfi � é uma assíntota horizontal da curva.
���
�
�	�
�
�
'��
���
'
�
�
�
fi
�
�
	
���
�
�	�
�
�
'��
� �
'
�
�
�
fi �
�
0
���
�
�	� �
�
�
'
�
���
'
�
�
�
fi �
�
	
���
�
�	� �
�
�
'
�
� �
'
�
�
�
fi
�
�
0
Logo, '�fi � e '�fi � � são assíntotas verticais da curva.
g) Esboço do gráfico:
5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES 213
-2 -1 0 1 2 3
-4
-2
0
2
4
Figura 5.31: Gráfico de � fi
�
	
� �
� 	 �
�
.
[4] � fi � � '5! fi
�
� '
�
�
�
�7'��"! .
a) 	 � � � � ! fi � .
b) Interseções com os eixos coordenados: Se '�fiffi� , então � fi � ; logo, a curva passa pelo ponto
� � 	4� ! . Se � fi � , então '�fi � ou '�fi � � ; logo, a curva passa pelos pontos � � 	4� ! , � � � 	4� ! e � � 	4� ! .
c) Pontos críticos de � : Se ' �fi � ; então, �
�
� '5! fi
�
� �
�
�
�
�
	
�
�
� �
	
�
	
�
.
A função � � ' !$fi
�
� '
�
�
�
� '
�
! é contínua para todo ')
�� . Mas não existe �
�
� � ! ; logo, no ponto
� � 	4� ! do gráfico deve existir uma "cúspide"como foi observado no gráfico do valor absoluto. Se
' �fi � , os pontos críticos de � são '�fi � �
�
e '�fi �
�
.
d) Máximos e mínimos relativos de � . Se ' �fi � ; então, �
� �
� ' ! fi �
�
�
�
�
�
	
� �
�
�
� � 	 �
	
�
. �
� �
� �
�
�
! � � e
�
� �
�
�
�
! � � ; logo, ' fi � �
�
e '-fi �
�
são pontos de máximos relativos de � . Se ' fi � , estudamos o
sinal da derivada de � para valores à esquerda e à direita de ' fi � : �
�
� ' ! �&� se �)� ' � �
�
e
�
�
� ' ! ��� , se � �
�
� '-��� ; logo, '�fi � é um ponto de mínimo local de � .
e) Concavidade de � . �
� �
� ' ! ��� para todo '-
���� %/� . . � é côncava para baixo em ��� %/� . .
f) Assíntotas.
� �
�
�	� �
�
�
�
'
�
� '
�
�
�
! fi
�
� . Logo, � não possui assíntotas horizontais e nem ver-
ticais.
g) Esboço do gráfico:
214 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
-1.0 -0.5 0.5 1.0
Figura 5.32: Gráfico de � � ' ! fi ' � � � � � �7' � ! .
[5] � fi � � ' !flfi �
�
� �
�
�
�
	
�
, onde �-� � , representa uma família de curvas é e chamada função
densidade de probabilidade normal padrão, que tem um papel relevante em Probabilidade e
Estatística.
a) 	 � � � � ! fi � .
b) A curva passa pelo ponto � � 	 �
�
�
	
�
! .
c) Pontos críticos de � : �
�
� '5! fi �
�
� ��� � �
�
�
�
� �
�
�
�
	
�
; logo, '�fi � é o ponto crítico de � .
d) Máximos e mínimos relativos de � : �
� �
� ' ! fi
�
�
�
�
� �
�
�
�
	
�
�
�
� ��� � �
	
�
�
�
�
. �
� �
� � !�� � ; logo, � é
ponto de máximo relativo de � .
e) As abscissas dos pontos de inflexão são: '�fi � �
�
�
�
f) Assíntotas:
� �
�
�	� �
�
�
�
� �
�
�
�
	
�
fi � . Logo, � fi � é a assíntota horizontal da curva.
g) Esboço dos gráficos para �flfi � 	�� fi � , � fiffi� fi � , � fi
�
	 � fi
� e �flfi � 	�� fi
�
.
1 2
1
Figura 5.33: Gráfico de � fi �
�
� �
�
�
�
	
�
.
[6] � fi
�
'
�
�
�
'
���
, ( � 
�� ), que representa uma família de curvas.
5.5. ESBOÇO DO GRÁFICO DE FUNÇÕES 215
a) A solução da equação ' � �
�
'
�fi�
fi � é � � fi � � �
�
�
�
� ; então, se � � � , 	 � � � � !+fi � , se
�
fi
� , 	 � � � � ! fi ��� % � � . e se � � � , 	 � � � � ! fi ��� % � � . .
b) Se '�fi � , então � fi �
�
, se � �fi � . Neste caso, a interseção com o eixo dos � é � � 	 �
�
! .
c) Pontos críticos: �
�
� '5! fi �
�
� �
� �
�
� � 	
�
�
�
�
��� 	
	
�
�
� ' ! fi � se '�fi � � , ( � �fi � ). Neste caso, o ponto crítico é � � � 	 �
� �
�
! .
d) Máximos e mínimos: �
� �
� ' ! fi
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�����
� � 	
�
�
�
�
���
� e �
� �
� �
�
! fi �
�
��� �
�
� 	
�ffi� ; logo, ' fi � � é ponto
de máximo relativo se � �fi � .
e) Resolvendo �
� �
� ' ! fi � , obtemos '�fi
�
�
�
�
�
��� �
�
�
�
. Se � � � , temos dois pontos de inflexão.
f) Assíntotas.
Assíntotas horizontais:
���
�
�	� �
�
�
'
�
�
�
'
���
fi � ; então, �flfi � é assíntota horizontal.
Assíntotas verticais:
Se � fi � ,
���
�
�	� �
�
�
'
�
�
�
'
� �
fi
� e se � � � ,
���
�
�	� �
�
�
�
�
���
�
'
�
�
�
'
���
fi
� .
'�fi �
� e '�fi � � �
�
�
�
� são assíntotas verticais da curva, para � fi � e � � � , respectivamente.
g) Esboço dos gráficos:
-1-2-3 2 31
-1
1
-3 -2 -1 1
1
2
3
4
5
Figura 5.34: Esboço dos gráficos para � fi �
�
e � fi � , respectivamente.
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.5
1
Figura 5.35: Esboço para � fi
�
.
[7] � fi
�
'
� ���
�
'
�
, ( � 
�� ), que representa uma família de curvas.
216 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
a) 	 � � � � ! fi � .
b) Interseções com os eixos coordenados: � � 	4� ! .
c) Pontos críticos de � : �
�
� ' ! fi �
�
� � ���
�
� ��� �
� �
�
�
���
� 	 � 	 � 	
; se � �fi&� , '-fi �� e '-fi � �� são os pontos críticos
de � .
d) Máximos e Mínimos: �
� �
� ' ! fi
�
�
�
� � �
	
�
	
�
�
�
�
���
� 	 � 	 �
� ; �
� �
�
�
� ! fi �
�
	
�
; logo, 'ffifi �
�
é ponto de máximo
relativo de � e �
� �
� �
�
� ! fi
�
	
�
; logo, '�fi � �
�
é ponto de mínimo relativo de � . ( � �fi � ).
e) Pontos de inflexão: '�fi � , '�fi �
�
�
� e '�fi
�
�
� .
f) Assíntotas: � fi � é assíntota horizontal da curva.
g) Esboço dos gráficos. Observe que a função é ímpar.
-3 -2 -1 1 2 3
-0.4
-0.2
0.2
0.4
-3 -2 -1 1 2 3
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Figura 5.36: Esboço dos gráficos para � fi�� �
�
, � fi � � , e � fi �
�
, � fi � �
5.6 Problemas de Otimização
Nesta seção apresentaremos problemas de maximização e minimização aplicados à diversas
áreas. O primeiro passo para resolver este tipo de problema é determinar, de forma precisa, a
função a ser otimizada. Em geral, obtemos uma expressão de duas variáveis, mas usando as
condições adicionais do problema, esta expressão pode ser reescrita como uma função de uma
variável derivável e assim poderemos aplicar os teoremas.
Exemplo 5.12.
[1] Determine dois números reais positivos cuja soma é
�
� e tal que seu produto seja o maior
possível.
Considere ' 	 ����� tal que ' � �flfi
�
� ; logo, ' 	 ��
 2 � 	
�
�63 ; o produto é: � fi ' � 0 Esta é a função
que devemos maximizar. Como �flfi
�
� �7' , substituindo em � :
� � '5! fi ' �flfi ' �
�
� �7'5! 0
� � 2 � 	
�
�63 � � � é uma função derivável. Derivando: �
�
� ' !�fi
�
� �
�
' fi
�
�
	
 � '5! ; o ponto
crítico é ' fi
	
 . Analisando o sinal de �
�
, é claro que este ponto é ponto de máximo para
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 217
� e � fi
	
 ; logo, � fi �
�,�
 é o produto máximo. Os números são '&fi�� fi
	
 . Note que
� � � !+fi � �
�
� !$fiffi� .
[2] Determine os pontos da curva '
�flfi � mais próximos da origem.
Seja � ' 	���! um ponto da curva e considere:
�
� � � 	4� ! 	/� ' 	�� ! !�fi
�
'
�
�
�
�
. Minimizar
�
é equi-
valente a minimizar
�
�1� � � 	4� ! 	/� ' 	���! !flfi '��
�
�fl� ; mas como � ' 	�� ! pertence à curva, temos que
� fi '
�
� ; logo, obtemos a seguinte função:
� � '5! fi '
�
�
�
'
�
0
Derivando e igualando a zero: �
�
� '5!�fi
�
'��
�
'
�
fi � , obtem-se ')fi � � . Calculando a segunda
derivada de � : �
� �
� ' ! fi
�
�
�
'
� , que é sempre positiva; logo, '-fi � � são pontos de mínimo; os
pontos mais próximos da origem são � � 	 � ! e � � � 	(� � ! .
-1 1
-1
1
Figura 5.37: Exemplo [2].
[3] Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elipse
'��
�
�
�
�fl�
�
�
fi
�
� ��	
��� � 0
x
y
Figura 5.38: Exemplo [3].
218 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
Pela simetria da figura, estudaremos o problema no primeiro quadrante e multiplicaremos
o resultado por quatro. A área do retângulo é � ' � , mas otimizaremos o quadrado de área
�
fi
�
� '�� �fl� ; como � � fiffi� � � � �
'��
�
�
� , então:
�
� ' !+fi
�
� �
�
'
�
�
�
�
'��
�
�
�,	 '-��� 0
Derivando e igualando a zero:
�
�
� '5! fi
	
�
� �
�
�
� ' � �
�
�
�
'
�
! � fiffi�
, obtem-se ' fi
�
�
�
�
. Estudan-
do o sinal da derivada de
�
temos que ')fi
�
�
�
�
é ponto de máximo de
�
e ��fi
�
�
�
�
; logo, a
área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse é:
�
fi
�
� � . As dimensões do retângulo
são
�
'�fi
�
�
� e
�
�flfi
�
�
� .
[4] Uma lata cilíndrica sem tampa superior tem volume 
 � � � . Determine as dimensões da lata,
de modo que a quantidade de material para sua fabricação seja mínima.
r
h
Figura 5.39: Exemplo [4].
Devemos minimizar a área. A área do cilindro e da tampa inferior são:
�
��fi
�
��
� e
�
�
fi 
��
� ,
respectivamente, onde � e � são o raio e a altura do cilindro; logo, devemos minimizar:
�
fi
�
�
�
�
�
fi
�
 �
� �
��
�
0
Mas o volume é 
 ; logo, 
 fi
�
fi 
 � �
� e � fi
 �
�
; substituindo � na expressão a minimizar,
temos:
�
� �1!$fi
�
�
�
�
 �
�
0
Derivando e igualando a zero:
�
�
� � ! fi �
�
�
�
�
�
�
 � fi � , obtem-se � fi
�
�
.
�
� �
� � ! fi
�
�
�
�
�
�
7��� �
� fi
�
�
é o ponto de mínimo e � fi
�
�
. Logo, as dimensões da lata são � fi � fi
�
�
�
� .
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 219
[5] Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, me-
dindo � � � de largura e � 
 � � de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os
lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados
para a produção de uma caixa de volume máximo.
x
8-2 x
15
8
15-2 x
x
Figura 5.40: Exemplo [5].
A altura da caixa é ' ; a largura é � �
�
' e o comprimento é � 
 �
�
' , observando que � � '-�
� .
Logo, devemos maximizar:
�
� ' !$fi ' �
�
�
�
' ! �
�
 �
�
' ! fi � '
�
� ��� '
�
� �
�
� ' 0
Derivando e igualando a zero:
�
�
� ' ! fi
�
�
'�� � �
�
'
� �
�
��fi � '����1! �
�
�
'-�
�
� ! fi � , obtemos
'-fi�� ou '-fi
	 . Mas. �)*
 � � 	�� ! ; então, ' � fi
	 é o único ponto crítico de
�
; logo, estudando o
sinal de
�
�
, ' � é ponto de máximo. Então, ' � fi � 0 � � � e
�
fi � � 0
�
�
�
�
� . (Verifique!).
[6] Calcule as dimensões de um cone circular de volume máximo que pode ser inscrito numa
esfera de raio � .
a
r
h
Figura 5.41: Uma vista bidimensional do exemplo [6].
Usando o teorema de Pitágoras temos que � � fi � � � � � � ��! � fi
�
�
�
�
�
� . O volume é
�
fi
�
	
�
�
�
; logo,
�
�
�
! fi
�
	
�
�
�
�
�
�
�
� , sendo � � � �
�
� . Derivando e igualando a zero:
220 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
�
�
�
�
! fi
�
�
	
� � �
	
�
�
� fi �
, obtemos � fi � ou � fi
� �
	 ; � fi � não é solução; então, � fi
� �
	 é o
ponto de máximo e � fi
�
�
�
�
	 .
[7] Um tanque cônico de aço, sem tampa, tem capacidade de � �,�,� � � . Determine as dimensões
do tanque que minimiza a quantidade de aço usada na sua fabricação.
r
h l lh
r
Figura 5.42: Exemplo [7].
A área do cone é:
�
��fi 
 � � fi 
 �
�
�
�
���
�
, onde na última igualdade usamos o teorema de
Pitágoras. Por outro lado, o volume do tanque é de � �,�,� � � ; logo, � �,�,� fi
�
fi
�
	
 �
�
� e
�
fi
	
�,�,�
 �
�
; substituindo � na expressão a minimizar:
�
��fi 
 �
�
�
�
�
�
	
�,�,� !
�
�
�
�
0
Como antes, minimizaremos
�
fi �
�
�
! � . Logo:
�
� � ! fi 
ff� �
�
�
�
�
�
� , onde
�
fi �
	
�,�,� ! � . Deri-
vando e igualando a zero:
�
�
� � ! fi � 
�
�
�
�
�
�
�
�
fi � , obtemos �flfi
�
�
�
�
�
. Usando o teorema
A, temos que � fi
�
�
�
�
�
	
é o ponto de mínimo e � fi
�
�
�
�
�
. As dimensões do tanque são
�
�
fi
�
0
� �
	
� e �
�
fi
�
�
0��1�
�
� e
�
�
�
fi
�
� �
0
�
�
� �
�
� 0
[8] Um pescador está a
�
�
� de um ponto
�
de uma praia e deseja alcançar um depósito de
combustível no ponto � , a
	
�
� de
�
. Sua velocidade na água é de 
�
� por hora e na terra
é de �
	
�
� por hora. Determine o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador para
chegar ao depósito no tempo mínimo .
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 221
A Bx
2
y
Figura 5.43: Exemplo [8].
No desenho �flfi
�
�
�
'
�
. A função a minimizar é:
� � '5! fi
�
�
�
'
�
�
	
�7'
�
	
0
Derivando e igualando a zero: �
�
� '5! fi �
�
�
	
�
'
�
�
�
'
�
fi � , obtemos ' fi
�
e, calculando a
derivada segunda de � : �
� �
� ' !$fi
�
�
� � 	
�
�
�
�
	
��� . Logo, �
� �
�
�
�
��� e '�fi
�
é o ponto procurado.
[9] Uma folha de aço de � � metros de comprimento e � metros de largura é dobrada ao meio
para fazer um canal em forma de V de � � metros de comprimento. Determine a distância entre
as margens do canal, para que este tenha capacidade máxima.
2 2
h
α
w/2
Figura 5.44: Exemplo [9].
Observemos que
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� � � ! . Então, podemos escrever a área do triângulo
como função de � . De fato,
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! . Derivando
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e igualando a zero, obtemos que ��� � �
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