CALCULO II Roteiro_4

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

unesp
Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II: 2
O 
 Semestre de 2013 - Mecânica 
Roteiro 4: A Antidiferencial e Técnicas de Integração 
 
Objetivos: Introduzir o conceito de antidiferencial ou primitiva de uma função além de 
introduzir e efetuar cálculos de antiderivadas ou primitivas. 
 
(a) A Antidiferenciação ou Antiderivação 
Considere as funções F1(x) = 
4
3
x3

, F2(x) = 
1
3
x3

 e G(x) = 
cx2sen
2
1

. Pode-se 
observar que: 
(a) 
)x(f)x(F)x(F 21 
, quando se considera a função f(x) = x
2
; 
(b) 
x2cos)x(G 
 e então pode-se dizer que 
)x(g)x(G 
 sendo g(x) = cos(2x); 
 
Definição: Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f num 
intervalo I, se F’(x) = f(x),  x  I. 
 
Exemplo: Dadas as funções f(x) = x
2
 e g(x) = cos(2x), tem-se que F1(x) = 
4
3
x3

, F2(x) = 
1
3
x3

 e G(x) = 
cx2sen
2
1

 são respectivamente as primitivas de f(x) e g(x). Note que a 
primitiva de uma função não é única, pois F(x) + k, k constante é uma família de 
primitivas de f em I. 
 
Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + k é chamada integral 
indefinida da função f(x) e é denotada por 
 dx)x(f
 = F(x) + k. 
 
Observações: Na notação 
 dx)x(f
 tem-se que: 
 f denomina-se função integrando; 
 o símbolo 

é chamado sinal de integração; 
 f(x) dx é o integrando; 
 o símbolo dx que aparece no integrando representa a variável de integração; 
 O domínio da função f é sempre um intervalo e quando não mencionado tem esse 
significado. 
 
Problema 1: Determine uma primitiva f(x) para as seguintes funções: 
(a) g(x) = 0; 
(b) g(x) = 1; 
(c) g(x) = cos x; 
(d) g(x) = 
2
2
1)+(x
x2x 
; 
(e) g(x) = 3 sec2 3x; 
 
 
 
 
2 
(f) g(x) = 
2x1
1

; 
(g) g(x) = 
2x1
1

; 
(h) g(x) = 4e4x ; 
(i) g(x) = 
x
1
; 
(j) g(x) = x3/5 cos2 x ; 
(k) g(x) = 
2
2
1) - (2x
x sen- x x)cos(2x 
. 
 
Problema 2: 
(a) Determine duas funções 
(x)f1
 e f2(x) tais que 
x sen= x)(f = x)(f '2
'
1
; 
(b) Determine outras antiderivadas de f(x) = sen x; 
 
Do Problema 1 e dois, tem-se que: 
(1) 
  C cosx- senxdx
; 
(2) 
  C senx cosxdx
. 
 
Problema 3: 
(a) Se 
0 = (x)' f
 em um intervalo I, o que você pode concluir sobre f(x)? 
(b) Se 
 x)(f = x)(f '2
'
1
, para todo x em um intervalo I, o que você pode concluir sobre f1(x) e 
f2(x)? 
 
Teorema: Se F(x) for uma antiderivada particular de f(x) em um intervalo I, então toda 
antiderivada de f(x) em I será da forma F(x) + c sendo c uma constante arbitrária. 
 
Observação: Se 
f(x) = (x)' F
 então a diferencial de F(x) é 
f(x)dx = (x)dx' F
. Portanto 
podemos pensar que calcular uma antiderivada de f(x) é equivalente a calcular uma função 
F(x) cuja diferencial é f(x)dx. 
 
Problema 4: Calcular 
 f(x)dx
, sendo: 
(a) f(x) = 10; 
(b) f(x) = x; 
(c) f(x) = sec x tg x. 
 
Problema 5: Determine uma função f(x) tal que 
2x = (x)' f
 e f(0) = 1. 
 
Observação: Um dos objetivos principais do curso será o dado uma função f(x) determinar 
 f(x)dx
. Para tal, serão introduzidas algumas propriedades das primitivas. 
 
 
 
 
 
3 
Problema 6: Lembrando as propriedades da derivação da soma de funções e do produto de 
uma função por uma constante, o que se pode concluir sobre 
  dx)x(g + x)(g 21
 e 
cg(x)dx 
? 
 
Propriedades: 
(1) 
  x)dx(g + x)dx(g = dx)x(g + x)(g 2121  
; 
(2) 
 dx)x(cg
 = c
 dx)x(g
. 
 
 
Problema 7: 
(a) Observando que a Propriedade 1 vale para um número finito de funções, como fica a 
questão das constantes? 
(b) Lembrando que se m for um número racional (xm)’ = mxm-1, como você calcularia 
 dxx
n
, n  -1? 
 
Problema 8: Calcule as integrais dadas. 
(a) 
dx
x
1
x sen
x cotg
2x+x32 
3
2/52 






; 
(b) 
dx
x-1
1
x
2
 
2 





 
 
Problema 9: Em qualquer ponto (x, f(x)) do gráfico de função f(x), a reta tangente tem a 
inclinação dada por 4x-5. Se f(3) = 7, ache a função f(x). 
 
 Na determinação das primitivas, utilizam-se alguns métodos e procedimentos, os 
quais serão introduzidos a seguir. 
 
2. Métodos de Determinação de Primitivas 
 
Método 1: Utilização da Regra da Cadeia. 
 
Problema 10: 
(a) Recorde quanto vale (Fg)(x). 
(b) Calcule 
  (x)g'g(x)f
dx, se F(x) = f(x). 
(c) Calcule 
  dx x6)1x3( 52
. 
(d) Calcule 
 1-2x
 dx. 
 
Observação: Na questão anterior no item (d), surgiu a necessidade de “descobrir” a 
multiplicação pela constante 2. Em geral, de maneira prática, esta dificuldade é superada 
por utilização do método a seguir. 
 
 
 
 
 
4 
Método 2: Método da Substituição ou Mudança de Variável 
 
Se f(x) e F(x) são duas funções tais que F’(x) = f(x), suponha que g(x) seja outra 
função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Pode-se considerar 
a função Fog e então: 
 
(Fog)(x) = F(g(x)). g(x) = f(g(x)). g(x), 
 
isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)). g(x). 
Se u = g(x) e du = g(x) dx e substituindo na expressão 
 (x)g'f(g(x))
dx = F(g(x)) + 
c, obtém-se: 
 
 (x)g'f(g(x))
dx = 
udf(u)
 = F(u) + c. 
 
Este é o método da substituição ou mudança de varáveis para integração. 
 
Exemplos: 
(a) Calcular 
 dx x2e
2x
. 
Toma-se x
2
 = u calculando sua derivada, obtém-se du = 2xdx. Então 
  due = dx 2x e ux
2
 
e obtém-se que 
  Ke = Ke = dx 2x e
22 xux
; 
 
(b) 
dx 
x1
x2
2 





 = 
 u
du
 = ln (1+x
2
) + c, sendo u = 1 + x
2
. 
 
Problema 11: Calcule as integrais dadas a seguir. 
(a) 
dx x senx 2
; 
(b) 
dx 
)x41(
x
54
3
 
; 
(c) 
dx x2x2 
; 
(d) 
dx x cos-1 x sen
; 
(e) 
dx 
1+x2
1
 




; 
(f) 
 dx x tg
; 
(g) 
 
)5x3(
dx
8 
; 
(h) 
  3x)dx sec x( 2
; 
(i) 
 
a+x
dx
22
; 
 
 
 
 
5 
(j) 
 
13 6x+x
dx
2 
; 
(k) 
 dt 2t - t 42
. 
 
Método 3: Integração Por Partes 
 
Problema 12: 
(a) Recorde quanto vale (fg)(x). 
(b) Calcule 
 dx)x(f(x)g +(x)g(x)f ''
. 
(c) Conhecendo-se f(x) e g(x), como você poderia calcular 
(x)g(x)dxf '
? 
 
Teorema: 
x)dx(f(x)g - f(x)g(x) = (x)g(x)dxf '' 
. 
 
Observe que se tomarmos u = f(x) e v = g(x) então: 
 
x)dx(f = du '
 e 
x)dx(g = dv '
. 
 
Assim, 
 x)g(x)dx(f '
 = 
 (x)dxg(x)f '
 = 
 du v 
 = 
 dv u - uv 
. 
 
Portanto: 
 x)g(x)dx(f '
 = 
 du v 
 = 
 dv u - uv 
. 
 
De outro modo: 
 x)g(x)dx(f '
 = 
  vduuv dv u 
. 
 
Este é o método de Integração Por Partes. 
 
Exemplo: Calcular 
 dx xex
. 
Tome v = x e du = e
x
dx. Então: 
dv = dx e u = e
x
. 
Daí: 
dx xex
 = 
 dx e - xe xx
 = 
K e - xe xx 
. 
 
Problema 13: Calcule as integrais indefinidas a seguir. 
(a) 
dx ex x-2
 
(b) 
 xdxln
 
(c) 
arctgxdx
 
 
 
 
 
6 
(d) 
 senxdxxex
(e) 
lnxdxx2
 
(f) 
dx senxx2
 
(g) 
 xdxcose 2x-
 
(h) 
 xdxcoshx2
. 
(i) 
 xdxsen3
 
 
Método 4: Cálculo de Primitivas Envolvendo Potências de Funções Trigonométricas 
 
A seguir, apresentam-se algumas das relações trigonométricas mais importantes as 
quais serão bastante úteis no calculo de primitivas envolvendo funções trigonométricas. 
(1) 
1 = x cos + x sen 22
; 
(2) 
2
2x cos - 1
 = x sen2
 e 
2
2x cos + 1
 = x cos2
; 
(3) 
x sec= x tg + 1 22
 e 
x cosec = x cotg + 1 22
; 
(4) 
b)-(a sen
2
1
 + b)+ sen(a
2
1
 = b cosa sen
; 
(5) 
b)-(a cos 
2
1
 + b)+(a cos 
2
1
- = b a sen sen
; 
(6) 
b)-(a cos 
2
1
 + b)+cos(a 
2
1
 = b cosa cos
. 
 
Questão 1: Como se calcula integrais envolvendo potências de seno e cos-seno? 
 
Para a solução dessa questão, necessita-se considerar várias situações no integrando: 
 
Caso 1: 
dx x cos x senn
 ou 
 dx x cos x sen n
. 
 
Problema 14: 
(a) Calcule 
 dx x cos x sen
, usando que u = senx; 
(b) Calcule 
dx x cos x senn
, n par ou ímpar; 
(c) Calcule 
 dx x cos x sen n
, n par ou ímpar. 
 
Conclusão: Na situação descrita no caso 1, usa-se o método da substituição, fazendo u = 
senx ou u = cosx. 
 
Caso 2: 
  dx x cos e dx x sen nn
, sendo n inteiro ímpar ou 
dxx senxcos mn
, sendo pelo 
menos um dos expoentes inteiro ímpar. 
 
 
 
 
 
 
7 
Problema 15: Calcule as seguintes integrais: 
(a) 
 dx xsen3
; 
(b) 
 dx xosc 5
; 
(c) Calcule 
dxx senxcos 34
 
 
Conclusões: 
(1) A potência do seno ou cos-seno é “quebrada” de tal modo a se utilizar a relação 
trigonométrica fundamental: 
1 = x cos + x sen 22
; 
(2) Utiliza-se a técnica da substituição u = senx ou u = cosx. 
 
Observação: Note que após a conclusão (1) anterior, a integral obtida recai no Caso 1. 
 
Caso 3: 
  dx x cos e dx x sen nn
, sendo n inteiro par ou 
dxx senxcos mn
, sendo m e n 
inteiros pares. 
 
Problema 16: Calcule as integrais dadas: 
(a) 
 dx x sen2
; 
(b) 
 dx x cos4
; 
(c) 
dx x senx cos 22
. 
 
Conclusões: 
(1) Não é possível a aplicação do método usado no caso 2; 
(2) A potência do seno ou cos-seno é rearranjada de tal modo a se utilizar as relações 
trigonométricas: 
2
2x cos - 1
 = x sen2
 ou 
2
2x cos + 1
 = x cos2
. 
 
Caso 4: Os argumentos do seno ou cos-seno são do tipo t = 2x, t = 3x, etc.... 
 
Problema 19: Calcular as seguintes integrais: 
(a) 
 dx 3x cos 2x sen
; 
(b) 
 dx 4x cos 2x cos
; 
(c) 
 dx 4x sen2x sen
. 
 
Conclusão: Usam-se as seguintes relações trigonométricas: 
 
b)-(a sen
2
1
 + b)+ sen(a
2
1
 = b cosa sen
, 
b)-(a cos 
2
1
 + b)+(a cos 
2
1
- = b a sen sen
 ou 
b)-(a cos 
2
1
 + b)+cos(a 
2
1
 = b cosa cos
. 
 
 
 
 
 
 
8 
Problema 20: Como você calcula as seguintes integrais? 
(1) 
dx xsec2
; 
(2) 
dx tgx secx
; 
(3) 
dx xcosec2
; 
(4) 
dx cotgx cosecx
; 
 
Problema 21: Como você calcula as seguintes integrais? 
(1) 
dx tgx
; 
(2) 
dx cotgx
; 
(3) 
dx secx
; 
(4) 
dx cosecx
. 
 
Questão 2: Como se calcula integrais envolvendo potências das demais funções 
trigonométricas? 
 
Caso 1: 
dx x secxgt nm
 ou 
dx xcosec xgcot nm
 sendo n inteiro positivo par. 
 
Problema 22: Calcule as integrais dadas: 
(a) 
 dx x secx tg 2n
. 
(b) 
 dx x secxtg 4m
; 
(c) 
 dx xcosec xcotg 4m
. 
 
Conclusão: 
(1) “Quebra-se” a potência da secx ou cosecx de forma a se ter sempre a potência sec2 x 
ou cosec
2
 x; 
(2) Usa-se a relação trigonométrica 
x sec= x tg + 1 22
 ou 
x cosec = x cotg + 1 22
; 
(3) Usa-se a técnica da mudança de variável fazendo u = tgx ou u = cotgx. 
 
Caso 2: 
dx x secxgt nm
 ou 
dx xcosec xgcot nm
 sendo m inteiro positivo ímpar. 
 
Problema 23: Calcule as integrais: 
(1) 
 dx x secx tg 3
; 
(2) 
 dx x secxtg 75
. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Conclusão: 
(1) “Quebram-se” as potências da tgx e secx ou cotgx e cosecx de forma a se ter sempre a 
potência secx tgx ou cotgx cosecx; 
(2) Usa-se a relação trigonométrica 
1 - x sec= x tg 22
 ou 
1- xcosec = xcotg 22
; 
(3) Usa-se a técnica da mudança de variável fazendo u = secx ou u = cosecx. 
 
Observação: A técnica da integração por partes é utilizada para a solução das integrais 
dx x secxgt nm
 ou 
dx xcosec xgcot nm
 sendo m inteiro positivo par e n é um inteiro positivo 
ímpar. 
 
Problema 24: Calcule a integral 
 xdxsecxtg2
.