Aula 07 - Diagramas de Bode e Nyquist

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Engenharia de ControleEngenharia de Controle
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
IntroduçãoIntrodução
 Diagramas de Bode: Diagramas de Bode: Representações da resposta Representações da resposta 
em freqüênciaem freqüência 
 Magnitude e fase em função da freqüência Magnitude e fase em função da freqüência
 Escalas logarítmicas aplicadas aos eixos de Escalas logarítmicas aplicadas aos eixos de 
freqüência e magnitudefreqüência e magnitude
 Exemplo de construção: Exemplo de construção: Sistema de 2 Sistema de 2aa ordem ordem
      
 
   21
3
21
3
11
1
11
1




ss
sK
ss
sKsG




1ii:���
freqüências de quebrafreqüências de quebra
IntroduçãoIntrodução
      
 
   21
3
21
3
11
1
11
1




ss
sK
ss
sKsG




 
 1 1 
 1 
 
21
3



jj
jK
jG



Utilizando:Utilizando: dlogclogblogalogcdlogablog
cd
ablog 



 
Definindo: Definindo: Decibel (dB) comoDecibel (dB) como alogdB 20 ganhoganho��31220 20 20 1 20 1 20 1 dBjGlogGjlogKlogjjloglog����������������
IntroduçãoIntrodução
 Termo geral dependente da freqüência: Termo geral dependente da freqüência:
2
120 1 20 




ii
i log
jlogdB




AproximaçõesAproximações
assintóticasassintóticas
 A magnitude na freqüência de quebra é de A magnitude na freqüência de quebra é de  3dB 3dB
 A magnitude na freqüência 10A magnitude na freqüência 10 ii é de é de  20dB 20dB
IntroduçãoIntrodução
  << <<  i i 
::
0120  logdB i
  >> >>  ii 
::
i
i
i logloglogdB 
 2020 20 




Intercepto na freqüência de quebraIntercepto na freqüência de quebra
Erro máximo deErro máximo de
3dB em 3dB em  ii
2
120 1 20 




ii
i log
jlogdB



AproximaçõesAproximações
assintóticasassintóticas
IntroduçãoIntrodução
Observação:Observação: Caso o termo geral pertença ao Caso o termo geral pertença ao 
denominador, sua contribuição para a magnitude da denominador, sua contribuição para a magnitude da 
resposta será negativaresposta será negativa
 Fatores das funções de transferência: Fatores das funções de transferência:
 Ganho constante Ganho constante
 Pólos e zeros reais que ocorrem na origem Pólos e zeros reais que ocorrem na origem
 Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem
 Pólos e zeros complexos Pólos e zeros complexos
 Atraso de transporte ideal Atraso de transporte ideal Não abordado no cursoNão abordado no curso
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüência
i)i) Ganho constante:Ganho constante: 20 KlogdB 
ii)ii) Pólos e zeros que ocorrem na origem:Pólos e zeros que ocorrem na origem:
 logjlogdB 20 20 
A representação gráfica é uma linha reta com A representação gráfica é uma linha reta com 
inclinação de 20dB por década de freqüênciainclinação de 20dB por década de freqüência
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüência
Para um zero de ordem Para um zero de ordem N N na origem, a representação na origem, a representação 
gráfica é uma reta com inclinação de 20gráfica é uma reta com inclinação de 20NN dB por década dB por década 
de freqüência. Para o caso de um pólo de ordem de freqüência. Para o caso de um pólo de ordem NN na na 
origem, a curva é simétrica à anterior.origem, a curva é simétrica à anterior.
Representação exata da resposta em freqüênciaRepresentação exata da resposta em freqüência
Zero na origemZero na origem
Pólo na origemPólo na origem
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüência
iii)iii) Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:











ii
i
ii
loglog
logjlog






 , 2020 
 , 0 
 
120 1 20
2
Zero realZero real
Pólo realPólo real
 Termo de primeira ordem com Termo de primeira ordem com
 multiplicidade multiplicidade NN
ZeroZero
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüência
Exemplo:Exemplo:    
110
1
10
110




s
s
s
ssG
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüência
Exemplo:Exemplo:     
 
 22 101
12
10
1200
s
s
s
ssG




Diagramas de FaseDiagramas de Fase
 Zero na origem: 90 Zero na origem: 90 �90   js js
 Pólo na origem: - Pólo na origem: - 
9090
�90 11 1
 

  js js
Zero real que não ocorre na origem:Zero real que não ocorre na origem:
    












 iiijsi
arctgjs








 , 11 1
2
 
Termo de ganho constante:Termo de ganho constante:
Ganhos positivos: 0Ganhos positivos: 0
Ganhos negativos: 180Ganhos negativos: 180
Diagramas de FaseDiagramas de Fase
    












 iiijsi
arctgjs








 , 11 1
2
 
Freqüência de quebraFreqüência de quebra
As características de fase de um pólo real que não ocorre As características de fase de um pólo real que não ocorre 
na origem são simétricas àquelas apresentadas na figurana origem são simétricas àquelas apresentadas na figura
Diagramas de FaseDiagramas de Fase
Exemplo:Exemplo:  
110
1


s
ssG
Diagramas de Bode – MagnitudeDiagramas de Bode – Magnitude
Exemplo:Exemplo:     101
1
s
ssG


Diagramas de Bode – FaseDiagramas de Bode – Fase
Exemplo:Exemplo:     101
1
s
ssG


Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode 
A margem de ganho ocorreA margem de ganho ocorre
na freqüência na freqüência 11 na qual o na qual o
ângulo de fase é -180ângulo de fase é -180 . É. É
calculada como o recíproco calculada como o recíproco 
da magnitude da magnitude  de G( de G(jj11))
Expressando a margem Expressando a margem 
de ganho em dB:de ganho em dB:
dBloglog������������1
Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode 
 A margem de fase ocorre A margem de fase ocorre
na freqüência na freqüência 22 na qual a na qual a
magnitude do ganho de MA magnitude do ganho de MA 
é unitário (0 dB)é unitário (0 dB)
 É definida como a É definida como a 
diferença entre o ângulo de diferença entre o ângulo de 
fase de G(fase de G(jj22) e -180) e -180
Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode 
 A aproximação assintótica utilizada na construção dos A aproximação assintótica utilizada na construção dos 
diagramas de Bode é, geralmente, inadequada quando diagramas de Bode é, geralmente, inadequada quando 
aplicada à determinação das margens de estabilidadeaplicada à determinação das margens de estabilidade
O diagrama de Bode deve ser construído com O diagrama de Bode deve ser construído com 
auxílio de uma ferramenta computacionalauxílio de uma ferramenta computacional
Regra Prática:Regra Prática:
Margem de ganho de 8 dBMargem de ganho de 8 dB
Margem de fase de 50Margem de fase de 50
 Os erros cometidos Os erros cometidos
nas aproximações nas aproximações 
assintóticas podemassintóticas podem
exceder estes valoresexceder estes valores
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
Termos Adicionais da Resposta em Freqüência:Termos Adicionais da Resposta em Freqüência:
 Pólos e zeros complexos da forma Pólos e zeros complexos da forma
10 , 2 22   nnss
A magnitude e a fase da resposta em A magnitude e a fase da resposta em 
freqüência dependem da relação de freqüência dependem da relação de 
amortecimento amortecimento 
Normalizando para ganho DC unitário:Normalizando para ganho DC unitário:
2
21 




nn
ss


AproximaçãoAproximação
Assintótica Assintótica  = 1 = 1
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
O erro máximo cometido O erro máximo cometido 
na magnitude ocorre nana magnitude ocorre na
freqüência de quebra efreqüência de quebra e
vale vale  6dB 6dB
 = 1 = 1
2
21 




nn
ss


2
1 
2
1 21 









nnn
sss



Diagramas de BodeDiagramas de Bode
As aproximações As aproximações 
assintóticas se assintóticas se 
mostram mostram 
adequadas paraadequadas para
130  , Erros relativamenteErros relativamente
elevados para a faseelevados para a fase
O erro máximo O erro máximo 
cometidocometido
nestas aproximaçõesnestas aproximações
é de é de 6dB6dB para a para a
característica decaracterística de
magnitudemagnitude
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
Quando Quando  < 0,3 as < 0,3 as 
aproximaçõesaproximações
assintóticas não sãoassintóticas não são
adequadasadequadas
ErrosErros
elevadoselevados
Quando Quando  = 0: = 0:
   = = nn: Magnitude: Magnitude
 tende a - tende a - dB dB
  A fase apresenta A fase apresenta 
descontinuidade de descontinuidade de 
180180 em em  = = nn
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
Neste sistema, Neste sistema,  = 0,2 = 0,2
Espera-se que a Espera-se que a 
aproximação aproximação 
assintótica assintótica 
apresente erroapresente erro
elevado nas elevado nas 
vizinhançasvizinhanças
de de nn = 10 rad/s = 10 rad/s
Exemplo:Exemplo:            11020210
12
1004
1200
22 



s,s
s
ss
ssG
Erro máximo de Erro máximo de  8 dB 8 dB
Exemplo:Exemplo:            11020210
12
1004
1200
22 



s,s
s
ss
ssG
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
Erros elevadosErros elevados
cometidos nacometidos na
representação darepresentação da
fase do sistemafase do sistema
Critério de NyquistCritério de Nyquist
 Aplicável a sistemas em malha fechada com Aplicável a sistemas em malha fechada com 
equação característica 1 + G(S)H(S) = 0equação característica 1 + G(S)H(S) = 0
 O objetivo é analisar a estabilidade de um sistema O objetivo é analisar a estabilidade de um sistema
em malha fechada a partir da resposta em freqüênciaem malha fechada a partir da resposta em freqüência
da função de malha aberta G(jda função de malha aberta G(j )H(j)H(j ))
Fundamento matemático:Fundamento matemático:
Mapeamento de funções complexasMapeamento de funções complexas
MapeamentoMapeamento
no plano F(s)no plano F(s)
Critério de NyquistCritério de Nyquist
A curva A curva C C envolve o zero envolve o zero 
de F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horário
A curva A curva  envolve a origem envolve a origem 
do plano F(s) no sentido horáriodo plano F(s) no sentido horário
Exemplo:Exemplo: Deseja-se mapear no planoDeseja-se mapear no plano
F(s) uma circunferência do F(s) uma circunferência do 
plano plano ss com centro em com centro em ss00
  0sssF 
Critério de NyquistCritério de Nyquist
F(s) é o recíprocoF(s) é o recíproco
deste vetordeste vetor
Exemplo:Exemplo: Recíproca de Recíproca de  
0
1
ss
sF

   0sssF 
A curva A curva C C envolve o pólo envolve o pólo 
de F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horário
A curva A curva  envolve a origem envolve a origem 
do plano F(s) no sentido anti-horáriodo plano F(s) no sentido anti-horário
A magnitude é recíproca de (b) e A magnitude é recíproca de (b) e 
a fase é o negativo de (b)a fase é o negativo de (b)
Critério de NyquistCritério de Nyquist
Exemplo:Exemplo:      10 sssssF 
O ângulo de cada vetor giraO ângulo de cada vetor gira
de - 360de - 360 à medida que o à medida que o
ponto ponto ss percorre a curva percorre a curva CC
A curva A curva C C envolve os zeros envolve os zeros 
de F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horário
A fase de F(s) gira de - 720A fase de F(s) gira de - 720 e a e a 
curvacurva
  envolve a origem do plano F(s) envolve a origem do plano F(s) 
duas vezes no sentido horárioduas vezes no sentido horário
Critério de NyquistCritério de Nyquist
 A magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A fase será A magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A fase será 
o oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curva o oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curva  
envolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti-envolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti-
horáriohorário
Existe uma relação entre o número de pólos e Existe uma relação entre o número de pólos e 
zeros envolvidos por uma curva zeros envolvidos por uma curva CC no plano no plano s s e a e a 
quantidade e o sentido dos envolvimentos da quantidade e o sentido dos envolvimentos da 
origem do plano F(s)origem do plano F(s)
Exemplo:Exemplo:      10
1
ssss
sF


Recíproca de Recíproca de 
     10 sssssF 
Princípio do argumento de CauchyPrincípio do argumento de Cauchy 
Critério de NyquistCritério de Nyquist
Teorema: Teorema: Seja F(s) a razão de dois polinômios em Seja F(s) a razão de dois polinômios em ss
e a curva e a curva C C do plano do plano ss mapeada por F(s). Se F(s) for mapeada por F(s). Se F(s) for
analítica no interior e na borda de analítica no interior e na borda de CC, exceto em um, exceto em um
número finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos enúmero finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos e
zeros em zeros em CC, então , então N = Z – PN = Z – P..
 Z Z é o número de zeros de F(s) em é o número de zeros de F(s) em CC, , PP é o é o
número de pólos de F(s) em número de pólos de F(s) em C C e e N N é o número deé o número de
envolvimentos da origem do plano envolvimentos da origem do plano ss
������1FsGsHs��
Critério de NyquistCritério de Nyquist
Z Z é o número de zeros da equação característica que ocorrem é o número de zeros da equação característica que ocorrem 
no semi-plano direito no semi-plano direito  Z = 0 para sistemas estáveis Z = 0 para sistemas estáveis
P P é o número de pólos da malha abertaé o número de pólos da malha aberta
G(s)H(s) no semi-plano direitoG(s)H(s) no semi-plano direito
N = 2 = Z – PN = 2 = Z – P
Z = 2 + P > 2Z = 2 + P > 2
SistemaSistema
InstávelInstável
Critério de NyquistCritério de Nyquist
Modificação: Modificação: Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)
O diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerdaO diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerda
Ao invés de contar os Ao invés de contar os 
envolvimentos da origem, envolvimentos da origem, 
são contados os são contados os 
envolvimentos do ponto -1 envolvimentos do ponto -1 
e a representação obtida é e a representação obtida é 
chamada de chamada de Diagrama de Diagrama de 
NyquistNyquist
Critério de NyquistCritério de Nyquist
O percurso de Nyquist é mapeado por meio da funçãoO percurso de Nyquist é mapeado por meio da função
de malha aberta G(s)H(s). Assim, de malha aberta G(s)H(s). Assim, ZZ = = NN + + P P ::
ZZ = n = noo de pólos de MF que ocorrem no semi-plano direito de pólos de MF que ocorrem no semi-plano direito
NN = n = noo de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário de envolvimentos
do ponto -1 no sentido horário
PP = n = noo de pólos de MA que ocorrem no semi-plano direito de pólos de MA que ocorrem no semi-plano direito
Exemplo:Exemplo:
������351GsHss�� ������351GjHjj�����Critério de NyquistCritério de Nyquist
(I): G(0)H(0) = 5(I): G(0)H(0) = 5
���� 0slimGsHs���
(III): G(s)H(s) = 0(III): G(s)H(s) = 0
O trecho (IV) é o O trecho (IV) é o 
complexo complexo 
conjugado do conjugado do 
trecho (II)trecho (II)
ZZ = = NN + + PP = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = 0  Sistema em MF estável Sistema em MF estável
Resposta em freqüênciaResposta em freqüência
05133 23  Ksss
 
2051
58358
513
31
 
0
1
2
3
,KK
KK
K
s
s
s
s



Critério de NyquistCritério de Nyquist
 Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz: Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz:
 Adição de um ganho Adição de um ganho KK na função de MA na função de MA
������3325511103311KKKGsHsssss����������
KK = 1 (Nyquist) = 1 (Nyquist)
 Sistema estável Sistema estável
Sistema em MF estável para:Sistema em MF estável para:
5820  K,
Critério de NyquistCritério de Nyquist
O sistema possui um pólo em O sistema possui um pólo em s s = = jj11 (marginalmente (marginalmente 
estável) e oscila com freqüência estável) e oscila com freqüência 11, desde que os , desde que os 
demais pólos localizem-se no semi-plano esquerdodemais pólos localizem-se no semi-plano esquerdo
Admitindo que o diagrama de Nyquist intercepta o Admitindo que o diagrama de Nyquist intercepta o 
ponto -1 para algum valor ponto -1 para algum valor  = = 11::
ouou
����111GjHj���� ����1110GjHj����
No exemplo anterior:No exemplo anterior:
������351KGsHss��
O sistema é marginalmente estável para O sistema é marginalmente estável para KK = 8/5 = 8/5
Critério de NyquistCritério de Nyquist
Polinômio auxiliarPolinômio auxiliar
  03393 513 22
58 
2 

ssKs
K
Raízes puramente imaginárias:Raízes puramente imaginárias: 3js 
        8
5
60 2
5
31
5 33 


  �j
jHjG 
O diagrama de Nyquist intercepta o eixo real O diagrama de Nyquist intercepta o eixo real 
negativo em -5/8negativo em -5/8
Linha nula paraLinha nula para K K = 8/5 = 8/5
 
K
K
K
s
s
s
s
51
358
513
31
 
0
1
2
3



Critério de NyquistCritério de Nyquist
Um aumento de 8/5 no ganho Um aumento de 8/5 no ganho K K fará com que o fará com que o 
diagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o que diagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o que 
torna o sistema marginalmente estáveltorna o sistema marginalmente estável
Conclusão:Conclusão:
Margem de ganho:Margem de ganho: fator pelo qual o ganho de fator pelo qual o ganho de 
malha aberta deve ser alterado de forma a malha aberta deve ser alterado de forma a 
estabelecer um sistema marginalmente estávelestabelecer um sistema marginalmente estável
Medida da Medida da Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa do sistema do sistema
Margem de ganhoMargem de ganho
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de Nyquist
Z Z : : Pólos de MF no semi-Pólos de MF no semi-
plano direito. Sistemas plano direito. Sistemas 
estáveis em MF estáveis em MF  Z = 0 Z = 0 
PNZ 
N N : : Envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioEnvolvimentos do ponto -1 no sentido horário
 N N < 0 para envolvimentos no sentido anti-horário< 0 para envolvimentos no sentido anti-horário
 Sistema marginalmente estável para intercepto em -1Sistema marginalmente estável para intercepto em -1
P P : : Pólos de MA no semi-plano direitoPólos de MA no semi-plano direito
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de Nyquist
Exemplo:Exemplo:      101
50
2 

ss
sG
������250110110KKGsss�������
050102112 23  Ksss
Onde ocorre o cruzamento?Onde ocorre o cruzamento?
Critério de Routh-Hurwitz:Critério de Routh-Hurwitz:
adicionar um ganho adicionar um ganho KK
na malha abertana malha aberta
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de Nyquist
Exemplo:Exemplo:      101
50
2 

ss
sG
Sistema em MF estávelSistema em MF estável
parapara 84420 ,K, 
050102112 23  Ksss
 
205010
8441250242
501012
211
 
0
1
2
3
,KK
,KK-
K
s
s
s
s



 Se Se K K = 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1= 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1
  1844 1  jG,   2066084411 ,,jG 
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de Nyquist
Exemplo:Exemplo:      101
50
2 

ss
sG
Não há envolvimentos do ponto -1 Não há envolvimentos do ponto -1  NN = 0 = 0
Daí Daí ZZ = = NN + + PP = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = 0  Sistema estável em Sistema estável em 
MF (com MF (com K = K = 1)1)
  2066084411 ,,jG 
 Se Se KK = 4,84 o sistema oscilará com a freqüência = 4,84 o sistema oscilará com a freqüência 11::
  0211225212 501012 22
844 
2 

ssKs
,K
Linha Linha ss22 do arranjo de Routh do arranjo de Routh
Raízes:Raízes: 1583421 j,jjs 
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de Nyquist
Genericamente:Genericamente:
 A partir de 1 + A partir de 1 + KKG(s) = 0, aplica-se o critério de Routh-G(s) = 0, aplica-se o critério de Routh-
Hurwitz de forma a encontrar o valor Hurwitz de forma a encontrar o valor KK11 que torna o que torna o 
sistema marginalmente estávelsistema marginalmente estável
 Com base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüência Com base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüência
na qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustadona qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustado
para o valor para o valor KK11
 Daí: Daí: 
��1110KGj���
E o diagrama de Nyquist cruza o eixo real E o diagrama de Nyquist cruza o eixo real 
negativo no ponto negativo no ponto 
 
1
1
1
K
jG 
Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origem
 O princípio do argumento de Cauchy exige que a O princípio do argumento de Cauchy exige que a 
função de malha aberta não possua pólos ou zerosfunção de malha aberta não possua pólos ou zeros
no percurso de Nyquistno percurso de Nyquist
Quando ocorrem pólos na origem, o percursoQuando ocorrem pólos na origem, o percurso
de Nyquist deve ser alteradode Nyquist deve ser alterado
0 com 9090jslime���������oo
A magnitude de G(s) seráA magnitude de G(s) será
muito elevada nos pontosmuito elevada nos pontos
do desvio do desvio  
representaçãorepresentação
sem escalassem escalas
Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origem
Exemplo:Exemplo:    12  ss
KsG
 Ocorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioOcorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horário
Logo: Logo: ZZ = = NN + + PP = 2 + 0 = 2 = 2 + 0 = 2  o sistema em malha fechada o sistema em malha fechada
é instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)é instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)
Representação semRepresentação sem
escalaescala
Contagem dos envolvimentosContagem dos envolvimentos
Procedimento prático:Procedimento prático:
Quantos envolvimentos doQuantos envolvimentos do
ponto -1 ocorrem no diagramaponto -1 ocorrem no diagrama
de Nyquist?de Nyquist?
 Traçar uma linha partindo do Traçar uma linha partindo do
ponto -1 em qualquer direção ponto -1 em qualquer direção 
convenienteconveniente
 O n O noo de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário é de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário é 
igual ao nigual ao noo de cruzamentos desta linha com o diagrama no de cruzamentos desta linha com o diagrama no 
sentido horário menos o nsentido horário menos o noo de cruzamentos que ocorrem no de cruzamentos
que ocorrem no 
sentido anti-horáriosentido anti-horário
NN = = 1 1 – – 11 = 0 envolvimentos = 0 envolvimentos
Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa
 A A estabilidadeestabilidade não é a única preocupação presente no não é a única preocupação presente no 
projeto de sistemas de controle:projeto de sistemas de controle:
Não é suficiente que um sistema seja estável. Deve-se Não é suficiente que um sistema seja estável. Deve-se 
garantir permanência da estabilidade por uma garantir permanência da estabilidade por uma 
margem de segurançamargem de segurança
 O sistema estável deve possuir uma resposta O sistema estável deve possuir uma resposta 
transitória satisfatóriatransitória satisfatória
 O modelo matemático utilizado na representação O modelo matemático utilizado na representação 
do sistema do sistema nuncanunca é exato é exato
O modelo pode indicar estabilidade e oO modelo pode indicar estabilidade e o
sistema físico apresentar instabilidadesistema físico apresentar instabilidade
Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa
 Define-se a Define-se a estabilidade relativaestabilidade relativa de um sistema linear de um sistema linear 
em termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquist em termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquist 
em relação ao ponto -1 do plano complexoem relação ao ponto -1 do plano complexo
Margem de ganho:Margem de ganho:
Definida como o fatorDefinida como o fator
1/1/ pelo qual o ganho pelo qual o ganho
de MA deve serde MA deve ser
alterado de modo a alterado de modo a 
tornar o sistema em tornar o sistema em 
MF marginalmente MF marginalmente 
estávelestávelA margem de ganho é geralmenteA margem de ganho é geralmente
expressa em dBexpressa em dB
Cruzamento em Cruzamento em 
Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa
Margem de fase:Margem de fase:
É a magnitude do É a magnitude do 
ângulo mínimo ângulo mínimo 
segundo o qual o segundo o qual o 
diagrama de Nyquistdiagrama de Nyquist
deve ser rotacionadodeve ser rotacionado
para que ocorra opara que ocorra o
cruzamento com ocruzamento com o
eixo real negativoeixo real negativo
no ponto -1no ponto -1
  1 2 jG
Daí:Daí:   �180 2   jGm
Exercícios:Exercícios:
Exercício 1:Exercício 1:
������110013Gsss���
-5 0 5 10 15 20 25 30 35
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
��11Hs�
Exercícios:Exercícios:
Exercício 2:Exercício 2:
����22501Gsss�� ��243sHss���
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
x 10
4
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Exercícios:Exercícios:
Exercício 3:Exercício 3:
����3201Gsss�� ��314Hss��
-1.006 -1.004 -1.002 -1 -0.998 -0.996 -0.994 -0.992 -0.99
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
FIMFIM
	
	Introdução
	Introdução
	Introdução
	Introdução
	Introdução
	Fatores da Resposta em Freqüência
	Fatores da Resposta em Freqüência
	Fatores da Resposta em Freqüência
	Fatores da Resposta em Freqüência
	Fatores da Resposta em Freqüência
	Diagramas de Fase
	Diagramas de Fase
	Diagramas de Fase
	Diagramas de Bode – Magnitude
	Diagramas de Bode – Fase
	Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode 
	Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode 
	Estabilidade Relativa no Diagrama de Bode 
	Diagramas de Bode
	Diagramas de Bode
	Diagramas de Bode
	Diagramas de Bode
	Diagramas de Bode
	Diagramas de Bode
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Critério de Nyquist
	Aplicação do Critério de Nyquist
	Aplicação do Critério de Nyquist
	Aplicação do Critério de Nyquist
	Aplicação do Critério de Nyquist
	Aplicação do Critério de Nyquist
	Ocorrência de pólos na origem
	Ocorrência de pólos na origem
	Contagem dos envolvimentos
	Estabilidade Relativa
	Estabilidade Relativa
	Estabilidade Relativa
	Exercícios:
	Exercícios:
	Exercícios:
	FIM