Apostila 1 de ÁLGEBRA LINEAR

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ÁLGEBRA LINEAR
Capítulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
 Matrizes
Uma matriz A, m x n ( m por n ), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas
 
A A i-ésima linha de A é 
Para 
 a j-ésima coluna de A é 
 para 
Usamos também a notação 
Dizemos que 
 ou 
 é o elemento ou a entrada de posição 
 da matriz A.
Se 
 , dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem 
 e os elementos 
 formam a diagonal (principal) de A.
Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:
 
As matrizes A e B são 
. A matriz C é 
, D é 
 , E é 
 e F é 
.
De acordo com a notação que introduzimos, exemplos de algumas das matrizes dadas acima são 
.
Uma matriz que possui uma linha é chamada de matriz linha, e uma matriz que só possui uma coluna é chamada matriz coluna. No Exemplo 1.1. a matriz D é uma matriz linha e a matriz E é uma matriz coluna.
Matrizes linha e matrizes coluna são chamadas de vetores.
Dizemos que duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo tamanho e os elementos correspondentes são iguais, ou seja, 
 são iguais se 
 para 
Vamos definir operações matriciais análogas às operações com números e provar propriedades que são válidas para essas operações. Veremos, mais tarde, que um sistema de equações lineares pode ser escrito em termos de uma única equação matricial.
Vamos agora, introduzir as operações matriciais.
Operações com Matrizes
Definição 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho 
 é definida como sendo a matriz 
, C = A + B, obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja, 
 , para 
.
Escrevemos também 
Exemplo 1.2. Considere as matrizes 
Se chamarmos de C a soma das duas matrizes A e B, então
 
Definição 1.2 A multiplicação de uma matriz 
 por um escalar(número) 
 é definida pela matriz 
 
 obtida multiplicando-se cada elemento da matriz 
 pelo escalar 
 , ou seja, 
 , para 
.
Escrevemos também 
 .
Dizemos que a matriz 
 é um múltiplo escalar da matriz
.
Exemplo 1.3. O produto da matriz 
 pelo escalar -3 é dado por
Definição 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda , 
 é definido pela matriz 
 obtida da seguinte forma: 
 (1.1)
A equação (1.1) está dizendo que o elemento 
 do produto é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j=ésima coluna de B.
 
A equação (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notação do somatório.
 e dizemos “somatório de k variando de 1 a p, de 
” O símbolo 
 significa que estamos fazendo uma soma em que o índice k está variando de k = 1 até k = p . 
Exemplo 1.4. Considere as matrizes: 
Se chamarmos de C o produto das duas matrizes A e B, então
Observação : No exemplo anterior o produto BA não está definido(por que?) . Entretanto, mesmo quando ele está definido, BA pode não ser igual a AB, ou seja, o produto de matrizes não é comutativo, como mostra o exemplo seguinte.
Exemplo 1.5. Sejam 
. Então, 
Vamos ver no próximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativamente um processo de produção.
Exemplo 1.6. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama do insumo A e 1 grama do insumo B e, para cada kg de Z, i grama de A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B são necessários na produção de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z.
 X Y Z
 
Definição 1.4. A transposta de uma matriz 
 é definida pela matriz 
 
Obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja, 
 , para 
.
Escrevemos também 
Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes 
 são 
A seguir, mostraremos as propriedades que são válidas para a álgebra matricial. Várias propriedades são semelhantes àquelas que são válidas para os números reais, mas deve-se tomar cuidado com as diferenças. Uma propriedade importante que é válida para os números reais, mas não é válida para as matrizes é a comutatividade do produto, como mostrado no Exemplo 1.5. Por ser compacta, usaremos a notação de somatório na demonstração de várias propriedades.
- Propriedades da Álgebra Matricial
Teorema 1.1. Sejam 
matrizes com tamanhos apropriados, 
 escalares.
 São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais:
(comutatividade) 
(associatividade) 
(elemento neutro) A matriz 
, definida por 
 é tal que
, para toda matriz
. A matriz 
 é chamada matriz nula 
.
(elemento simétrico) Para cada matriz 
, existe uma única matriz 
, definida por 
�� EMBED Equation.3 tal que 
.
(associatividade) 
(distributividade) 
(distributividade) 
(associatividade) 
(elemento neutro) Para cada inteiro positivo 
 a matriz 
, 
 , chamada matriz identidade é tal que 
, para toda matriz 
.
(distributividade) 
 
 
 
 
 
Demonstração. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do lado esquerdo são iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito. Serão usadas várias propriedades dos números sem citá-las explicitamente.
(a) 
(b)
(c) Seja 
uma matriz 
 tal que 
 (1.2) 
 para qualquer matriz 
. Comparando os elementos correspondentes, temos que 
, ou seja, 
. Portanto, a única matriz que satisfaz (1.2) é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero. Denotamos a matriz 
.
(d) Dada uma matriz 
 seja 
 uma matriz 
 , tal que 
 (1.3)
Comparando os elementos correspondentes, temos que 
 , ou seja, 
 , para
. Portanto, a única matriz que satisfaz (1.3) é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos dos elementos de 
. Denotamos a matriz 
(e) 
(f) 
(g) 
(h) A demonstração deste item é mais trabalhosa. Sejam 
 matrizes 
 respectivamente. A notação de somatório aqui pode ser muito útil, pelo fato de ser compacta.
(i) Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker, que é definido por
 
 como 
.
Assim, 
A outra igualdade é análoga.
(j) 
 A outra igualdade é inteiramente análoga a anterior e deixamos como exercício.
(k) 
 e
 
(l) 
(m) 
(n) 
(o) 
A diferença entre duas matrizes de mesmo tamanho 
 .e definida por 
 , ou seja, é a soma da matriz 
 com a simétrica da matriz 
.
Sejam 
 uma matriz 
 e 
 um inteiro positivo. Definimos a potência 
de 
, por 
 E para 
 , definimos 
.
Exemplo 1.8 Vamos verificar se para matrizes 
, quadradas, vale a igualdade
 
 (1.4)
Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos
 
Assim, 
 se, e somente se, 
, ou seja, se, e somente se 
. Como o produto de matrizes não é comutativo, a conclusão é que a igualdade (1.4) , não vale para matrizes em geral. Como contra-exemplo basta tomarmos duas matrizes que não comutem entre si. 
Sejam 
 
Para estas matrizes 
Assim, 
 
Aplicação: Cadeias de Markov
 Exemplo: 1.9. Vamos supor que uma população é dividida em três estados(por exemplo: ricos, classe média e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudança de um estado para outro seja constante no tempo, só dependa dos estados. Este processo é chamado
de cadeia de Markov.
Seja 
 a probabilidade de mudança do estado 
 para o estado 
 em uma unidade de tempo(geração). Cuidado com a ordem dos índices.
 1 2 3
A matriz 
 é chamada matriz de transição. 
 1 2 3
Como exemplo vamos considerar a matriz de transição 
 (1.5)
A distribuição da população inicial entre os três estados pode ser descrita pela seguinte matriz:
 
A matriz 
 caracteriza a distribuição inicial da população entre os três estados e é chamada vetor de estado. Por exemplo, 
 
 (1.6) 
Representa uma população dividida de forma que 1/3 da população está em cada estado. Após uma unidade de tempo(geração) a população estará dividida entre os três estados da seguinte forma
 
 
Lembre-se que 
 é a probabilidade de mudança do estado 
 para o estado 
. Assim o vetor de estado após uma unidade de tempo é dada pelo produto de matrizes: 
’
Por exemplo se a matriz de transição, 
, é a matriz dada por (1.5) e a matriz de estado inicial, 
, é a matriz dada por (1.6) , então após uma unidade de tempo a matriz de estado será dada por 
Como estamos assumindo que em cada unidade de tempo a matriz de transição é a mesma, então após 
 unidades de tempo a população estará dividida entre os três estados segundo a matriz de estado 
Assim, a matriz 
 dá a transição entre k unidades de tempo.
Exercícios Numéricos
Considere as seguintes matrizes
 
Se for possível, calcule:
(a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
Conhecendo-se somente os produtos 
 , como podemos calcular 
 ?
Considere as seguintes matrizes 
Verifique que:
(a) 
é diferente de 
(b) 
 é a 
-ésima coluna de 
, para 
 é a 
-ésima linha de 
, para 
(c) 
, em que 
 são as colunas de 
.
(d) 
, em que 
 são as linhas de 
(e) Escrevendo 
em termos de suas colunas, 
, em que 
, o produto 
 pode ser escrito como 
(f) escrevendo 
 em termos das suas linhas, 
 , o produto 
pode ser escrito como 
1.1.4. Sejam 
. 
Verifique que 
, em que 
 é a 
-ésima coluna de 
, para 
1.1.5. Encontre um valor de 
 tal que 
, em que 
1.1.6. Mostre que as matrizes 
em que 
 é um número real não nulo, verificam a equação 
Mostre que se 
 são matrizes que comutam com a matriz 
 , então 
(a) Determine todas as matrizes 
 , diagonais(os elementos que estão fora da diagonal principal são iguais a zero) que comutam com toda matriz 
 , ou seja, tais que 
, para toda matriz 
(b) Determine todas as matrizes 
, que comutam com toda matriz 
, ou seja, tais que 
, para toda matriz 
.
Verifique que 
 para 
Notação de Somatório
São válidas algumas propriedades para a notação de somatório:
(a) O índice do somatório é uma variável muda que pode ser substituída por qualquer letra:
 
(b) O somatório de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somatórios:
 
 pois,
Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de números.
(c) Se no termo geral do somatório aparece um produto, em que um fator não depende do índice do somatório, então esse fator pode “sair” do somatório: 
 
 pois,
 
Aqui foram aplicadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em relação a soma de números
(d) Num somatório duplo, a ordem dos somatórios pode ser trocada:
 
 pois,
Aqui foram aplicadas as propriedades comutativa e associativa da soma de números
1.2 Sistemas de Equações Lineares
 Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas lineares. Vamos ver como a álgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares.
Uma equação linear em 
 variáveis 
 é uma equação da forma 
, em que 
são constantes reais.
 Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de equações lineares, ou seja, é um conjunto de equações da forma
 
 
em que 
 são constantes reais, para 
Usando o produto de matrizes que definimos na seção anterior, o sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial 
 em que
 
Uma solução de um sistema linear é uma matriz 
 tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos 
.
O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema. A matriz 
 é chamada matriz do sistema linear.
Exemplo 1.10 - O sistema linear de duas equações e duas incógnitas 
 pode ser escrito como 
A solução (geral) do sistema acima é 
 (verifique !) ou 
Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja fácil de resolver. O outro sistema é obtido depois de aplicar sucessivamente uma série de operações, que não alteram a solução do sistema, sobre as equações.
As operações usadas são:
Estas operações são chamadas de operações elementares. Quando aplicamos operações elementares sobre as equações de um sistema linear somente os coeficientes do sistema são alterados, assim podemos aplicar as operações sobre a matriz de coeficientes do sistema, que chamamos de matriz aumentada, ou seja, a matriz 
 
Definição 1.5. Uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operações:
Trocar a posição de duas linhas da matriz
Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero
Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha
O próximo teorema garante que ao aplicarmos operações elementares às equações de um sistema o conjunto solução não é alterado
Teorema 1.2. Se dois sistemas lineares 
, são tais que a matriz aumentada 
 é obtida de 
 aplicando-se uma operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções.
Demonstração: A demonstração deste teorema segue-se de duas observações:
Se 
 é solução de um sistema, então 
 também é solução do sistema obtido aplicando-se uma operação elementar sobre suas equações (verifique !)
Se o sistema 
, é obtido de 
 aplicando-se uma operação elementar às suas equações (ou equivalentemente às linhas da sua matriz aumentada), então o sistema 
 também pode ser obtido de 
 aplicando-se uma operação elementar às suas equações, pois cada operação elementar possui uma operação elementar inversa do mesmo tipo, que desfaz o que a anterior fez (verifique!).
Pela observação (b) , 
 podem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operação elementar sobre as suas equações. E pela observação (a) , os dois possuem as mesmas soluções.
Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes. Portanto, segue-se que do Teorema 1.2 que aplicando-se operações elementares às equações de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes.
1.2.1 Método de Gauss-Jordan
 O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema até que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução.
 Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo (chamado pivô) o número 1. Além disso, se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos terão de ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com insumos podemos determinar
quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma indústria.
Exemplo 1.11. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, i grama de insumo A e 1 grama do insumo B e, para kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Como vimos no Exemplo 1.6 da página 3, usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma:
 
 X Y Z
 
Assim, precisamos resolver o sistema linear
 
 cuja matriz aumentada é 
Primeira eliminação
Vamos procurar para pivô da primeira linha um elemento não nulo da primeira coluna não nula (se for o caso, podemos usar a troca de linhas para “trazê-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da primeira coluna é igual a 1 ele será o primeiro pivô. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da primeira coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos à segunda linha, -2 vezes a primeira linha e adicionamos à terceira linha, também, -2 vezes a primeira linha.
Segunda eliminação
Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a primeira linha. Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na primeira coluna não nula desta submatriz. Vamos escolher o elemento de posição 2,2. Como temos que “fazer” o pivô igual a 1, vamos multiplicar a segunda linha por -1.
 
Agora precisamos “zerar”os outros elementos da segunda coluna, que é a coluna do pivô, para isto, somamos à primeira linha, -1 vezes a segunda e somamos à terceira linha, também, -1 vezes a segunda.
Terceira eliminação
Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a primeira e a segunda linhas. Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na primeira coluna não nula desta submatriz. Temos de escolher o elemento de posição 3,3 e como temos de “fazer” o pivô igual a 1, vamos multiplicar a terceira linha por 
 .
 
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da terceira coluna, que é a coluna do pivô, para isto, somamos à primeira linha, -3 vezes a terceira e somamos à segunda linha, 2 vezes a segunda.
 
Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema 
Que possui solução geral dada por 
Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z.
______________________________________________________________________________
A última matriz que obtivemos no exemplo anterior está na forma que chamamos de escalonada reduzida.______________________________________________________________________ 
Definição 1.6. Uma matriz 
 está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições:
Todas as linhas nulas(formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;
O pivô (primeiro elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual a 1;
O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior
Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c) , mas não necessariamente (b) e (d) , dizemos que está na forma escalonada.
Exemplo 1.12 As matrizes 
 são escalonadas reduzidas, enquanto 
 são escalonadas, mas não são escalonadas reduzidas.
Este método de resolução de sistemas, que consiste em aplicar operações elementares às linhas de matriz aumentada até que a matriz do sistema esteja na forma escalonada, é conhecido como método de Gauss-Jordan.
Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema 
A sua matriz aumentada é 
Primeira eliminação
Como o pivô da primeira linha é igual a 1 e os outros elementos da primeira coluna são iguais a zero, não há nada o que fazer na primeira eliminação. 
 
 
Segunda eliminação
Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a primeira linha. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da primeira coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2,2. Como ele é igual a 1, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto somamos à primeira linha, -3 vezes a segunda e somamos à terceira linha, 2 vezes a segunda.
 
Portanto o sistema é equivalente ao sistema 
 que não possui solução.
Em geral, um sistema linear não tem solução se, e somente se, a última linha não nula da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma 
 
Exemplo 1.14 Considere o seguinte sistema
A sua matriz aumentada é 
Primeira eliminação
Como temos de “fazer”o pivô igual a um, escolhemos para pivô o elemento da posição 3,1. Precisamos “colocá-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a terceira linha com a primeira.
Agora precisamos “zerar” os outros elementos da primeira coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos à segunda linha, -5 vezes a primeira.
Segunda eliminação
Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a primeira linha. Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na primeira coluna não nula desta submatriz. Escolhemos o elemento 2,3. Como temos de fazer o pivô igual a 1, multiplicamos a segunda linha por -1/5.
Agora precisamos “zerar” os outros elementos da segunda coluna, que é a coluna do pivô, para isto adicionamos à primeira linha a segunda e à terceira linha, -3 vezes a segunda.
 
Esta matriz é escalonada reduzida. Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte
 
A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivôs. As variáveis que não estão associadas a pivôs podem ser consideradas variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários. Neste exemplo as variáveis 
 não estão associadas a pivôs e podem ser consideradas variáveis livres. Sejam 
. As variáveis associadas aos pivôs terão seus valores dependentes das variáveis livres, 
. Assim, a solução geral do sistema é
 
 para todos os valores de 
 reais.
Em geral, se o sistema linear tiver solução e a forma escalonada reduzida da matriz aumentada possuir colunas sem pivôs, as variáveis que não estão associadas a pivôs podem ser consideradas variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários. As variáveis associadas aos pivôs terão os seus valores dependentes das variáveis livres.
Lembramos que o sistema linear não tem solução se a última linha não nula da forma escalonada reduzida da matriz aumentada for da forma 
, como no exemplo 1.13 na página 14.
_____________________________________________________________________________
OBSERVAÇÃO : Para se encontrar a solução de um sistema linear não é necessário transformar a matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz está nesta forma, o sistema associado é o mais simples possível. Um outro método de resolver sistemas lineares consiste em, através da aplicação de operações elementares à matriz aumentada do sistema, se chagar a uma matriz que é somente escalonada (isto é, uma matriz que satisfaz as condições (a) e (c) , mas não necessariamente (b) e (d) da Definição 1.6). Este método é conhecido como Método de Gauss.___________________________________
O próximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma solução não pode ter um número finito de soluções.
Proposição 1.3. Sejam 
 uma matriz 
. Se o sistema linear 
 possui duas soluções distintas 
 , então ele tem infinitas soluções.
Demonstração.
Seja 
Vamos mostrar que 
 é solução do sistema 
, para qualquer 
. Para isto vamos mostrar
que 
.
Aplicando as propriedades (i), (j) das operações matriciais ( Teorema 1.1 na página 4) obtemos
Como 
 são soluções de 
, então 
, portanto
 
, pela propriedade (f) do Teorema 1.1.
Assim, o sistema 
 tem infinitas soluções, pois para todo valor de 
 é solução e 
 , ou seja, 
. Observe que para 
 , para 
 , para 
 , para 
 e para 
.
Para resolver sistemas lineares vimos aplicando operações elementares à matriz aumentada do sistema linear. Isto pode ser feito com quaisquer matrizes.
Matrizes Equivalentes por linhas
Definição 1.7 Uma matriz 
 é equivalente por linhas a uma matriz 
 , se 
 pode ser obtida de 
 aplicando-se uma seqüência de operações elementares sobre as suas linhas.
Exemplo 1.15 Observando os Exemplos 1.11 , 1.14 e 1.13 , vemos que as matrizes
 
 
são equivalentes pó linhas às matrizes
 
 , respectivamente.
Matrizes estas que são escalonadas reduzidas.
Cuidado: elas são equivalentes por linhas, não são iguais !
A relação “ser equivalente por linhas” satisfaz as seguintes propriedades, cuja verificação deixamos como exercício para o leitor.
* Toda Matriz é equivalente por linhas a ela mesmo (reflexividade)
* Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A (simetria)
* Se A é equivalente por linhas a B e B é equivalente por linhas a C, então A é equivalente por linhas a C (transitividade)
Toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e a demonstração, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular das matrizes aumentadas dos Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13. 
Teorema 1.4. Toda matriz 
 é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida 
.
O próximo resultado será usado para provar alguns resultados no capítulo de inversão de matrizes.
Proposição 1.5. Seja uma matriz 
, na forma escalonada reduzida. Se 
, então R tem uma linha nula.
Demonstração. Observe que o pivô de uma linha 
 está sempre numa coluna 
. Portanto, ou a última linha de 
 é nula ou o pivô da linha 
 está na posição 
. Mas, neste caso todas as linhas anteriores são não nulas e os pivôs de cada linha 
 está na coluna 
, ou seja, 
.
Sistemas Lineares Homogêneos
Um sistema linear da forma 
 
 (1.7)
É chamado sistema homogêneo. O sistema (1.7) pode ser escrito como 
. Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução 
 chamada de solução trivial. Portanto, todo sistema homogêneo tem solução. Alem disso ou tem somente a solução trivial ou tem infinitas soluções
OBSERVAÇÃO : Para resolver um sistema linear homogêneo 
 , basta escalonarmos a matriz 
 do sistema, já que sob a ação de uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada. Mas, é preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado à matriz resultante das operações elementares, para se levar em consideração esta coluna de zeros que não vimos escrevendo.
Teorema 1.6. Se 
, é tal que 
, então o sistema homogêneo 
 tem solução diferente da solução trivial, ou seja, todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções.
Demonstração. Como o sistema tem menos equações do que incógnitas 
 o número de linhas não nulas 
 da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema também é tal que 
. Assim, temos 
 pivôs e 
 variáveis (incógnitas) livres, que podem assumir todos os valores reais. Logo, o sistema admite solução não trivial e portanto infinitas soluções.
O conjunto solução de um sistema linear homogêneo satisfaz duas propriedades interessantes. Estas propriedades terão papel decisivo no estudo de subespaços de 
, como veremos adiante.
Proposição1.7. Seja 
Se
são soluções do sistema homogêneo 
 também o é.
Se 
 é solução do sistema homogêneo 
, então 
 também o é.
Demonstração. 
Se 
são soluções do sistema homogêneo 
, então 
 e 
 e portanto 
 também é solução pois, 
Se 
 é solução do sistema homogêneo 
, então 
 também o é, pois 
Estas propriedades não são válidas para sistemas lineares em geral. Por exemplo, considere o sistema linear 
, em que 
. A solução deste sistema é 
 . Mas 
não é solução do sistema.
Exemplo 1.16. Vamos retomar a cadeia de Markov do Exemplo 1.9 na página 6. Vamos supor que uma população é dividida em três estados (por exemplo: ricos, classe média e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudança de um estado para outro seja constante no tempo, só dependa dos estados. Seja 
a probabilidade de mudança de estado 
 para o estado 
 em uma unidade de tempo(geração). A matriz de transição é dada por
 
 1 2 3
 
 
Por exemplo , a matriz de transição pode ser dada por
 1 2 3
 
 
Vamos descobrir qual distribuição inicial da população entre os três estados permanece inalterada, geração após geração. Ou seja, vamos determinar 
 tal que
 
Assim, precisamos resolver o sistema linear homogêneo
 
Cuja matriz aumentada é 
Primeira eliminação: 
 
Segunda eliminação: 
 
Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte
Seja 
 Então 
 Assim, a solução geral do sistema é
 
, para todo 
.
Tomando a solução tal que 
 obtemos que se a população inicial for distribuída de forma que 
 da população esteja no estado 1, 
 da população esteja no estado 2 e 
, esteja no estado 3, então esta distribuição permanecerá constante geração após geração.
Matrizes Elementares
Definição 1.8 Uma matriz elementar 
 é uma matriz obtida da matriz identidade 
 aplicando-se uma, e somente uma, operação elementar.
Vamos denotar por 
 a matriz elementar obtida trocando-se a linha 
 com a linha 
 da matriz 
, 
 a matriz elementar obtida multiplicando-se a linha 
 da matriz 
 pelo escalar 
 e 
 a matriz elementar obtida da matriz 
, somando-se à linha 
vezes a linha 
.
Exemplo 1.17. As matrizes seguintes são as matrizes elementares 
 :
Sejam 
 matrizes 
.
As matrizes elementares podem ser escritas em termos das matrizes 
 como
Aplicar uma operação elementar em uma matriz, corresponde a multiplicar a matriz à esquerda por uma matriz elementar, como mostra o resultado a seguir.
Teorema 1.8. Sejam
uma matriz elementar 
 e
 uma matriz qualquer 
. Então,
 é igual à matriz obtida aplicando-se na matriz 
 a mesma operação elementar que originou 
.
Demonstração. Como a 
-ésima linha de um produto de matrizes BA é igual a 
, em que 
 é a 
-ésima linha da matriz B e 
, em que 
 é a linha 
 da matriz A, então:
Assim, aplicar uma seqüência de operações elementares em uma matriz, corresponde a multiplicar a matriz à esquerda por um produto de matrizes elementares.
Exemplo 1.18 Quando usamos o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema do Exemplo 1.11 na página 12, aplicamos uma seqüência de operações elementares na matriz aumentada do sistema. Isto corresponde a multiplicar a matriz aumentada
 
 à esquerda pelas matrizes elementares
Exercícios Numéricos
Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida:
 
Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.
(a) 
(b) 
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
(a) 
1.2.4. Os sistemas lineares seguintes
possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando o método de Gauss-Jordan. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada 
.
(a) 
 Seja 
Encontre a solução geral do sistema 
Encontre a solução geral do sistema 
Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de 
 para os quaisb o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
 
 (a) 
Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para cada kg de Y 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9kg de A e 2,4 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de dada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
Determine os coeficientes
 da função polinomial 
 , cujo gráfico passa pelos pontos
 
1.2.9. Determine os coeficientes 
 da equação do círculo 
 , que passa pelos pontos 
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
(a) 
1.2.4. Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. R mesmotemp 
(a) 
 Seja 
Encontre a solução geral do sistema 
Encontre a solução geral do sistema 
Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de 
 para os q sol soluçõe
 
 (a) 
Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B 
(Relativo à sub-seção 1.2.4.) Considere a matriz reduzida. (Sugestão: veja o Exemplo 1.18 na 
(Relativo à sub-seção 1.2.4) Considere a matriz 
.
Encontre matrizes elementares E, F. G e H tais que R=EFGHA é uma matriz escalonada reduzida. (Sugestão): veja o exemplo 1.18 na página 22)
Resolva usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
 a) 
 ;
 b) 
 
Considere a matriz 
. Determine o conjunto solução do sistema
, em que 
, para todos os valores de 
.
Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são:
(a) 
30
20
10
0
-10
-20
-30
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Encontre condições sobre os � EMBED Equation.3 ���s para que cada um dos sistemas seja consistente (isto é, tenha solução):
(a) � EMBED Equation.3 ���
x
8
6
4
2
0
-2
-4
y
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 
�PAGE �
�PAGE �12�
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