Circuitos Magneticamente Acoplados

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Circuitos Elétricos
Circuitos Magneticamente Acoplados
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
Introdução
• Os circuitos que estudamos até o momento são considerados 
condutivamente acoplados.
– Um laço afeta o laço vizinho através da condução de corrente.
• Quando dois laços com ou sem contato se afetam através do 
campo magnético gerado por um deles, são chamados de 
magneticamente acoplados.
• Exemplo: Transformador → bobinas magneticamente 
acopladas para transferir energia de um circuito para outro.
Indutância Mútua
• Quando dois indutores (ou bobinas) estão próximos, o fluxo 
magnético causado pela corrente em uma bobina induz tensão na 
outra bobina.
• Este fenômeno é chamado de indutância mútua.
• Para um indutor simples de N
espiras, quando uma corrente i
flui através dele, um fluxo
magnético φ é produzido ao redor
dele.
• De acordo com a lei de Faraday, a tensão induzida no indutor é:
ݒ = ܰ ݀߶݀ݐ
Indutância Mútua
• Mas o fluxo φ é produzido pela corrente i, portanto qualquer 
mudança em φ é causada por uma variação na corrente:
ݒ = ܰ ݀߶݀݅
݀݅
݀ݐ
ou
ݒ = ܮ ݀݅݀ݐ
• A indutância L do indutor é dada por:
ܮ = ܰ ݀߶݀݅
• Esta indutância é chamada de auto-indutância, pois relaciona a
tensão induzida em uma bobina por uma corrente variante no tempo
na mesma bobina.
Indutância Mútua
• Considerando agora duas bobinas com auto-indutâncias L1 e 
L2 que estão próximas. A bobina 1 tem N1 voltas e a bobina 2 
tem N2 voltas. Assumimos que a bobina 2 não transporta 
corrente.
• O fluxo magnético φ1 originário na bobina 1 tem dois 
componentes: o componente φ11 percorre somente a bobina 1 
e o componente φ12 percorre ambas as bobinas. Portanto:
߶ଵ = ߶ଵଵ + ߶ଵଶ
Indutância Mútua
• Apesar das duas bobinas estarem fisicamente separadas, 
elas estão magneticamente acopladas. Como o fluxo total φ1 
percorre a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1:
ݒଵ = ଵܰ
݀߶ଵ
݀ݐ
• Somente o fluxo φ12 percorre a bobina 2, logo a tensão
induzida na bobina 2:
ݒଶ = ଶܰ
݀߶ଵଶ
݀ݐ
Indutância Mútua
• Novamente, como os fluxos são causados pela corrente i1 fluindo na bobina 1:
ݒଵ = ଵܰ
݀߶ଵ
݀݅ଵ
݀݅ଵ
݀ݐ = ܮଵ
݀݅ଵ
݀ݐ
• onde ܮଵ = ଵܰ݀߶ଵ/݀݅ଵ é a auto-indutância da bobina 1. Da mesma maneira:
ݒଶ = ଶܰ
݀߶ଵଶ
݀݅ଵ
݀݅ଵ
݀ݐ = ܯଶଵ
݀݅ଵ
݀ݐ
onde:
ܯଶଵ = ଶܰ
݀߶ଵଶ
݀݅ଵ
• M21 é a indutância mútua da bobina 2 com respeito a bobina 1. O índice 21
indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 2 à corrente na
bobina 1. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a
bobina 2 é:
ݒଶ = ܯଶଵ
݀݅ଵ
݀ݐ
Indutância Mútua
• Supondo agora que a corrente i2 flui na bobina 2, enquanto a bobina 
1 não transporta corrente.
߶ଶ = ߶ଶଵ + ߶ଶଶ
• Como o fluxo total φ2 percorre a bobina 2, a tensão induzida na 
bobina 2:
ݒଶ = ଶܰ
݀߶ଶ
݀ݐ = ଶܰ
݀߶ଶ
݀݅ଶ
݀݅ଶ
݀ݐ = ܮଶ
݀݅ଶ
݀ݐ
• onde ܮଶ = ଶܰ݀߶ଶ/݀݅ଶ é a auto-indutância da bobina 2.
Indutância Mútua
• Da mesma maneira:
ݒଵ = ଵܰ
݀߶ଶଵ
݀ݐ = ଵܰ
݀߶ଶଵ
݀݅ଶ
݀݅ଶ
݀ݐ = ܯଵଶ
݀݅ଶ
݀ݐ
onde:
ܯଵଶ = ଵܰ
݀߶ଶଵ
݀݅ଶ
• M12 é a indutância mútua da bobina 1 com respeito a bobina 2.
O índice 12 indica que a indutância relaciona a tensão
induzida na bobina 1 à corrente na bobina 2. Assim, a tensão
mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina
1 é:
ݒଵ = ܯଵଶ
݀݅ଶ
݀ݐ
Indutância Mútua
• Veremos que:
ܯଵଶ = ܯଶଵ = ܯ
• M é a indutância mútua entre duas bobinas. É medida em
henrys (H).
• Note que o acoplamento mútuo existe somente se as bobinas
estiverem próximas e os circuitos forem alimentados por
fontes variantes no tempo.
Indutância Mútua é a capacidade de um indutor induzir uma 
tensão sobre um indutor vizinho, medida em henrys (H).
Indutância Mútua
• Convenção do ponto para a análise de circuitos:
– A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos construtivos.
– A convenção de pontos eliminada a necessidade de descrever os 
aspectos construtivos em circuitos
• Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de cada 
um dos indutores acoplados magneticamente. 
• Indica a direção do fluxo magnético se a corrente entra pelo 
terminal marcado com o ponto.
Indutância Mútua
• A convenção dos pontos diz o seguinte:
Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto de uma bobina, 
a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina 
é positiva no terminal com o ponto da segunda bobina.
• ou 
Se uma corrente sai pelo terminal com o ponto de uma bobina, a 
polaridade de referencia da tensão mútua na segunda bobina é 
negativa no terminal com o ponto da segunda bobina.
• Assim, a polaridade de referencia de um tensão mútua
depende da direção de referencia da corrente induzida e os
pontos nas bobinas acopladas.
Indutância Mútua
• A aplicação da convenção de
pontos pode ser ilustrada pelas
figuras ao lado:
Indutância Mútua
• A convenção de pontos, para indutores conectados em série, 
pontos se somando, a indutância total será:
ܮ = ܮଵ + ܮଶ + 2ܯ
• Para indutores conectados em série, com pontos opostos, a 
indutância total será:
ܮ = ܮଵ + ܮଶ − 2ܯ
Análise de Circuitos Envolvendo 
Indutâncias Mútuas
• Aplicando a LTK na malha1:
ݒଵ = ݅ଵܴଵ + ܮଵ
݀݅ଵ
݀ݐ + ܯ
݀݅ଶ
݀ݐ
• Aplicando a LTK na malha 2:
ݒଶ = ݅ଶܴଶ + ܮଶ
݀݅ଶ
݀ݐ + ܯ
݀݅ଵ
݀ݐ
• Passando para o domínio da frequência:
܄ଵ = ܴଵ + ݆߱ܮଵ ۷ଵ + ݆߱ܯ۷ଶ
܄ଶ = ݆߱ܯ۷ଵ + ܴଶ + ݆߱ܮଶ ۷ଶ
Análise de Circuitos Envolvendo 
Indutâncias Mútuas
• Aplicando a LTK na malha 1:
܄ = ܈ଵ + ݆߱ܮଵ ۷ଵ + ݆߱ܯ۷ଶ
• Aplicando a LTK na malha 2:
0 = −݆߱ܯ۷ଵ + ܈௅ + ݆߱ܮଶ ۷ଶ
• As equações acima podem ser resolvidas da maneira usual para 
encontrar as correntes.
• Note que assumiremos sempre que a indutância mútua e a posição 
dos pontos são fornecidas.
Energia em Circuitos Acoplados
• A energia armazenada em um indutor:
ݓ = 12 ܮ݅
ଶ
• A energia armazenada em dois indutores
acoplados magneticamente, assumindo
que a corrente entra nos terminais com
ponto em ambos indutores:
ݓ = 12ܮଵ݅ଵ
ଶ + 12 ܮଶ݅ଶ
ଶ + ܯ݅ଵ݅ଶ
• Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto em um indutor e 
sai pelo terminal com ponto no outro indutor:
ݓ = 12 ܮଵܫଵ
ଶ + 12 ܮଶܫଶ
ଶ − ܯ݅ଵ݅ଶ
Energia em Circuitos Acoplados
• O limite superior para a indutância mútua M:
ܯ ≤ ܮଵܮଶ
• Ou seja, a média geométrica das auto-indutâncias dos indutores.
• O coeficiente de acoplamento, mostra o quanto a indutância mútua 
se aproxima de seu limite superior:
݇ = ܯܮଵܮଶ
• onde 0 ≤ ݇ ≤ 1. O coeficiente de acoplamento é a fração do fluxo 
total emanando de um indutor que conecta ao outro indutor:
݇ = ߶ଵଶ߶ଵ =
߶ଵଶ
߶ଵଵ + ߶ଵଶ 													݇ =
߶ଶଵ
߶ଶ =
߶ଶଵ
߶ଶଵ + ߶ଶଶ
Energia em Circuitos Acoplados
• Se todo o fluxo produzido por um indutor atinge outro, então k 
= 1 e temos uma acoplamento 100% ou perfeitamente 
acoplados.
• Para k < 0,5 temos indutores fracamente acoplados.
• Para k > 0,5 temos indutores fortemente acoplados.
• O coeficiente de acoplamento é
uma medida do acoplamento
magnético entre dois indutores;
0 ≤ ݇ ≤ 1.
Transformador Linear
• É um dispositivo magnético que utiliza o fenômeno da 
indutância mutua.
• Um transformador é geralmente um dispositivo de quatro
terminais compreendendo dois ou mais bobinas acopladas
magneticamente.
• A bobina conectada diretamente a uma fonte de tensão é 
chamado de enrolamento primário.
• A bobina conectada a carga é chamada de enrolamento
secundário.
• As resistências representam as perdas nas bobinas.
Transformador Linear
• Um transformador é considerado linear se as bobinas são 
enroladas em um material magnético linear (permeabilidade 
magnética constante), como baquelite, ar, plástico e madeira.
• Para obtermos a impedância de entrada, aplicamos
a LTK 
nas duas malhas, e temos:
܈୧୬ =
܄
۷ଵ = ܴଵ + ݆߱ܮଵ +
߱ଶܯଶ
ܴଶ + ݆߱ܮଶ + ܈௅
– O primeiro termo (ܴଵ + ݆߱ܮଵ) é a impedância primária.
– O segundo termo é devido ao acoplamento entre os enrolamentos
primário e secundário e é chamada de impedância refletida ao primário:
܈ோ =
߱ଶܯଶ
ܴଶ + ݆߱ܮଶ + ܈௅
Transformador Linear
• Para simplificar a análise é possível substituir o acoplamento 
magnético por um circuito equivalente T (ou Y) ou Π (ou Δ) 
que não contém a indutância mútua:
• Circuito equivalente T:
ܮ௔ = ܮଵ −ܯ, ܮ௕ = ܮଶ −ܯ, 	 ܮ௖ = ܯ
• Circuito equivalente Π:
ܮ஺ =
ܮଵܮଶ −ܯଶ
ܮଶ −ܯ , ܮ஻ =
ܮଵܮଶ − ܯଶ
ܮଵ − ܯ , 	 ܮ஼ =
ܮଵܮଶ −ܯଶ
ܯ
Transformador Ideal
• Um transformador ideal é aquele com acoplamento perfeito (k 
= 1).
• Consiste em duas bobinas com um número grande de voltas 
em um núcleo comum de alta permeabilidade. Devido a esta 
alta permeabilidade do núcleo, o fluxo liga todas as voltas de 
ambas as bobinas, resultando portanto em um acoplamento 
perfeito.
• Um transformador é dito ser ideal se:
– As bobinas tiveram reatâncias bastante elevadas (L1, L2, M→ ∞);
– O coeficiente de acoplamneto é unitário (k=1);
– Os enrolamentos primário e secundário não possuem perdas (R1 = R2= 
0).
Transformador Ideal
• Transformadores com núcleo de ferro são uma aproximação 
de transformadores ideais.
• De acordo com a Lei de Faraday,
as tensões sobre os enrolamentos
primário e secundário são
respectivamente:
ݒଵ = ଵܰ ௗథௗ௧ 						ݒଶ = ଶܰ
ௗథ
ௗ௧
Transformador Ideal
• Dividindo as equações anteriores temos:
ݒଶ
ݒଵ =
ଶܰ
ଵܰ
= ݊
onde n é a razão de voltas ou razão de transformação.
• Usando fasores, temos:
܄ଶ
܄ଵ =
ଶܰ
ଵܰ
= ݊
Transformador Ideal
• Pelo princípio da conservação da energia, temos:
ݒଵ݅ଵ = ݒଶ݅ଶ
• Na forma fasor, temos:
۷ଵ
۷ଶ =
܄ଶ
܄ଵ = ݊
• Mostrando que as correntes primária e secundária estão
relacionadas à razão de voltas de maneira inversa que as
tensões, então:
۷ଶ
۷ଵ =
ଵܰ
ଶܰ
= 1݊
Transformador Ideal
۷ଶ
۷ଵ =
ଵܰ
ଶܰ
= 1݊
• Quando n=1, chamamos o transformador de transformador de
isolamento.
• Se n>1 temos um transformador elevador, pois a tensão
aumenta do primário para o secundário (V2>V1).
• Se n<1 temos um transformador abaixador, pois a tensão
decresce do primário para o secundário (V2<V1).
Transformador Ideal
• Quanto a polaridade das tensões e direção das correntes, 
temos:
1. Se V1 e V2 são ambas positivas
ou ambas negativas nos
terminais com ponto, use +n.
Caso contrário use –n. 
2. Se tanto I1 quanto I2 entram
ou ambas saem dos terminais
com ponto, use –n.
Caso contrário use +n. 
Transformador Ideal
• A potência complexa no enrolamento primário é:
܁ଵ = ܄ଵ۷ଵ∗ =
܄ଶ
݊ (݊۷ଶ)
∗= ܄ଶ۷ଶ∗ = ܁ଶ
• Não há perda de potência. O transformador ideal não absorve
potência.
• A impedância de entrada vista pela fonte:
ܼ௜௡ =
܄ଵ
۷ଵ =
1
݊ଶ
܄ଶ
۷ଶ
• Mas como ܄ଶ ۷ଶ⁄ = ܈௅, então:
ܼ௜௡ =
܈௅
݊ଶ
Transformador Ideal
• Uma prática comum na análise de circuitos é eliminar o
transformador, refletindo as impedâncias e fontes de um lado
do transformador para o outro.
• Refletindo o lado secundário para o primário:
– Obtemos o equivalente de Thevenin do circuito a direita dos terminais a-
b.
– Obtemos VTh como a tensão de circuito aberto nos terminais a-b.
– Obtemos ZTh removendo a fonte tensão no enrolamento secundário e
inserindo uma fonte unitária nos terminais a-b.
– Tendo VTh e ZTh adicionamos o equivalente de Thevenin à esquerda de
a-b.
Transformador Ideal
• Refletindo o lado secundário para o primário:
܄୘୦ =
܄௦ଶ
݊ 																																																									܈୘୦ =
܈ଶ
݊ଶ
Transformador Ideal
• A regra geral para eliminar o transformador e refletir o circuito
secundário para o lado do primário é: dividir a impedância
secundária por n2, dividir a tensão secundária por n e
multiplicar a corrente secundária por n.
• Para refletir o lado primário do circuito para o lado secundário:
– A regra para eliminar o transformador e refletir o circuito primário para o
lado secundário é: multiplicar a impedância primária por n2, multiplicar a
tensão primária por n e dividir a corrente primária por n.