Álgebra Linear - Lista 5

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1. Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial W, demonstre que
dim(U + V ) = dimU + dimV − dim(U ∩ V ).
2. Sejam P1 e P2 dois planos no R3 passando pela origem (isto é, dois subespaços de
dimensão 2). Determine dim(P1 ∩ P2) quando:
(i) P1 + P2 = R3.
(ii) P1 + P2 6= R3.
3. Determine o vetor coordenada, [ v ]α, de v = (6, 2) em relação à base α nos seguintes
casos:
(i) α = {(3, 0), (0, 2)}.
(ii) α = {(0, 1), (1, 0)}.
(iii) α = {(1, 2), (2, 1)}.
4. Considere a base β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, −1, 1)} do espaço vetorial euclidiano
R3. Determine o vetor coordenada de v em relação à base β, onde
(i) v = (2, −3, 4).
(ii) v = (3, 5, 6).
(iii) v = (1, −1, 1).
5. Seja β = {3, 2x, −x2} uma base de P2[x](R). Determine o vetor coordenada de
v = 6− 4x− 3x2 em relação à base β.
6. Sejam os vetores v1 = {(1, 0, −1), v2 = (1, 2, 1)} e v3 = (0, −1, 0) do espaço
euclidiano R3.
(i) Mostre que β = {v1, v2, v3} é base de R3.
(ii) Escreva e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) como combinação linear
dos vetores da base β.
1
7. Seja β = {1− x, x− x2, 2 + x2} uma base de P2[x](R).
(i) Mostre que β é uma base de P2[x](R).
(ii) Encontre as coordenadas de p(x) = 7− x+ 2x2 em relação à base β.
(iii) Encontre a matriz de mudança da base β para a base canônica C de P2[x](R),
lembrando que C = {1, x, x2}.
8. Determine as coordenadas do vetor v =
[
2 5
−8 7
]
∈ M2×2(R), em relação às
seguintes bases deM2×2(R) :
(i) C =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
.
(ii) β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 1
1 0
]
,
[
1 1
1 1
]}
.
9. Sejam C = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {(
√
3, 1), (
√
3, −1)}.
(i) Encontre as seguintes matrizes de mudança de base:
(a) [ I ]β1C .
(b) [ I ]Cβ1 .
(c) [ I ]β2β1 .
(ii) Quais são as coordenadas do vetor v = (3, −2) em relação à base:
(a) C.
(b) β1.
(c) β2.
(iii) As coordenadas de um vetor v em relação à base C são dadas por
[ v ]C =
[
4
0
]
Quais são as coordenadas de v em relação às bases β1 e β2
10. Seja V o espaço vetorial das matrizes 2×2 que são triangulares inferiores. Considere
as seguintes bases deste espaço
α =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
β =
{[
1 0
3 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
1 0
1 2
]}
Determine as matrizes de mudança de base [ I ]αβ e [ I ]βα
2