lista de exercícios

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Algebra Linear I (Graduação)
Professor: Jefferson Abrantes
Turma 06 Manhã
Lista de Exercícios
1. Abaixo é dado algumas transformações lineares, encontre o polinômio
característico de cada uma e a partir deles encontre os autovalores e
autovetores correspondentes:
a). T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y);
b). T : R2 → R2, T (x, y) = (5x− y, x+ 3y);
c). T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ y + z, 2y + z, 2y + 3z);
d). T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ y, y, z);
e). T : P 2(R)→ P 2(R), T (a+ bx+ cx2) = a+ (a+ b)x+ (b− c)x2;
f). T :M3(R)→M3(R), T
 a b cd e f
g h i
 =
 a+ b 0 00 e+ h 0
0 0 i+ f
.
2. Sabemos que o polinômio caracteristíco é encontrado pela seguinte re-
lação
p(λ) = det(A− λI),
onde A é a matriz da transformação na base canônica ou seja, A = [T ]αα
onde α é a base canônica, λ é um autovalor e I é a matriz identidade
de mesma ordem de A. Abaixo é dado matrizes A, encontre os seus
polinômios característicos, seus autovalores e autovetores:
a). A =
 3 2 11 4 1
1 2 3
 ;
b). A =
(
2 1
3 4
)
;
c). A =
 2 2 −11 0 1
2 −2 3
 ;
c). A =
 1 2 −1−2 −3 1
2 2 −2
 ;
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3. Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1) são autovetores de um operador
linear T : R2 → R2 associados a λ1 = 5 e λ2 = −1 respectivamente.
Determine a transformação T , seu núcleo e sua imagem. Verifique se é
isomorfismo e calcule sua inversa em caso afirmativo.
4. Se λ1 = 4 e λ2 = 2 são autovalores de um operador linear TR2 → R2
associados aos autovetores u = (2, 1) e v = (−1, 3), respectivamente,
determinar T (3u− v).
5. Seja T : R2 → R2 o operador linear definido por T (x, y) = (7x −
4y, 4x+ y).
a). Determinar uma base do R2 em relação a qual a matriz do operador
T é diagonal.
b). Dar a matriz de T nessa base.
2. 6. Seja T : R3 → R3 onde T (x, y, z) = (−2x+4y− 4z, x− 2y+ z, 3x−
6y + 5z) α a base canônica e β = {(0, 1, 1), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)} e
[T ]ββ =
 −1 0 00 2 2
0 0 0
 e [T ]αα =
 −2 4 −41 −2 1
3 −6 5
 .
Determine as matrizes P e P−1 tais que
[T ]ββ = P [T ]
α
αP
−1.
Agora, considerando γ = {(1, 0, 2), (0, 1, 2), (1,−1, 1)} base de R3, de-
termine.
a). A matriz mudança de base [I]αγ .
b). A matriz mudança de base [I]γα.
c). A matriz associada a transformação linear [T ]γα.
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