M- ¦ódulo 1

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Tecnologia da Amostragem I
Eduardo Campos
Principais Referências 
Bibliográficas Utilizadas: 
(1) Cochran, W.G., Sampling 
Techniques, 3rd ed. (1977).
(2) Thompson, S.K., Sampling (1992). 
(3) Notas de Aula do Professor (2012).
(4) Bolfarine, H., Bussab, W.O., 
Elementos de Amostragem (2005).
(5) Sarndal, C.E., Swensson, B., 
Wretman, J., Model Assisted Survey 
Sampling (1992).
• Amostragem (definição) 
Conjunto de técnicas para selecionar uma 
amostra, a partir de uma população, com 
o propósito de obter informações acerca 
de uma ou mais variáveis de interesse, 
que permitam formular conclusões 
acerca de um ou mais parâmetros-alvo. 
1 – Noções Gerais
• População - conjunto U de N unidades 
sobre as quais queremos conhecer algo.
• Parâmetro-Alvo - quantidade populacional 
desconhecida, na qual temos interesse.
• Amostra - subconjunto s de n unidades 
selecionadas da população.
Exemplo 1: 
População → N = 4 domicílios.
Variável de interesse: 
y = renda domiciliar (em R$ 1000,00).
Parâmetro-alvo - renda média:
.
N
y
Y Ui
i∑
∈
=
• Amostragem x Inferência
Já é possível perceber algumas diferenças 
da teoria da amostragem em relação à 
teoria da inferência estatística clássica.
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Quanto à Definição da População
Em inferência a população é definida como 
uma distribuição de probabilidade 
supostamente adequada para representar 
a característica de interesse. 
Esta distribuição é o modelo populacional, 
e toda a inferência baseia-se nele. 
Além disto, o número de unidades 
populacionais não é explicitado, sendo 
tratado como se fosse infinito.
Em amostragem, a definição da população 
não depende de modelagem. Não é feita 
nenhuma hipótese acerca da distribuição 
da característica de interesse. A inferência 
sobre os parâmetros não é “model based”. 
O número de unidades populacionais é 
finito, denotado por N. Por esta razão, a 
teoria da amostragem é também chamada: 
amostragem para populações finitas.
Quanto à Notação
Note a diferença entre a notação da média 
populacional em inferência e amostragem.
Em inferência, parâmetros populacionais são 
denotados por letras gregas (µ,σ2,λ), ao 
passo que, em amostragem, são 
denotados por letras romanas maiúsculas. 
Também haverá diferença na notação dos 
estimadores, como veremos mais à frente.
Outras distinções entre a amostragem e a 
inferência clássica ficarão claras e serão 
comentadas à medida que forem surgindo.
Exemplo 1 (cont.) - suponha que os valores 
da renda na população sejam:
34
33
52
41
yiU
Obs - Os valores de y na população são 
chamados de população-matriz. 
Este termo não é muito utilizado, pois estes 
valores, na prática, não estarão disponíveis, 
(a não ser que façamos um censo).
O que teremos, na prática, são os valores de 
y referentes à amostra selecionada, 
levantados por observação ou entrevista.
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Vamos considerar primeiramente que o 
parâmetro-alvo seja a média:
e passamos a tratar o problema da sua 
estimação, a partir de uma amostra. 
,
N
y
Y Ui
i∑
∈
=
A partir da amostra s, podemos definir um 
estimador para qualquer parâmetro-alvo.
• Estimador - função dos valores de y na 
amostra, utilizada para obter uma 
estimativa para o parâmetro-alvo. 
Um estimador “natural” para a média 
populacional seria a média amostral.
Média Amostral:
.
n
y
y si
i∑
∈
=
Perceba novamente a diferença para a 
notação adotada em inferência (qual é?). 
Quantidades amostrais serão representadas 
por letras minúsculas, para distinguí-las das 
quantidades populacionais (maiúsculas).
Exemplo 1 (cont.) - suponha s = (2,3).
Não entraremos ainda no mérito de como 
selecionar esta amostra (plano amostral).
Calcule a estimativa correspondente ao 
estimador do slide anterior.
R: 3,75.
Obs - em inferência, a média amostral é o 
melhor estimador da média populacional.
Isto porque, em inferência, só trabalhamos 
com um tipo de plano amostral: AAS 
(Amostragem Aleatória Simples). 
• Plano Amostral
Procedimento adotado para selecionar a 
amostra (mais adiante, lapidaremos esta 
definição, formalizando-a mais, e 
mostrando a distinção entre os conceitos 
de plano amostral e esquema de seleção).
Em amostragem, trabalharemos AAS e 
com outros planos amostrais mais 
complicados do que a AAS. Entretanto, 
todos os demais baseiam-se na AAS.
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Importante:
Sob outros planos amostrais, que não 
AAS, a média amostral é um estimador 
viciado para a média populacional. 
A demonstração deste fato será feita 
no módulo 2 do curso.
Retornando ao exemplo 1, considere agora 
um novo parâmetro-alvo, ao qual 
chamaremos total populacional:
.yY
Ui
i∑
∈
=
Note que este parâmetro não é definido, e 
nem faz sentido, na inferência clássica!
Considere o seguinte estimador para o total, 
ao qual chamaremos total amostral:
.yt
si
i∑
∈
=
Este estimador parece razoável? O que 
você acha que acontecerá com ele?
O total amostral subestimará o total 
populacional, pois será sempre menor do 
que ele (ou, na situação-limite, igual).
Isto se refletirá em um vício negativo.
Uma forma de corrigir este problema, e um 
estimador não viciado do total populacional 
serão apresentados no módulo 2 do curso.
Outros parâmetros de interesse em amostragem:
- Proporção Populacional (P)
- Razão Populacional (R):
.
x
y
R
Ui
i
Ui
i
∑
∑
∈
∈
=
• Censo x Pesquisa por Amostragem
Um censo é uma pesquisa na qual todas 
as unidades populacionais são 
investigadas, de tal forma que os valores 
da variável de interesse tornem-se 
conhecidos para toda a população.
Exemplos de Censo no IBGE: 
- Censo Demográfico (2010)
- Censo Agropecuário (2006)
- MUNIC (Pesquisa de Informações 
Básicas Municipais)
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Já em uma pesquisa por amostragem, os 
valores de y são obtidos apenas para um 
subconjunto da população: a amostra.
Exemplos de Pesquisas Amostrais no IBGE:
- Pesquisa Nacional por Amostra de 
Domicílios (PNAD)
- Pesquisa Mensal de Emprego (PME)
- Índice de Preços ao Consumidor (INPC)
- Pesquisa Anual de Serviços (PAS)
- Pesquisa Mensal de Comércio (PMC)
- Pesquisa Industrial Anual (PIA)
Uma questão importante: o que é uma 
boa amostra?
Uma boa amostra é aquela que representa 
adequadamente o universo que queremos 
estudar, chamada amostra representativa.
• Amostra Representativa
É a que representa com fidedignidade o 
comportamento da variável de interesse 
na população, de tal forma que seja 
possível generalizar as conclusões da 
amostra para esta população.
Esta definição, aparentemente simples, 
pode levar à confusão em situações 
específicas, como no exemplo a seguir.
Exemplo 2 (amostra representativa x 
estratificada com alocação proporcional)
Considere uma população com N = 1.000 
indivíduos, sendo 100 da classe A (ricos), 
300 da classe B (média) e 600 da classe C 
(pobres). Se nosso interesse for estimar a 
renda média nesta população a partir de 
uma amostra de tamanho 50, o que seria 
uma amostra representativa da população?
• Cadastro (ou Sistema de Referências)
Um cadastro é uma lista das unidades 
populacionais utilizada, quando 
disponível, para selecionar a amostra.
Um bom cadastro deve identificar clara 
e inequivocamente as unidades 
populacionais, e permitir localizá-las.
Etapas de uma Pesquisa por 
Amostragem:
1 – Definição dos Objetivos;
2 – Elaboração de um Cadastro;
3 – Seleção da Amostra;
4 – Coleta das Informações;
5 – Estimação dos Parâmetros;
6 – Compilação das Informações.
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• Estratégia de Estimação
Cada plano amostral levará a um estimador 
adequado para o parâmetro-alvo.
O conjunto plano+estimador é chamado 
estratégia de estimação.
Claramente, 
podemos ter diversas estratégias de 
estimação para um mesmo parâmetro.
Devemos então responder a 2 perguntas:
1 - Dado um plano amostral, qual o estimador 
adequado para o parâmetro-alvo? (esta é a 
situação mais usual, em que o plano 
amostral não está sob nosso controle)
2 - Dadas 2 ou mais estratégias de 
estimação, qual será a mais adequada para 
o parâmetro-alvo? (esta é a situação em 
que temos o plano amostral sob controle)
As respostas a estas perguntas aparecerão 
no módulo 2 do curso, no qual será discutido 
o problema de estimação de parâmetros.
Esta teoria permitirá estimar e controlar a 
margem de erro associada às estimativas 
associadas a planos amostrais probabilísticos.
Mas o que são planos probabilísticos?
• Planos Amostrais Probabilísticos
Seja S o conjunto de todas as amostras 
s de mesmo tamanho n, possíveis de 
serem selecionadas da população U. 
S é denominado espaço amostral.
Um plano amostral é chamado 
probabilístico se as 3 condições 
a seguir são satisfeitas:
1) Cada amostra s⊂S tem uma 
probabilidade de seleção p(s)
conhecida ou possível de ser calculada.
Obs - se p(s) = cte, ∀ s⊂S, temos uma 
Amostragem Aleatória Simples (AAS).
Obs - as probabilidades p(s) são chamadas 
probabilidades de seleção. Estas 
probabilidades necessariamente somam 1.
A distribuição das probabilidades de seleção 
é chamada distribuição de aleatorização
(tradução encontrada para design distribution). 
Formalmente, p(s) define o que chamaremos 
de plano amostral (≠ esquema de seleção = 
algoritmo necessário para obter a amostra).
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2) Cada unidade da população tem probabilidade 
de inclusão estritamente positiva, ou seja: 
pii = P(i∈s) > 0, ∀ i∈U.
3) A seleção da amostra s é feita a partir de 
um esquema de seleção que garanta que 
cada amostra s seja selecionada com a 
probabilidade p(s) definida no plano amostral.
falaremos mais sobre esquemas 
de seleção no módulo 3 do curso.
Exemplo 3 - considere o plano amostral a 
seguir: 
p(1,2) = p(3,4) = 0;
p(1,3) = ½;
p(1,4) = p(2,3) = p(2,4) = 1/6.
Obtenha as probabilidades de inclusão e 
verifique se o plano é probabilístico.
Obs - na prática, a condição a ser verificada é a 2.
Solução:
0
1/6
1/6
1/6
1/2
0
p(s)
(3,4)
(2,4)
(2,3)
(1,4)
(1,3)
(1,2)
s
pi1 = 0+ 
1/2+1/6 = 
2/3.
pi2 = 0+ 
1/6+1/6 = 
1/3.
Analogamente:
pi3 = 2/3 e 
pi4 = 1/3. 
Como todos os pii`s são >0, 
o plano é probabilístico.
Obs - note que:
Isto não é coincidência. É uma 
propriedade das probabilidades 
de inclusão, válida para qualquer 
plano amostral e população.
n 
Ui
i∑
∈
=pi
Exemplos de Planos Não-Probabilísticos:
- Amostragem de Conveniência
- Amostragem de Voluntários
- Amostragem Intencional
- Amostragem por Quotas (Cotas)
Obs - o uso de amostragem por 
quotas/cotas em pesquisas eleitorais 
gera uma das críticas mais contundentes 
à validade destas pesquisas: não é
possível calcular a margem de erro!
Sobre este assunto, disponibilizo para 
discussão o artigo dos professores 
José Carvalho e Cristiano Ferraz.