Para analisar a matriz \( M \) e determinar as conexões de grau 2, precisamos calcular o produto \( M \times M \) (ou \( M^2 \)). Vamos fazer isso passo a passo. A matriz \( M \) é: \[ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Agora, vamos calcular \( M^2 \): \[ M^2 = M \times M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Calculando cada elemento da matriz resultante: 1. Para a posição \( (1,1) \): \( 0*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) 2. Para a posição \( (1,2) \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) 3. Para a posição \( (1,3) \): \( 0*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) 4. Para a posição \( (1,4) \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) 5. Para a posição \( (2,1) \): \( 0*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) 6. Para a posição \( (2,2) \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) 7. Para a posição \( (2,3) \): \( 0*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) 8. Para a posição \( (2,4) \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) 9. Para a posição \( (3,1) \): \( 1*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) 10. Para a posição \( (3,2) \): \( 1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 1 \) 11. Para a posição \( (3,3) \): \( 1*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) 12. Para a posição \( (3,4) \): \( 1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 1 \) 13. Para a posição \( (4,1) \): \( 1*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) 14. Para a posição \( (4,2) \): \( 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 2 \) 15. Para a posição \( (4,3) \): \( 1*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) 16. Para a posição \( (4,4) \): \( 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 2 \) Assim, a matriz \( M^2 \) é: \[ M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Agora, analisando as afirmações: 1. Existem 5 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que não possuem conexões de grau 2. - Verificando \( M^2 \), temos que \( P_1 \) não tem conexões de grau 2 com \( P_2 \) e \( P_4 \), \( P_2 \) não tem com \( P_3 \), e assim por diante. Essa afirmação é falsa. 2. Existem 6 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que possuem apenas uma conexão de grau 2. - Verificando \( M^2 \), temos \( (P_1, P_2), (P_2, P_4), (P_3, P_4) \) e outros. Essa afirmação é falsa. 3. Existem 3 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes. - Verificando \( M^2 \), temos \( (P_1, P_3), (P_2, P_1), (P_4, P_2) \). Essa afirmação é verdadeira. 4. Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social. - Verificando \( M^2 \), apenas \( P_3 \) tem conexões com todos. Essa afirmação é falsa. 5. Existe apenas 1 pessoa \( P_{i}(i \neq 3) \) tal que \( P_{i} \) e \( P_{3} \) seguem-se mutuamente. - Verificando, \( P_1 \) e \( P_3 \) se seguem mutuamente. Essa afirmação é verdadeira. Portanto, as afirmações corretas são a terceira e a quinta.