Aula 4

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Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
21 de agosto de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
A Inversa de uma Matriz
Definic¸a˜o
Seja A uma matriz quadrada n × n. Se pudermos encontrar uma matriz B
tambe´m n × n tal que
AB = BA = I ,
enta˜o dizemos que A e´ invert´ıvel e que B e´ a sua inversa. Se na˜o existir
uma matriz B que obedec¸a a equac¸a˜o acima, enta˜o A e´ dita
na˜o-invert´ıvel ou singular.
Fa´bio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
A Inversa de uma Matriz
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Matrizes Inversas e Matrizes Elementares
A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.4)
Se B e C sa˜o ambas inversas da matriz A, enta˜o B = C
Proof.
Como B e C sa˜o ambas inversas de A, enta˜o
C = IC = (BA)C = B(AC ) = BI = B.
Sendo assim, usamos A−1 para definir a inversa de uma matriz A qualquer.
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.5)
A matriz
A =
[
a b
c d
]
e´ invert´ıvel se e somente se ad − bc 6= 0, e sua inversa sera´
A−1 =
1
ad − bc
[
d −b
−c a
]
Proof.
A prova fica de exerc´ıcio!
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.6)
Se A e B sa˜o matrizes invert´ıveis de mesmo tamanho, enta˜o AB e´
invert´ıvel e
(AB)−1 = B−1A−1
Proof.
A prova e´ direta. Veja que se B−1A−1 e´ a inversa de AB, enta˜o
(AB)−1AB = B−1A−1AB = B−1B = I .
Da mesma forma ocorre para AB(AB)−1.
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A Inversa de uma Matriz
Exemplo
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.8 - Leis dos expoentes)
Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o
(a) A−1 e´ invert´ıvel e (A−1)−1 = A.
(b) An e´ invert´ıvel e (An)−1 = (A−1)n para n = 0, 1, 2, · · ·
(c) Para qualquer escalar na˜o-nulo k, a matriz kA e´ invert´ıvel e
(kA)−1 = 1k A
−1
Proof.
(a) Como A−1 e´ a inversa de A, e e´ u´nica pelo teorema anterior,
enta˜o A e´ a u´nica inversa de A−1, sendo que (A−1)−1 = A.
(b) Como A−1A = I e A−1 · · ·A−1A · · ·A−1 = I = (A−1)nAn,
enta˜o (An)−1 = (A−1)n.
(c) Se A−1 e´ a inversa de A, enta˜o ( 1k A
−1)(kA) = 1k kA
−1A = I .
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A Inversa de uma Matriz
Expresso˜es polinomiais envolvendo matrizes
Se A e´ uma matriz quadrada, digamos m ×m, e se
p(x) = a0 + a1x + · · · anxn
e´ um polinoˆmio qualquer de grau n, enta˜o definimos
p(A) = a0I + a1A + · · · anAn ,
onde I e´ a matriz identidade m ×m.
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A Inversa de uma Matriz
Exemplo
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A Inversa de uma Matriz
Theorem (Teorema 1.4.10)
Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o AT tambe´m e´ invert´ıvel e
(AT )−1 = (A−1)T .
Proof.
Como AA−1 = I e IT = I , temos que (AA−1)T = I = (A−1)TAT e,
portanto, (AT )−1 = (A−1)T .
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Definition
Uma matriz n × n que pode ser obtida da matriz identidade In executando
uma u´nica operac¸a˜o elementar sobre linhas e´ chamada matriz elementar
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Exerc´ıcio:
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Operac¸o˜es sobre linhas por multiplicac¸a˜o matricial
Se a matriz elementar E resulta de uma certa operac¸a˜o sobre linhas em Im
e se A e´ uma matriz m × n, enta˜o o produto EA e´ a matriz que resulta
quando esta mesma operac¸a˜o sobre linhas e´ efetuada sobre A.
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Exemplo
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Operac¸o˜es e operac¸o˜es inversas
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Theorem (Teorema 1.5.2)
Qualquer matriz elementar e´ invert´ıvel e a inversa e´, tambe´m, uma matriz
elementar.
Proof.
Seja E uma matriz elementar e E0 a matriz que resulta da operac¸a˜o
inversa de E sobre I . Como E0 opera sobre as linhas de E da mesma
forma que opera sobre as linhas de I , enta˜o E0E = I = EE0.
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Theorem (Teorema 1.5.3 - Afirmac¸o˜es equivalentes)
Se A e´ uma matriz n × n, enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A e´ invert´ıvel
(b) A~x = 0 tem somente a soluc¸a˜o trivial. ~x e´ a matriz coluna
de entradas x1, x2, · · · , xn
(c) A forma escalonada reduzida por linhas de A e´ In
(d) A pode ser expressa como um produto de matrizes
elementares
Proof.
Feita no quadro.
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Me´todo de inversa˜o de matrizes
Conforme vimos, se A e´ uma matriz n × n invert´ıvel, existe uma sequ¨eˆncia
finita k de operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A realizadas pelas k
matrizes elementares E ′i s que leva A a` identidade In. Ou seja,
Ek · · ·E2E1A = In .
Pela definic¸a˜o de inversa, na equac¸a˜o acima reconhecemos
A−1 = Ek · · ·E2E1 .
Sendo assim, devemos resolver o sistema de equac¸o˜es aumentadas
[A | In] ∼ E1 [A | In]
∼ [E1A | E1]
...
∼ [In | Ek · · ·E2E1] .
A matriz que obteremos a direta sera´ a matriz inversa A−1!
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Me´todo de inversa˜o de matrizes
Se na˜o obtemos a identidade a` esquerda e´ porque a matriz na˜o e´
invert´ıvel. Exemplo: uma linha de zeros a` esquerda!
Exemplo:
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Matrizes Elementares e a Inversa A−1
Me´todo de inversa˜o de matrizes
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.4 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.5 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 1.5 do livro texto
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Respostas
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