Teoria das Estruturas 1 - Aula 13 - 2013 1S - EC

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 1 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 1 S 
A
U
LA
 13
 
24
.0
5.
20
13
 
2 
“ L I Ç Ã O D E C A S A ” 
3 
A B 
8,0m 
2,0 tf / m 
S1 
ϕ 
30° 
2,0m 
ϕ = 60° 
4 
A B 
8,0m 
2,0 tf / m 
S1 
ϕ 
30° 
2,0m 
ϕ = 60° 
VA VB 
HB 
5 
A B 
8,0m 
2,0 tf / m 
S1 
ϕ 
30° 
2,00m 
ϕ = 60° 
VA VB 
HB 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HB = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = (2 . 8) 
 VA + VB = 16,0 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 8 – (2 . 8 . 4) = 0 
 8 . VB – 64 = 0 
 VB = 64 / 8 
 VB = 8 tf 
 de (a), VA = 8 tf 
6 
 PARA A SEÇÃO S1, TEM-SE: 
 MOMENTO FLETOR (MS1): 
MS1 = VA . 2 – (2 . 2 . 1) = 8 . 2 – 4 = 16 – 4 = 12,0 tf . m 
 FORÇA CORTANTE, OU ESFORÇO TANGENCIAL (TS1): 
TS1 = VD . cos ϕ + HD . sen ϕ = [8 – (2 . 2)] . cos 60° + 0 . sen 60° 
TS1 = 4 . cos 60° + 0 . sen 60° = 2,0 tf 
 ESFORÇO NORMAL (ND): 
ND = VD . sen ϕ + HD . cos ϕ = [8 – (2 . 2)] . sen 60° + 0 . cos 60° 
 ND = 4 . sen 60° + 0 . cos 60° = 3,46 tf 
7 
A B 
2,0 tf / m 
8,0 tf 8,0 tf 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
+ 
- 8,0 
8,0 
X = 4,0m 
8 
A B 
2,0 tf / m 
8,0 tf 8,0 tf 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
X = 4,0m 
Σ MC = 0 
VA . 4 – (2 . 4 . 2) = 0 
(8 . 4) – 16 = 0 
Σ MX = 16 tf . m 
MMÁX 
C 
9 
P3 = 10 tf 
g2 = 2 tf / m 
TREM-TIPO 
P4 = 15 tf 4,0m 
A B 
4,0m 4,0m 
C 
g1 = 3 tf / m 
3,0m 
P2 = 20 tf P1 = 15 tf 
D 
10 
P3 = 10 tf 
g2 = 2 tf / m 
P4 = 15 tf 4,0m 
A B 
4,0m 4,0m 
g1 = 3 tf / m 
3,0m 
P1 = 15 tf P2 = 20 tf 
C D 
VA VB 
HA 
CARGA 
PERMANENTE 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
L.I.MFD 
(m . n) / L 
= 2,182 + 
1,091 
a. MOMENTO FLETOR MÁXIMO NA SEÇÃO D: 
11 
 CARGA PERMANENTE: 
MD = {[(2,182 . 11) / 2] . 3} + (20 . 2,182) + (15 . 1,091) 
MD = 36,003 + 43,640 + 16,365 
MD = 96,008 tf . m 
 MOMENTO MMÁX.S1: 
MMÁX.D = 96,008 + 67,642 
MMÁX.D = 163,65 tf . m 
 CARGA ACIDENTAL: 
MD = {[(2,182 . 11) / 2] . 2} + (15 . 2,182) + (10 . 1,091) 
MD = 24,002 + 32,730 + 10,910 
MD = 67,642 tf . m 
a. MOMENTO FLETOR MÁXIMO NA SEÇÃO D: 
12 
L.I.VB 
P3 = 10 tf 
g2 = 2 tf / m 
P4 = 15 tf 4,0m 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
b. REAÇÃO MÁXIMA NO APOIO B: 
0,363 0,636 0,727 
+ 
1,0 
A B 
4,0m 4,0m 
g1 = 3 tf / m 
3,0m 
P1 = 15 tf P2 = 20 tf 
C D 
VA VB 
HA 
CARGA 
PERMANENTE 
13 
b. REAÇÃO MÁXIMA NO APOIO B: 
 CARGA PERMANENTE: 
VB = {[(1 . 11) / 2] . 3} + (20 . 0,727) + (15 . 0,363) 
VB = 16,500 + 14,540 + 5,445 
VB = 36,485 tf . m 
 REAÇÃO MÁXIMA NO APOIO B VMÁX.B: 
VMÁX.B = 36,485 + 32,360 
VMÁX.B = 68,845 tf . m 
 CARGA ACIDENTAL: 
VB = {[(1 . 11) / 2] . 2} + (15 . 1,00) + (10 . 0,636) 
VB = 11,00 + 15,00 + 6,36 
VB = 32,36 tf . m 
14 
L.I.FCC 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
+ 
- m / L = 
0,363 
0,273 
(ESQ) 
(DIR) 
n / L = 
0,636 
c. A FORÇA CORTANTE MÁXIMA À DIREITA DA SEÇÃO C (LADO POSITIVO): 
P3 = 10 tf 
g2 = 2 tf / m 
P4 = 15 tf 4,0m 
A B 
4,0m 4,0m 
g1 = 3 tf / m 
3,0m 
P1 = 15 tf P2 = 20 tf 
C D 
VA VB 
HA 
CARGA 
PERMANENTE 
15 
 CARGA PERMANENTE: 
VDIR.C = {[(0,636 . 7) / 2] . 3} – {[(0,363 . 4) / 2] . 3} + (20 . 0,273) – (15 . 0,363) 
VDIR.C = 6,678 – 2,178 + 5,460 – 5,445 
VDIR.C = 4,515 tf . m 
 FORÇA CORTANTE MÁXIMA POSITIVA À DIREITA DA SEÇÃO C (V+MÁX.C): 
V+MÁX.C = 4,515 + 14,907 
V+MÁX.C = 19,422 tf . m 
 CARGA ACIDENTAL (À DIREITA): 
V+C = {[(0,636 . 7) / 2] . 2} + (15 . 0,273) + (10 . 0,636) 
V+C = 4,452 + 4,095 + 6,360 
V+C = 14,907 tf . m 
c. A FORÇA CORTANTE MÁXIMA À DIREITA DA SEÇÃO C: 
16 
L.I.FCC 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
g2 = 2 tf / m 
P4 = 15 tf 4,0m 
P3 = 10 tf 
+ 
m / L = 
0,363 
0,273 
- 
(ESQ) 
(DIR) 
n / L = 
0,636 
c. A FORÇA CORTANTE MÁXIMA À DIREITA DA SEÇÃO C (LADO NEGATIVO): 
A B 
4,0m 4,0m 
g1 = 3 tf / m 
3,0m 
P1 = 15 tf P2 = 20 tf 
C D 
VA VB 
HA 
CARGA 
PERMANENTE 
17 
 CARGA PERMANENTE: 
V-C = {[(0,636 . 7) / 2] . 3} – {[(0,363 . 4) / 2] . 3} + (20 . 0,273) – (15 . 0,363) 
V-C = 6,678 – 2,178 + 5,460 – 5,445 
V-C = 4,515 tf . m 
 FORÇA CORTANTE MÁXIMA NEGATIVA À DIREITA DA SEÇÃO C (V-MÁX.C): 
V-MÁX.C = 4,515 – 6,897 
V-MÁX.C = – 2,382 tf . m 
 CARGA ACIDENTAL (À ESQUERDA): 
V-C = – {[(0,363 . 4) / 2] . 2} – (15 . 0,363) – (10 . 0) 
V-C = – 1,452 – 5,445 
V-C = – 6,897 tf . m 
c. A FORÇA CORTANTE MÁXIMA À DIREITA DA SEÇÃO C: 
PORTANTO, 
VMÁX.DIR.C = 19,422 tf 
18 
L.I.FCC 
+ 
m / L = 
0,363 
0,273 
- 
(ESQ) 
(DIR) 
n / L = 
0,636 
d. A FORÇA CORTANTE MÁXIMA POSITIVA NA SEÇÃO C: 
P3 = 10 tf 
g2 = 2 tf / m 
P4 = 15 tf 4,0m 
A B 
4,0m 4,0m 
g1 = 3 tf / m 
3,0m 
P1 = 15 tf P2 = 20 tf 
C D 
VA VB 
HA 
CARGA 
PERMANENTE 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
19 
 CARGA PERMANENTE: 
VESQ.C = {[(0,636 . 7) / 2] . 3} – {[(0,363 . 4) / 2] . 3} + (20 . 0,273) + (15 . 0,636) 
VESQ.C = 6,678 – 2,178 + 5,460 + 9,540 
VESQ.C = 19,50 tf . m 
 FORÇA CORTANTE MÁXIMA POSITIVA À ESQUERDA DA SEÇÃO C (V+MÁX.C): 
V+MÁX.C = 19,50 + 14,907 
V+MÁX.C = 34,407 tf . m 
 CARGA ACIDENTAL (À DIREITA): 
V+C = {[(0,636 . 7) / 2] . 2} + (15 . 0,273) + (10 . 0,636) 
V+C = 4,452 + 4,095 + 6,360 
V+C = 14,907 tf . m 
d. A FORÇA CORTANTE MÁXIMA POSITIVA NA SEÇÃO C: 
20 
L.I.FCC 
+ 
m / L = 
0,363 
0,273 
- 
(ESQ) 
(DIR) 
n / L = 
0,636 
d. A FORÇA CORTANTE MÁXIMA POSITIVA NA SEÇÃO C: 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
g2 = 2 tf / m 
P4 = 15 tf 4,0m 
P3 = 10 tf 
A B 
4,0m 4,0m 
g1 = 3 tf / m 
3,0m 
P1 = 15 tf P2 = 20 tf 
C D 
VA VB 
HA 
CARGA 
PERMANENTE 
21 
 FORÇA CORTANTE MÁXIMA NEGATIVA À ESQUERDA DA SEÇÃO C (V-MÁX.C): 
V-MÁX.C = 19,5 – 6,897 
V-MÁX.C = 12,603 tf . m 
 CARGA ACIDENTAL (À ESQUERDA): 
V-C = – {[(0,363 . 4) / 2] . 2} – (15 . 0,363) – (10 . 0) 
V-C = – 1,452 – 5,445 
V-C = – 6,897 tf . m 
PORTANTO, 
VMÁX.POS.C = 34,407 tf 
 CARGA PERMANENTE: 
VESQ.C = {[(0,636 . 7) / 2] . 3} – {[(0,363 . 4) / 2] . 3} + (20 . 0,273) + (15 . 0,636) 
VESQ.C = 6,678 – 2,178 + 5,460 + 9,540 
VESQ.C = 19,50 tf . m 
d. A FORÇA CORTANTE MÁXIMA POSITIVA NA SEÇÃO C: 
22 
E S T R U T U R A S I S O S T Á T I C A S N O E S P A Ç O 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
 CONVENÇÃO DE SINAIS DOS ESFORÇOS SECCIONAIS EM GRELHAS: 
T + T - 
M + M - 
V + V - 
31 
P = 1 tf 
3,0m 3,0m 
A 
B 
C 
D 
EXEMPLO 1: OBTER AS REAÇÕES DE APOIO E OS RESPECTIVOS DIAGRAMAS SOLICITANTES 
PARA A GRELHA A SEGUIR, CUJAS BARRAS – TODAS NO MESMO PLANO – FORMAM 
ÂNGULOS DE 90° EM TODOS OS NÓS. 
32 
P = 1 tf 
3,0m 3,0m 
A 
B 
C 
D 
VD 
HD 
MD 
33 
A B 
P = 1 tf 
C D 
C 
B 
34 
C 
B 
Z 
Y 
X 
B 
P = 1 tf 
1 . 3 = 3m 
P = 1 + (2 . 3) 
P = 7 tf 
3m 
(1 . 3) + 
[(2 . 3) . 1,5] 
= 12 tf . m 
A B 
P = 1 tf 
C D 
35 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HD = 12 tf
(2) Σ Fy = 0 
 VD = 7 tf 
(3) Σ MD = 0 
 VD . 0 + HD . 0 – (7 . 3) – (12 . 0) 
 – 3 – MD = 0 
 – MD – 21 – 3 = 0 
 MD = – 24 tf 
C D 
7 tf 
3m 
12m 
VD 
HD 
MD 
3m 
36 
C D 
7 tf 
3 tf . m 
12 tf . m 
7 tf 
12 tf 
24 tf . m 
3m 
37 
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
P = 1 tf 
A B 
C D 
24,0 
+ 
3,0 
+ 
12,0 
+ 
38 
DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES 
P = 1 tf 
A B 
C 
D 
- 1,0 - 
7,0 
- 
7,0 
39 
DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES 
P = 1 tf 
A B 
C 
D 
- 
12,0 12,0 
+ 
3,0 
3,0 
40 
EXEMPLO 2: PARA A GRELHA TRIAPOIADA A SEGUIR, OBTER AS REAÇÕES DE APOIO E OS 
RESPECTIVOS DIAGRAMAS SOLICITANTES. CONSIDERAR QUE AS BARRAS – TODAS NO 
MESMO PLANO – FORMAM ÂNGULOS DE 90° EM TODOS OS NÓS. 
B 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
3,0m 
41 
B 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
3,0m 
VA 
VC 
VB 
42 
B 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
3,0m 
VA 
VC 
VB 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
EIXO ( 1 ): 
 Σ MEIXO.1 = 0 
 VA . 0 + VB . 0 + VC . 3 
 – (16 . 3 . 1,5) = 0 
 3 . VC – 72 = 0 
 VC = 72 / 3 
 VC = 24 tf 
EIXO ( 2 ) 
( EIXO 1 ) 
EIXO ( 2 ): 
 Σ MEIXO.2 = 0 
 VA . 3 + VB . 3 + VC . 0 
 – [(16 . 3 . 1,5)] . 0 = 0 
 3 . VA + 3 . VB = 0 
 PORTANTO, 
 VA = VB (a) 
PARA A DIREÇÃO VERTICAL ( Z ): 
 Σ MEIXO.Z = 0 
 VA + VB + VC – (16 . 3) = 0 
 VA + VB + 24 – 48 = 0 
 de (a), VA = VB 
 2 . VA = 24 
 VA = VB = 12 tf 
Z 
Y 
X 
43 
B 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
3,0m 
12 tf 
24 tf 
12 tf 
44 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
E 
C 
B 
D 
45 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
E 
C 
B 
D 
12 tf (36 – 24) 
= 12 tf 
12 tf 
(12 . 3) = 
36 tf . m 
36 tf . m 
(12 . 3) = 
36 tf . m 
36 tf . m 
(16 . 3) – 12 
36 tf 
12 tf 
Z 
Y 
X 
46 
B 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
12 tf 
24 tf 
12 tf 
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
12 tf 
24 tf 
12 tf 
36 
+ 
+ 36 
36 
- 
+ 
36 
Z 
Y 
X 
47 
B 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
12 tf 
24 tf 
12 tf 
DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
12 tf 
24 tf 
12 tf 
Z 
Y 
X 
36 
+ 
- 
- 
12 
12 
12 
+ 
+ 
12 
48 
B 
C 
E A 
D 
16 tf / m 
12 tf 
24 tf 
12 tf 
DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES: 
12 tf 
24 tf 
12 tf 
+ 
36 
36 
36 
+ 
Z 
Y 
X 
49 
EXEMPLO 3: PARA A GRELHA TRIAPOIADA A SEGUIR, OBTER AS REAÇÕES DE APOIO E OS 
RESPECTIVOS DIAGRAMAS SOLICITANTES. CONSIDERAR QUE AS BARRAS – TODAS NO 
MESMO PLANO – FORMAM ÂNGULOS DE 90° EM TODOS OS NÓS. 
PA = 4 tf 
A 
B C 
D 
E 
F 
PD = 1 tf PF = 3 tf 
2,0m 2,0m 
50 
PA = 4 tf 
A 
B C 
D 
E 
F 
PD = 1 tf PF = 3 tf 
2,0m 2,0m 
VB VC 
VE 
51 
PA = 4 tf 
A 
B C 
D 
E 
F 
PD = 1 tf PF = 3 tf 
2,0m 2,0m 
VB VC 
VE 
( EIXO 1 ) 
( EIXO 2 ) 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
EIXO ( 1 ): 
 Σ MEIXO.1 = 0 
 VC . 0 + VE . 0 + VB . 2 
 – (4 . 2) – (1 . 2) + (3 . 2) = 0 
 2 . VB – 8 – 2 + 6 = 0 
 VB = 4 / 2 
 VB = 2 tf 
EIXO ( 2 ): 
 Σ MEIXO.2 = 0 
 VB . 0 + VC . 0 + VE . 4 
 – (4 . 2) – (1 . 4) – (3 . 4) = 0 
 4 . VE – 8 – 4 – 12 = 0 
 VE = 24 / 4 
 VE = 6 tf 
PARA A DIREÇÃO VERTICAL ( Z ): 
 Σ MEIXO.Z = 0 
 VB + VC + VE – 4 – 1 – 3 = 0 
 2 + VC + 6 – 8 = 0 
 VC + 8 – 8 = 0 
 VC = 0 tf 
Z 
Y 
X 
52 
PA = 4 tf 
A 
B C 
D 
E 
F 
PD = 1 tf PF = 3 tf 
2,0m 2,0m 
2 tf 
6 tf 
53 
PA = 4 tf 
A 
B 
C 
D 
PD = 1 tf 
F 
PF = 3 tf 
E E E 
54 
PA = 4 tf 
A 
B 
C 
D 
PD = 1 tf 
F 
PF = 3 tf 
Z 
Y 
X 
(3 . 2) – 
(1 . 2) = 
4 tf . m 
E E E 
VE – PD – PF 
6 – 1 – 3 = 2 tf 
2 tf 
4 tf . m 
2 . 4 = 8 tf . m 
8 tf . m 
VB + 2 
2 + 2 = 4 tf 
4 tf 
55 
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
PA = 4 tf 
A 
C 
D E F 
PD = 1 tf PF = 3 tf 
2,0m 2,0m 
2 tf 
6 tf 
6 
+ 2 + 
8 
+ 
Z 
Y 
X 
B 
+ 
4 
8 
- 
56 
DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
PA = 4 tf 
A 
C 
D E 
F 
PD = 1 tf PF = 3 tf 
2,0m 2,0m 
2 tf 
6 tf 
Z 
Y 
X 
B 
4 
- 
2 - 
- 1 
+ 
3 
- 
2 
57 
DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES: 
PA = 4 tf 
A 
C 
D E 
F 
PD = 1 tf PF = 3 tf 
2,0m 2,0m 
2 tf 
6 tf 
Z 
Y 
X 
B 
8 
+ 
8 
+ 
4 
4 
58 
C O N T I N U A . . .