Matriz inversa

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MATRIZ 
INVERSA 
DEFINIÇÃO 
Dada uma matriz quadrada A, de ordem 
n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA 
= In, então X é denominada matriz inversa 
de A e é indicada por A-1. Quando existe a 
matriz inversa de A, dizemos que A é uma 
matriz inversível ou não-singular. 
 
Verifique se existe e, em caso afirmativo, 
 
 determine a matriz inversa de A = 
 
 
 
 
 
































10
01
3232
8585
10
01
32
85
dbca
dbca
dc
ba
23
032
185






cea
ca
ca 58
132
085






deb
db
db
Então X = 








52
83
, para AX = I2. 
MATRIZES ELEMENTARES 
Chamamos de operações elementares nas 
linhas de uma matriz, às seguintes operações: 
 
 i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; 
 
 ii) a multiplicação uma linha da matriz por 
uma constante diferente de zero; 
 
 iii) a substituição uma linha da matriz por sua 
soma com outra linha multiplicada por uma 
constante diferente de zero. 
 
DEFINIÇÃO 
 
Uma matriz elementar é uma matriz obtida 
por meio de operações elementares nas linhas 
de uma matriz identidade. 
 
 
EXEMPLO 
1. Considere a matriz identidade 













1000
0100
0010
0001
I . Então as matrizes 
 
 













1000
0100
0050
0001
1E , 













1000
0001
0010
0100
2E , 














1020
0100
0010
0001
3E , são matrizes 
 
elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar 
em suas linhas. 
 Se representa a i-ésima linha de I, então, estas 
matrizes foram obtidas da seguinte maneira: 
 
 












1000
0100
0010
0001

 22 5 LL 1
1000
0100
0050
0001
E












 












1000
0100
0010
0001

 31 LL
 2
1000
0001
0010
0100
E












 












1000
0100
0010
0001

 244 2LLL
3
1020
0100
0010
0001
E













 
TEOREMA 
Seja A uma matriz quadrada. Se 
uma seqüência de operações 
elementares nas suas linhas reduz A 
a I, então a mesma seqüência de 
operações elementares transforma I 
em . 
 
EXEMPLO 
1. Ache a inversa da matriz 













321
121
121
A
 












100321
010121
001121




 21 LL












100321
001121
010121



133
122
LLL
LLL













110440
011240
010121




 22
4
1
LL










110440
0
4
1
4
1
2
1
10
010121



233
211
4
2
LLL
LLL





















101200
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 33
2
1
LL


















2
1
0
2
1
100
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 322
2
1
LLL



















2
1
0
2
1
100
4
1
4
1
2
1
010
0
2
1
2
1
001























2
1
0
2
1
4
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
1A
. 
Assim