Apostila de Matemática Comercial e Financeira II

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APOSTILA II
9. Juros simples 47
9.1. Juro 47
9.2. Regimes de Capitalização 47
9.3. Cálculo do juro simples 47
9.3.1. Taxas proporcionais 49
9.3.1.1. Cálculo de taxa proporcional 49
9.3.2. Taxas equivalentes 51
9.3.3. Juro comercial e juro exato 52
9.3.3.1. Determinação do número exato de dias entre duas datas 53
9.3.4. Montante de juros simples 58
10. Juros compostos 59
10.1. Cálculo do montante 59
10.2. Cálculo dos juros 59
10.3. Cálculo do fator de capitalização 59
10.4. Cálculo do capital 60
10.5. Cálculo da taxa de juros (i) - IRR 61
10.6. Cálculo do número de períodos (n) 61
10.7. Taxas proporcionais 62
10.8. Taxas equivalentes 63
10.9. Cálculo de taxas equivalentes 64
10.10. Montante para períodos não-inteiros 65
10.10.1. Convenção Linear 65
10.10.2. Convenção Exponencial 65
10.11. Taxa nominal 66
10.12. Taxa efetiva 67
10.13. Taxa aparente, taxa real e taxa de inflação 68
11. Desconto simples 72
11.1. Títulos de créditos 72
11.2. Dados das operações de descontos 72
11.3. Desconto comercial, bancário ou “por fora” 73
11.3.1. Fórmula do desconto comercial 73
11.3.2. Fórmula do valor atual comercial 73
11.3.3. Taxa efetiva do desconto comercial 75
11.4. Desconto racional ou “por dentro” 76
11.4.1. Valor do desconto racional 76
11.4.2. Valor do desconto racional em função de valor nominal 76
11.5. Equivalência de capitais no desconto comercial 77
12. Desconto composto 80
12.1. Desconto composto Comercial 80
12.2. Desconto composto racional 80
13. Capitalização e amortização composta 83
13.1. Introdução 83
13.2. Rendas 83
13.3. Capitalização composta 85
13.3.1. Renda imediata 85
13.3.2. Renda antecipada 87
13.4. Amortização composta 90
13.4.1. Renda imediata 90
13.4.2. Renda antecipada 91
13.4.3. Renda Diferida 92
Referências bibliográficas
9. JURO SIMPLES
9.1. Juro
É a remuneração atribuída ao capital, aplicado a uma taxa percentual, durante 
um intervalo de tempo. 
Este intervalo de tempo pode ser chamado de período financeiro ou período de 
capitalização.
9.2. Regimes de Capitalização
É o processo de formação dos juros, que podem ser formados a partir de um dos 
dois regimes: capitalização simples e capitalização composta.
• Regime de capitalização simples : apenas o capital inicial rende juros. Os juros 
formados no final de cada período não são incorporados ao capital inicial. Nesse 
caso, os juros não são capitalizados.
• Regime de capitalização composta : os juros formados no final de cada período 
são incorporados ao capital anterior, formando um montante, que passa a render 
juros no período seguinte. Neste caso, os juros são capitalizados.
9.3. Cálculo do Juro Simples
É aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
Fórmula: J = C⋅i⋅n Variáveis: 



⇒
⇒
⇒
⇒
)Unitária(Taxai
períodosdeNúmeron
JurosJ
CapitalC
Para que esta fórmula seja aplicada corretamente, devemos utilizar:
1º) número de períodos (n) e a taxa (i) na mesma unidade;
2º) A taxa (i) na forma unitária ou decimal;
Abreviaturas d e Taxas :
a.a. → ao ano a.s. → ao semestre a.b. → ao bimestre
a.m. → ao mês a.t. → ao trimestre
a.d. → ao dia a.q. → ao quadrimestre
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Exemplos:
1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à 
taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago ?
2) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% 
ao mês. Qual o valor do juro a receber ?
3) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00, à taxa de 5% ao 
trimestre, durante 3 trimestres.
4) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 
2,5 meses. Calcule o juro produzido.
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9.3.1. Taxas Proporcionais
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os 
tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
Dadas duas taxas i e i’ (percentuais ou unitárias), relativo, respectivamente, a n e 
n’ (tempos) referidos à mesma unidade, temos:
,i
i
= ,n
n
Exemplo:
1) As taxas 18% a.a. e 1,5% a.m. são proporcionais?
9.3.1.1. Cálculo de Taxa Proporcional
Para calcular uma taxa proporcional a outra dada, basta multiplicar ou dividir pelo 
número de períodos que a unidade maior possui em relação à unidade menor.
Variáveis 


⇒
⇒
⇒
unidadesasentreperíodosdenúmerok
procuradaalproporciontaxai
dadataxai
p
Ip = k
i
(da maior para a menor) → Ordem decrescente
Assim
Ip = i × k (da menor para a maior) → Ordem crescente
Na prática, para transformar uma taxa de um “período maior” para um “período 
menor”, efetua-se uma divisão:
De uma taxa:
Anual “para” uma mensal: → dividir por 12
Mensal “para” uma diária: → dividir por 30 (para taxa comercial)
Anual “para” uma diária: → dividir por 360 (para taxa comercial)
Anual “para” uma semestral: → dividir por 2 
Anual “para” uma quadrimestral: → dividir por 3 
Anual “para” uma trimestral: → dividir por 4
 
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E, para transformar uma taxa de um “período menor” para um “período maior”, 
efetua-se uma multiplicação:
De uma taxa:
Mensal “para” uma anual: → multiplica-se por 12
Diária “para” uma mensal: → multiplica-se por 30 (taxa comercial)
Diária “para” uma anual: → multiplica-se por 360 (taxa comercial)
Semestral “para” uma anual: → multiplica-se por 2 
Quadrimestral “para” uma anual: → multiplica-se por 3
Trimestral “para” uma anual: → multiplica-se por 4
Etc.
Exemplos:
1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0.08% ao dia.
3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.
Exercícios
1) Calcule a taxa mensal proporcional a: 
a) 9% a.t. b) 24% a.s. c) 0,04% a.d.
2) Calcule a taxa anual proporcional a: 
a) 1,5% a.m. b) 8% a.t. c) 21% a.s. d) 0,05% a.d.
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9.3.2. Taxas Equivalentes
Duas taxas referidas a períodos diferentes são equivalentes quando, aplicadas a 
um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.
Exemplos:
Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2.000,00:
1º) à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses;
2º) à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.
Primeiro:
C = 2.000,00
t = 6 meses
i1 = 4% a.m. = 0,04 a.m.
Segundo:
C = 2.000,00
t = 2 trimestres
i2 = 12% a.t. = 0,12 a.t.
Conclusão: i1 e i2 são proporcionais e equivalentes. Portanto, “no regime de juros 
simples, duas taxas proporcionais são equivalentes”.
Exemplos:
1. Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. 
Determine o juro obtido.
2. Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00, aplicado durante 
2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano.
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Exercícios
1) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00, à taxa de 18% ao 
ano durante 3 meses. 
2) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00, em regime de juros simples, 
durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. 
9.3.3. Juro Comercial e Juro Exato
• Juro Simples Comercial ou Ordinário 
Convenção: 

=
=
dias 360 ano 1
dias 30 mês 1
 Tempo aproximado
• Juro Simples Exato 
A contagem do tempo é feita entre duas datas;
1 ano = 365 dias ou 366 dias para o ano bissexto.
Exemplos:
1) Qual o juro (exato e comercial) produzido por um capital de R$ 5.000,00 pelo 
período de 120 dias, à taxa de 18% ao ano.
2) Qual o juro (exato e comercial) produzido por um capital de
R$ 12.000,00 pelo 
período de 95 dias, à taxa de 2% ao mês.
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9.3.3.1. Determinação do Número Exato de Dias entre Duas Datas
Na contagem do tempo entre duas datas, consideramos apenas uma das datas 
extremas.
Além da contagem direta dos dias em um calendário, podemos usar uma tabela 
para a contagem de dias, que contém o número de dias do ano, numerados de 1 
a 365, tendo na 1ª coluna, o maior número de dias de um mês e na 1ª linha, os 
meses do ano. 
Pela tabela abaixo, o tempo é contado em número de dias e, portanto, a taxa 
(anual. Semestral, quadrimestral, trimestral, bimestral ou mensal) deve ser 
transformada para uma taxa proporcional ao dia. Por exemplo, uma taxa anual 
para ser proporcional ao dia, deve ser dividida por 360 (número de dias do ano 
comercial), uma taxa mensal para ser proporcional ao dia, deve ser dividida por 
30 (número de dias do mês comercial), etc.
Caso queiramos usar o juro exato, devemos dividir a taxa anual por 365 dias ou 
366 dias (em caso de ano bissexto) e, neste caso, encontraremos uma taxa 
proporcional menor que a anterior e, conseqüentemente, encontraremos também 
um juro menor.
Na prática, “a técnica mais usada é a do cálculo do Juro Simples Comercial para 
número exato de dias”. 
Desta maneira, acha-se a taxa proporcional ao dia (dividindo a taxa anual por 360 
e a mensal por 30), aplicando-a no número exato de dias.
Este cálculo é o que proporciona o juro máximo em qualquer transação. Porém, 
quando o problema afirma que o juro é exato, as taxas (mensal, bimestral, 
trimestral, quadrimestral e semestral), devem ser elevadas ao ano para poder ser 
dividida por 365 ou 366 (caso o ano seja bissexto).
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Tabela para contagem de dias entre duas datas:
Meses
Dias Jan. Fev. Mar Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
01 01 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
02 02 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
03 03 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
04 04 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
05 05 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
06 06 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
07 07 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
08 08 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
09 09 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 31 90 151 212 243 304 365
Para o ano bissexto, acrescentamos um dia ao número de dias encontrado, se o 
período de tempo contiver o final do mês de fevereiro.
Exemplos:
1) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do 
mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45¨% ao ano, qual o juro total a ser pago ? 
Consulte a tabela.
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2) Um capital de R$ 9.840,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, no período 
compreendido entre 15/04 e 23/07 do mesmo ano. Qual o juro recebido? Consulte 
a tabela.
3) Qual o juro (exato e comercial) produzido por um capital de R$ 10.000,00 pelo 
período de 125 dias, à taxa de 18% ao semestre.
Exercícios
1) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para 
obtermos R$ 441,00 de juro ?
2) Qual o valor do principal que, aplicado durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 
1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008,00 ?
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3) A que taxa foi empregado o capital de R$ 12.000,00, que, no prazo de 2 anos, 
rendeu R$ 8.400,00 de juro?
4) Uma aplicação de R$ 8.000,00, pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento 
de R$ 1.680,00. Qual a taxa anual correspondente?
5) A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, 
em 3 meses e 10 dias, renda um juro de R$ 11.000,00 ?
6) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 
que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896,00 ?
7) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00, à taxa de 36% ao ano, 
para obtermos R$ 2.376,00 de juro?
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8) Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de 
juro contratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88, 
qual a data do vencimento? 
9) Um investidor aplica 2/3 do seu capital a 5% ao mês e o restante a 54% ao ano. 
Decorridos 3 anos e 4 meses, recebe um total de R$ 522.000,00 de juro. Calcule o 
seu capital inicial.
10) Uma pessoa aplica R$ 4.800,00 a 24% ao ano. Após algum tempo, a taxa é 
aumentada para 3% ao mês. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao 
mês, sabendo que em 8 meses os juros totalizaram R$ 912,00.
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9.3.4. Montante de Juros Simples
O montante é igual à soma do capital inicial com o juro relativo ao período de 
aplicação, isto é: 
Montante = capital inicial + juro
Assim, M = C + J, como J = C∙i∙n, então
Exercícios
1) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 
durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?
2) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui 
a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples?
3) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao 
credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determinar a taxa de juro 
simples anual cobrada.
4) Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00, à taxa de juro de 
16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 8.320,00.
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10. JURO COMPOSTO
É aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado 
sobre o montante relativo ao período anterior.
10.1. Cálculo do Montante
O montante é o capital inicial acrescido dos juros. Assim, o capital corrigido 
durante n períodos, compõe o montante. No regime de capitalização composta, 
essa correção é feita da seguinte maneira:
Com Taxas Variáveis: M = C⋅(1 + i1)⋅(1 + i2)⋅(1 + i3)⋅ ... ⋅(1 + in).
Com Taxa fixa: para i1 = i2 = i3 = ... = in = i
M = C (1 + i)n onde (1 + i)n é Fator de Capitalização
Exemplos:
1) Calcule o montante produzido por 2.000,00 aplicados em regime de juro 
composto à taxa de 5% ao mês, durante 2 meses. 
10.2. Cálculo dos Juros
J = M – C. Como M = C⋅(1 + i)n , temos: 
10.3. Cálculo do Fator de Capitalização
O cálculo de (1 + i)n pode ser realizado de duas maneiras distintas: pela 
Calculadora Científica, usando a tecla xy ou pela Tábua Financeira.
Exemplos: (Usando a calculadora científica)
1º) taxa de 20% a.a. num período de 5 anos.
2º) Taxa de 3%
ao mês num período de 1 ano e 4 meses.
3º) Taxa de 9% ao trimestre e um período 15 meses.
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Exercícios
1) Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, a juro de 3% ao mês pelo prazo de 
10 meses. Com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?
2) Calcule o montante de R$ 20.000 a juro composto de 3,5% ao mês, durante 35 
meses.
3) Calcule o montante de R$ 5.000,00 a juros compostos e 2,25% a. m., no fim de 4 
meses.
10.4. Cálculo do Capital
M = C (1 + i)n ⇒ C (1 + i)n = M ⇒ C = ( ) ni1
M
+
, onde o denominador é 
chamado Fator de Descapitalização.
Exemplos:
1) Calcule o capital inicial que, no período de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o 
montante de R$ 4.058,00.
2) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% 
ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule esse 
capital.
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10.5. Cálculo da Taxa de juros (i) – Taxa Interna de Retorno – IRR
Com a calculadora científica, devemos recorrer a raiz n-ésima, ou seja, x y , n x , 
etc (dependendo da simbologia de cada calculadora). Para acessar esta função, 
devemos teclar “2ndf” e “xy”, pois, geralmente, ela fica localizada acima desta 
última tecla.
Exemplos:
1) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem 
entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 
meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
2) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 
12.000,00 para receber R$ 16.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de 
rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto?
10.6. Cálculo do número de períodos (n)
Com a calculadora científica, devemos recorrer à função Logarítmica – “LOG”. O 
acesso ao “LOG” é direto.
Exemplos:
1) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em 
um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 
15% ao semestre em regime de juro composto.
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2) O capital de R$ 8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, 
elevou-se no fim de certo tempo a R$ 11.456,00. Calcule esse tempo.
10.7. Taxas Proporcionais
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os 
tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade, ou seja, como definimos em 
juros simples.
A partir de uma taxa anual, ia, podemos calcular as taxas: is, iq, it, ib, im e id 
(semestral, quadrimestral, trimestral, bimestral, mensal e diária, respectivamente):
is = 
2
ai , iq =
3
ai , it =
4
ai , ib =
6
ai , im = 
12
ai e id =
360
ia
O inverso, basta multiplicar os extremos, isto é:
is = 2
ai ⇒ ia = 2 x is , etc.
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10.8. Taxas Equivalentes
São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um 
capital produza o mesmo montante num mesmo tempo.
Exemplos:
1) Calcule o montante, em regime de juro composto, relativo a um capital de R$ 
1.000,00 empregado:
a) Durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano.
b) Durante 12 meses, à taxa de 2% ao mês.
Resolução:
a) Temos: C = 1.000,00 M1 = C(1 + i)n =
n = 1 ano
i = 24% a.a. = 0,24 a.a.
b) Temos: C = 1.000,00 M12 = C(1 + i)n =
n = 12 meses
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
As taxas empregadas (2% a.m. e 24% a.a.) são proporcionais, mas como M1 ≠ M12, 
as mesmas não são equivalentes. 
Conclusão:
• “Em juro composto, taxas proporcionais não são equivalentes”. 
• “Em juro composto, trabalhamos com taxas equivalentes e não proporcionais”, 
a menos que a taxa referida seja nominal.
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63
10.9. Cálculo de Taxas Equivalentes
Por definição de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido 
pelo “capital C, à taxa anual ia, durante 1 ano”, tem que ser igual ao montante 
produzido pelo mesmo “capital C, à taxa mensal im, durante 12 meses”, 
equivalente à taxa anual i a.
Assim: M1 = C(1 + i)n = C(1 + ia)1
M12 = C(1 + i)n = C(1 + im)12 
Como M1 = M12 ⇒ C(1 + ia)1 = C(1 + im)12 (cancelando C)
Temos: (1 + im)12 = 1 + ia
Analogamente, podemos construir outras fórmulas:
Exemplos:
1) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano, no regime de juros 
compostos ?
2) Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês, no regime de juros compostos ?
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64
Exercícios
1) Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia, no regime de juros 
compostos.
2) Calcule a taxa semestral equivalente a 45% ao ano, no regime de juros 
compostos.
10.10. Montante para Períodos Não-Inteiros
Pode ocorrer que o número de períodos financeiros não seja um número inteiro. 
Dessa maneira, a obtenção do montante para períodos não-inteiros pode ser feita 
mediante duas convenções: a convenção linear, que calcula os juros do período 
não-inteiro através da interpolação linear e a convenção exponencial, que 
calcula os juros do período não-inteiro através da taxa equivalente.
10.10.1. Convenção Linear
Usa o juro composto para o período inteiro e o juro simples para a parte não-
inteira.
Fórmula: 


⋅+⋅+=
q
pi1)i1(CM n
10.10.2. Convenção Exponencial
Usa o juro composto para o período inteiro e o não-inteiro.
Fórmula: q
pn
)i1(CM
+
+=
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65
Exemplos:
1) Qual será o montante de R$ 3.000,00, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 
anos e 3 meses?
a) Pela convenção linear:
b) Pela convenção exponencial:
2) Empreguei um capital de R$ 25.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 
35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi ?
a) Pela convenção linear:
b) Pela convenção exponencial:
10.11. Taxa Nominal
É a taxa cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se 
refere. Por exemplo, são freqüentes, na prática, enunciados do tipo:
 Juro de 48% ao ano, “capitalizados semestralmente”;
 Juro de 36% ao ano,“capitalizados mensalmente”.
A taxa nominal é, geralmente, uma taxa anual. Para resolvermos problemas que 
trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a 
taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.
Exemplo:
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66
1) Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 
24% ao ano capitalizados trimestralmente?
Pela convenção adotada, temos:
 C = 5.000,00
 n = 2 a = 2 x 4 t = 8 t
 i = 24 % a.a. = 0,24 a.a. = 0,24 ÷ 4 = 0,06 a.t.
10.12. Taxa Efetiva
É evidente que, se a “taxa do período de capitalização é proporcional à taxa 
nominal”, então a “taxa anual paga no regime de capitalização composta, é 
maior que a nominal”. Essa é a taxa efetiva. 
Portanto, a taxa efetiva é a taxa anual equivalente ao período de capitalização. 
Em resumo, a taxa nominal é proporcional ao período de capitalização e a taxa 
efetiva é equivalente ao período de capitalização.
i ⇒ a taxa nominal
if ⇒ a taxa efetiva
Assim, sendo: k ⇒ o número de períodos de capitalização para uma taxa 
nominal
IP ⇒ a taxa por período de capitalização (iP = k
i
)
Como if é equivalente a ik, temos:
1 + if = (1 + iP)k , onde iP = k
i
Logo: if = (1 + ip)k – 1
Exemplos:
1) Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule
a 
taxa efetiva.
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67
2) Um banco emprestou a importância de R$ 35.000,00 por 2 anos. Sabendo que 
o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral, qual a taxa 
efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos ?.
10.13. Taxa Nominal, Taxa Real e Taxa de Inflação.
Taxa nominal é aquela que vigora nas operações correntes. Quando não há 
inflação, esta a taxa nominal é igual à taxa real; porém, quando há inflação, a 
taxa nominal é formada pela taxa de inflação e pela taxa de juro real, ambas 
apuradas no mesmo período da taxa nominal.
C – o capital inicial
Considerando: ir – a taxa real 
In – a taxa nominal
iin – a taxa de inflação
podemos prevê os seguintes situações: 
 Para uma taxa de inflação igual a zero e uma taxa de juro real ir, o capital 
inicial se transformará, ao final de um período, em: C (1 + ir)
 Para uma taxa de inflação igual a iin e uma taxa de juro real igual a zero, o 
capital inicial se transformará, ao final de um período, em: C (1 + iin)
 Para uma taxa de juro real igual a ir e uma taxa de inflação igual a iin, 
simultaneamente, o capital inicial equivalerá: C (1 + ir) (1 + iin)
 Para uma taxa nominal igual a in, o capital inicial se transformará, ao final de 
um período, em: C (1 + in)
Como as duas últimas expressões são equivalentes, temos:
C (1 + in) = C (1 + ir) (1 + iin) ⇒ (1 + in) = (1 + ir) (1 + iin)
Conclusão:
A taxa de juro real é livre dos efeitos inflacionários, enquanto que a taxa de juro 
nominal leva em consideração os efeitos inflacionários do período. Para Assaf 
Neto (2003, p. 131): 
“... o termo real para as operações de matemática financeira 
denota um resultado apurado livre dos efeitos inflacionários. Ou 
seja, quanto se ganhou (ou perdeu) verdadeiramente, sem a 
interferência das variações verificadas nos preços.”
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Exemplos:
1) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e 
a uma inflação de 20% no período?
2) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na 
época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, 
sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 15%.
3) Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflação 
nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual.
4) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a intenção de 
ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% ao ano. Qual é a taxa de 
inflação?
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Lista de Exercícios
Taxa Equivalente; Taxa Nominal; Taxa Efetiva e Taxa Aparente de Juros Compostos.
1) Qual é a taxa mensal equivalente a 24% ao ano, no regime de juros 
compostos?
2) Qual é a taxa anual equivalente a 1% ao mês, no regime de juros compostos ?
3) Qual é a taxa anual equivalente a 0,02% ao dia, no regime de juros 
compostos?
4) Qual é a taxa mensal equivalente a 0,02% ao dia, no regime de juros 
compostos ?
5) A caderneta de poupança paga juro de 6% ao ano capitalizados 
trimestralmente. Qual a taxa efetiva de juro?
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70
6) Uma financeira paga juros de 21% ao ano capitalizado mensalmente. Qual a 
sua taxa efetiva?
7) O capital de R$ 18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. Qual o montante?
8) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de juro de 22% 
ao ano, capitalizado semestralmente, durante 18 meses?
9) Durante quanto tempo R$ 25.000,00 produzem R$ 14.846,00 de juro, a 24% ao 
ano, capitalizado trimestralmente?
10) Um investidor aplica R$ 25.000,00, em uma época A, para receber, em uma 
época B, a importância de R$ 34.000,00. Calcule:
a) A taxa aparente dessa aplicação;
b) A taxa de inflação no período da aplicação, sabendo que a taxa real de 
juro dessa aplicação, nesse período, foi de 20%.
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11. DESCONTO SIMPLES
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal de um título de crédito, 
resgatado ou negociado, antes da data de vencimento.
11.1. Títulos de Créditos
1) Nota Promissória : Comprovante de aplicação de um capital com vencimento 
predeterminado. Usado entre pessoas físicas e, entre pessoas físicas e Instituições 
Financeiras.
2) Duplicata : Título emitido por pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou 
jurídica) para o qual ele vendeu mercadoria ou prestou serviços, a serem pagos no 
futuro, segundo um contrato.
3) Letra de Câmbio : é um comprovante de uma aplicação de capital com 
vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido 
exclusivamente por uma Instituição Financeira.
4) Cheques Pré-Datados
5) Faturas de Cartão de Crédito
Etc.
11.2. Dados das Operações de Desconto
1) Data de vencimento : dia de pagamento ou recebimento do título;
2) Valor nominal : valor indicado no título;
3) Valor atual : valor nominal menos desconto;
4) Tempo ou prazo : é o número de dias compreendido entre o dia do resgate ou 
venda antecipada e o dia do vencimento. Apenas um dos dois extremos entra na 
contagem, ou seja, a data inicial ou a data final.
Uma operação de desconto pode ser realizada sobre:
1) O Valor Nominal: chamado “desconto comercial”, “bancário” ou “por fora”
2) O Valor Atual ou Líquido: chamado “desconto racional” ou “por dentro”.
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72
11.3. Desconto Comercial (Bancário) ou “Por Fora”
É equivalente ao juro simples, tendo como capital o valor nominal, num período de 
tempo correspondente à uma taxa fixada.
Variáveis 







→
→
→
→
→
descontodetaxai
tempon
AtualvalorA
NominalvalorN
descontod
11.3.1 Fórmula do Desconto Comercial
d = N⋅ i⋅n
11.3.2. Fórmula do Valor Atual Comercial
A = N – d, ou, substituindo d em A, temos:
Exemplos:
1) Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 
dias para o vencimento do título, determine:
a) o valor do desconto comercial;
b) o valor do atual comercial.
2) Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 
6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto 
comercial foi de 4% ao mês.
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73
Exercícios
1) Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 2.000,00 foi resgatada 2 anos antes 
do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?
2) Um título, no valor nominal de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é 
resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o 
valor comercial descontado?
3) Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. 
sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 32,4% ao ano, calcule o tempo 
de antecipação do resgate.
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74
11.3.3. Taxa de Juro Efetiva
É a taxa que no período n torna o capital A (Valor Atual) igual ao montante N 
(Valor Nominal). Essa é a taxa que realmente foi cobrada na operação de 
desconto.
Chamamos a taxa efetiva de if, e a correção do capital é igual ao montante de 
juro simples: M = C + Cin = C(1 + in).
C(1 + if·n) = M → para C = A e M = N, temos:
Exemplos:
1) Um título de R$ 6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando
45 
dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto comercial foi 
de R$ 189,00, calcule a taxa de juro efetiva.
2) Uma duplicata de R$ 23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento 
por R$ 21.068,00. Determinar a taxa de desconto e a taxa efetiva.
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75
11.4. Desconto Racional ou “Por Dentro”
Chamamos desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo 
valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
11.4.1. Valor do Desconto Racional
dr = Ar ⋅ i ⋅ n
11.4.2. Valor do Desconto Racional em Função do Valor Nominal
Ar = N - dr 
Substituindo Ar em dr, temos:
dr = Ar ⋅ i ⋅ n ⇒ dr = 
Substituindo dr em Ar, temos:
Exemplos:
1) Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 
dias para o vencimento, determine:
a) o valor do desconto racional.
b) o valor atual racional.
2) Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 
50.000,00, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês.:
Obs: O “valor do desconto racional” é menor do que o “valor do desconto 
comercial”.
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76
11.5. Equivalência de Capitais no Desconto Comercial
Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) 
com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamentos são 
equivalentes. Estes problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de 
capitais diferidos (capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas 
diferentes. Por exemplo, títulos de crédito com vencimentos diferentes).
“Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, 
quando seus valores atuais, nessa época, são iguais”.
A solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data e comparar 
os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se foram iguais, podemos 
concluir que esses capitais diferidos são equivalentes.
No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, 
a data em que a dívida foi contraída.
Exemplos:
1) Quero substituir um título de R$ 5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com 
vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa 
de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título?
Resolução:
N= 5.000,00
i = i’ = 3,5% a.m. = 0,035 a.m.
n = 3 meses
n’ = 5 meses
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77
O princípio da equivalência é:
A = A’
2) Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 3.000,00 e o 
outro de R$ 3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um 
único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês, qual será 
o valor do novo título?
Resolução:
N1 = 3.000,00; n1 = 2 meses
N2 = 3.600,00; n2 = 6 meses
i = i1 = i2 = 3% a.m. = 0,03 a.m.
n = 4 meses
3) Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000,00 para 90 dias e outro de R$ 
12.000,00, para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, 
respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo 
que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês.
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78
O princípio da equivalência é:
A = A1 + A2 
Exercícios
1) Um título de valor nominal igual a R$ 6.300,00 para 90 dias deverá ser 
substituído por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à 
taxa de 2,5% ao mês.
2) Um industrial deve pagar dois títulos: um de R$ 14.400,00 para 2 meses e outro 
de R$ 19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no 
vencimento, propõe ao credor substituí-los por um novo título para 4 meses. 
Qual o valor nominal do novo título, sendo a taxa igual a 3,8% ao mês?
3) Substitua três títulos, um de R$ 4.000,00 para 30 dias, outro de R$ 10.000,00 para 
60 dias e outro de R$ 16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais 
valores nominais, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor 
nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial 
da transação é de 3,5% ao mês?
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79
12. DESCONTO COMPOSTO
É o desconto no regime de capitalização composta e tem o mesmo sentido do 
desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes 
de seu vencimento.
O desconto composto é empregado nas operações “em longo prazo”, já que o 
desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo.
Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto 
composto: o racional (ou real, ou por dentro) e o comercial (ou bancário, ou por 
fora).
Segundo Crespo (2003, p. 127), o desconto composto comercial não é muito 
aplicado.
12.1. Desconto Composto Comercial ou “por fora”
Cálculo do Valor Atual
A = N⋅(1 – i)n.
12.2. Desconto Composto Racional ou “dentro”
Cálculo do Valor Atual
Valor atual, em regime de juro composto, de um capital N disponível no fim de n 
períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros 
compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos o montante N.
Assim, como M = C⋅(1 + i)n, substituindo M por N e C por Ar, temos:
N = Ar⋅(1 + i)n
 Ar = ( )ni1
N
+
 ou Ar = ( ) ni1N −+⋅
Exemplos:
1) Determine o valor atual (comercial e racional) composto de um título de R$ 
800,00, resgatado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2% ao mês.
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80
2) Calcule o valor atual (por fora e por dentro) composto, de um título de valor 
nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao 
ano, capitalizado semestralmente.
3) Um título de valor nominal de R$ 1.500,00 vai ser resgatado 3 meses antes de 
seu vencimento, através de uma taxa de 30% ao ano, capitalizado mensalmente. 
Qual seria o melhor desconto (comercial ou racional) composto concedido, do 
ponto de vista do portador do título?
4) Em uma operação de desconto composto racional, o portador do título 
recebeu R$ 36.954,00 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 
meses e o desconto de R$ 3.046,00, qual foi a taxa de juro mensal?
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81
Lista de Exercícios
Descontos
1) Determine o desconto de uma promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 40% ao 
ano., resgatada 75 dias antes do vencimento.
2) Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 234.375,00 cinqüenta dias 
antes de seu vencimento, à taxa de 45% ao ano. Qual o seu valor nominal?
A = 234.375,00 d = Nin como d = N - A
n = 50 dias N – A = Nin
i = 45% a.a. N = A/(1 – in)
3) Ao pagar um título de R$ 3.600,00 com antecipação de 90 dias, recebo um 
desconto de R$ 486,00. Qual é a taxa de desconto?
4) valor atual de um título de R$ 4.800,00 é R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa 
bancária de desconto é de 3,5% ao mês, calcule o tempo de antecipação e a 
taxa efetiva?
5) Uma duplicata de 69.000,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 
58.909,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 13/4% ao mês, calcule o tempo 
de antecipação e a taxa efetiva?
6) Um título de R$ 27.000,00 foi descontado faltando 60 dias para o seu 
vencimento. Sabendo que o desconto foi de R$ 1.800,00, calcule a taxa de 
desconto e a taxa de juro efetiva.
7) Uma empresa possui um título cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, com 
vencimento daqui a 150 dias. Quantos dias
antes do vencimento deve descontá-
lo, à taxa comercial de 36% ao ano, para que possa adquirir mercadorias no valor 
de R$ 6.790,00?
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82
13. CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA
13.1. INTRODUÇÃO
1. Construir um capital - Temos uma Capitalização
2. Resgatar uma dívida - Temos uma Amortização
13.2. RENDAS
A sucessão de depósitos ou prestações, em épocas distintas, destinadas a formar 
um capital ou pagar uma dívida é denominada renda.
Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são chamados “termos da 
renda” e o intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos 
consecutivos é chamado “período da renda”.
As rendas podem ser de dois tipos: Certas e Aleatórias:
1) Rendas Certas ou Anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus 
vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. 
Exemplo: Compra de bens a prazo.
2) Rendas Aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos três elementos não 
pode ser previamente determinado.
Exemplo: Pagamento de seguro de vida (o número de termos é 
indeterminado)
Quando o período da renda é sempre o mesmo, diz-se que ela é periódica, caso 
contrário, é não-periódica.
Se os termos da renda são iguais, ela é denominada constante, caso contrário, é 
variável.
Quanto ao vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ser:
 imediata, antecipada ou diferida.
♦ Renda Imediata : ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim 
do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do 
contrato. Assim, o vencimento do último termo (Tn) ocorre no fim do período n.
 T1 T2 T3 Tn-3 Tn-2 Tn-1 Tn termos
 0 1 2 3 n – 3 n – 2 n – 1 n períodos
Exemplo:
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83
Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira 
prestação um mês após a assinatura do contrato.
♦ Renda Antecipada : ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na 
da data zero. Assim, o vencimento do último termo ocorre no início do período 
n.
 T1 T2 T3 T4 Tn-2 Tn-1 Tn termos
 0 1 2 3 n – 3 n – 2 n – 1 n períodos
Exemplo:
Depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante 
um prazo determinado.
♦ Renda Diferida : ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim 
de um determinado número de períodos, a contar da data zero. Assim, o 
vencimento do último termo ocorre no fim de (m + n) períodos.
 T1 T2 Tn-2 Tn-1 Tn termos
 0 1 2 m m + 1 m + 2 m + n - 2 m + n - 1 m + n períodos
Exemplo:
Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira 
prestação no fim de um determinado número de meses.
Observações: Sempre que o tipo de renda não for especificado, deve-se 
considerar como renda imediata, por ser o tipo mais comum.
Resumo:















•
.termodoValor
ou,vencimentodeData
ou,termosdeNúmero
)faltaquando(
.termodoValor
vencimentodeData
termosdeNúmero
)terdeve(
Aleatórias
anuidadesouCertas
Rendas

 →
• periódica.Não
Periódica
rendadaPeríodo
iguaisPeríodos

 →
•
Variável.
Constante
rendadaTermos
iguaisTermos



→
→
→
•
.carênciaCom
entradaCom
períodoº1dofinalNo
Diferida
Antecipada
apostecipadouImediata
termo1ºdoVencimento
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13.3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Vamos estudar neste item, a determinação do montante constituído por depósitos 
periódicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa.
13.3.1. Renda Imediata
Situação problema:
♦ Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 
meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que 
essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados 
mensalmente. 
Temos: C = 100,00
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 5 m
Fórmula do montante:
 0 1 2 3 4 5 Mn = C(1 + i)n
 100 100 100 100 100 M5 = 100
M4 = 100(1 + 0,02) = 100 x 1,02
M3 = 100(1 + 0,02)2 = 100 x 1,022
M2 = 100(1 + 0,02)3 = 100 x 1,023
M1 = 100(1 + 0,02)4 = 100 x 1,024
O montante de uma renda é dado pela soma dos valores dos montantes de seus 
termos, denotada por ( inS ¬ - lê-se: Sn, cantoneira i ou, simplesmente S, n, i).
Assim, 02,05S ¬ = M1 + M2 + M3 + M4 + M5
02,05S ¬ = 100 + 100 x 1,02 + 100 x 1,022 + 100 x 1,023 + 100 x 1,024 =
02,05S ¬ = 100 (1 + 1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024) =
02,05S ¬ = 100 (1 + 1,02 + 1,0404 + 1,0612 + 1,0824) =
02,05S ¬ = 100 x 5,204 = 520,40
Genericamente, temos:
inS ¬ = T × (1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + (1 + i)4 )
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Aplicando a soma dos termos de uma PG no parêntese, temos: Sn = 1
1
−
−⋅
q
aqan
a1 = 1
an = (1 + i)4
q = (1 + i)
Como sn = 1
1
−
−×
q
aqan = 
( ) ( )
( ) 11
111 4
−+
−+×+
i
ii
= ( )
11
11 5
−+
−+
i
i = ( )
i
i 11 5 −+
Logo, 
 iS ¬5 = T × ( )i
i 11 5 −+ para i5s ¬ = i
i 1)1( 5 −+ (fator de 
capitalização)
 ins ¬ = i
i n 1)1( −+ (fator de capitalização)
 Sn¬ i → Soma dos montantes
onde T → Termos da renda (Prestações)
sn¬ i → Fator de Capitalização.
Assim, 
S5¬0,02 = 100 × s5¬0,02 = 100×5,20404 = 520,40
Exercícios
1) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância 
de R$ 800,00 a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano ?
2) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu 
ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2 anos e meio?
3) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de 
cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, 
ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00 ?
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4) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 
200.000,00, à taxa de 25% ao ano.
5) A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de 
R$ 8.093,00, forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto 
depósito ? (Use a Tábua Financeira).
6) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser calculadas, à 
taxa de 2% ao mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00? (Use a 
Tábua Financeira).
13.3.2. Renda Antecipada
Vimos que na renda antecipada, depositamos no início do período, n parcelas 
iguais a T, a uma taxa unitária i, referida à mesma unidade do período constante. 
Neste caso, a última prestação será depositada no tempo n – 1, e no tempo n, 
terá a correção do último período. Assim, o fator de capitalização será calculado 
sobre n + 1 períodos.
Situação-problema:
♦ Uma pessoa deposita numa poupança, no início de cada mês, durante 5 
meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que 
a instituição paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados 
mensalmente. 
Temos: C = 100,00
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
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n = 5 m
 0 1 2 3 4 5
 100 100 100 100 100 100(1 + 0,02)1 = 100 x 1,02
100(1 + 0,02)2 = 100 x 1,022
100(1 + 0,02)3 = 100 x 1,023
100(1 + 0,02)4 = 100 x 1,024
100(1 + 0,02)5 = 100 x 1,025
Fórmula Geral:
iS ¬5 = T × 
( )
i
i 11 6 −+ - T para i6s ¬ = i
i 1)1( 6 −+ (fator de capitalização)
Então, 
inS ¬ = T × ( i1ns ¬+ - 1) para i1ns ¬+ = i
i n 1)1( 1 −+ + (Fator de 
capitalização)
 
inS ¬ = T × ( i
i n 1)1( 1 −+ + - 1)
inS ¬ → Soma dos montantes
onde T → Termos da renda (Prestações)
i1ns ¬+ → Fator de Capitalização.
Assim, o exemplo acima é igual a:
iS ¬5 = 100 × (6,30812 – 1) = 100 × 5,30812 = 530,81.
Exercícios
1) Qual o montante de uma renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 
500,00, à taxa de 1,5% ao mês ?
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2) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a 
R$ 7.000,00, sendo de 2,5% ao trimestre a taxa de juro composto.
3) Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição 
financeira que paga 18% ao ano, para constituir o montante de R$ 50.000,00 
no fim de 3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente?
4) Uma pessoa realizou 10 depósitos bimestrais antecipados de R$ 10.000,00 e 
obteve o montante de R$ 128.412,00. Qual foi a taxa de juro ?
5) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 15.614,00 serão necessários 
para constituir o montante de R$ 200.000,00, à taxa de 12% ao ano, 
capitalizados mensalmente ?
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13.4. AMORTIZAÇÃO COMPOSTA
13.4.1. Renda Imediata ou “postecipada”
inA ¬ = T × ina ¬ para ina ¬ = n
n
)i1(i
1)i1(
+
−+
(Fator de Amortização)
 
inA ¬ = T × n
n
ii
i
)1(
1)1(
+
−+
An¬i → Valor Atual de uma renda imediata de n termos
onde T → Termos da renda (Prestações)
an¬i → Fator de Amortização.
Exercícios
1) Qual o valor atual de uma renda imediata de 12 termos iguais a R$ 15.000,00 
cada um, à taxa de 6% ao ano ?
2) Que dívida pode ser amortizada por 15 prestações de R$ 8.000,00 cada uma, 
sendo de 2% ao mês a taxa de juro ?
3) Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 10 prestações, 
um empréstimo de R$ 15.000,00 a juros de 2,5% ao mês.
4) O valor atual de uma renda anual e imediata de termo de R$ 9.000,00, à taxa 
de 6% ao ano, é de R$ 66.241,00. Calcule seu número de termos.
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5) Uma motocicleta custa, à vista, R$ 3.422,00. Compro-a a prazo dando 20% de 
entrada e pagando o restante em 12 prestações mensais de R$ 275,00. 
Calcule a taxa efetiva do financiamento.
13.4.2. Renda Antecipada
A n¬, i = T × (an + 1, i + 1), onde an + 1, i = 
( )
( ) 1
1
1
11
−
−
+
−+
n
n
ii
i
 , (Fator de Amortização).
 A n¬, i = T ×
( )
( ) 


+
+
−+
−
−
1
1
11
1
1
n
n
ii
i
A n¬, i → Valor Atual de uma renda antecipada de n termos
Onde T → Termos da renda
an - 1, i → Fator de Amortização.
Exercícios
1) Calcule o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos mensais de 
R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês.
2) Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar, com 6 
pagamentos, uma compra de R$ 6.500,00, com juro de 2,5% ao mês ?
3) Quantas prestações bimestrais antecipadas de 23.000,00 são necessárias para 
pagar uma dívida de R$ 2002.080,00, à taxa de 3% ao bimestre ?
4) José contraiu uma dívida de R$ 95.660,00, que deverá ser paga em 10 
prestações mensais antecipadas de R$ 10.000,00. Qual a taxa de juro ?
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13.4.3. Renda Diferida
As rendas diferidas são aquelas em que o primeiro termo é exigível ou cobrado a 
partir de um certo período de carência.
m/An = T ⋅ ( nmia + − mia ) onde nmia + = 
( )
( ) nm
nm
i1i
1i1
+
+
+
−+
 e mia = 
( )
( )m
m
i1i
1i1
+
−+
m é o período de carência;
n é o número de prestações;
T é o valor da prestação;
An é o valor do financiamento ou atual;
( nmia + − mia ) é o fator de amortização.
Exercícios
1) Qual o valor atual de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700,00, com 3 
meses de carência, a taxa de 1,5% ao mês?
2) Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com 10 
prestações mensais de R$ 500,00, sendo de 2% a taxa de juro e devendo a 
primeira prestação ser paga 3 meses depois de realizado o empréstimo?
(m = 3 -1 = 2 meses)
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3) Uma dívida de R$ 20.000,00 deve ser amortizada com 4 pagamentos bimestrais 
consecutivos, sendo de 4% ao bimestre a taxa de juro. Calcule essa 
prestação, sabendo que o pagamento da primeira delas deve ser efetuado 3 
bimestres após a realização do empréstimo. (m = 3 – 1 = 2 bimestres).
4) Determinar o coeficiente de financiamento e o valor das prestações de uma 
operação de financiamento de R$ 25.000,00 a ser liquidado em 18 prestações 
mensais e iguais com carência de um trimestre. Admita uma taxa de juros de 
2,73% ao mês.
5) O preço a vista de uma TV é de R$ 2.000,00. O vendedor está oferecendo as 
seguintes condições para venda a prazo:
a) Entrado de 20%;
b) Saldo em 4 prestações mensais, iguais e sucessivos, vencendo a primeira de 
hoje a 60 dias.
Determinar o valor de cada prestação admitindo uma taxa de juros de 3,1% 
ao mês.
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REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
CRESPO, A. Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 13 ed. São Paulo: 
Saraiva, 1999, 5ª tiragem, 2003.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 7 ed. São 
Paulo: Atlas, 2002.
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	9.1. Juro
	Lista de Exercícios
	Taxa Equivalente; Taxa Nominal; Taxa Efetiva e Taxa Aparente de Juros Compostos.
	Exercícios
	Lista de Exercícios
	Descontos
	13. CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA
	13.1. INTRODUÇÃO
	13.2. RENDAS
	13.3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
	Temos:	C = 100,00
	Temos:	C = 100,00
	REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA