Aula_18__modelo_ARMA11

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Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
Bacharelado em Estatística – 2011.3 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 18 – Casos especiais de ARMA: o modelo ARMA(1,1) 
 
 
1 . Modelo ARMA(1,1) 
 
O modelo ARMA mais simples é o ARMA(1,1), definido como 
1111 −− −+=− tttt aazz θξφ (1) 
tt az )1()1( 11 θξφ −+=− 
tt aBzB )()( Θ+=Φ ξ 
 
ou, colocando zt em evidência, 
1111 −− −++= tttt aazz θφξ (2) 
 
Para simplificar, podemos escrever o modelo sem a constante ξ : 
 1111 −− −+= tttt aazz θφ (3) 
 
2. Condições de estacionariedade e de invertibilidade 
 
O processo ARMA(1,1) será estacionário se 
|φ1|<1 
 
Será invertível se 
|θ1|<1 
 
Estas duas condições equivalem a exigir que o ponto definido pelos dois parâmetros esteja 
dentro do quadrado na figura abaixo: 
 
 
3. Propriedades estatísticas 
 
3.1. Média 
 
Da expressão geral da média de um ARMA(p,q) (na Aula 17), obtemos para o ARMA(1,1) da 
eq. (2): 
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11 φ
ξµ
−
= 
 
Para o modelo em (3), evidentemente, 
0=µ 
 
3.2. Variância 
 
Para um modelo ARMA(p,q) vimos que a variância é dada por (Aula 17, eq. 13): 
2
11022110 )...(... aqqpp σψθψθψγφγφγφγ −−−++++= 
 
Para o ARMA(1,1), esta equação se reduziria a: 
2
110110 )( aσψθψγφγ −+= 
 
 O problema é que precisaríamos então encontrar os valores de ψ0 e ψ1 do filtro linear 
equivalente ao ARMA(1,1). 
Veremos abaixo uma outra forma de calcular a variância. No modelo em (3), 
multiplicando ambos os membros por zt e tomando os valores esperados: 
)()()()( 1111 −− −+= tttttttt azEazEzzEzzE θφ 
 
Os termos no membro à direita são 
11)( γ=−tt zzE 
 
])[()( 1111 tttttt aaazEazE −− −+= θφ 
][)( 1111 −− −+= tttttttt aaaaazEazE θφ 
2][)( atttt aaEazE σ== 
 
])[()( 111111 −−−− −+= tttttt aaazEazE θφ 
][)( 11111111 −−−−−− −+= tttttttt aaaaazEazE θφ 
2
1
2
11 0)( aattazE σθσφ −+=− 
2
111 )()( attazE σθφ −=− 
 
Portanto, 
)()()()( 1111 −− −+= tttttttt azEazEzzEzzE θφ 
2
111
2
11
2 )( aaz σθφθσγφσ −−+= 
2
11111
2 )](1[ az σθφθγφσ −−+= (4) 
 
A expressão da variância em termos apenas dos parâmetros φ1 e θ1 do modelo será 
dada abaixo, em (5), depois que determinarmos a autocovariância γ1. 
 
 
3.3. Função de autocovariância 
 
Seguindo o mesmo procedimento usado acima para a variância, podemos calcular os 
valores da FAC. 
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Lembrando que 
2
0 zσγ = 
 
De (4), 
2
111110 )](1[ aσθφθγφγ −−+= 
 
Para calcular γ1, multiplicamos ambos os membros de (3) por zt-1 e tomamos os valores 
esperados, 
)()()()( 11111111 −−−−−− −+= tttttttt azEazEzzEzzE θφ 
2
1
2
11 0 az σθσφγ −+= 
2
1011 aσθγφγ −= 
 
Para calcular γ2: 
)()()()( 12121212 −−−−−− −+= tttttttt azEazEzzEzzE θφ 
00112 −+= γφγ 
112 γφγ = 
 
Para valores de k≥2 
11 −= kk γφγ (5) 
 
Resumindo, a sequência de autocovariâncias é dada por: 
2
111110 )](1[ aσθφθγφγ −−+= (i) 
2
1011 aσθγφγ −= (ii) 
112 γφγ = 
11 −= kk γφγ 
 
Resolvendo as equações (i) e (ii) acima, obtemos os valores de γ0 e γ1 em termos dos 
parâmetros φ1 e θ1 do modelo. Substituindo γ1 em (i) por sua expressão em (ii) 
2
111
22
110
2
10 )( aaa σθφθσσθφγφγ −−+−= 
22
1
2
11
22
110
2
10 aaaa σθσθφσσθφγφγ +−+−=− 
22
111110
2
1 )1()1( aσθφθθφγφ +−+−=− 
2
2
1
11
2
1
0 1
21
aσφ
θφθγ
−
−+
= 
 
Em termos apenas dos parâmetros do modelo, portanto, a variância do processo é dada por: 
2
2
1
11
2
1
0
2
1
21
az σφ
θφθγσ
−
−+
== (6) 
 
Substituindo o valor de γ0 em (ii) 
2
1011 aσθγφγ −= 
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2
1
2
2
1
11
2
1
11 1
21
aa σθσφ
θφθφγ −





−
−+
= 
2
12
1
1
2
1
2
111
1 1
2
aσθφ
θφθφφγ 





−
−
−+
= 
2
2
1
1
2
111
2
1
2
111
1 1
2
aσφ
θφθθφθφφγ 





−
+−−+
= 
2
2
1
11
2
1
2
111
1 1 a
σφ
θθφθφφγ 





−
−−+
= 
2
2
1
1
2
1
2
1111
1 1 a
σφ
θφθφθφγ 





−
−+−
= 
2
2
1
111111
1 1
)()(
aσφ
θφθφθφγ 





−
−−−
= 
2
2
1
1111
1 1
))(1(
aσφ
θφθφγ
−
−−
= 
 
Dividindo os estas autocovariâncias pela variância γ0, obtemos as autocorrelações em termos 
dos parâmetros φ1 e θ1 do modelo: 
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1111
0
1
1 )21(
1
1
))(1(
a
a
σθφθ
φ
φ
σθφθφ
γ
γρ
−+
−
×
−
−−
== 
11
2
1
1111
1 21
))(1(
θφθ
θφθφρ
−+
−−
= (7) 
 
Os valores seguintes da autocorrelação podem ser calculados recursivamente (eq. 5): 
11 −= kk γφγ , k≥2 
 
Dividindo ambos os membros pela variância γ0, 
11 −= kk ρφρ , k≥2 (8) 
 
Das equações (7) e (8), vemos que o coeficiente θ1 do MA entra apenas na determinação do 
ρ1; os valores de ρ2 em diante irão decair exponencialmente, pois dependem apenas do φ1 da 
parte AR. (Notar, para comparação, que a FAC de um AR(1) decai exponencialmente a partir 
de ρ0=1).