AndreSalles - EstAplic - Correlação

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO – UFRJ 
 
 
- 46 - 
 
 
- ESTATÍSTICA APLICADA – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO - 
Prof. André A. de Salles 
 
 
 
ESTATÍSTICA APLICADA 
-- UNIDADE 4 -- 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO 
 
Relação entre duas variáveis 
 
 Consumo × renda 
 Peso × idade 
 Quantidade × preço 
 taxa de juros × procura por moeda 
 Salário × escolaridade 
 taxa de câmbio × balança comercial 
 Vendas × gastos com publicidade 
 Demanda × preço 
 
 
 
Problemas reais envolvem relações --- bivariadas 
 --- multivariadas 
 
Se existe relação, ou associação, entre duas ou mais variáveis é importante a 
informação do grau dessa associação e é esse o objeto de estudo da associação ou 
da correlação. 
 
Estudo da Correlação 
 
como medir a relação, 
aderência, ou associação entre 
duas variáveis ou mais. 
 
 
 coeficiente de correlação ≡ correlação momento-produto (Karl Pearson). 
 
 Coeficiente de correlação ρ (rô) da população é definido como: 
 
 
YX
XY
XYYX σσ
σρρ ==);( ou )()(
),();(
YDPXDP
YXCOVYX XY == ρρ 
 
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VARIÁVÉIS ALEATÓRIAS BIVARIADAS (ou bidimensionais) 
 
 INFERÊNCIA 
 ESTATISTICA 
 PRESSUPOSTO 
Existe distribuição da 
população para todas as 
possíveis observações das 
variáveis de interesse. 
 
 
 
 
Distribuições populacionais ---- Parâmetros 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DE ( )YX ; 
 
ijjiji pyxPyYxXP ==== );();( 
 
 
 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BIVARIADA 
 
 
X 
Y 
 
 1x K ix K mx 
 
 )(YP ) 
 
 
1y 
 
11p K 1ip K 1mp 
 
1•p 
 
 
M 
 
 M K M K M 
 
M 
 
 
jy 
 
jp1 K ijp K mjp 
 
jp• 
 
 
M 
 
 M K M K M 
 
M 
 
 
ny 
 
np1 K inp K mnp 
 
n
p
•
 
 
 
 P(X) 
 
•1p K •ip K •mp 
 
1 
 
 
 
 
 
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Seis parâmetros importantes: 
 
 
- Médias 
 ∑ •==
i
iiX xpXE )(µ 
 ∑ •==
i
jjY ypYE )(µ 
- Variâncias 
 ∑ −=−== •
i
XiiXX xpXEXVar
222 )()()( µµσ 
 ∑ −=−== •
j
YjjYY ypYEYVar
222 )()()( µµσ 
- Covariância 
 [ ] ))(())(();( YjX
I J
iijYXXY yxpYXEYXCov µµµµσ −−=−−== ∑∑ 
 
 
- Coeficiente de Correlação 
 
 
YX
XY
XYYX σσ
σρρ ==);( 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADES CONDICIONADAS 
 
 
)(
),()/(
i
ji
ij
xXP
yYxXP
xXyYP
=
==
=== ou 
•
=
i
ij
ij p
p
xyP )/( , 
 
 
 
sendo: )/( ij xXyYP == a probabilidade de jyY = condicionada a ixX = ; 
 
•ip a probabilidade marginal e ijp a probabilidade conjunta. 
 
 
 
 
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Parâmetros importantes: 
 
 
- Média Condicional (ou valor esperado condicionado) 
)(
);())/(()/(/
i
ji
j j
jijjiXY
xP
yxP
yxXyPyXYE
i ∑ ∑====µ 
 
- Variância Condicional 
 
)/()()/( 2/2 / ij
j
XYjiXY xXYPYXYVar ii =×−== ∑ µσ 
 
Observação: 
As médias e variâncias condicionais são funções de x => tem-se um conjunto de m 
médias e variâncias (da mesma forma pode-se obter um conjunto de n médias e 
variâncias condicionais para x em função de y). 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
• SALÁRIOS vs TEMPO DE SERVIÇO --- firma com 10 operários: 
 
 
Operário 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Salário ($) 140 150 180 160 170 170 160 160 160 150 
tempo (anos) 4 5 6 6 6 6 5 6 6 5 
 
Y = salário em $ 
X = tempo de serviço em anos 
N = 10 
 
 
 
 
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Dada a Distribuição de Probabilidade Conjunta (X ; Y) , tem-se: 
 
X 
Y 
 
4
 
 
5 
 
6 
 
P(Y) 
 
 
140 
 
0,1 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,1 
 
 
150 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,0 
 
 
160 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,0 
 
 
170 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,0 
 
 
180 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,0 
 
 
 P(X) 
 
0,1 
 
0,0 
 
0,0 
 
1,0 
 
 
 
• SALÁRIOS vs DESPESAS COM FÉRIAS → as variáveis formam a população. 
 
X = salário em $ mil 
Y = despesa com férias em $ mil 
 
Dada a Distribuição de Probabilidade Conjunta (X ; Y) , tem-se: 
 
X 
Y 
 
20
 
 
30 
 
40 
 
 
1 
 
0,28 
 
0,03 
 
0,00 
 
 
2 
 
0,08 
 
0,15 
 
0,03 
 
 
3 
 
0,04 
 
0,06 
 
0,06 
 
 
4 
 
0,00 
 
0,06 
 
0,15 
 
 
5 
 
0,00 
 
0,00 
 
0,03 
 
 
6 
 
0,00 
 
0,00 
 
0,03 
 
 
 P(X) 
 
0,4 
 
0,30 
 
0,30 
 
 Media 
(Y/X) 
 
1,40 
 
2,50 
 
3,90 
 
 Variancia 
(Y/X) 
 
0,44 
 
0,85 
 
1,09 
 
 
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Probabilidades de Y condicionadas a X 
 
 
X 
Y 
 
20
 
 
30 
 
40 
 
 
1 
 
0,7 
 
0,1 
 
0,0 
 
 
2 
 
0,2 
 
0,5 
 
0,1 
 
 
3 
 
0,1 
 
0,2 
 
0,2 
 
 
4 
 
0,0 
 
0,2 
 
0,5 
 
 
5 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,1 
 
 
6 
 
0,0 
 
0,0 
 
0,1 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE CONTÍNUA DE ( )YX ; 
 
ijjiji pyxPyYxXP ==== );();( ou XYXYXY pfYXf ==),( 
 
Seis parâmetros importantes: 
 
- Médias ∫
+∞
∞−
== dxxxfXE xX )()(µ 
 ∫
+∞
∞−
== dxxxfXE xX )()(µ 
- Variâncias 
 
22 )()( XX XEXVar µσ −== 
 
22 )()( YY YEYVar µσ −== 
 
- Covariância 
 [ ] ∫∫ −−=−−==
R
yxxyYXXY dxdyyxfYXEYXCov ))(())(();( µµµµσ 
- Coeficiente de Correlação 
 
 
YX
XY
XYYX σσ
σρρ ==);( 
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VARIÁVEIS ALEATORIAS BIVARIADAS
Contínuas → );( yxf 
 
• Distribuição mais importante: Distribuição Normal Bivariada 
 
. Função Densidade de Probabilidade: 
 





















 −
+




 −





 −
−




 −
−
−
−
=
22
22
2)1(2
1
exp
12
1);(
Y
y
Y
y
X
X
X
X
YX
yyxx
yxf
σ
µ
σ
µ
σ
µρ
σ
µ
ρρσpiσ
 
 
 
 
. Distribuição marginal de X 
 
 Integrando );( yxf em relação a x -------- )(xf → );( 2XXN σµ 
 
 













 −−
=
2
2
1
exp
2
1)(
X
X
X
x
xf
σ
µ
piσ
 
 
. Distribuição Condicional de Y dado X -- )/( XYf → );( 2 / / XYXYN σµ 
 
 
 













 −−
==
2
/
/
2
/ 2
1
exp
2
1
)(
);()/(
XY
XY
XY
y
Xf
YXfXYf
σ
µ
piσ
 
 
 
 
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- 58 -
COVARIÂNCIA 
 
 . Definição 
 
Covariância é a média aritmética do produto dos desvios 
das variáveis em relação às suas médias. Mede a 
associação linear entre variáveis aleatórias, mas não a 
intensidade dessa associação. 
 
 . Propriedades 
 
 Sendo a e b números reais quaisquer, tem-se: 
 
( i) )();( XVXXCOV = ; 
 
 (ii) );();( YXCOVbYaXCOV =±± ; 
 
(iii) 
ab
YXCOV
b
Y
a
XCOV );();( = 
 
 . Covariância Amostral 
 
 
n
yyxx
YXCOV ii∑ −−= ))(();( ou 
 






−= ∑ ∑ ∑
n
yx
yx
n
YXCOV iiii
1);( 
 
 
 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
 
 . Definição 
 
Coeficiente de correlação é a razão da covariância pelos 
desvios padrões das variáveis em questão. Mede o grau 
de associação linear de variáveis aleatórias. 
 
 . Propriedades 
 
Sendo a e b números reais quaisquer, tem-se: 
 
 ( i) );();( YXbYaX ρρ =±± ; (ii) );();( YX
b
Y
a
X ρρ = . 
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 . Correlação Amostral 
 
∑ ∑∑∑
∑∑∑
−−
−
==
2222 )()(
))(();(
yynxxn
yxxyn
rYXr XY 
 
 
 
 . Limites do Coeficiente de Correlação 
 
 
 1);(1 +≤≤− YXρ ou 11 +≤≤− xyr 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
 
 
 
Diagrama de Dispersão 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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- 60 -
0=r 
Relação Não Linear 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
 
 
Correlação Linear Positiva Perfeita ........... 1+=r 
Correlação Linear Positiva Perfeita
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6 8 10
 
 
Correlação Linear Negativa Perfeita ........... 1−=r 
Correlação Linear Negativa Perfeita 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6 8 10
 
 
 
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Correlação Linear Positiva ................ 10 << r 
Correlação Linear Positiva
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10
 
 
Correlação Linear Negativa ....................... 01 <<− r 
Correlação Linear Negativa
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10
 
 
 
Observações sobre a interpretação do coeficiente de correlação: 
(i) ⇒0 Correlação Nula 
 ⇒≤< 3.00 r Correlação Fraca 
 ⇒≤< 7.03.0 r Correlação Moderada 
 ⇒<< 17.0 r Correlação Forte 
 ⇒1 Correlação Perfeita 
(ii) Correlação Espúria – 
Existência de um coeficiente de correlação entre duas variáveis, 
sem nenhuma explicação lógica para isso.